Download Lógica Proposicional

Lógica Proposicional
La lógica se define como la ciencia
del razonamiento, o como el estudio
de los métodos y principios usados
para distinguir el razonamiento
correcto del incorrecto.
La lógica, está inserta en cualquier
Situación de la vida cotidiana, en
cualquier decisión que debemos
tomar, es necesario que apliquemos
lógica.
Es importante que todo ser humano utilice el intelecto que posee para
realizar distintas labores. Sin lógica, nada bueno podría lograrse.
La lógica se ve en cosas tan simples como por ejemplo:
Si voy a cruzar la calle y veo
que hay vehículos pasando,
no puedo cruzar porque me
podrían atropellar. Eso me lo
indica la lógica.
Si tengo frío, me abrigo. Eso
también es gracias a la
lógica.
Por su parte, la lógica simbólica es
el estudio de la lógica mediante la
matemática, es decir, que
incorpora la exactitud y rigor
matemáticos.
Para entrar en este punto de la
lógica simbólica, es necesario
antes tener en claro lo que es el
razonamiento. Así, se puede definir
un razonamiento lógico, aplicable
a cualquier tipo de disciplina,
incluso con la vida cotidiana.
A continuación se define lo que es Razonamiento.
Un razonamiento es cualquier grupo de oraciones declarativas, tal que
una de ellas (conclusión) se afirma que se deriva de otras, llamadas
premisas, las cuales se consideran evidencia de la verdad de la
primera.
Aquí les dejo una frase dicha por
este gran científico llamado Albert
Einstein:
“Hay una fuerza motriz más
poderosa que el vapor, la
electricidad y la energía atómica: la
voluntad”.
Teniendo mas en claro lo que es la lógica y el razonamiento, y la importancia que
tienen para la realización de cosas tan elementales como cruzar la calle o
abrigarme si hace frío y en la toma de decisiones importantes, entraremos en el
terreno de la lógica simbólica, tal cual debe estudiarse como un contenido
matemático……..
Con ustedes…… Lógica Simbólica!!!!!!!!!!!!
Lógica.
Es el estudio basado en las proposiciones.
Para saber que tipo de estudio realiza la lógica, debemos comprender lo que es una
proposición.
Proposición: Es una expresión que tiene sentido en un lenguaje y cuya característica es la
de ser VERDADERA o FALSA, pero no ambas a la vez.
Ejemplo: 1.- 5*(7+3) = 5*7 + 5*3
verdadera.
Expresión en lenguaje matemático. Es
2.- ¡VAYA! No es una proposición.
Observación:
1.- Las proposiciones se simbolizan por letras, tales como: p, q, r, s……
2.- Como las proposiciones se caracterizan por ser verdaderas o falsas,
para simbolizar esta situación, sí p es una proposición verdadera,
anotaremos v(p) = 1 ; q es una proposición falsa, anotaremos v(q) = 0.
Tipos de Proposición.
1.- Simples: Las proposiciones simples, expresan solamente una idea.
2.- Compuestas: Son aquellas que se forman por proposiciones simples más conectivos
lógicos.
Conectivos lógicos.
1.- Conjunción: Si p, q son proposiciones simples, la conjunción de ellas corresponde a
la expresión “p y q”, lo que simbolizaremos por " p ∧ q "
2.- Disyunción: Si p, q son proposiciones simples, la disyunción de ellas corresponde a
la expresión “p o q”, la que simbolizaremos por " p ∨ q "
en el caso de ser una
disyunción incluyente o " p ∨ q " en el caso de ser una disyunción excluyente.
Ejemplo:
a) Genéticamente tengo los ojos cafés o verdes (Disyunción Excluyente).
b) Iré a la Universidad hoy o mañana (Disyunción Incluyente).
3.- Negación: Si p es una proposición simple, la negación de ella corresponde a la
p , p , Np
expresión “no p” y la simbolizaremos por
4.- Implicancia: Si p, q son proposiciones simples, la implicancia de ellas corresponde a la
expresión “si p….. Entonces q”, “p implica q”, “q si p”, “p solo si q”, lo que simbolizaremos
por " p → q "
Observación:
En la implicancia, p recibe el nombre de “Antecedente” y q recibe el nombre de
“Consecuente” .
5.- Equivalencia: Si p, q son proposiciones simples, la equivalencia de ellas corresponde a
la expresión “p si y sólo si q” lo que simbolizaremos por " p ↔ q " .
Observación: Se llama fórmula proposicional (F.P) a aquella expresión que contiene más
de un conectivo.
Valor de Verdad de las proposiciones compuestas.
_
p∧q p∨q p∨q
p
p→q p↔q
p
q
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
Ejemplo: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.
1.-
[
p∧
Si v(p) = 0
q ] → ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r ) 
v(q) = 1
v(r) = 0
Resolución.
[1 ∧ 0] → ( 0 ∨ 0 ) ∧ ( 0 ∨ 0 ) 
0 → [ 0 ∧ 0]
1→ 0
0
Por lo tanto la fórmula proposicional es
falsa.
Tautologías, Contradicciones y Contingencias.
Si se da a las proposiciones simples que figuran en una fórmula proposicional todos los
posibles valores de verdad y la fórmula proposicional toma siempre el “VALOR 1”,
entonces dicha fórmula corresponde a una Tautología. Si la fórmula proposicional toma
siempre el “VALOR 0” entonces se trata de una contradicción. Si en algunas oportunidades
la fórmula proposicional toma “A VECES VALOR 1 O VALOR 0” o al menos “UNO DE ELLOS”,
se trata de una Contingencia.
Métodos de Demostración.
Para demostrar que una fórmula proposicional es una Tautología, Contradicción o
Contingencia, consideraremos 4 tipos de demostraciones:
Tabla de Verdad, Método Indirecto, Método de deducción Natural y Simplificación de
expresiones.
1.- Tabla de Verdad.
La tabla de verdad consiste en dar todos los posibles valores a las proposiciones
simples que intervienen en la Fórmula proposicional y para ellos hay que considerar
que el número de alternativas depende del número de proposiciones simples, si “n” es
el número de proposición simples el número de alternativas que tendrá en la tabla de
verdad será 2 n .
Ejemplo: Determine si la siguiente fórmula proposicional corresponde a una Tautología.
( p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
p∧q
q∧ p
( p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
p
q
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
2.- Método Indirecto.
Consiste en suponer que una Tautología no admite el valor de verdad 0 y si suponemos
que si lo admite, debemos encontrar necesariamente una CONTRADICCIÓN.
Observación: El método indirecto permite demostrar si una fórmula proposicional es
una Tautología, pero no podemos determinar si se trata de una contradicción o una
contingencia.
Ejemplo: Demuestre utilizando Método Indirecto que la siguiente fórmula proposicional
es una Tautología.
 ( ( p ∨ q ) →
v (r ) = 1
0
1
1
1
1
r
0
1
v (q) = 1
v ( p) = 1
r ) ∧ ( p ∧ q )  →
1
1
1
1
0
0
La Fórmula Proposicional es una
Tautología.
Observación: Para trabajar el Método Indirecto es conveniente hacerlo siempre
teniendo la fórmula proposicional como signo FUERTE un SIGNO DE IMPLICACION, si
no lo tiene, trate de simplificar la expresión ó llevarla a una expresión equivalente con
implica.
3.- Método de Deducción Natural.
Este método tiene la característica de ser perfectamente estructurado, sólo debe
conocer las principales tautologías y además tener claro cual es la característica del
valor de verdad de las P.C. Considerando esto último, agregaremos dos reglas que
tienen relación con la CONJUNCIÓN.
a.- Regla de Simplificación: Si
también lo es.
p∧q
es verdadero, entonces p es verdadero y q
b.- Regla de Adjunción: Si p es verdadero y q es verdadero, entonces
verdadero.
p∧q
es
Observación: En método de deducción natural, lo primero que se debe poner es pedir
demostrar la Fórmula proposicional, esto se llama petición. Una vez realizado este paso,
se puede elegir la demostración directa o indirecta, y en seguida debe aplicar las
principales Tautologías para llegar al término de su demostración.
Ej: Demostrar
( ( p ∨ q ) → r ) ∧ ( p ∧ q )  → r
r ) ∧ ( p ∧ q )  →
1.- Dem  ( ( p ∨ q ) →
 ( ( p ∨ q ) → r ) ∧ ( p ∧ q ) 
2.3.Dem
r
4.r
(p ∨ q)→ r
5.p∧q
6. ( p ∨ q ) → r  ∧ r
7.( p ∨ q)
8.p∧ q
9.p
10.11.P
r
(Pet) (3. D.C)
(Sup)
(Pet) (10, 11 D.I)
(3 Sup)
(2 Simp)
(2 Simp)
(4, 5 Adj)
(7 M. Toll)
(8 Morgan’s)
(9 Simp)
(6 Simp)
La Fórmula proposicional anterior es una Tautología.
4.- Simplificación de Expresiones.
En el método de simplificación de expresiones no siempre puedo llegar a determinar
que la Fórmula Proposicional es una Tautología, en muchas oportunidades puedo
simplificar la expresión y para identificar si es Tautología, se debe ocupar cualquiera de
los métodos anteriores. Para simplificar expresiones, se debe conocer las principales
Tautologías.
Principales Tautologías.
1
Ley de Identidad
2
Ley de Idempotencia
3
Ley de Idempotencia
4
Principio de tercer Excluido
p↔q
( p ∧ q) ↔
p
( p ∨ q) ↔ p
p∨
p
(p∧
)
5
Principio de Contradicción
6
Ley Conmutativa
7
Ley Conmutativa
8
Ley Conmutativa
9
Ley Asociativa
p ∧ (q ∧ r ) ↔ ( p ∧ q) ∧ r
10
Ley Asociativa
p ∨ (q ∨ r ) ↔ ( p ∨ q) ∨ r
11
Ley Distributiva
p ∨ ( q ∧ r ) ↔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) 
12
Ley Distributiva
p ∧ ( q ∨ r ) ↔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) 
13
Ley de Identidad
14
Ley de Identidad
p
( p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
( p ∨ q) ↔ (q ∨ p)
( p ↔ q) ↔ (q ↔ p)
( p ∨ 0) ↔ p
( p ∨ 1) ↔ 1
15
Ley de Identidad
( p ∧ 0) ↔ 0
16
Ley de Identidad
( p ∧ 1) ↔ p
17
Ley de Doble Negación
18
Ley de Absorción
 p ∨ ( p ∧ q )  ↔ p
19
Ley de Absorción
 p ∧ ( p ∨ q )  ↔ p
20
Ley de De Morgan’s
( p ∧ q) ↔ (
p∨
q)
21
Ley de De Morgan’s
( p ∨ q) ↔ (
p∧
q)
p↔ p
Ej: Simplificar ( p ∨
q) ∧
( p ∧ r )  → ( q → r )
 ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ r )  → ( q → r )
 ( q → p ) ∧ ( p ∧ r )  → ( q → r )
 ( q → p ) ∧
 ( q →
(q →
1
( p ∨ r )  → ( q → r )
p ) ∧ ( p ∨ r )  → ( q → r )
r ) → (q → r )
T.5 y T.12
De Morgan’s
T.12
T.13
Ley Identidad
Argumentos
Son una serie de expresiones en lenguaje natural y posee 2 partes:
1.- Premisas: Se caracteriza por un punto seguido.
2.- Conclusión: Se caracteriza por un punto a parte.
Simbólicamente un argumento es una Fórmula Proposicional.
[ prem.1 ∧ prem.2 ∧ prem.3 ∧ etc......] → c
Ejemplo:
Si dejo este trabajo o dejo de pintar, entonces no realizaré mis sueños. He aceptado el
trabajo y he dejado de pintar.
No realizaré mis sueños.
Observación: Para formar la Fórmula Proposicional, en primer lugar deberá identificar las
proposiciones simples que intervienen, para así con ellas formar las premisas y unirlas a la
conclusión para su posterior demostración.
Proposiciones Simples:
P = Yo acepto este trabajo
Q = Yo dejo de pintar
R = Yo realizaré mis sueños
Premisas:
1.-
( p ∨ q) →
Conclusión:
r
2.-
C→ r
p∧q
Fórmula Proposicional:
( ( p ∨ q ) → r ) ∧ ( p ∧ q )  → r
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
Por lo tanto, la fórmula proposicional es una Tautología, por lo tanto el argumento es
válido.
Cuantificadores.
Si tenemos la expresión “x es verde” no es exactamente lo mismo que tener “las hojas
son verdes” o “el pasto es verde”. En las 2 últimas nos damos cuenta que son
proposiciones con un valor de verdad, sin embargo la primera no tiene un valor de
verdad establecido. Para saberlo, necesitamos un sujeto. “x es verde”, es una expresión
llamada función proposicional y que la podemos simbolizar por “V(x) = x es verde”.
Definición:
Si a una función proposicional se le agrega un cuantificador entonces esta pasa a ser una
proposición.
Ejemplo: “Todas las cosas son verdes”
Cuant. + f.prop
Proposición
“Algunas cosas son verdes”
Cuant. + f.prop.
Proposición
Existen 2 tipos de cuantificadores:
∀
1.- Cuantificador Universal: Para todo
∀xP ( x ) ↔ p ( x1 ) ∧ p ( x2 ) ∧ ... ∧ p ( xn )
∃
2.- Cuantificador Existencial: Existe
∃xP ( x ) ↔ p ( x1 ) ∨ p ( x2 ) ∨ ... ∨ p ( xn )
Observación: Existe un único se simboliza
∃!
∃! xP ( x ) ↔ p ( x1 ) ∨ p ( x2 ) ∨ ... ∨ p ( xn )
Observación: Cuando escribamos de lenguaje natural a lenguaje simbólico usando
cuantificadores, asociemos el PARA TODO ∀ con un IMPLICA y el EXISTE con un
conectivo Y ( ∧ ) .
( )
Ejemplo:
1.- Los hombres son imperfectos.
Identificación de funciones proposicionales.
H(x) = x es hombre
I(x) = x es imperfecto
∀x  H ( x ) → I ( x ) 
2.- Algunos número son pares.
N(x) = x es número
P(x) = x es par
∃x  N ( x ) ∧ P ( x ) 
Negación de expresiones cuantificadas.
( ∀xP ( x ) ) ↔ ∃x
P ( x)
( ∃xP ( x ) ) ↔ ∀x
Ejemplo:
1.- Los hombres son imperfectos.
∀x ( H ( x ) → I ( x ) )
Respuesta:
( H ( x ) → I ( x ))
↔ ∃x ( H ( x ) ∨ I ( x ) )
↔ ∃x ( H ( x ) ∧ I ( x ) )
↔ ∃x
Existen hombres que no son imperfectos.
P (x)