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ÁLGEBRA CON BRAHMAGUPTA
Grado en Ingienería de Edificación
Álgebra con Brahmagupta
RESUMEN
Brahmagupta (598-670) fue un matemático y astrónomo indio más importante del siglo VII. Su
obra más importante para nosotros es Brama Sputa Siddhanta (El sistema revisado de Brama) que
contiene una regla satisfactoria para resolver ecuaciones cuadráticas y problemas que incluyen temas
tratados por Arybhata. Su gran logro fue aplicar métodos algebráicos para los problemas
astronómicos, como las ecuaciones de segundo grado, la solución de la ecuación lineal general y dos
soluciones para la ecuación lineal de segundo grado.
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Álgebra con Brahmagupta
Índice:
1. Introducción……….…………………………………………………………………………… 3
1.2. Los números negativos……….……………………………………………………………… 3
1.3. Las ecuaciones de Segundo grado…………………………………………………………. 4
1.4. El teorema chino de los restos……..…………………………………………………….. 4, 5
1.5. Triángulos racionales…..…………………………………………………………….…… 5,6
1.6. El cuadrilátero cíclico….………………………………………….…………………………. 6
1.7. La ecuación de Pell………………………………………………………………………… 7
2. Astronomía…………………………………………………………………………………. 7 ,8
3. Álgebra….…………………………………………………………………………………. 8, 9
Bibliografía…………………………………………………………………………………… 10
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Álgebra con Brahmagupta
INTRODUCCIÓN
Brahmagupta fue un matemático y astrónomo indio. Nació en el año 598, posiblemente en Ujjain,
en esta ciudad se encontraba el más famoso y antiguo observatorio de astronomía del cual era director.
Está considerado como el más grande de los matemáticos de esta época. Murió en el 670.
Posiblemente fue el idealizador del ''cero''. Realizó grandes obras, ''La apertura del universo'' como
obra principal.
Y sobre todo grandes descubrimientos algebráicos que estudiaremos a continuación.
Brahmagupta vivió durante el siglo VI de nuestra era. Su obra más importante es Brama Sputa
Siddhanta (El sistema revisado de Brama), un texto de astronomía que contiene varios capítulos sobre
matemáticas. En otro trabajo astronómico, titulado Khanda Khadyaka, se encuentran dispersos
algunos desarrollos trigonométricos de interés.
Vamos a estudiar por separado cada uno de sus descubrimientos:
1.2. Los números negativos
En la obra de Brahmagupta aparece sistematizado, por primera vez el cálculo con números
negativos y el cero. Los griegos tuvieron una idea del vacío, pero no lo llegaron a tratar como un
número. Y la regla de los signos, aunque subyacente en algunas fórmulas sobre productos de restas,
nunca había sido enunciada explícitamente:
Positivo dividido por positivo, o negativo por negativo es positivo. Cero dividido por cero es nada.
Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por positivo es negativo. Positivo o
negativo dividido por cero es una fracción que tiene al cero por denominador
A la luz de este texto se puede ver que para Brahmagupta 0/0 = 0. Sobre el significado de a/0 (para
un número a distinto de 0) no se atreve a pronunciarse.
En su obra aparece sistematizado, por primera vez el cálculo con números negativos y el cero. Los
griegos tuvieron una idea del vacío, pero no lo llegaron a tratar como un número. Y la regla de los
signos, aunque subyacente en algunas fórmulas sobre productos de restas, nunca había sido enunciada
explícitamente:
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Álgebra con Brahmagupta
1.3. Las ecuaciones de segundo grado
Las aportaciones más importantes de Brahmagupta están en el campo del álgebra. Para las
ecuaciones cuadráticas da soluciones generales, proporcionando las dos raíces, sin desechar las
negativas:
1.4. El teorema chino de los restos
Dos números enteros a y b son congruentes respecto de otro entero m si su diferencia es múltiplo
de m (o si dan idéntico resto al ser divididos entre m). Esto se escribe así: a = b (mod m). El menor
número congruente con a respecto de m se llama el resto de a en relación a m, y es justamente el resto
de dividir a por m. Las congruencias mantienen las operaciones aritméticas, de modo que si a = b
(mod m) y c = d (mod m), entonces a + c = b + d (mod m) y ac = bd (mod m). La idea de número
congruente no fue claramente definida hasta el siglo XVIII, pero fue utilizado desde mucho antes.
Supongamos ahora que tenemos dos series de números enteros a1, a2,..., an y m1, m2,..., mn, y que
queremos encontrar un número x para el cual se cumpla lo siguiente:
x = a1 (mod m1)
x = a2 (mod m2)
...................
x = an (mod mn)
El llamado teorema chino de los restos, afirma que la condición necesaria y suficiente para que el
número buscado exista consiste en que ai = aj (mod mij), siempre que i distinto de j, y siendo mij el
máximo común divisor de mi y mj.
En el Brama Sputa Siddhanta se encuentra el siguiente problema que es un caso particular del
teorema chino:
Tenemos una cesta de huevos. Si los cogemos de dos en dos, sobra uno, si de tres en tres, sobran
dos, si de cuatro en cuatro, sobran tres, si de cinco en cinco, sobran cuatro, si de seis en seis, sobran
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cinco, y si los cogemos de siete en siete, no sobra ninguno. ¿Cuál es el mínimo número de huevos
que puede haber en la cesta?
Si x es el número de huevos, tenemos la siguiente colección de ecuaciones:
x = 2y + 1
x = 5v + 4
x = 3z + 2
x = 6w + 5
x = 4u + 3
x = 7y
El problema se resuelve aplicando sucesivamente el método de Aryabhata, y se llega de este modo
a la solución más pequeña posible, que es 119. En el lenguaje de los números congruentes, el problema
puede ahora ser formulado de esta manera:
x = 1 (mod 2) x = 4 (mod 5)
x = 2 (mod 3) x = 5 (mod 6)
x = 3 (mod 4) x = 0 (mod 7)
Es fácil comprobar que cumple las hipótesis del teorema chino. Así que, antes de resolverlo, ya se
sabe que tiene solución.
1.5. Triángulos racionales
Un triángulos cuyos lados y cuya superficie son números racionales (y en consecuencia también
sus alturas) se llama triángulo racional. Brahmagupta tiene la siguiente aportación sobre triángulos
racionales. Si los lados de un triángulo son:
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entonces es racional, resultado de yuxtaponer dos triángulos rectángulos con un cateto común de
longitud p (ver la figura que aparece a continuación): AP = p, AC = b, AB = c, PB = c - r y PC = b –
q.
1.6. El cuadrilátero cíclico
Por tres puntos no alineados siempre pasa una circunferencia. Por cuatro puntos no siempre sucede
así. Por esta razón no todo cuadrilátero tiene una circunferencia circunscrita. Los que sí la tienen se
llaman cíclicos. Sobre ellos descubrió Brahmagupta un hermoso teorema que pasamos a describir.
Llamamos fórmula de Herón a la expresión del área de un triángulo en función de sus lados. Si
éstos son a, b y c, y p = (a+b+c)/2 es el semiperímetro, la superficie es:
Esta fórmula ha sido muy utilizada por agrimensores y topógrafos, porque no necesita buscar la
altura del triángulo, cosa que en terreno abierto no siempre es fácil. Brahmagupta encontró una
fórmula que amplía la de Herón a cuadriláteros cíclicos. Si a, b, c y d son los lados del cuadrilátero y
p es el semiperímetro, la superficie es:
Si d = 0 sale la fórmula de Herón. Pero ignoramos (los textos sánscritos son muy oscuros) si
Brahmagupta sabía que su teorema no era válido para cualquier cuadrilátero.4
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1.7. La ecuación de Pell
Entre los problemas indeterminados que aparecen en la obra de Brahmagupta ocupa un importante
lugar la ecuación que la posteridad llamaría ecuación de Pell:
x2 - Dy2 = 1
Si D = d2, no hay soluciones (salvo x = 1 e y = 0): si D = d2, resultaría que (x + dy)(x - dy) = 1, y
esto es imposible. Pero si D no es un cuadrado, hay infinitas. Y es fácil encontrar las más sencillas
por tanteo. Brahmagupta dio con un camino para, a partir de dos soluciones, fabricar una tercera. Este
método (que en sánscrito se denomina samasa) es el siguiente: si los pares de números (a,ß) y (?,d)
son soluciones, también lo es el par de números calculados de la siguiente manera:
s = a? + ßdD
? = ad + ß?
Que esto es así es algo de muy simple comprobación. Sea, por ejemplo, la ecuación:
x2 - 8y2 = 1
Fácilmente se llega a la solución (3,1). Compuesta consigo misma, tenemos otra solución (17,6),
y componiendo las dos, una tercera (99,35). Y así sucesivamente.
2. Astronomía
Fue a traves de el Brahmasphutasiddhanta como los árabes aprendieron la astronomía hindú. El
famoso califa abasida Al-Mansur (712–775), fundó Baghdad, situada a orillas del Tigris, e la hizo
centro de aprendizaje. El califa invitó a un estudiante de Ujjain llamado Kankah en 770 a.C. Kankah
usó el Brahmasphutasiddhanta para explicar el sistema hindú de astronomía aritmética. Muhammad
al-Fazari tradujo el trabajo de Brahmugupta al árabe a demanda del califa.
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En el capítulo siete de Brahmasphutasiddhanta, titulado Creciente Lunar, Brahmagupta refuta la
idea de que la Luna se encuentra más alejada que el Sol de la Tierra, idea que se mantuvo en las
escrituras. El hace ésto explicando la iluminación de la Luna por el Sol. También explicó que, como
la Luna está más cerca de la Tierra que el Sol, la cantidad de parte iluminada de la Luna depende de
la posición relativa del Sol y la Luna, y esto puede calcularse a partir del ángulo que forman los dos
cuerpos.
Algunas de las aportaciones de importancia hechas por Brahmagupta a la astronomía son: métodos
para calcular la posición de cuerpos celestes en el tiempo (efemérides), su aparición y su ocultación,
conjunciones, y el cálculo de los eclipses solares y lunares. Brahmagupta criticó el punto de vista
puránico de que la Tierra era plana o hueca. Por el contrario, observó que la Tierra y el cielo eran
esféricos y que la Tierra se mueve. En el año 1030, el astrónomo musulmán, Abu al-Rayhan al-Biruni,
en su Ta'rikh al-Hind, posteriormente traducido al latín como Indica, comentó el trabajo de
Brahmaguptas y escribió que los críticos argumentaron:
"Si eso es así, las piedras y los árboles se caerían de la Tierra."
De acuerdo con al-Biruni, Brahmagupta respondió a estas críticas con el siguiente argumento sobre
gravitación: Todas las cosas pesadas son atraidas hacia el centro de la Tierra. La Tierra es igual por
todos lados; todo el mundo sobre la Tierra permanece derecho, y todas las cosas pesadas caen a al
Tierra por una ley de la naturaleza, porque está en la naturaleza de la Tierra atraer y mantener las
cosas, como está en la naturaleza del agua fluir, en la del fuego quemar, y en la del viento mantenerse
en movimientootion..."
3. Algebra
Brahmagupta da la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de
Brahmasphutasiddhanta, que aunque expresada en el libro en palabras, viene a ser equivalente a la
siuiente expresión algebraica:
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Además, dio dos soluciones equivalentes para la ecuación general de segundo grado, que vienen
a ser equivalentes, respectivamente, a las siguientes expresiones algebraicas:
y
El contina resolviendo sistemas de ecuaciones indeterminados, enunciando que la variable elegida
debe primero aislarse, y que luego la ecuación debe dividirse por el coeficiente de la variable elegida.
Al igual que el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta es sincopada. La suma la indicaba
colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo, la
división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación, pero sin la barra. La
multiplicación, las raices y las incógnitas las representaba mediante abrebiaturas de términos
apropiados. Fue el primero en dar una solución general a laecuación lineal de Diofanto ax + by = c,
donde a, b, y c son enteros. También es muy posible que diese todas las soluciones de dicha ecuación,
mientras que Diofanto se sintió satisfecho con dar una sola solución de una ecuación indeterminada.
En la medida en que Brahmagupta utilizó algunos ejemplos iguales a los de Diofanto, vemos la
posibilidad de que ambos hubiesen usado las mismas fuentes, posiblemente babilónicas. No se sabe
hasta que punto el uso de la notación sincopada en el álgebra de Brahmagupta es debido a los griegos
o si tanto griegos como hindues derivan su uso de una fuente común usase notación sincopada, no se
conoce y es posible que tanto el griego y el indio síncopa pueden derivarse de una fuente común, las
matemáticas babilónicas.
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BIBLIOGRAFÍA

DICKSON, L. E. (1971), History of de theory of numbers, Chelsea Publishing company,
New York.

GERICKE, H. (1984), Mathematik in Antike Orient, Springer-Verlag, Berlín.

GHEVERGHESE, G. (1996), La cresta del pavo real, Ediciones Pirámide, Madrid.

MORENO, R. (2011), Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara, tres matemáticos de la India,
Editorial Nivola, Madrid.

ORE, O. (1988), Number Theory and its History, Dover Publications, New York.

VAN DER WAERDEN, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilizations,
Springer-Verlag, Berlín.
PÁGINAS WEB

enciclopedia_universal.esacademic.com/42208/Brahmagupta (consultado el día 20 de
Junio de 2014)

www.ecured.cu/index.php/Brahmagupta (consultado el día 20 de Junio de 2014)

es.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta (consultado el día 20 de Junio de 2014)

www.nurelislam.com/civilizacion/astronomia.html (consultado el día 20 de Junio de 2014)

www.slideshare.net/huachuney/aportes-del-algebra-3 (consultado el día 20 de Junio de
2014)

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Brahmagupta

http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=6
&category=37&ordering=11&limitstart=60&limit=10&Itemid=400001
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