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XVI Encuentro Departamental de Matemáticas:
“La innovación en el proceso docente educativo en
Matemáticas a partir de diferentes medios de aprendizaje” y
I Encuentro Departamental de GeoGebra
 Netamente intuitivos.
 Inexactitud de los instrumentos
 Imprecisión del dibujante
 Datos exactos
 Ubicación en el plano cartesiano de los
vértices del triángulo
 Uso de la geometría analítica (puntos
medios, pendientes, ecuaciones de rectas y
puntos de intersección)
 Requiere gran desempeño matemático y
cálculos diversos.
 Difícilmente se parte de conocer las
longitudes del triángulo





Conjugan los dos anteriores
Excelente visualización
Manipulación de software
Exactitud en la ubicación de los puntos notables
Puede partir de conocer la longitud de los lados
MÉTODO SINTÉTICO
 Netamente intuitivos.
 Inexactitud de los instrumentos
 Imprecisión del dibujante
MÉTODO ANALÍTICO
 Datos exactos
 Ubicación en el plano cartesiano de los vértices del triángulo
 Uso de la geometría analítica (puntos medios, pendientes,
ecuaciones de rectas y puntos de intersección)
 Requiere gran desempeño matemático y cálculos diversos.
 Difícilmente se parte de conocer las longitudes del triángulo
MÉTODO DINÁMICO





Conjugan los dos anteriores
Excelente visualización
Manipulación de software
Exactitud en la ubicación de los puntos notables
Puede partir de conocer la longitud de los lados
LÍNEAS NOTABLES RESPECTO DE UN TRIÁNGULO
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: es la recta, o parte de recta,
que divide a un ángulo en otros dos ángulos
congruentes entre sí.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: es la recta, o parte de
recta, que pasa por el punto medio de un segmento y
es perpendicular a éste, es decir, que divide a un
segmento de recta en otros dos, congruentes entre sí.
MEDIANA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de
recta que une el punto medio de un lado con el
vértice opuesto.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de recta que
va desde un vértice hasta el lado opuesto o su
prolongación y es perpendicular a éste.
TEOREMAS SOBRE CONCURRENCIA DE LÍNEAS NOTABLES




Las mediatrices de los tres lados de un triángulo concurren en un punto que
equidista de los tres vértices, al cual se les denomina CIRCUNCENTRO
Las alturas de un triángulo concurren en un punto, al cual se les denomina
ORTOCENTRO .
Las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto
que equidista de los lados, al cual se les denomina INCENTRO
Las medianas de un triángulo concurren en un punto, al cual se les denomina
GRAVICENTRO o BARICENTRO, cuya distancia a cada vértice es dos tercios de la
medida de la respectiva mediana
El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo
(tangente a los lados del triángulo),
por
lo
tanto,
el
segmento
perpendicular, que une el incentro con
uno de los lados del triángulo, es el
radio de la circunferencia inscrita.
El circuncentro es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo
(que pasa por los vértices del triángulo),
por lo tanto, el segmento que une el
circuncentro con uno de los vértices del
triángulo es el radio de la circunferencia
circunscrita.
TEOREMA DE COLINEALIDAD DEL ORTOCENTRO, EL GRAVICENTRO
Y EL CIRCUNCENTRO
En todo triángulo el ortocentro, el gravicentro y el circuncentro son puntos colineales
(están sobre una misma línea recta- la recta de EULER-).
TEOREMA DE LAS RAZONES EN EL SEGMENTO DE EULER
En un triángulo no equilátero, el gravicentro está distante del circuncentro un tercio de
la longitud entre el circuncentro y el ortocentro.
DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES RESPECTO
DE UN TRIÁNGULO, CON BASE TRIGONOMÉTRICA
Se parte de la ubicación de los puntos notables respecto de un triángulo, con
base trigonométrica, llevando a cabo todo un proceso demostrativo basado en
teoremas del triángulo y fórmulas analíticas.
Al
establecer
un
sistema
coordenado con origen en el
vértice B, cuyas distancias se
consideran positivas hacia la
derecha y hacia arriba de B, y
negativas hacia abajo y hacia la
izquierda de B, se tiene que las
coordenadas de los vértices del
son:
B(0,0)
C (a,0)
A(c cos  , csen )
b  a 2  c 2  2ac cos 
COORDENADAS DEL INCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
r
ah
abc
ac(1  cos  )
x
abc
y
acsen
abc

ac(1  cos  )
acsen
I  ( x, y)  I  
,
2
2
2
2
 a  c  a  c  2ac cos  a  c  a  c  2ac cos 




COORDENADAS DEL GRAVICENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
LP 
AP
3

x
y
csen
3
a  c cos 
3
 a  c cos  csen 
G ( x, y )  G 
,

3
3 

COORDENADAS DEL CIRCUNCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
x
a
2
y
c  a cos 
2sen
 a c  a cos  
C ( x, y )  C  ,

2
2
sen



COORDENADAS DEL ORTOCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
x  c cos 
y
a  c cos 
tan 
a  c cos  

O ( x, y )  O  c cos  ,

tan  

COORDENADAS DE LOS PUNTOS NOTABLES EN TÉRMINOS DE LA
LONGITUD DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.
Se parte de las fórmulas con base trigonométricas obtenidas previamente y
considerando que b2  c 2  a 2  2ac cos 
de donde:
 c2  a 2  b2 

cos   
2
ac


c2  a 2  b2
cos  
2ac
2
2
 c2  a 2  b2 

sen  1  
2
ac


2
 c2  a 2  b2 
2

1  sen   
2ac


2
Así:
 a  c  b 4 a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2
I a ,b , c 
,

2
2(a  b  c)

a
a (c 2  b 2  a 2 )

C a ,b , c ,
 2 2 4 a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2









 3a 2  c 2  b 2 4a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2
G a ,b , c 
,

6a
6a





 a 2  c 2  b 2 (a 2  b 2  c 2 )(a 2  c 2  b 2 ) 

Oa ,b,c 
,

2a
2a 4a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2 

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS NOTABLES CON BASE TRIGONOMÉTRICA
Para determinar la distancia entre puntos notables, se parte de considerar las
coordenadas de dichos puntos y aplicar la fórmula de la distancia, en un sistema
coordenado,
d (C , O ) 
1
(a 2  c 2 )  10ac cos   8(a 2  c 2 ) cos 2   8ac cos 3 
2sen
d (G , O ) 
1
(a 2  c 2 )  10ac cos   8(a 2  c 2 ) cos 2   8ac cos 3 
3sen
Se puede entonces determinar que
d (G , O ) 
2
d (C , O )
3
Al determinar la distancia entre el circuncentro
 a c  a cos  
C  ,
 y cada uno de los
2
2
sen



vértices del triángulo A(c cos  , csen ) , B(0,0) y C (a,0) , es decir, el radio de la
circunferencia circunscrita al triángulo, se tiene que:
a 
c  a cos  

d (C , A)   c cos      csen 

2 
2sen 

2
Lo cual lleva a
d (C , A) 
2
b
2sen
Como la coordenada del incentro corresponde a la distancia desde este hasta lado
a , se tiene que ésta distancia corresponde al radio de la circunferencia inscrita,
esto es:
acsen
ri 
a  c  a 2  c 2  2ac cos 
Haciendo los correspondientes reemplazos en las fórmulas obtenidas para los
puntos notables, con base trigonométrica, se tiene que:
La distancia entre el gravicentro y el circuncentro
El radio de la circunferencia circunscrita
rc 
abc
4a 2 c 2  (c 2  a 2  b 2 ) 2
El radio de la circunferencia inscrita
EJEMPLIFICACIÓN CON EL PROGRAMA DINÁMICO DESCARTES.
EJEMPLIFICACIÓN CON EL PROGRAMA DINÁMICO GEOGEBRA.
BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA:
ORTIZ ALZATE, HERNÁN DARIO (2010): “Determinación de los puntos notables de un
triángulo en términos de sus lados” en CEID ADIDA. LECCIONES DE MATEMÁTICAS
NÚMERO CUATRO. PP. 17 – 26.
http://herdaror.blogspot.com/
http://es.scribd.com/doc/39824995/Determinacion-de-los-Puntos-Notables-de-unTriangulo-en-Terminos-de-sus-Lados
http://elimeceid.ning.com/profiles/blog/list