Download Briseño, et al. Matemáticas 3

Matemáticas
Secundaria 3
Matemáticas
Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,
Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo
3
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Matematicas 3 integral cov.indd 1
4/9/08 4:51:22 PM
Matemáticas
Luis Briseño, Guadalupe Carrasco,
María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas,
Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo
3
Matemáticas 3
El libro
es una obra
colectiva, creada y diseñada en el Departamento de
Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,
con la dirección de Clemente Merodio López.
1
El libro
Matemáticas 3 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Edición: Guillermo Trujano Mendoza
Coordinación editorial: Roxana Martín-Lunas Rodríguez
Revisión técnica: Valentín Cruz y Enrique Vega
Corrección de estilo: Eduardo Mendoza Tello
Diseño de portada: José Francisco Ibarra Meza
Ilustraciones de personajes de portada: Teresa Martínez
Diseño de interiores: Carlos Vela Turcott
Coordinación de Diseño: José Francisco Ibarra Meza
Coordinación de Iconografía: Germán Gómez López
Ilustraciones: Héctor Ovando Jarquín, Carlos Vela Turcott
Fotografía: Corel Stock Photo y Archivo Santillana
Diagramación: Héctor Ovando Jarquín
Matemáticas
Matemáticas
Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,
Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo
3
3
Luis Briseño Aguirre
Guadalupe Carrasco Licea
María del Pilar Martínez Téllez
Óscar Alfredo Palmas Velasco
Francisco Struck Chávez
Julieta del Carmen Verdugo Díaz
4/9/08 4:51:22 PM
Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas Rodríguez
Gerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez Martínez
Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar
Gerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin Fuentes
Coordinación de Diseño: José Francisco Ibarra Meza
Coordinación de Iconografía: Germán Gómez López
Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria
Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la
reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.
Av. Universidad 767
03100, México, D. F.
ISBN: 978-970-29-2072-4
Primera edición: abril, 2008
Miembro de la Cámara Nacional de la
Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802
Impreso en México
2
>Presentación
Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:
“... la mejor forma de aprender es hacer”.
En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 3 propone a los estudiantes de tercer grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de
los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más
que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.
No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con
situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los
erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados.
Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para
llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se
presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto.
Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias
ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicional en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad,
etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad.
En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a
razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver
problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la
creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores.
Presentación
3
> Estructura de tu libro
Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques cada uno compuesto de varias lecciones, cada una con
su número por bloque. Esta distribución responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la
información al interior de cada bloque está dosificada.
Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:
Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:
6. Dibuja un plano cartesiano y grafica las siguientes ecuaciones: y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x – 1.
8. Dibuja la gráfica de la ecuación y = x2.
Enlace
9. Copia y completa la tabla de valores de y = 2x2 – 7x – 3
x
-2
y
-1
0
1
6
2
3
4
5
6
-9
Dibuja la gráfica de la ecuación.
Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que confirmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles
para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.
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Bloques
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Percepción
Las figuras geométricas más simples son los triángulos.
Quizá por su simpleza, los triángulos han fascinado a
matemáticos, artistas y arquitectos. Este “triángulo imposible” se ha hecho posible ¿te imaginas cómo?
10. Se lanzan 3 volados sucesivos y se van anotando
los resultados.
a) ¿El resultado que se obtiene en el primer volado afecta la probabilidad de que en el segundo salga sol? ¿Y el resultado de los dos primeros
volados afecta la probabilidad de que en el tercero salga sol?
b) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:
A: Salen sólo soles
B: Salen sólo águilas
c) ¿Pueden ocurrir los eventos A y B simultáneamente?
d) Calcula la probabilidad de obtener tres resultados iguales.
En realidad es un truco “escultórico” como
podrás observar en la siguiente foto del “triángulo”.
En la delegación Iztacalco, de la Ciudad de México, hay
una estructura que parece un “triángulo imposible”, la
construcción de esta obra pertenece al escultor Enrique
Espinosa Fernández.
Analiza la fotografía ¿es realmente posible construir
triángulos así, o será un truco fotográfico?
..
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Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque,
expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarrollarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales
para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y
pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del
programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una unidad y no como una materia fragmentada.
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Para comenzar
... necesitas recordar:
1.
2.
En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que incluirá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento
geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono
representa tres de cinco partes
e indica el inicio de la actividad tres de esa lección. Cada lección puede tener de tres
a seis partes. Cada parte consta de una a tres páginas, el texto con el que empezarás a
estudiar inicia con este símbolo .
• Determinación del teorema de Tales mediante construcciones con segmentos.
• Aplicación del teorema de Tales en diversos problemas geométricos.
Lecciones
En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas,
con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir
respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando
se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas claves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado
se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 310.
Cómo trazar rectas paralelas.
Cuándo dos triángulos son semejantes.
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Pie de foto
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5(²
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El pantógrafo es un aparato que se utiliza para copiar dibujos o figuras de
manera amplia o reducida. Tiene cuatro varillas articuladas que pueden fijarse en varias posiciones. El extremo de una de ellas se fija en la mesa de trabajo y con una punta se recorre el contorno de la figura que se desea copiar. Un
lápiz o pluma en el otro extremo dibuja el dibujo ampliado o reducido. Consigue un pantógrafo y úsalo para hacer ampliaciones o reducciones de tus dibujos.
Veamos cómo funciona un pantógrafo. En la siguiente figura, OP’ es paralela
a AM, AP es paralela a A’P’ y P es el punto medio de OP’. Observa el triángulo
OA’P’ y utiliza el teorema de Tales para ver que OA mide la mitad de OA’.
6Xi^k^YVY^cY^k^YjVa
P’
Aplicación En algunas lecciones encontrarás una aplicación que se ha resaltado por su utilidad o importancia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el
desarrollo de las lecciones.
4
Matemáticas 1
&(
M
P
A’
A
O
Marcamos con azul las partes de la figura correspondientes a las varillas del
pantógrafo. El punto O representa el punto fijo en la mesa; el punto A indica
la posición inicial de la punta del pantógrafo, que se moverá sobre una figura.
El punto A’ indica la posición inicial del lápiz que describirá la nueva figura.
5
AZXX^‹c' <gVcYZneZfjZŠd
&+.
Para terminar
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4. Copia la figura en tu cuaderno y completa el triángulo A’B’C’, sabiendo
que A’B’C’ es homotético a ABC con razón de homotecia 3. Indica el centro de homotecia.
A
Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus
habilidades y competencias matemáticas.
A’
B
C
5. Copia la figura en tu cuaderno y complétala, sabiendo que el triángulo
A’B’C’ es homotético al triángulo ABC. Indica el centro y la razón de homotecia.
B’
C
A
A’
B
6. La ilustración que aparece al principio de la lección muestra un conjunto de matrioshkas, artesanía tradicional rusa. Elige de la foto dos de ellas
y encuentra el centro y la razón de homotecia entre ellas.
Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa
un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.
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5
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Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:
MatemáTICas
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En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de
manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las
computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan valiosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.
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En el punto de encuentro del bloque 2 establecimos que,
para determinar el área de una figura, los griegos construían –con regla y compás– un cuadrado con la misma
área que la figura. A este proceso le llamaban cuadrar la
figura o encontrar la cuadratura de la figura.
Dijimos que los griegos encontraron la forma de cuadrar
cualquier polígono, pero en aquella ocasión sólo te mostraremos cómo lo hacían para rectángulos y triángulos.
Ahora analizaremos el método que usaban para cuadrar
cualquier polígono.
• Traza un triángulo rectángulo ABC con el ángulo recto en B, traza la altura por B y llama D al pie de la altura, tal como lo hicimos en el punto de encuentro del
bloque 2.
Haciendo lo mismo pera los triángulos ABC y ADC podemos concluir que
(BC)2 = AC DC (2)
o, dicho de otra forma: el cuadrado construido sobre el
cateto BC, tiene la misma área que el rectángulo formado
por el segmento DC y la hipotenusa AC.
B
A
BViZb{I^8Vh
'%,
Punto de encuentro
C
B
A
O
C
Sabemos que los triángulos ABC, ADB y BDC son
semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales, en
particular, en los triángulos ABC y ADB
Sumando las ecuaciones (1) y (2) Tenemos que:
(AB)2 + (BC)2 = AC(AD + DC)
(AB)2 + (BC)2 = (AC)2.
Juntando las figuras podemos observar que:
AC
AB
=
o sea:
AB
AD
(AB)2 =AC AD (1)
Esto, geométricamente significa que el cuadrado construido sobre el cateto AB es igual, en área, al rectángulo
formado por el segmento AD y la hipotenusa AC.
B
A
O
C
5LE8EL<M88:K@KL;
C
B
A
Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque
o de bloques anteriores.
La suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es
igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa.
La emigración de mexicanos hacia Estados Unidos
Una nueva actitud
En demografía se le llama migración al desplazamiento de personas de un lugar a otro para cambiar su residencia. También se suelen incluir los desplazamientos de personas que durante ciertas épocas del año se trasladan a regiones
donde trabajan algún tiempo y luego regresan a su lugar de origen, aun cuando
en estos casos no hay un cambio permanente en la residencia; a esta última se
le llama migración circular.
La emigración es el desplazamiento de las personas desde el punto de vista del
lugar que éstas abandonan; la inmigración es el desplazamiento de las personas
desde el punto de vista del lugar al que llegan a residir o a trabajar.
(AB)2 + (BC)2 = (AC)2.
'+)
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En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.
Al final de tu libro se encuentran cuatro anexos:
Aunque los movimientos migratorios pueden darse dentro de un país o dentro
de un estado (usualmente del campo a las ciudades), en México y otros países
de América Latina el mayor flujo migratorio que se presenta es hacia Estados
Unidos. En nuestro país este flujo es favorecido porque compartimos con los vecinos del norte una frontera de más de tres mil kilómetros.
La pérdida de población en nuestro país por la emigración a Estados Unidos ha
sido sistemática desde la década de 1960 y su efecto es cada vez más notable: se
estima que en la década de 1980 fue de 2.1 a 2.6 millones de mexicanos, en la
de 1990 fue de alrededor de 3.3 millones, y en los primeros 4 años de este siglo
los emigrantes a ese país ya sumaban alrededor de 1.6 millones.
Glosario. Cuando un término del contenido aparece en cursivas, se incluye su significado.
Bibliografía, con una sección dirigida al docente y otra al estudiante. La sección para el
docente contiene las referencias utilizadas para la elaboración de este libro.
Búsqueda de información en Internet. Son una serie de páginas electrónicas en las que encontrarás materiales relevantes para tu curso.
Programa de la asignatura. Contiene, organizados en tablas, los conocimientos y habilidades del programa de estudio y el número de lección y páginas en que se encuentra el tema dentro de la obra. Esta sección facilita la ubicación
de los contenidos con respecto al programa.
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Estructura del libro
5
> Contenidos
EJE
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
• Significado y uso de las
operaciones
Operaciones combinadas
Forma, espacio y medida
•
•
Formas geométricas
Figuras planas
Rectas y ángulos
Medida
Estimar, medir y calcular
Manejo de la información
• Representación de la información
Gráficas
BLOQUE 1
14
LECCIÓN 1 TRIÁNGULOS Y CUADRÁNGULOS 17
Aplicación de los criterios de congruencia de triángulos
en la justificación de propiedades de figuras geométricas.
LECCIÓN 2 TODO Y POR PARTES
Simplificación de cálculos con expresiones algebraicas
tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a).
Factorización de expresiones algebraicas tales como:
x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2
25
LECCIÓN 3 ¿QUÉ TAN RÁPIDO?
35
Análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno
que se modela con una función lineal y relacionarla con la
inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
LECCIÓN 4 ÁNGULOS
43
Determinación de la relación que existe entre un ángulo
inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos
abarcan el mismo arco.
LECCIÓN 5 REBANADAS Y CORONAS
55
Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales así
como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
LECCIÓN 6 TANGENTES Y SECANTES
63
Determinación, mediante construcciones, de las posiciones
relativas entre rectas y una circunferencia y entre
circunferencias entre sí.
Caracterización de la recta secante y la tangente a una
circunferencia.
LECCIÓN 7 SACÁNDOLE JUGO A LA INFORMACIÓN
71
Diseño de un estudio o experimento a partir de datos
obtenidos de diversas fuentes y elección de la forma
más adecuada para presentar, organizar y representar la
información en forma tabular o gráfica.
MatemáTICas
Punto de encuentro
Una nueva actitud
6
Matemáticas 1
90
92
94
EJE
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
• Significado y uso de las literales
Ecuaciones
BLOQUE 2
LECCIÓN 1 DE CUADRÁTICAS Y CÚBICAS
101
Uso de ecuaciones no lineales para modelar situaciones
y resolverlas utilizando procedimientos personales u
operaciones inversas.
Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando factorización.
Forma, espacio y medida
• Formas geométricas
Semejanza
Manejo de la información
• Análisis de la información
Porcentajes
Noción de probabilidad
98
LECCIÓN 2 ¿SON O SE PARECEN?
111
Construcción de figuras semejantes y comparación de las
medidas de los ángulos y de los lados.
Determinación de los criterios de semejanza de triángulos.
Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos en el
análisis de diferentes propiedades de los polígonos.
Aplicación de la semejanza de triángulos en el cálculo de
distancias o alturas inaccesibles.
LECCIÓN 3 USO E INTERPRETACIÓN DE ÍNDICES
125
Uso e interpretación del índices para explicar el
comportamiento de diversas situaciones.
LECCIÓN 4 SIMULANDO
137
Uso de la simulación para resolver situaciones
probabilísticas.
EJE
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
• Significado y uso de las literales
Relación funcional
Ecuaciones
Forma, espacio y medida
•
•
Formas geométricas
Semejanza
Transformaciones
Movimientos en el plano
MatemáTICas
Punto de encuentro
Una nueva actitud
146
150
154
BLOQUE 3
158
LECCIÓN 1 TALES POR CUALES
161
Determinación del teorema de Tales mediante
construcciones con segmentos.
Aplicación del teorema de Tales en diversos problemas
geométricos.
LECCIÓN 2 GRANDE Y PEQUEÑO 171
Determinación de los resultados de una homotecia cuando
la razón es igual, menor o mayor que 1 o que −1.
Determinación de las propiedades que permanecen
invariantes al aplicar una homotecia a una figura.
Comprobación de que una composición de homotecias con
el mismo centro es igual al producto de las razones.
Contenido
7
Manejo de la información
LECCIÓN 3 UNA DEPENDE DE LA OTRA
183
Reconocimiento de la presencia de cantidades que varían
una en función de la otra en diferentes situaciones y
fenómenos de la Física, la Biología, la Economía y otras
disciplinas y la representación de la regla que modela esta
variación mediante una tabla o una expresión algebraica.
• Representación de la información
Gráficas
Interpretación, construcción y uso de gráficas de relaciones
funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o
fenómenos.
Interpretación y elaboración de gráficas formadas por
secciones rectas y curvas que modelan situaciones de
movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
LECCIÓN 4 PARA UN LADO Y PARA EL OTRO
195
Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la fórmula general.
Interpretación, construcción y uso de gráficas de relaciones
funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o
fenómenos.
Establecimiento de la relación que existe entre la forma y la
posición de la curva de funciones no lineales y los valores
de las literales de las expresiones algebraicas que definen a
estas funciones.
EJE
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
MatemáTICas
Punto de encuentro
Una nueva actitud
212
214
216
BLOQUE 4
218
LECCIÓN 1 HABLEMOS DE PITÁGORAS
221
Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas.
• Significado y uso de las literales
Patrones y fórmulas
LECCIÓN 2 UN VISTAZO A LA TRIGONOMETRÍA
Forma, espacio y medida
• Medida
Estimar, medir y calcular
Manejo de la información
• Representación de la información
Gráficas
8
Matemáticas 1
231
Reconocimiento y determinación de las razones
trigonométricas en familias de triángulos rectángulos
semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados.
Cálculo de medidas de lados y de ángulos de triángulos
rectángulos a partir de los valores de razones
trigonométricas. Resolución de problemas sencillos, en
diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
LECCIÓN 3 UNA TRAS OTRA
Determinación de una expresión general cuadrática para
definir el enésimo término en sucesiones numéricas y
figurativas utilizando el método de diferencias.
243
LECCIÓN 4 Pocos o muchos
253
Interpretación y comparación de las representaciones
gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o
exponencial de diversas situaciones.
Análisis de la relación entre datos de distinta naturaleza,
pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se
presenta en representaciones diferentes, para producir
nueva información.
EJE
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
• Significado y uso de las literales
Ecuaciones
Forma, espacio y medida
• Formas geométricas
Cuerpos geométricos
• Medida
Justificación de fórmulas
Estimar, medir y calcular
Manejo de la información
• Representación de la información
Medidas de tendencia central y
dispersión
MatemáTICas
Punto de encuentro
Una nueva actitud
262
264
266
BLOQUE 5
268
LECCIÓN 1 GIRAR Y GIRAR
271
Anticipación de las características de los cuerpos que se
generan al girar o trasladar figuras.
Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
Anticipación y reconocimiento de las secciones que se
obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto.
Determinación de la variación que se da en el radio de los
diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos
en una esfera o cono recto.
LECCIÓN 2 Volumen y mÁS volumen
281
Elaboración de las fórmulas para calcular el volumen de
cilindros y conos.
Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos.
Cálculo de datos desconocidos dados otros relacionados
con las fórmulas del cálculo de volumen.
LECCIÓN 3 ¿CAJAS CON BRAZOS?
287
Interpretación, elaboración y uso de gráficas de caja-brazos
de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir
de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.
LECCIÓN 4 DE TODO UN POCO
297
Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática
o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y
viceversa, proponer una situación que se modele con una de
esas representaciones.
MatemáTICas
Punto de encuentro
Una nueva actitud
Glosario
Bibliografía
Búsqueda de información en Internet
Programa de la asignatura
302
304
306
310
312
314
315
Contenido
9
> Enlace
> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en el primer grado?
1. a) Usa una regla y un compás para construir en tu cuaderno un triángulo que tenga como lados a los siguientes segmentos.
a
b
c
Compara tu triángulo con el de tus demás
compañeros. ¿Todos los triángulos que obtuvieron son congruentes? ¿Por qué?
b) Ahora construye un triángulo que tenga
a los segmentos a y b como lados adyacentes
b
y al ángulo  como el ángulo comprendido
por ellos.
¿Se puede construir más de un triángulo con estos datos? ¿Por qué?
a

c) Construye un triángulo que tenga al segmento c como uno de sus lados, de modo que los ángulos a y b sean
los ángulos adyacentes al lado c.
a
¿Cuántos triángulos diferentes puedes construir con estos datos? ¿Por qué?
d) Construye un triángulo que tenga a a, b
y  como sus ángulos interiores.
b
c
a
¿Cuántos triángulos con estas características puedes construir?
Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.
10
Matemáticas 1
b

2. El perímetro del rectángulo de la figura es de 50 cm. Escribe una ecuación que represente al perímetro y resuélvela.
x cm
(2x – 1) cm
3. El perímetro de un rectángulo mide 30 metros. Si su largo se disminuye en 3 metros y su ancho se aumenta 2 metros,
el rectángulo se vuelve un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Usa una literal para representar el largo del rectángulo y otra para representar el ancho y escribe una ecuación que
describa la condición: “El perímetro del rectángulo mide 30 metros”. Simplifica la ecuación lo más que se pueda.
Usando las mismas literales escribe una expresión algebraica para la condición: “el largo del rectángulo se disminuye 3 metros”, y otra para la condición: “el ancho del rectángulo se aumenta en 2 metros”.
¿Cuál ecuación representa el hecho de que las nuevas dimensiones forman un cuadrado?
Despeja una de las incógnitas en la primera ecuación y sustitúyela en la segunda. ¿Cuántas incógnitas tiene la nueva ecuación?
Resuelve la última ecuación y encuentra las dimensiones del rectángulo.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
4. Construye el siguiente triángulo en una cartulina. ¿Cuánto miden los ángulos a, b y ? ¿Puedes cubrir el plano con
esta figura? ¿Por qué?
a
36°
36°

15 cm
b
36°
Desde la época de los griegos –creadores de
la Geometría-, se acostumbra denotar a los
ángulos mediante letras griegas. a (alfa), b
(beta) y g (gama) son las tres primeras letras
del alfabeto griego.
Enlace
11
> Enlace
Realiza 10 copias del triángulo y recórtalas por la línea punteada. Con dos de las piezas forma distintos polígonos,
como los siguientes:
¿Puedes cubrir el plano con estas nuevas piezas? ¿Por qué?
Discute tus respuestas con tus demás compañeros.
5. Encuentra los valores de los ángulos I a VII que se forman al cortar dos rectas paralelas con una transversal. Argumenta tus respuestas.
II
I
33°
III
V
IV
VI
VII
12
Matemáticas 1
6. Dibuja un plano cartesiano y grafica las siguientes ecuaciones: y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x – 1.
8. Dibuja la gráfica de la ecuación y = x2.
9. Copia y completa la tabla de valores de y = 2x2 – 7x – 3
x
y
-2
-1
0
6
1
2
3
4
5
6
-9
Dibuja la gráfica de la ecuación.
10. Se lanzan 3 volados sucesivos y se van anotando
los resultados.
a) ¿El resultado que se obtiene en el primer volado afecta la probabilidad de que en el segundo salga sol? ¿Y el resultado de los dos primeros
volados afecta la probabilidad de que en el tercero salga sol?
b) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:
A: Salen sólo soles
B: Salen sólo águilas
c) ¿Pueden ocurrir los eventos A y B simultáneamente?
d) Calcula la probabilidad de obtener tres resultados iguales.
Enlace
13
>Bloque 1
14
> Lo que aprenderás en este bloque
EJE 1
EJE 2
EJE 3
Sentido numérico y
pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como:
(x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a).
Factorizar expresiones algebraicas tales como:
x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.
Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los
cuadriláteros.
Determinar mediante construcciones las
posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.
Caracterizar la recta secante y la tangente a
una circunferencia.
Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia,
si ambos abarcan el mismo arco.
Calcular la medida de ángulos inscritos y
centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
Analizar la razón de cambio de un proceso
o fenómeno que se modela con una función
lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
Diseñar un estudio o experimento a partir de
datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la
forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
¿Arte o Geometría?
Los artistas modernos juegan con las figuras geométricas, las combinan, las sobreponen, las iluminan y prácticamente les dan vida.
para poder sentirla concientemente; en el arte, el llamado
arte abstracto, es el intento de expresar lo más profundo del
ser humano, eso que uno no puede expresar con palabras,
ni con retratos, ni con paisajes.
Usualmente se identifica lo abstracto con lo frío y lo inhumano, con aquello que se piensa pero no se siente.
También se identifica lo abstracto con la ciencia, y se
piensa a las matemáticas como la más abstracta de las
ciencias.
La capacidad de abstraer, sin embargo, es la más humana de las capacidades, la que más nos distingue de los
animales.
La abstracción no es alejarse de la realidad, por el contrario;
en la ciencia, la abstracción es tratar de entender la realidad
15
>PARA COMENZAR
... necesitas recordar:
1. Cómo se copia un ángulo, con regla y compás.
2. Qué significa que dos figuras sean congruentes y cuáles son los criterios
de congruencia de triángulos.
3. Cuáles son las propiedades de los ángulos entre paralelas.
4. Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
5. Cuanto vale la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.
> En esta lección, abordarás el tema de:
• Aplicación de los criterios de congruencia de triángulos en la justificación
de propiedades de figuras geométricas.
16
Bloque 1
>1º
1>Triángulos y cuadrángulos
Josefina observó a unos campesinos que construían un salón para la escuela
de la comunidad. Los campesinos usaron dos cuerdas del mismo tamaño anudadas en sus puntos medios, extendieron las cuerdas y clavaron estacas en los
cuatro extremos; luego colocaron vigas de madera uniendo las cuatro estacas.
Reproduce en tu cuaderno la construcción que hicieron los campesinos y
comprueba que la figura que se obtiene es un rectángulo.
Reúnanse en equipo y cada quien, usando un compás y una regla sin graduar,
reproduzca en su cuaderno el triángulo de la siguiente figura, copiando las
C
longitudes de los tres lados.
Actividad colectiva
A
B
Usando un compás y una regla sin graduar reproduce en tu cuaderno el triángulo de la siguiente figura, copiando dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
C
B
A
Usando un compás y una regla sin graduar reproduce en tu cuaderno el triángulo de la siguiente figura, copiando uno de sus lados y los dos ángulos adyacentes a él.
C
B
A
Discute con tus compañeros de equipo la relación que existe entre los criterios
de congruencia de triángulos y la actividad que acabas de realizar.
Compartan sus conclusiones del equipo con las del resto del grupo.
Observa que para copiar un triángulo basta conocer:
• los tres lados (LLL),
• dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL),
• un lado y los ángulos adyacentes a él (ALA).
Lección 1
> Triángulos y cuadrángulos
17
>2º
Actividad individual
Para reproducir en tu cuaderno el siguiente cuadrilátero traza una de las
diagonales y luego copia los dos triángulos en los que la diagonal divide al
cuadrilátero, usando los criterios de congruencia de triángulos.
A
D
B
C
Actividad individual
Mide los lados de los siguientes cuadriláteros:
B
C
B
D
A
C
A
A
D
B
D
C
¿Mide el lado AB lo mismo en los tres cuadriláteros? ¿Y los lados BC, CD y
DA? ¿Son congruentes los cuadriláteros?
Copia los cuadriláteros en una hoja de papel, recórtalos y verifica si son o no
congruentes. Recuerda que dos figuras son congruentes si, al sobreponerlas,
coinciden.
Si quieres copiar un cuadrilátero ¿basta conocer las medidas de los cuatro lados? Discute tu respuesta con el resto del grupo.
Se dice que un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores son
menores de 180º.
Cuadrilátero convexos
18
Bloque 1
Cuadrilátero no convexos
Construye, con tus compañeros de equipo, un cuadrilátero convexo que tenga como lados a los segmentos AB, BC y DA de la siguiente ilustración. El ángulo comprendido entre los lados AB y BC debe medir 40°.
Actividad colectiva
B
A
B
C
D
C
D
A
Comparen el cuadrilátero de su equipo con los de los demás equipos. ¿Son
todos congruentes? Traza la diagonal AC del cuadrilátero ¿Hay más de un
triángulo con lados AB, BC y un ángulo de 40º entre ellos? ¿Cuál criterio de
congruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?
¿Hay más de un triángulo con lados AC, CD y DA? ¿Cuál criterio de congruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?
Discutan sus respuestas con el resto del grupo.
Para determinar si dos cuadriláteros son congruentes, basta trazar una diagonal y analizar la congruencia de los triángulos en que la diagonal divide al cuadrilátero.
Construye con tu equipo un cuadrilátero convexo que tenga como lados a los
segmentos AB, BC, CD de la siguiente figura. El ángulo en el vértice B debe
medir 30º y el ángulo en el vértice C, 50º.
A
B
B
C
Actividad colectiva
C
D
Comparen el cuadrilátero de su equipo con los de los demás equipos. ¿Son todos congruentes?
Traza la diagonal BD del cuadrilátero. ¿Hay más de un triángulo con lados
BC, CD y un ángulo de 50º comprendido entre ellos? ¿Cuál criterio de congruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?
¿Hay más de un triángulo con lados AB, BD y DA? ¿Cuál criterio de congruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?
Discutan sus respuestas con el resto del grupo.
Lección 1
> Triángulos y cuadrángulos
19
>3º
Actividad individual
Traza dos segmentos de recta que se corten en un punto O. Con centro en
O traza una circunferencia y llama A, B, C y D a los puntos donde la circunferencia corta a los segmentos de recta.
C
D
O
B
A
Une los puntos A, B, C y D para formar un cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadrilátero obtuviste? Compara tu respuesta con la de tus demás compañeros.
¿Qué puedes decir de los triángulos ABO y CDO? ¿Son equilateros, isósceles
o escalenos? ¿Son congruentes? ¿Por qué?
¿Son paralelos los lados AB y CD del cuadrilátero? ¿Por qué?
¿Qué puedes decir de los triángulos AOD y BOC? ¿Son paralelos los lados
AD y BC? ¿Por qué?
C
D
O
B
A
¿Cuánto suman los ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Son iguales los cuatro ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Cuánto mide cada uno de ellos? ¿Qué
tipo de cuadrilátero es ABCD?
Compara tus resultados con los del resto del grupo.
Actividad individual
Traza un par de segmentos de recta que se corten en un punto O. Sobre uno de
ellos traza con tu compás un par de puntos A y C que se encuentren a la misma
distancia de O. Cambia la abertura del compás y sobre el otro segmento señala
un par de puntos B y D que se encuentren a la misma distancia de O.
C
D
O
B
A
20
Bloque 1
Une los puntos A, B, C y D para formar un cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadrilátero obtuviste? Compara tu respuesta con la de tus demás compañeros.
¿Qué puedes decir de los triángulos ABO y CDO? ¿Son congruentes? ¿Por
qué?
¿Son iguales los ángulos DCA y CAB? ¿Por qué?
¿Son paralelos los lados AB y CD?
Qué puedes decir de los triángulos AOD y BOC? ¿Son congruentes? ¿Por qué?
¿Son iguales los ángulos DAC y ACB? ¿Por qué? ¿Son paralelos los lados AD
y BC? ¿Por qué?
¿Qué puedes decir de los ángulos opuestos del cuadrilátero? ¿Por qué?
¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD? ¿Qué puedes decir de las diagonales del
cuadrilátero?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros del grupo.
Traza un par de segmentos de recta AC y BD, de
distintos tamaños, que se corten perpendicularmente en sus puntos medios. Llama O al punto
donde se cortan.
D
C
D
O
B
A
Actividad individual
A
¿Qué puedes decir del cuadrilátero ABCD? ¿Qué
puedes decir de los triángulos AOB, BOC, COD
y DOA? ¿Son paralelos los lados opuestos el cuadrilátero? ¿Miden lo mismo los cuatro lados? ¿Qué
clase de cuadrilátero es ABCD? Compara tu respuesta con las de tus compañeros.
O
C
B
Traza un par de segmentos de recta AC y BD del mismo tamaño, que se corten perpendicularmente en sus puntos medios. Llama O al punto donde se
cortan.
¿Qué puedes decir del cuadrilátero ABCD? ¿Qué
puedes comentar de los triángulos AOB, BOC,
COD y DOA? ¿Son paralelos los lados opuestos el
cuadrilátero? ¿Miden lo mismo los cuatro lados?
¿Cómo son los ángulos interiores del cuadrilátero?
¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD? Compara tu
respuesta con las de tus compañeros.
Actividad individual
D
A
O
C
B
Analiza la construcción narrada al inicio de esta lección y argumenta por qué
se obtiene un rectángulo.
Actividad individual
Lección 1
> Triángulos y cuadrángulos
21
>4º
1. Las diagonales de un cuadrilátero ABCD se cortan en el punto O formando un ángulo de 50º. El segmento OA mide 3 cm, el OB mide 5 cm,
el OC mide 4 cm y el segmento OD mide 2 cm. Construye el cuadrilátero ABCD y usa los criterios de congruencia para argumentar por qué hay
un único cuadrilátero con esas condiciones.
2. Construye un cuadrilátero ABCD en el que el lado AB mida 5 cm, el lado
BC mida 7 cm, el ángulo en el vértice A mida 70º, el ángulo en el vértice B mida 110º y el ángulo en el vértice C mida 120º. Usa los criterios de
congruencia para argumentar por qué hay un único cuadrilátero con esas
condiciones.
3. La diagonal AC de un cuadrilátero mide 10 cm, el lado AB mide 6 cm,
el lado BC mide 5 cm, el lado CD, 4 cm y el lado DA, 7 cm.Construye
el cuadrilátero ABCD y usa los criterios de congruencia para argumentar
por qué hay un único cuadrilátero con esas condiciones.
4. Argumenta, usando congruencia de triángulos, que si ABCD es un paralelogramo (es decir, los pares de lados opuestos son paralelos), entonces los
ángulos DAB y BCD son iguales. ¿Qué puedes decir de los ángulos CDA
y ABC? ¿Qué relación hay entre los ángulos BAD y ADC?
A
B
D
C
5. Demuestra, usando congruencia de triángulos, que si ABCD es un paralelogramo, entonces las longitudes de los lados opuestos son iguales.
A
B
22
Bloque 1
D
C
>Para terminar
Torito
En la siguiente figura se cumple que:
•
Los ángulos en A y en B son iguales.
•
Los segmentos OA y OB miden lo mismo.
•
OA es perpendicular a OE y OB es perpendicular a OD.
E
A
F
O
H
C
B
D
Demuestra que
a) El triángulo AHB es isósceles.
b) Los segmentos FH y CH miden lo mismo.
c) Los triángulos AOD y BOE son congruentes.
d) Los triángulos FEH y CDH son congruentes.
Lección 1
> Triángulos y cuadrángulos
23
>PARA COMENZAR
... necesitas recordar:
1. Cómo se suman y cómo se multiplican números con signo.
> En esta lección, abordarás el tema de:
• Transformación de expresiones algebraicas en otras equivalentes.
24
Bloque 1
>1º
2>Todo y por partes
Si se sabe que el área del rectángulo de la ilustración es 24 cm2, ¿cuál es el
valor de x?
x–1
1
x
Discute tus respuestas con tus compañeros.
Escribe una expresión algebraica que represente el área de cada uno de los siguientes rectángulos:
Actividad individual
x
3
4
6
x
2
Figura 1
Figura 2
c
a
b
Figura 3
Ahora escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo amarillo y otra para el rectángulo verde de la figura 1. Compara estas expresiones con la que escribiste antes para la figura 1. ¿Qué relación hay entre estas
tres expresiones?
Haz lo mismo para las figuras 2 y 3.
Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.
Lección 2
> Todo y por partes
25
Actividad colectiva
Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo verde.
¿Cuánto mide su base?
2
x
10
Ahora escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángulo azul y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo verde en términos de las áreas de los otros dos rectángulos (el azul y el bicolor).
Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.
Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo amarillo siguiente. ¿Cuánto mide su base?
a
b
8
Escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángulo verde
y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo amarillo en términos
de las áreas de los otros dos rectángulos (el verde y el bicolor).
Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.
Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo azul.
¿Cuánto mide su base?
c
b
a
26
Bloque 1
Escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángulo rojo
y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo azul en términos de
las áreas de los dos rectángulos.
Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.
Si los siguientes rectángulos tienen áreas ab y ac, respectivamente, ¿cuáles son
las dimensiones del rectángulo formado con la unión de ellos dos?
Actividad individual
a
b
a
c
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que resulta de quitarle el rectángulo de área ab al rectángulo de área ac?
a
ac
ac
b
Si a, b y c son tres cantidades, entonces
a(b + c) = ab + ac
a(b − c) = ab − ac
Copia las siguientes igualdades en tu cuaderno y llena los espacios en blanco:
3(b +
) = 3b + 15
a(10 −
) = 10a – 7
36 +
= 9(4 + c)
a(
+ 2) = 5a +
6(
− 5) = 42 –
16 – 8 = 2(
−
)
Lección 2
> Todo y por partes
27
>2º
Calcula, con tus compañeros de equipo, el área del siguiente rectángulo:
Actividad colectiva
Calcula con tu equipo el área de los cuatro rectángulos en los que está dividido. ¿Coincide el área del
rectángulo más grande con la suma de los cuatro rectángulos que lo componen?
1
3
Ahora escriban una expresión algebraica para el área
del siguiente rectángulo:
4
2
Expresen el área de los cuatro rectángulos en los que está dividido el
rectángulo mayor. Escriban el área
del rectángulo mayor en términos
a
de las áreas de los cuatro rectángulos que lo componen.
Compara tu respuesta con las de tus
b
3
compañeros.
Escriban una expresión algebraica que represente el área del rectángulo
ABCD:
2
D
H
C
b
E
G
a
A
c
F
d
Igual que en los casos anteriores, representen el área
del rectángulo ABCD en términos de las áreas de los
cuatro rectángulos en los que está dividido. Comparen
su respuesta con las de los otros equipos.
B
Expresen el área del rectángulo ABCD como suma de las áreas de los rectángulos ABGE y EGCD.
Expresen el área del rectángulo ABCD como suma de las áreas de los rectángulos AFHD y FBCH.
Comparen sus respuestas con las del resto del equipo.
Si a, b, c y d son cantidades cualesquiera, entonces:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd
¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo formado con la unión de cuatro rectángulos de áreas xz, xw, yz, yw? Haz un esquema del rectángulo. Compara tu respuesta con las de tus compañeros.
28
Bloque 1
>3º
Con base en lo aprendido hasta ahora y con ayuda de la siguiente ilustración escribe el desarrollo del producto (x + a)(x + b).
Actividad colectiva
a
x
x
b
Compara tu respuesta con las de tus compañeros de equipo.
¿Cuánto deben valer los números a y b de la siguiente figura para que la expresión x2 + 7x + 12 represente el área del rectángulo?
x
b
x
a
Discutan sus respuestas con los otros equipos.
Ahora con tu equipo analiza la siguiente figura y, con base en tus observaciones, desarrolla la expresión (a + b)2.
Actividad colectiva
b
a
a
b
Comparen su respuesta con las de los demás equipos.
Lección 2
> Todo y por partes
29
¿Cuál es el valor del número a en la siguiente figura, si el área del cuadrado
es x2 + 10x + 25?
a
x
x
Actividad colectiva
a
Comparen su respuesta con las del resto del grupo.
¿Cuánto mide la altura de los rectángulos azules de la siguiente ilustración?
¿Cuál es el área del rectángulo formado por los dos rectángulos azules? Representa esta área de dos formas diferentes.
d
c
a
b
Con base en la figura anterior comprueba que:
(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
Discutan sus argumentos con los demás equipos.
Actividad colectiva
¿Cuánto mide la base del rectángulo ABCD? ¿Cuánto mide su altura? ¿Cuál
es su área?
a
C
D
x
A
30
Bloque 1
x
a
B
Escriban una expresión algebraica que represente el área de la figura formada
por la unión de los rectángulos amarillo y rojo de la siguiente ilustración.
¿Tienen la misma área el rectángulo ABCD de la ilustración anterior y esta
nueva figura?
a
a
C
D
x
A
x
a
B
Expresen el área de la figura formada por la unión de los rectángulos amarillo y rojo como la resta de las áreas de dos cuadrados. Comparen su respuesta con la de sus compañeros.
Un binomio es una expresión algebraica con dos sumandos. Las expresiones: a + b, x + 3, 5x – 4, ax – b, 3x3y6z5 + 18w7 son binomios.
Dos binomios de la forma x + a, x – a se llaman binomios conjugados.
Aplicando la regla para multiplicar binomios que descubriste más arriba:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
a una pareja de binomios conjugados, se obtiene:
(x + a)(x – a) = x2 – a2
Si aplicas esa misma regla a un par de binomios con un término común
obtienes:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Y si la aplicas a un par de binomios iguales obtienes el binomio al cuadrado:
(x + a)(x + a) = (x + a)2 = x2 + 2ax + a2
A estos tres casos particulares de productos de binomios se les conoce
como productos notables.
Un trinomio es una expresión algebraica con tres sumandos.
Expresiones como x2 + (a + b)x + ab o x2 + 2ax + a2 son ejemplos de trinomios.
Al proceso de multiplicar dos o más binomios se le conoce como desarrollo del producto de binomios. Al proceso inverso, es decir, al proceso de expresar una suma de monomios como producto de dos o más binomios se
le conoce como factorización.
Lección 2
> Todo y por partes
31
>4º
Actividad individual
Desarrolla los siguientes productos de binomios y discute con tus compañeros
las diferencias que observes.
(x + 2)(x + 3)
(x + 2)(x − 3)
(x − 2)(x + 3)
(x − 2)(x − 3)
Haz lo mismo con los siguientes productos:
(5 + y)(4 + y)
(5 + y)(4 − y)
(5 − y)(4 + y)
(4 − y)(4 − y)
(x − a)(x + b)
(x − a)(x − b)
Y ahora con los siguientes:
(x + a)(x + b)
(x + a)(x − b)
Desarrolla los siguientes productos de binomios:
(−x + 3)(−x + 5)
(−x + 3)(−x − 5)
(2x + 1)(2x + 3)
(3x + 4)(2x + 3)
(3x + 4)(2x − 3)
(−4x + 2)(3x − 3)
Discute tus respuestas con tus compañeros.
Recuerda que a – w = a + (−w).
Actividad colectiva
Calculen el producto 22 × 18 como el producto de la pareja de binomios conjugados (20 + 2)(20 – 2)
Usando un procedimiento análogo, realicen los siguientes productos:
101 × 99
31 × 49
42 × 58
105 × 95
Compara tus resultados con los de otros equipos.
Actividad individual
En tu cuaderno, factoriza los siguientes trinomios llenando los espacios en
blanco:
x2 + (a + b)x + ab = (x +
)(x +
)
x2 + 7x + 12 = (x +
x2 + 8x + 15 = (x + )(x + )
x2 + 5x + 6 = (x +
Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.
Actividad colectiva
Actividad colectiva
Factoriza el siguiente trinomio:
x2 + 2ax + a2
Factoriza el siguiente binomio:
x2 – a2
Y ahora los siguientes:
x2 − 9
x2 − 1
x2 − 25
Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.
32
Bloque 1
)(x +
)
)
Factoricen en equipo el siguiente trinomio:
x2 + 2x – 8
¿Qué par de números multiplicados entre sí dan −8 y sumados dan 2?
Factoricen los siguientes trinomios:
x2 − 7x + 10
x2 − 2x − 8
x2 + 5x − 14
Si el término independiente del trinomio tiene signo positivo ¿qué signos pueden tener los dos números que buscas? ¿Y si tiene signo negativo?
Discutan sus respuestas con sus compañeros del grupo.
Ahora factoricen los siguientes:
x2 + 6x + 9
x2 + 2x + 1
x2 − 4x + 4
Discutan sus respuestas con sus compañeros del grupo.
Actividad individual
)(x +
>Para terminar
>5º
1. Desarrolla los siguientes productos de binomios:
(x + 5) (a + 3)
(2a + 3)(2a + 4)
(−x + 1)(x + 1)
(z + 6)(2z – 4)
(x − 2)(−x + 2)
(y – 2)(y + 5)
(x + y)(z + 5)
2. Desarrolla los siguientes binomios cuadrados:
(2a − 3)2
(−w + 4)2
(2z + 3y)2
(x − 5)2
3. En tu cuaderno llena los espacios en blanco para que sean ciertas las siguientes igualdades:
(
+ 2)2 = y2 +
(
+
y + 4
)2 = x2 + 6xy +
x2 – 9 = (x +
(5z +
)(x −
)2 =
+
)
+ y2
4. Calcula los siguientes productos expresándolos como producto de binomios conjugados:
109 3 91
32 3 48
55 3 45
5. Realiza las siguientes operaciones, expresando la diferencia de números
cuadrados como producto de binomios conjugados:
252 2 152
162 2 142
642 2 362
6. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
x2 – 16
y2 + 4y + 4
y2 + 5y + 4
a2 + 5a + 6
w2 – 3w – 40
w2 + 3w – 40
z4 – y2
−x2 + y2
7. En cada uno de los siguientes casos encuentra el sumando que falta para
que el trinomio represente un binomio al cuadrado:
x2 + 4x + y2 – 6y +
(2b)2 + 16b +
Torito
Con ayuda de la siguiente ilustración, desarrolla la expresión:
(a + b)3
a
b
b
b
a
a
a
a
b
b
Lección 2
> Todo y por partes
33
Matemáticas
Secundaria 3
Matemáticas
Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,
Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo
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