Download Análisis univariante de series temporales

Dto de Economía Aplicada Cuantitativa I
Basilio Sanz Carnero
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
• Un proceso estocástico «Z» considera «n» variables aleatorias, Zn, en
momentos de tiempo sucesivos, cada una de esas «n» variables se comparta
como una variable aleatoria usual. Se puede expresar analíticamente como,
• Z = {Zt1, Zt2,…, Ztn}
;
Z = {Z(s, t); s Є S, t Є T}
• Para cada «t», «Zt» presenta una variable aleatoria ordinaria, es en este
contexto en el que cabe la posibilidad de interpretar las series de tiempo
como realizaciones de un proceso estocástico.
• Su función de distribución conjunta es,
F(Z) = F(Zt1, Zt2, …, Ztn) = P(Zt1 ≤ Z1, Zt2 ≤ Z2,…, Ztn ≤ Zn)
• Usualmente en un proceso estocástico sólo conocemos un valor de cada una
de las «n» variables (punto muestra del proceso), y en consecuencia no
conocemos su función de distribución conjunta.
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
• Kolgomorov demuestra que si se cumplen las condiciones de simetría (si la
permutación de subíndices no afecta a la distribución conjunta) y
compatibilidad (si el proceso se puede reducir mediante marginalización al
análisis de un conjunto finito de elementos), entonces no es necesario
conocer la función de distribución conjunta para aplicar la inferencia
estadística.
• En un proceso estocástico, los momentos dependen del tiempo histórico «t»,
• E  Zt   Zt
2
2
• var  Zt    t  E  Zt  Zt 
• Función de Autocovarianza: cov  Zt1 , Zt 2   C  t1 , t2   E  Zt1  Zt  Zt 2  Zt 
• Función de Autocorrelación: R  Zt1 , Zt 2   C  t1 , t2 
 t2

E  Zt1  Zt  Zt 2  Zt 
 t2
PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS
• Para poder aplicar la inferencia estocástica los procesos estocásticos tienen
que ser estacionarios, en el sentido de que las funciones de distribución de
las «n» variables aleatorias de que consta el proceso sean semejantes.
• Un proceso estocástico es estacionario, en sentido estricto, si las funciones
de distribución de las distintas variables aleatorias de que consta el proceso
son iguales,
F(Zt) = F(Zt+u)
y, en consecuencia, se puede considerar de hecho, como si fuera una única
variable aleatoria, con «n» repeticiones.
• Pero el conocimiento de las distintas funciones de distribución del proceso
estocástico es imposible si sólo conocemos una realización, como es habitual
en las variables económicas, de manera que no podemos comprobar el
cumplimiento de la igualdad anterior.
PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS
• Alternativamente, y de forma menos rigurosa, podemos verificar si los
momentos del proceso se mantienen estables en el tiempo. Un proceso
estocástico se define como estacionario en sentido amplio si,
• E  Zt   Z
2
var
Z

E
Z

Z
 t   t  2
•
• Es decir si su media y varianza se mantienen constantes a lo largo del tiempo.
• El problema es que las variables económicas en general no presentan estas
características, es decir no son estacionarias, de manara que para poder
utilizar la inferencia estocástica en este contexto debemos primero
convertirlas en estacionarias.
Las matriculaciones ordinarias de vehículos es un buen indicador
de la coyuntura económica de un país. Al tratarse de bienes de
consumo duraderos sus movimientos son sensibles a las
modificaciones de renta disponible y riqueza.
Se observa un fuerte componente estacional que
dificulta visualizar con claridad el movimiento de la
variable, por ello calculamos su media móvil
centrada de doce meses que elimina el componente
estacional.
Se aprecia no obstante que la serie no es
estacionaria ni en media ni en varianza, de
manera que hay que transformar la serie hasta
que sean aproximadamente constante en
media y en varianza.
v
Crisis 1992-93
Crisis del petróleo
(1977-1985)
Crisis actual
La gráfica de la serie
transformada
(aplicando primeras
diferencias
estacionales de la
serie en logaritmos),
muestra un comportamiento mucho más irregular, si bien
parece que la media va disminuyendo con el tiempo, de
manera que realizaremos además una diferencia regular.
Realizada la transformación en diferencias
regulares y estacionales se observa un
comportamiento muy similar al que tendría una
variable aleatoria. La media y la varianza son
aproximadamente constantes, es decir la serie es
estacionaria y en consecuencia adecuada para
aplicar la inferencia estadística dentro del contexto
de los procesos estocásticos univariantes.
CÁLCULO DE DIFERENCIAS Y LOGARITMOS
• Se transforma la variable en su logaritmo neperiano [Ln(matt)]
• La diferencia de orden doce (o primera diferencia en el orden estacional) de
la serie en logaritmos es: D12[Ln(matt)]=Ln(matt)–Ln(matt-12) es
aproximadamente la tasa de variación anual en tanto por uno, es decir:
D12[Ln(matt)] ≈ (matt – matt-12)/matt-12
• La primera diferencia (o primera diferencia en el orden regular) de la serie en
logaritmos es: D[Ln(matt)]=Ln(matt)–Ln(matt-1), es aproximadamente la tasa
de variación mensual en tanto por uno, es decir:
D[Ln(matt)] ≈ (matt – matt-1)/matt-1
• La primera diferencia regular y estacional de la serie en logaritmos es:
DD12[Ln(matt)]=D[Ln(matt)]–D[Ln(matt-12)]=D12[Ln(matt)]–D12[Ln(matt-1)]
PIB EN TÉRMINOS REALES: DATO TRIMESTRAL
Que presenta una tendencia creciente y por tanto la
serie no se comporta como un proceso estocástico
estacionario.
PIB EN TÉRMINOS REALES: DATO TRIMESTRAL
PIB EN TÉRMINOS REALES: DATO TRIMESTRAL
obs
2007Q1
2007Q2
2007Q3
2007Q4
2008Q1
2008Q2
2008Q3
2008Q4
2009Q1
2009Q2
2009Q3
2009Q4
2010Q1
2010Q2
2010Q3
PIBc
19705,70
19861,70
20020,70
20148,60
20246,80
20238,40
20076,30
19860,80
19544,00
19338,50
19288,80
19257,30
19276,10
19330,00
19333,00
Ln(PIBc)
5,283493
5,291378
5,299352
5,305720
5,310582
5,310167
5,302125
5,291333
5,275253
5,264683
5,262110
5,260475
5,261451
5,264243
5,264399
D4 [Ln(PIBc)] DD4[Ln(PIBc)]
0,027089
0,018789
0,002773
-0,014387
-0,035328
-0,045484
-0,040015
-0,030858
-0,013802
-0,000440
0,002289
-0,008300
-0,016015
-0,017160
-0,020942
-0,010155
0,005468
0,009158
0,017055
0,013363
0,002728
%
0,027459
0,018966
0,002777
-0,014284
-0,034712
-0,044465
-0,039225
-0,030386
-0,013708
-0,000440
0,002291
D4[Ln(PIBc2008Q1)] = Ln(PIBc2008Q1) – Ln(PIBc2007Q1) =
= 5,310582 – 5,283493 = 0,027089
DD4[Ln(PIBc2008Q2)] = D4Ln(PIBc2008Q2) – D4Ln(PIBc2008Q1) =
= 0,018789 – 0,027089 = –0,0083
PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS
•
Las funciones de autocorrelación y autovarianza son
de la siguiente forma,
t u
• F. de Autocovarianza: C  t1 , t2   C  t2 , t1   Cu  Cu 
 (Z
t 1
n
t u
• F. Autocorrelación: R  t1 , t2   R  t2 , t1   Ru  Ru 
 (Z
t 1
 Z )( Zt u  Z )
t
t
 Z )( Z t u  Z ) n
t
 (Z
t 1
t
 Z )2 n
• Que sólo dependen del desfase temporal «u» tal que u =│ t1 – t2│. La función de
autocorrelación de un proceso estocástico estacionario presenta las siguientes
características:
• R0 = 1
• Ru ≤ 1
• Ru = R-u, es una función par del tamaño de desfase temporal.
• Un proceso estocástico tiene una única función de autocorrelación pero no a la inversa, es decir,
es posible encontrar una misma función de autocorrelación para más de un proceso estocástico
(no unicidad).
CALCULAR LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
Zt=DD4[Ln(PIBc)]
obs
Zt
(n=11)
(Zt - med)2 (Zt - med)
Zt+1
(Zt+1 - m)
Zt+2
(Zt+2 - m) (Zt-m)(Zt+1-m) (Zt-m)(Zt+2-m)
2008Q1 -0,004058 0,000002 -0,001435 -0,008300 -0,005677 -0,016015 -0,013392
2008Q2 -0,008300 0,000032 -0,005677 -0,016015 -0,013392 -0,017160 -0,014537
2008Q3 -0,016015 0,000179 -0,013392 -0,017160 -0,014537 -0,020942 -0,018319
0,000008
0,000019
0,000076
0,000083
0,000195
0,000245
2008Q4 -0,017160 0,000211 -0,014537 -0,020942 -0,018319 -0,010155 -0,007532
2009Q1 -0,020942 0,000336 -0,018319 -0,010155 -0,007532 0,005468 0,008091
2009Q2 -0,010155 0,000057 -0,007532 0,005468 0,008091 0,009158 0,011781
0,000266
0,000109
0,000138
-0,000148
-0,000061
-0,000089
2009Q3 0,005468 0,000065 0,008091 0,009158 0,011781 0,017055 0,019678
2009Q4 0,009158 0,000139 0,011781 0,017055 0,019678 0,013363 0,015986
2010Q1 0,017055 0,000387 0,019678 0,013363 0,015986 0,002728 0,005351
0,000095
0,000159
0,000232
0,000188
0,000315
0,000105
2010Q2 0,013363 0,000256 0,015986 0,002728 0,005351
2010Q3 0,002728 0,000029 0,005351
0,000086
Suma
0,001693
11·Cu
0,001349
0,000672
Media -0,002623 0,000154
Ru
0,797105
0,397207
t u
Cu 
 (Z
t 1
t
t u
 (Z
 Z )( Z t u  Z )
n
t 1
Ru 
t
 Z )( Z t u  Z )
n
t
 (Z
t 1
t
 Z )2
n
FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
u
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ru = Función
de Autocorrelación
0.797
0.397
-0.038
-0.383
-0.480
-0.397
-0.248
-0.113
-0.031
-0.005
1
Ru
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
1
2
3
4
5
6
7
t u
 (Z
t 1
Ru 
t
8
9
10
 Z )( Z t u  Z )
n
t
 (Z
t 1
t
 Z )2
n
Dto de Economía Aplicada Cuantitativa I
Basilio Sanz Carnero