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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA
DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
DIVISIÓN CIENCIAS BÁSICAS
CALCULO II
“EL PENDULO”
ALUMNO:
PǼZ ŖΘM£RΘ ΘRLΛNDΘ*
PROF: M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN
EL PENDULO
INTRODUCCIÓN
En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo,
estos son llamados movimientos periódicos. En Física se ha idealizado un tipo de
movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe la acción de
las fuerzas de rozamiento o se ´puede considerar despreciable, es decir, no existe
discipación de energía y el movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de
comunicarle energía exterior a este. Este movimiento se llama MOVIMIENTO
ARMONICO SIMPLE (MAS)
Oscilaciones
En física, química e ingeniería, se conoce como oscilación al movimiento repetido de un
lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio.
Prácticamente todos los sistemas físicos tienen capacidad de oscilar alrededor de un
punto de equilibrio. De hecho muchos sistemas pueden vibrar de distintas maneras.
Las oscilaciones se expresan como funciones del tiempo y una de sus características
fundamentales es su periodicidad, es decir, si φ es la magnitud que oscila, entonces,
Dicho de otra manera, pasado cierto tiempo el patrón de oscilación se repite. A este
intervalo de tiempo T tras el cual se repite el proceso oscilatorio se denomina período de
la oscilación.
Cualquier magnitud puede estar sujeta a oscilaciones. En la vida diaria las oscilaciones
más obvias son aquellas que conciernen a coordenadas espaciales, por ejemplo, Algunos
ejemplos de fenómenos en los que se presenta este tipo de movimiento son: el latido del
corazón; la periodicidad de las estaciones; el péndulo de un reloj; las vibraciones de los
átomos, las olas en el agua, vibraciones de una cuerda, y péndulos, todo esto son
oscilaciones de una o más magnitudes que tienen que ver con la "posición" (coordenada
espacial) de algo - agua, un trozo de cuerda, el final de un péndulo, etc; y, según ciertas
teorías cosmológicas, también nuestro universo sigue un movimiento oscilatorio.
Sin embargo, cualquier magnitud puede oscilar : la presión de un líquido o un gas, su
temperatura, el campo magnético del Sol o el número de animales de una especie
determinada en un ecosistema.
El péndulo es uno de los sistemas oscilantes más sencillos.
El Péndulo, dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila
de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los péndulos se emplean en varios
mecanismos, como por ejemplo algunos relojes.
En el péndulo más sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que toda la
masa del dispositivo está concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto
sólo se mueve en un plano. El movimiento del péndulo de un reloj se aproxima bastante
al de un péndulo simple. El péndulo esférico, en cambio, no está limitado a oscilar en un
único plano, por lo que su movimiento es mucho más complejo.
El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien
estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede
considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se
aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy
grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles
aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin
embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con
la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la
latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una
montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la
aceleración local de la gravedad.
Consiste en una masa m sujeta a una varilla que se entiende como indeformable y carente
de masa y sujeta en la cima a un punto de apoyo. Es uno de los ejemplos clásicos de
oscilador armónico simple.
Las propiedades fundamentales de las oscilaciones del péndulo ya fueron descubiertas
empíricamente por Galileo Galilei. En 1581, mientras estudiaba medicina en la Universidad
de Pisa, Galileo con frecuencia atendía las liturgias en la Catedral de Pisa. En cierta
ocasión observó cómo las corrientes de aire de la catedral hacían oscilar los enormes
candelabros colgados que había en la catedral. La amplitud de las oscilaciones era distinta
y sin embargo a Galileo le pareció que el período era el mismo. Inmediatamente se puso a
medirlo utilizando su ritmo cardíaco como reloj y al ver que estaba en lo cierto, decidió
realizar un experimento riguroso al volver a su casa, llegando a las siguientes
conclusiones:
 Los péndulos casi alcanzan la altura inicial desde la que fueron dejados caer
 Todos los péndulos eventualmente se detienen
 El período del péndulo es independiente de la masa que oscila
 El período del péndulo es independiente de la amplitud
 El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo.
Supongamos que en un momento determinado el péndulo está desviado respecto al eje de
reposo (el eje vertical) un ángulo α. Veamos el razonamiento que se aplica para
determinar las fuerzas que actúan en el sistema.
En primer lugar está claro que sobre la masa actúa la fuerza de la gravedad, dirigida
hacia abajo:
La fuerza de la gravedad, además, es igual según la segunda ley de Newton a
G = mg
Donde m es la masa y g es la aceleración de la gravedad terrestre (9.78 m/s2) (para el
caso de CU)
Sin embargo, obviamente la pelota en el siguiente instante no se va a desplazar hacia
abajo, sino lateralmente, en particular porque está unida a la varilla. Esto significa por
tanto que entre la varilla y la pelota hay una interacción que hay que describir. Podemos
analizar esto si descomponemos la fuerza de la gravedad como suma de los siguientes dos
vectores:
Utilizando esta descomposición, tenemos una fuerza
que es perpendicular a la varilla
y una fuerza
que es paralela a la varilla e intenta alejar a la bola justo en dirección
opuesta a la varilla. Puesto que la masa está unida a la varilla, esta fuerza se transmite
íntegramente sobre la varilla, es decir, que la masa por acción de la gravedad "tira" del
extremo de la varilla intentando escaparse. Sin embargo la varilla es indeformable, es
decir, no se puede estirar ni acortar, por lo que ejerce una fuerza en sentido contrario a
la masa que equilibra esta parte de la fuerza de la gravedad. A esta fuerza
habitualmente se la denota con T y se la denomina "tensión" (no la tensión de la
electricidad, sino la del verbo tensar). Con esta fuerza, nuestro sistema queda como
sigue:
Como única fuerza descompensada queda por lo tanto
, que es la que hace que el
péndulo intente volver hacia el eje vertical. Puesto que la varilla fuerza a la masa a
moverse a lo largo de una circunferencia con un radio igual a la longitud de la varilla,
es realmente una fuerza que actúa tangencialmente:
A partir de este punto es necesario recurrir al cálculo por medio de derivadas para
deducir las ecuaciones del movimiento.
Si calculamos la magnitud de esta aceleración podremos ver que se cumple:
Donde
es la segunda derivada del ángulo respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, la
aceleración angular.
Esto es una Ecuación Diferencial cuya solución analítica se puede obtener por medio de
un artificio matemático que se conoce como aproximación de pequeños ángulos. Bajo esta
aproximación, podemos decir que:
con lo cual nuestra ecuación se queda en
Básicamente buscamos una función α(t) que cumpla esa relación. Una función de este tipo
es la siguiente:
Se puede comprobar que efectivamente:
que es precisamente la ecuación que teníamos.
Para ver lo que significa la magnitud, recordemos que el período de la función seno es 2π.
Entonces si llamamos a T al instante en que se cumple ese período tenemos:
o lo que es lo mismo,
Se puede así llegar a las mismas conclusiones que Galileo, concretamente
 El período del péndulo es independiente de la masa que oscila (ya que sólo
depende de g y de r)
 El período del péndulo es independiente de la amplitud (id.)
 El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo. En efecto,
El término de la derecha es precisamente la definición de frecuencia angular ω, con lo
que
Aplicaciones
Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la
medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad,
su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos
intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será
mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con
precisión la aceleración local de la gravedad.
PÉNDULO COMPENSADO
El péndulo simple resulta adecuado como regulador para medir el tiempo si se mantiene
constante la longitud de la varilla. Sin embargo, se comprobó que en invierno los relojes
se adelantaban, y en verano se atrasaban, debido a la contracción o dilatación de la varilla
metálica a causa del frío y el calor. Esto llevó a introducir un perfeccionamiento para
mantener una longitud uniforme (y, por consiguiente, un periodo uniforme) mediante el
uso de péndulos compensados. Los principales tipos son el péndulo de mercurio y el
péndulo de parrilla. El péndulo de mercurio contiene un cilindro de vidrio casi lleno de
mercurio. Cuando el péndulo se dilata hacia abajo por el calor, este cambio se ve
compensado por la dilatación hacia arriba del mercurio en el cilindro. El péndulo de
parrilla está compuesto por una serie de barras metálicas verticales, por lo general de
acero y cobre, con distintas composiciones y, por ende, distintos coeficientes de
dilatación térmica. Si se ajustan las longitudes relativas de estas barras, los cambios de
temperatura no afectan al periodo del péndulo.
OTROS PÉNDULOS
Diferentes tipos de instrumentos científicos emplean el péndulo bifilar, el péndulo de
Foucault o el péndulo de torsión. Los péndulos bifilares, que emplean dos cuerdas o
cables, se han usado para registrar irregularidades en la rotación de la Tierra o detectar
terremotos. El péndulo de Foucault se emplea para poner de manifiesto la rotación de la
Tierra. Se llama así en honor del físico francés Léon Foucault, y está formado por una
gran masa suspendida de un cable muy largo; Foucault empleó una masa de 28 kg atada a
un cable de 67 m. Una vez impulsado el péndulo de forma que oscile en un único plano, la
rotación de la Tierra hace que el plano de oscilación gire lentamente con respecto al
suelo. El efecto es muy pronunciado en los polos, donde el péndulo gira una vez cada 24
horas. La velocidad de rotación con respecto al suelo del plano de oscilación del péndulo
disminuye a medida que baja la latitud; en el ecuador, el plano de oscilación no gira en
absoluto.
Un péndulo de torsión está formado por una masa colgada de un cable o una fibra similar,
pero a diferencia de un péndulo normal su oscilación consiste en que el peso gire
alternativamente en un sentido y en otro alrededor del eje que pasa por el centro del
cable, torciendo y destorciendo éste. Aunque no es un péndulo en sentido estricto,
puesto que las oscilaciones no se deben a la fuerza de la gravedad, las fórmulas
matemáticas que describen su movimiento son similares a las de un péndulo simple