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C APÍTULO
10
Probabilidad
Resumen del contenido
El Capítulo 10 presenta unos conceptos básicos de probabilidad, incluyendo clases
especiales de eventos, valores esperados y permutaciones y combinaciones de conteo.
Gráficas de frecuencia relativa y probabilidad
El Capítulo 10 presenta las gráficas de frecuencia relativa, las cuales muestran datos
categóricos. Los diagramas de barras y de círculos de frecuencia relativa muestran el
por ciento o la fracción de cada categoría relativa al total para todas las categorías.
Colección de la biblioteca
Medios de
comunicación
Otras
6% 3%
18%
Literature de no
ficción para adultos
35%
Literature de ficción
para níños
14%
Literature de no ficción
para níños
Air emissions (69%)
24%
Literature de ficción
para adultos
Colección de la biblioteca
Por ciento
30
20
10
s
tra
O
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ció er
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L
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n
0
Categoría
La posibilidad de que algo ocurra, o la probabilidad de un resultado, puede
determinarse de una gráfica de probabilidad relativa. Por ejemplo, para un artículo
escogido al azar de la colección de la biblioteca, la probabilidad que ese artículo sea
de literatura de ficción para adultos es 24% ó 0.24. Una probabilidad experimental o
probabilidad observada está basada en datos o experimentos y se define como
número de ocurrencias del evento
. Una probabilidad teórica, definida como
número total de intentos
número de diferentes maneras que un evento puede ocurrir
, usa
número total de resultados posibles igualmente probables
cantidades conocidas. Para una
moneda imparcial, la probabilidad teórica de obtener cara es 50%, porque las caras
son igualmente probables que las cruces. Sin embargo, al lanzar una moneda, una
persona puede obtener una corrida de caras o cruces que los puede llevar a una
probabilidad experimental diferente para caras. Luego de muchos lanzamientos de la
moneda, la probabilidad experimental para las caras se acercaría al 50%.
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Capítulo 10 • Probabilidad (continuado)
Eventos independientes
Si usted lanza una moneda repetidamente y obtiene caras 5 veces corridas, podría decir
que la posibilidad, o probabilidad, de obtener cara en el próximo lanzamiento es muy
pequeña. Después de todo, la posibilidad de obtener 6 caras corridas es muy pequeña.
O, usted puede pensar que la posibilidad de obtener cara en el próximo lanzamiento es
grande; hay una “corrida” de caras. De hecho, sin embargo, la moneda no tiene
memoria; la posibilidad de obtener cara en el próximo lanzamiento es 0.5, al igual que
lo ha sido todo el tiempo. Se podría decir que los eventos son independientes; el
resultado del sexto lanzamiento no depende del resultado del quinto lanzamiento.
En el caso de eventos independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es el
producto de las probabilidades de los eventos individuales. La probabilidad de
obtener caras cinco veces corridas es 12 ⭈ 12 ⭈ 12 ⭈ 12 ⭈ 12 312 . Esto también es la
probabilidad de obtener cualquier serie de caras o cruces. En otras palabras, la
probabilidad de obtener Cr Cr Ca Cr Cr también es 312 .
No todos los eventos son independientes de los eventos anteriores. Suponga que
usted tiene una bolsa con seis billetes, cinco billetes de 1 dólar y un billete de 100
dólares. La probabilidad de seleccionar el billete de 100 dólares es 1 en 6, o alrededor
de 0.17. Sin embargo, si alguien selecciona un billete de 1 dólar y lo remueve la bolsa,
la próxima persona tiene una probabilidad de 1 en 5, ó 0.2, de escoger el billete de
100 dólares. Por supuesto, si la primera persona selecciona el billete de 100 dólares,
entonces la próxima persona no tiene ninguna posibilidad, o una probabilidad de 0,
de escoger el billete de 100 dólares.
Permutaciones y combinaciones
El determinar números para calcular probabilidades teóricas puede ser desafiante.
A veces, los resultados a contarse son arreglos de cosas o de personas. Por ejemplo,
suponga que diez personas asisten a una reunión, y usted escoge al azar tres de ellas
para ganarse diferentes premios de entrada. Cualquiera de los diez podría recibir el
premio de entrada A, el más valioso. Cualquiera de los que quedan podría ganarse el
premio de entrada B, el próximo más valioso. Y cualquiera de los ocho restantes
podría ganarse el tercer premio de entrada, C. Hay 10 ⭈ 9 ⭈ 8 720 maneras que tres
de las diez personas podrían arreglarse para obtener estos premios de entrada. Los
arreglos se llaman permutaciones; el número de permutaciones de diez personas, tres
a la vez, se abrevia 10P3.
Si los premios de entrada fueran todos iguales, no importaría quién se llevara cuál
premio. Todo lo que importa es el número de tríos de personas que ganan. Estas
colecciones se llaman combinaciones. Las seis permutaciones ABC, ACB, BAC, BCA,
CAB y CBA contarían como una combinación, porque A, B y C son
1er Lanzamiento
2do Lanzamiento
el mismo premio. El número de combinaciones de tres personas de
1
1
P(H) = _2
diez, escrito 10C3, es sólo 16 de 10P3, ó 120.
P(H y H) = _4
Experimentos de múltiples etapas
Los diagramas de árbol pueden ser útiles para determinar
probabilidades de experimentos más complicados. Para dos
lanzamientos de una moneda, los resultados posibles y sus
probabilidades pueden mostrarse en un diagrama de árbol.
1
P(H) = _2
1
P(T) = _2
1
P(H y T) = _4
1
P(H) = _2
1
P(T y H) = _4
1
P(T) = _2
1
P(T y T) = _4
1
P(T) = _2
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Capítulo 10 • Probabilidad (continuado)
El valor esperado de un evento es el valor promedio hallado al multiplicar el
valor de cada evento posible por su probabilidad y sumar los productos. Por ejemplo,
el valor esperado en la aguja giratoria mostrada se hallaría como se muestra a
continuación:
$2
$5
1
1
4(2) 4(6) 2.5 0.5 1.5 0.5
El valor esperado de la aguja giratoria es $0.50.
1
(5)
2
$6
Problema de resumen
Imagínate que tienes una bolsa con bloques de colores, tres azules y cuatro rojos.
¿Qué clases de preguntas pueden hacerse y responderse acerca del escoger bloques de
la bolsa?
Preguntas que podría hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen:
●
●
●
●
¿Cuál es la probabilidad de sacar un bloque rojo? ¿Un bloque azul?
¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bloques rojos corridos? ¿Necesitas más
información?
Si los bloques rojos valen $2 y los bloques azules valen $5, ¿cuál es el valor
esperado de un sorteo?
¿Qué valores para cada bloque de color darían un valor esperado de $2 para un
sorteo? Trata de hallar varias posibilidades.
Respuestas ejemplares
La probabilidad de sacar un bloque rojo es 47; la probabilidad de sacar un bloque azul
es 37. Para hallar la probabilidad de sacar dos bloques rojos corridos, necesitas saber si
el bloque se repondrá después de sacarlo. La probabilidad de sacar dos bloques rojos
reemplazándolos es 74 ⭈ 74 4196, mientras que la probabilidad de sacar dos bloques rojos
sin reemplazarlos es 47 ⭈ 36 1422 , ó 27. Si los bloques rojos valen $2 y los bloques azules
valen $5, el valor esperado de un sorteo es 74(2) 73(5) 78 175 272 ⬇ 3.14, ó $3.14.
Para tener un valor esperado de $2 por sorteo, hay muchas posibles combinaciones.
Algunas son $3.50 por los rojos, $0 por los azules; $2.75 por los rojos, $1.00 por los
azules; $2.50 por los rojos, $8.00 por los azules.
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Capítulo 10 • Ejercicios de repaso
Nombre
Periodo
Fecha
1. (Lecciones 10.1, 10.2) Sharon compró una bolsa de globos de colores para
una fiesta. La bolsa tenía 9 globos blancos, 39 azules, 24 rosados, 21
verdes y 57 amarillos.
a. Determina el porcentaje de cada color de globo y usa esa información
para hacer un diagrama de círculo y un diagrama de barras de frecuencia
relativa.
b. ¿Qué porcentaje de globos no son rosados ni blancos?
c. Si Sharon busca dentro de la bolsa y saca un globo al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que será verde?
2. (Lección 10.3) Considera la figura a la derecha.
a. Si se coloca un punto al azar en el rectángulo grande, ¿cuál es la
probabilidad teórica de que éste caiga dentro de la región sombreada?
b. Supón que colocas muchos puntos al azar, y 40 de ellos caen en la
región sombreada. Estima el total de puntos colocados.
3. (Lección 10.4) Una escuela superior llevará a cabo una lotería en la cual
se escogen tres dígitos diferentes entre los dígitos 09 para crear el
número ganador. Para ganar, debes adivinar correctamente el número
ganador.
a. Supón que el número ganador adivinado debe tener los mismos tres
dígitos, en el mismo orden, que el número ganador. ¿Cuántos números
de tres dígitos pueden hacerse de los dígitos 0 al 9, donde ningún
dígito se usa dos veces? ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este caso?
b. Ahora supón que el número ganador adivinado debe tener los mismos
tres dígitos que el número ganador, pero los dígitos pueden estar en
cualquier orden. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este caso?
4. (Lecciones 10.5, 10.6) Brigham tiene una bolsa que contiene siete fichas
numeradas. Hay cinco fichas rotuladas con el número 7 y dos fichas con
el número 4. Él busca en la bolsa y saca una ficha, pone la ficha a un lado
y luego saca otra ficha de la bolsa.
a. ¿Qué es P 冢7271冣? ¿Qué es P 冢4241冣?
b. Crea un diagrama de árbol para calcular las probabilidades de los
diferentes resultados de los experimentos de los dos sorteos de Brigham.
c. ¿Qué es P 冢41 y 72冣?
d. Los números que Brigham saca pueden sumar 8, 11 ó 14. ¿Cuál es la
probabilidad que la suma sea un número par?
e. Halla el valor esperado de la suma.
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S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 1 0
1. a. Hay 150 globos en total. Halla el porcentaje de cada
color dividiendo el número de ese color por
21
número de verdes
150. Por ejemplo, 0.14, así
150
número total
que 14% de los globos son verdes. Multiplica el
porcentaje por 360 para hallar la medida del ángulo de cada sector. Por ejemplo, 0.14 ⭈ 360 50.4, así que el ángulo del sector que representa el
número relativo de globos verdes es 50.4°. Gráficas
ejemplares se muestran abajo.
Rosado
16% Verde
14%
Azul
26%
Amarillo
38%
6%
Blanco
40
35
Porcentaje
30
25
20
15
10
3. a. Hay 10 opciones para el primer dígito, 9 opciones
para el segundo y 8 opciones para el tercero así que
el número total de números de tres dígitos formados del 0 al 9 sin repetición es 10 ⭈ 9 ⭈ 8 720.
También puedes calcular 10P3. La probabilidad de
1
adivinar el número ganador es 720 ⬇ 0.001.
b. Para cada número de tres dígitos hay 3 ⭈ 2 ⭈ 1 6
maneras de arreglar los dígitos. Debido a que el
orden de los dígitos no importa, divide el número de
permutaciones que hallaste en 3a por 6, para obtener
720
120. También puedes calcular 10C3. La probabil6
1
idad de adivinar el número ganador es 120 ⬇ 0.008.
4. a. P 冢7271冣 significa “la probabilidad que Brigham
saque un 7 en su segundo sorteo, dado que sacó un 7
en su primer sorteo”. Si Brigham sacó un 7 en el
primer sorteo, entonces quedarían cuatro 7 y dos 4
en la bolsa, para un total de 6 fichas. Por lo tanto,
P 冢7271冣 64, ó 32. Si Brigham sacó un 4 en el primer
sorteo, entonces quedarían cinco 7 y un 4 en la bolsa
para su segundo sorteo, así que P 冢4241冣 61.
b. La primera rama de este diagrama de árbol indica
las probabilidades de los resultados posibles del
primer sorteo de Brigham, y la segunda rama
muestra las probabilidades de su segundo sorteo.
1er Sorteo
5
0
Blanco
Azul Rosado Verde Amarillo
Color
b. Los globos rosados y blancos juntos forman
6% 16% 22% del total, así que el porcentaje
de globos que no son rosados ni blancos es
100% 22% 78%.
c. 14% de los globos son verdes, así que la probabilidad de que ella saque uno verde es 14%, ó 0.14.
2. a. El área sombreada es 21 cuadrados, y el área del
rectángulo completo es 8 ⭈ 14 112 cuadrados.
Por lo tanto, la probabilidad de que un punto
trazado al azar caiga en la región sombreada es
21
, ó 0.1875.
112
b. Resuelve la proporción
40 puntos en el área sombreada
21 cuadrados sombreados
.
112 cuadrados totales
x puntos totales
112
x
21
40
112
x
⭈ 40 ⭈ 40
21
40
x 213.3៮
Invierte la proporción.
Multiplica ambos lados por 40.
Multiplica.
Aproximadamente 213 puntos fueron trazados.
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2do Sorteo
2
P (72 | 71) = _3
10
P(71 y 72) = __
21
1
P (42 | 71) = _3
5
P(71 y 42) = __
21
5
P (72 | 41) = _6
5
P(41 y 72) = __
21
1
P (42 | 41) = _6
1
P(41 y 42) = __
21
5
P(71) = _7
2
P(41) = _7
c. Multiplica las probabilidades a lo largo de los ramales que llevan al resultado 41 y 72. P 冢41 y 72冣 2 5
10
5
⭈ , ó .
7 6
42
21
d. Suma las probabilidades de los resultados que dan
sumas pares. P(suma es par) P 冢71 y 72冣 P 冢41 y 42冣 1201 211 1211 .
e. Para cada resultado, multiplica la suma de los
números por la probabilidad del resultado, y luego
halla la suma de los resultados. Valor esperado P 冢71 y 72冣 ⭈ 14 P 冢71 y 42冣 ⭈ 11 P 冢71 y 42冣 ⭈ 11 P 冢41 y 42冣 ⭈ 8 0
5
5
1
86
21 ⭈ 14 21 ⭈ 11 21 ⭈ 11 21 ⭈ 8 7
El valor esperado de la suma de los dos sorteos de
Brigham es de 876 , o aproximadamente 12.3.
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