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Multigrados Minas y Energía
FÍSICA II
Calle Ponzano, 69, Telfs: 91 412 61 46 – 648 092 713
Profesor
@ minasyenergiajc
Minas y Energía JC Ponzano
Jorge Fernández
www.jcponzano.com
Relaciones TRIGONOMÉTRICAS
A
Cofunciones
B
Adición
A.1
𝜋
sin (𝜃 ± ) = ± cos 𝜃
2
B.1
sin(𝛼 ± 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 ± cos 𝛼 sin 𝛽
A.2
𝜋
sin ( − 𝜃) = cos(−𝜃) = cos 𝜃
2
B.2
cos(𝛼 ± 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛼 sin 𝛽
A.3
𝜋
cos (𝜃 ± ) = ∓ sin 𝜃
2
B.3
tan(𝛼 ± 𝛽) =
A.4
𝜋
cos ( − 𝜃) = − sin(−𝜃) = sin 𝜃
2
B.4
ctan(𝛼 ± 𝛽) =
C
Ángulo doble
D
C.1
sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼
D.1
sin
𝛼
1
= ±√ (1 − cos 𝛼)
2
2
+ si está en 1er
2
o 2º cuadrante
C.2
cos 2𝛼 = cos2 𝛼 − sin2 𝛼 =
= 2 cos2 𝛼 − 1 = 1 − 2 sin2 𝛼
D.2
cos
𝛼
1
= ±√ (1 + cos 𝛼)
2
2
+ si está en 1er
2
o 4º cuadrante
𝛼
1 − cos 𝛼
sin 𝛼
= ±√
=
2
1 + cos 𝛼 1 + cos 𝛼
+ si está en 1er
2
o 3er cuadrante
C.3
tan 2𝛼 =
2 tan 𝛼
1 − tan2 𝛼
E
D.3
tan 𝛼 ± tan 𝛽
1 ∓ tan 𝛼 tan 𝛽
ctan𝛼 ctan𝛽 ∓ 1
ctan𝛼 ± ctan𝛽
Ángulo mitad
tan
𝛼
𝛼
𝛼
Cuadrados
E.1
sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
E.3
1
sin2 𝛼 = (1 − cos 2𝛼)
2
E.2
cos2 𝛼 − sin2 𝛼 = cos 2𝛼
E.4
1
cos2 𝛼 = (1 + cos 2𝛼)
2
F
Suma en producto
G
Producto en suma
(ver C.2)
F.1
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos
2
2
G.1
1
sin 𝛼 sin 𝛽 = [cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)]
2
F.2
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin
𝛼−𝛽
𝛼+𝛽
cos
2
2
G.2
1
cos 𝛼 cos 𝛽 = [cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)]
2
F.3
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos
2
2
G.3
1
sin 𝛼 cos 𝛽 = [sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽)]
2
F.4
cos 𝛼 − cos 𝛽 = 2 sin
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sin
2
2
G.4
1
cos 𝛼 sin 𝛽 = [sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽)]
2
H
Fórmula de Euler, De Moivre y Aplicaciones
H.1
𝑒 ±𝑖𝜃 = cos 𝜃 ± 𝑖 sin 𝜃
H.3
𝑒 𝑖𝑛𝜃 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 = (𝑒 𝑖𝜃 ) = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛
H.2
𝑒 𝑖𝛼 𝑒 ±𝑖𝛽 = 𝑒 𝑖(𝛼±𝛽)
H.4
(cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼)(cos 𝛽 ± 𝑖 sin 𝛽) = cos(𝛼 ± 𝛽) + 𝑖 sin(𝛼 ± 𝛽) =
= (cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛼 sin 𝛽) + 𝑖(sin 𝛼 cos 𝛽 ± cos 𝛼 sin 𝛽)
Relaciones Trigonométricas
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Ejercicio Ap.1-1.- A partir de la relación de la figura entre las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) ≡ 𝑓(𝑥 − 𝑎), 𝑎 > 0, y teniendo en
cuenta la paridad (o simetría) de las funciones seno y coseno, demostrar gráficamente las relaciones 𝐴. 1 − 𝐴. 4.
(cofunciones). Comprobarlas analíticamente con las expresiones 𝐵. 1 − 𝐵2 (fórmulas de adición)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
_______________
Ejercicio Ap.1-2.- Encontrar, a partir de la relación 𝐻. 2, las fórmulas de adición 𝐵. 1 − 𝐵. 2, es decir
sen(𝛼 + 𝛽) = sen 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sen 𝛽 ,
sen(𝛼 − 𝛽) = sen 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sen 𝛽
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sen 𝛼 sen 𝛽 ,
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sen 𝛼 sen 𝛽
_______________
Ejercicio Ap.1-3.- Encontrar, a partir de las expresiones dadas en el Ejercicio Ap.1-2, las relaciones 𝐶. 1 − 𝐶. 3
(ángulo doble), es decir
sen 2𝛼 = 2 sen 𝛼 cos 𝛼 ,
cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sen2 𝛼
_______________
Ejercicio Ap.1-4.- Encontrar, a partir de las expresiones dadas en el Ejercicio Ap.1-2, las relaciones 𝐺. 1 − 𝐺. 4
(producto en suma), es decir
1
sen 𝛼 sen 𝛽 = [cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)]
2
1
cos 𝛼 cos 𝛽 = [cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)]
2
1
[sen(𝛼 − 𝛽) + sen(𝛼 + 𝛽)]
2
_______________
sen 𝛼 cos 𝛽 =
Ejercicio Ap.1-5.- Encontrar, a partir de las expresiones dadas en el Ejercicio Ap.1-4, las relaciones 𝐹. 1 − 𝐹. 4 (suma
en producto), es decir
sen 𝛼 + sen 𝛽 = 2 sen
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos
,
2
2
sen 𝛼 − sen 𝛽 = 2 sen
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos
,
2
2
cos 𝛼 − cos 𝛽 = 2 sen
𝛼−𝛽
𝛼+𝛽
cos
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sen
2
2
Ayuda: Efectuar los cambios de variable 𝛼 + 𝛽 = 𝑢, 𝛼 − 𝛽 = 𝑣 en las expresiones 𝐺. 1 − 𝐺. 4 (producto en suma).
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Ejercicio Ap.1-6.- [Representación compleja del movimiento armónico] Considere la expresión compleja
𝑋(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒 𝑖𝜑0
1) Represente e interprete geométricamente el vector giratorio 𝑋(𝑡) en el plano complejo.
Obviamente, se cumple que
𝑥(𝑡) = 𝐼𝑚 (𝑋) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0 )
Dado que, para cualquier par de funciones complejas 𝑧(𝑡), 𝑤(𝑡), se cumple que
i.
ii.
iii.
𝑑𝑛
𝑑𝑡 𝑛
(𝐼𝑚(𝑧(𝑡))) = 𝐼𝑚 (
𝑑𝑛 𝑧
𝑑𝑡 𝑛
)
∫ 𝐼𝑚(𝑧(𝑡))𝑑𝑡 = 𝐼𝑚(∫ 𝑧(𝑡)𝑑𝑡)
𝐼𝑚(𝑧(𝑡) + 𝑤(𝑡)) = 𝐼𝑚(𝑧(𝑡)) + 𝐼𝑚(𝑤(𝑡))
Se pide:
2) Demostrar las relaciones
𝑑
a.
↔ 𝑖𝜔
𝑑𝑡
1
b. ∫ 𝑑𝑡 ↔
𝑖𝜔
3) Encontrar la suma de movimientos armónicos
𝑥1 (𝑡) = 𝐴1 sin(𝜔𝑡 + 𝜑1 ) ,
𝑥2 (𝑡) = 𝐴2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑2 )
empleando los vectores giratorios correspondientes.
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Relaciones Trigonométricas
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