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NOTA 3a
Resolución del Modelo IS-LM con Álgebra de Matrices
Las funciones IS y LM son, respectivamente:
Y    Z0  b r 
r
1
 k Y  m0 
h
(1)
(2)
Se trata de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (Y, r) que puede expresarse
como:
1


k

b   Y   Z0 

  r   m0 
h
A
x  b
(3)
1. Resolución por Matriz Inversa
Premultiplicando a ambos lados por la matriz inversa de A:
A 1 A x  A 1 b
x  A1 b
Para obtener la matriz inversa de A primero calculamos la matriz de cofactores de A:
 h k 

CA  
 b 1 
 

La matriz adjunta de A es la transpuesta de la matriz de cofactores:
  h b 

AdjA  
 k 1 
 

La matriz inversa de A es:
A 1 
1
Adj A
A
2
Donde A es el determinante de la matriz A:
A
 h   bk 
 bk   


 

h
La inversa de A es:
 h
  h b  
 

   h   bk
A 1   
1

  k
 h   bk    k
  

 h   bk
b 
h   bk 

1 

h   bk 
Ahora podemos resolver el sistema (3):
 h
Y
   h   bk
x 
 r   k

 h   bk
b 
h   bk   Z0 
 
1   m0 

h   bk 
Finalmente nos queda el resultado conocido:
Y
h
b
Z0 
m0
h   bk
h   bk
(4)
r
k
1
Z0 
m0
h   bk
h   bk
2. Resolución por la regla de Cramer:
Se arma una matriz en la que la primera columna de A es sustituida por el vector de
Z 
constantes b   0  :
 m0 
Z
Aj /Y   0
 m0
b 
 h 
La solución para la variable Y es:
3
Z0
Aj /Y
m
Y
 0
1
A

b
h

b
k
h

 hZ 0  bm0
 hZ 0  bm0


h
1
 bk
  h   bk 


h
b
Z0 
m0
h   bk
h   bk
Ahora armamos una matriz en la que sustituimos la segunda columna de A por el vector
de constantes b:
Aj / r
1
 

k

Z0 

m0 
La solución para la variable r es:
1

r
Aj / r
A

k
1

k

k
h  bk
Z0 
Z0
1


  kZ 0  m0 
m0
 
 
 

h
1
 bk
  h  bk 
b
m0

h
1
m0
h  bk
 k Z0
