Download Ejercicio 1

Estadística
2009
Maestría en Finanzas
Universidad del CEMA
Profesor: Alberto Landro
Asistente: Julián R. Siri
Clase 9
1. Ejercicios de procesos AR
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
•
Dado un proceso AR(1):
Yt  2  0.9Yt 1  et
et
i.i.d .  0;4
Vamos a:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Analizar las condiciones de estacionariedad.
d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones
parciales. Graficarlas.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
a) Expresión del proceso con la notación de operadores
autorregresivos:
Yt  2  0.9Yt 1  et
Yt    1Yt 1  et
Yt  1Yt 1    et
1  1 B  Yt    et
1  B  Yt    et
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,
E Yt   E    1 E Yt 1   E  et 
Ahora bien, dado que
E Yt   E Yt 1   
E  et   0
Entonces
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
E Yt   E    1 E Yt 1   E  et 


0
    1 
1  1    


1  1 
2

 20  Media del proceso
1  0.9 
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, primero
centraremos las variables, y hay que tener en cuenta que:
E  yt  j et   0 j  1, 2,...
E  yt et   
2
e
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Entonces, el cálculo de la varianza es:
 0  Var ( yt )  Var 1 yt 1  et 
  Var  yt 1   Var  et 
2
1
   
1    
2
1
2
1 0
0

2
e
2
e
0 

2
e
1   
2
1

4
1  0.9 
2
 21, 05263
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:
 1  E  yt yt 1   1 E  yt 1 yt 1   E  yt 1et 
 0
0
 1  1 0  0,9   21, 0526   18,9474
 2  E  yt yt  2   1 E  yt 1 yt  2   E  yt  2 et 
 1
0
 2  1 1  1 1 0 
 2  12 0  0,92   21, 0526   17, 0526
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la
autocovarianza de orden k, es:
k  0
k
1
 j  0
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
c) Análisis de las condiciones de estacionariedad.
Dado que la varianza del proceso ha de ser positiva y finita, el
coeficiente 1 , en valor absoluto, tiene que ser menor a la unidad:
 0  Var ( yt ) 

2
e
1   
CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD:
2
1
1  1
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
c) Hallar la función de autocorrelación.
Dada la generalización de las autocovarianzas, podemos encontrar una
expresión general de la función de autocorrelación (FAC):
1k  0
k   k  0 
 1k
0
1
0.9
0.8
0.7
1   0.9   0.9
1
0.6
 2   0.9   0.81
0.5
2
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Observaciones
13
14
15
16
17
18
19
20
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 1)
c) Hallar la función de autocorrelación parcial.
11  1  1  0.9
j 1
 jj Y  
 j Y     j 1,i  j 1 Y 
1    j 1,i i Y 
i 1
 2  1 1  2  
22 

1  1 1
1 
2
1
2
1
22 
0.81   0.9 
1   0.9 
 j  2,3,...
i 1
j 1
2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
2
0
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Observaciones
13
14
15
16
17
18
19
20
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 2)
•
Un ejercicio para ustedes. Otro proceso AR(1):
Yt  2  0.9Yt 1  et et i.i.d.  0;4
Desarrollen:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Analizar las condiciones de estacionariedad.
d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones
parciales.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
•
Dado un proceso AR(2):
Yt  2  0.9Yt 1  0.7Yt 2  et
et ~ i.i.d.  0;4
Tareas:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
a) Expresión del proceso con la notación de operadores
autorregresivos:
Yt  2  0.9Yt 1  0.7Yt  2  et
Yt    1Yt 1  2Yt  2  et
Yt  1Yt 1  2Yt  2    et
1   B   B  Y
2
1
2
t
   et
 2  B  Yt    et
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,
E Yt   E    1 E Yt 1   2 E Yt 2   E  et 
Ahora bien, dado que
E Yt   E Yt 1   E Yt 2   
E  et   0
Entonces
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
    1   2 
1  1  2    

2


 2.5
1  1  2  1  0.9  0.7 
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, una vez
más centramos las variables (Yt   ) y tenemos en cuenta que:
E  yt  j et   0 j  1, 2,...
E  yt et   
2
e
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Entonces, el cálculo de la varianza es:
 0  E ( yt yt )  1 E  yt 1 yt   2 E  yt  2 yt   E  et yt 
 1 1  2 2  Var  et 
 1 1  2 2  
2
e
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:
 1  E  yt yt 1   1 E  yt 1 yt 1   2 E  yt  2 yt 1   E  yt 1et 
 0
 1
0
 1  1 0  2 1   1  1 1  2    0
 2  E  yt yt  2   1 E  yt 1 yt  2   2 E  yt  2 yt  2 
 1
 0
 2  1 1  2 0  1  1 1  2    0   2 0
 2  12 1  2   0  2 0
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la
autocovarianza de orden k (>2), es:
 k  1 k 1  2 k  2
 j  2
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
k   k  0
0
1
1
1   1  2  1  2 1
0
0
0
1  2  1  1
1
1 
 0.5294
1  2 
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
0
1
2
 1 1  2
 1  2
2 
0
0
0
 1 
 2  1 
  2
 1  2  
2 

2
1
1  2 
 2  -0.22353
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
Respecto a la condición de estacionariedad del AR(2), dado que la
varianza del proceso es mayor que cero, deberán ser numerador y
denominador del mismo signo, por lo que se debe cumplir:
2  1
1  2  1
2  1  1
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
   0  1 1  2 2  
2
Y
Si dividimos a todo por
 0 , nos queda:
2
e
0
1
 2  e2
 1  2

0
0
0 0
 e2
 1  1 1  2  2
0
 Y2   e2 1  1 1  2  2   10.89744
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 3)
Entonces:
 1  5.76923
 2  -2.435897
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 4)
•
Considere el siguiente modelo:
Yt  2  0.5Yt 1  0.3Yt 2  et
et ~ i.i.d.  0;4
Tareas:
a) Expresar el proceso con la notación de operadores
autorregresivos.
b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.
c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.
d) Analizar las condiciones de estacionariedad.
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 5)
•
Considerando el modelo:
Yt  5  0.8Yt 1  et
 e2  4
Tareas:
a) Hallar la media del proceso.
b) Expresar el modelo en forma de desvíos.
c) Verificar si se cumple la condición de estacionariedad.
d) Hallar la varianza y covarianza del proceso.
e) Hallar la función de autocorrelación.
f) Si Y80 es igual a 35, ¿qué podemos decir respecto de Y81?
g) ¿Y qué podría decirse en cambio si el valor de 1 fuese –0.8?
h) Si en el proceso anterior Y80  3 , ¿qué puede decir respecto de Y81?
1. Ejercicios de procesos AR
Ejercicio 6)
•
En un modelo AR(2) se obtuvo:
1  0.815
2  0.685
Tareas:
a) Calcular los parámetros 1 y 2 .
b) Analizar las condiciones de estacionariedad.
c) Calcular la función de autocorrelación.