Download Unidad_13a_sol4¼A_ESO

13
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
Página 178
Los chicos del dibujo deben medir las alturas de los 47 árboles de
una cierta parcela horizontal. Para ello, proceden del siguiente
modo:
Clavan en el suelo una estaca vertical que sobresale 120 cm. A
continuación, corren a señalar en
el suelo los extremos de las sombras de los 47 árboles y de la estaca (¿por qué tanta prisa?).
Una vez señaladas, proceden con tranquilidad a medirlas y a anotar sus mediciones. He aquí algunos resultados:
SOMBRA DE…
MIDE…
Estaca
75 cm
Ciprés
8,8 m
Higuera
3m
Chopo
5,7 m
Calcula razonadamente la altura de esos tres árboles.
Tienen que hacerlo deprisa porque a medida que pasa el tiempo los rayos del sol
modifican la sombra de los árboles en el suelo.
h → altura de la higuera
h' → altura del chopo
H → altura del ciprés
Utilizando la semejanza de triángulos:
120 = h → h = 480 cm
75
300
La higuera mide 4,8 m de altura.
120 = h' → h' = 912 cm
75
570
H
h'
El chopo mide 9,12 m de altura.
120 = H → H = 1 408 cm
75
880
h
1,2 m
3m
El ciprés mide 14,08 m de altura.
Unidad 13. Trigonometría
75 cm
5,7 m
8,8 m
13
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 2
Página 179
1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triángulo rectángulo mucho
más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que son, aproximadamente, las mismas.
B
—
BC
35
sen 34° = — =
= 0,56
62
AB
—
51
cos 34° = AC
— = 62 = 0,82
62 mm
AB
35 mm
—
BC
35
tg 34° = — =
= 0,68
51
AC
A
C
51 mm
Página 180
2 Utilizando el anterior aparato y un transportador de ángulos, calcula el seno y
el coseno de 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° y 80°, y la tangente de aquellos
que puedas.
0,5
O
0,5
sen 10° = 0,18, cos 10° = 0,98, tg 10° = 0,18
sen 20° = 0,34, cos 20° = 0,94, tg 20° = 0,37
sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,86, tg 30° = 0,58
sen 40° = 0,64, cos 40° = 0,76, tg 40° = 0,84
sen 50° = 0,76, cos 50° = 0,64; sen 60° = 0,86, cos 60° = 0,5
sen 70° = 0,94, cos 70° = 0,34; sen 80° = 0,98, cos 80° = 0,18
Unidad 13. Trigonometría
U
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
13
1
Pág. 3
Página 181
3 Calcula la longitud de la hipotenusa y halla las razones trigonométricas del ángulo α.
3 cm
α
4 cm
Por el teorema de Pitágoras:
x
3 cm
α
x 2 = 42 + 32 → x 2 = 16 + 9 → x 2 = 25 → x = 5 cm
Razones trigonométricas de α:
4 cm
sen α = 3 = 0,6
5
cos α = 4 = 0,8
5
tg α = 3 = 0,75
4
4 Calcula la longitud del lado x sabiendo que:
sen β = 0,9
cos β = 0,44
x
tg β = 2,06
(¿Cuál de las razones trigonométricas es la que has de utilizar?)
Puesto que conocemos la longitud del cateto contiguo al ángulo
β y nos piden calcular el opuesto, usaremos que tg β = 2,06.
β
16 cm
tg β = x → x = 16 · tg β → x = 16 · 2,06 = 32,06 cm
16
5 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos,
una vez abiertos, formen un ángulo de 60°.
Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?
√ 3 = 2 → L = 4 ≈ 2,3 m
cos 30° = 2 →
2
L
L
√3
Cada brazo deberá medir, aproximadamente, 2,3 m de longitud.
sen α = 0,77
6
cos α = 0,64
x
5 cm
α
tg α = 1,19
Calcula x.
Puesto que conocemos el cateto opuesto al ángulo α y nos piden calcular la hipotenusa, usaremos el dato sen α = 0,77.
sen α = 5 → x = 5 = 5 ≈ 6,49 cm
x
sen α 0,77
Unidad 13. Trigonometría
13
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 4
Página 182
1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°.
sen 37° = 0,6
(cos 37°)2 + (0,6) 2 = 1 → cos 37° = ± √1 – 0,36 = ±0,8
Solo tomamos el resultado positivo: cos 37° = 0,8
tg 37° = 0,6 = 0,75
0,8
2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°.
sen 28° = 0,53
cos 28°
(sen 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1
sen 28° = 0,53 cos 28°
(0,53 cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 → 0,28(cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 →
→ 1,28(cos 28°) 2 = 1 →
→ cos 28° = ±
√
1
→ cos 28° = ±0,88
1,28
Solo tomamos el resultado positivo: cos 28° = 0,88
sen 28° = 0,53 · 0,88 → sen 28° = 0,46
Página 183
1 Halla tg 76° y cos 38°.
76
38
2 Copia en la calculadora 39° 11' 48". Pasa a
39
11
el ángulo 39,19666667°.
48
que en nuestra notación es 39° 11' 48''.
3 Halla α y β directamente con la calculadora, sabiendo que cos α = 0,83 y
tg β = 2,5.
cos α = 0,83 →
tg β = 2,5 →
Unidad 13. Trigonometría
0,83
2,5
33,901262
68,19859051
33° 54' 4''
68° 11' 55''
13
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 5
4 Si tg β = 0,6924, halla cos β.
tg β = 0,6924 →
0,6924
34,69872863
0,822156673
Página 184
1 Resuelve el triángulo ABC :
B
4 cm
10,3 cm
A
C
Calculamos el lado AC aplicando el teorema de Pitágoras:
10,32 = 42 + AC 2 → AC = √106,09 = √90,09
AC ≈ 9,49 cm
^
^
Calculamos el valor del ángulo C y del ángulo B:
4 ≈ 0,39 → C^ = 22,85° → C^ = 22° 51'
10,3
^
^
^
B = 90° – C = 90° – 22,85° = 67,15° → B = 67° 9'
^
sen C =
2 Halla el ángulo y los lados desconocidos del triángulo ABC :
^
^
^
^
Ángulo B → B = 90° – A = 90° – 50° = 40° → B = 40°
—
Lado AC → cos 50° = AC → AC = 15 · cos 50° ≈ 9,64 cm
15
B
15 cm
50°
A
C
AC ≈ 9,64 cm
—
BC
Lado BC → sen 50° =
→ BC = 15 · sen 50° ≈ 11,49 cm
15
BC = 11,49 cm
Página 186
1 Víctor y Ramón quieren saber la altura a la que se encuentra el campanario de
la iglesia de su pueblo. Para ello, Víctor sube al campanario y lanza el extremo
de una cuerda hacia afuera. El pie de la torre no es accesible. Ramón se aleja
con la cuerda hasta que queda tensa y la clava en el suelo. Forma un ángulo de
42°. La cuerda mide 51 metros.
a) ¿A qué altura está el campanario?
b) ¿A qué distancia se encuentra Ramón de la base del campanario?
a) sen 42° = h → h = 51 sen 42° → h = 51 · 0,67 = 34,13 m
51
El campanario tiene una altura de 34,13 m.
Unidad 13. Trigonometría
13
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 6
b) cos 42° = b → b = 51 · cos 42° →
51
→ b = 37,9 m
51 m
h
La distancia de Ramón a la base del campanario
es de 37,9 m.
42°
b
2 Para hallar la distancia entre dos puntos inaccesi-
B
bles entre sí, A y C, medimos desde el punto B
las distancias AB = 170 m y BC = 320 m.
0m
170
m
∧
32
∧
Medimos también los ángulos A = 64° y C = 52°.
Calcula la distancia AC .
Trazamos la altura sobre el lado AC y calculamos el valor de x e y:
64°
A
170
0m
32
m
B
64°
A
x
52°
y
cos 64° = x → x = 170 · cos 64° ≈ 74,52 m
170
y
cos 52° =
→ y = 320 · cos 52° ≈ 197,01 m
320
Luego AC = x + y = 74,52 + 197,01 = 271,53 m
Unidad 13. Trigonometría
C
52°
C