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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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Página 152
Los chicos del dibujo deben medir las alturas de los 47 árboles de
una cierta parcela horizontal. Para ello, proceden del siguiente
modo:
Clavan en el suelo una estaca vertical que sobresale 120 cm. A
continuación, corren a señalar en
el suelo los extremos de las sombras de los 47 árboles y de la estaca (¿por qué tanta prisa?).
Una vez señaladas, proceden con tranquilidad a medirlas y a anotar sus mediciones. He aquí algunos resultados:
SOMBRA DE…
MIDE…
Estaca
75 cm
Ciprés
8,8 m
Higuera
3m
Chopo
5,7 m
Calcula razonadamente la altura de esos tres árboles.
Tienen que hacerlo deprisa porque a medida que pasa el tiempo los rayos del sol
modifican la sombra de los árboles en el suelo.
h → altura de la higuera
h' → altura del chopo
H → altura del ciprés
Utilizando la semejanza de triángulos:
120 = h → h = 480 cm
75
300
La higuera mide 4,8 m de altura.
120 = h' → h' = 912 cm
75
570
H
El chopo mide 9,12 m de altura.
h'
120 = H → H = 1 408 cm
75
880
El ciprés mide 14,08 m de altura.
Unidad 7. Trigonometría
h
1,2 m
3m
75 cm
5,7 m
8,8 m
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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Página 153
1 Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Es rectángulo porque sus lados verifican el teorema de Pitágoras (32 + 42 = 52). Traza la altura sobre la hipotenusa. Demuestra que los dos pequeños triángulos en que se divide el
grande son semejantes entre sí.
B
• ABC es semejante a ABH por com^
partir el ángulo A .
3 cm
• ABC es semejante a BHC por tener
^
en común el ángulo C .
4 cm
H
A
Se concluye, pues, que ABH es semejante a BHC.
C
5 cm
2 Observa cómo calcula Leticia la altura de una morera que proyecta una sombra
de 5,7 m a la luz de una farola de altura desconocida:
a) Altura de Leticia = 1,68 m
Sombra de Leticia = 1,5 m
d = 2,9 m
Con esto se calcula la altura de la farola.
b) Conociendo la altura de la farola y la sombra de la morera, 5,7 m, y midiendo la
distancia de la farola a la morera, 8 m, se
calcula la altura de la morera.
Resuelve los apartados a) y b) descritos en la situación anterior.
a) Si h es la altura de la farola, por la semejanza de triángulos:
h = 1,68 →
d
1,5
h = 1,68 → h = 3,248 m mide la farola.
2,9
1,5
b) hm → altura de la morera:
h = 3,248 m
hm
11,7 m
8m
11,7 = 11,7 + 8 → h = 1,93 m mide la morera.
m
3,248
hm
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Pág. 3
Página 154
1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triángulo rectángulo mucho
más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que son, aproximadamente, las mismas.
B
—
BC
sen 34° = — = 35 = 0,56
62
AB
—
51
cos 34° = AC
— = 62 = 0,82
AB
—
35
tg 34° = BC
— = 51 = 0,68
AC
62 mm
A
35 mm
C
51 mm
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2 Utilizando el anterior aparato y un transportador de ángulos, calcula el seno y
el coseno de 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° y 80°, y la tangente de aquellos
que puedas.
0,5
O
0,5
sen 10° = 0,18, cos 10° = 0,98, tg 10° = 0,18
sen 20° = 0,34, cos 20° = 0,94, tg 20° = 0,37
sen 30° = 0,5, cos 30° = 0,86, tg 30° = 0,58
sen 40° = 0,64, cos 40° = 0,76, tg 40° = 0,84
sen 50° = 0,76, cos 50° = 0,64; sen 60° = 0,86, cos 60° = 0,5
sen 70° = 0,94, cos 70° = 0,34; sen 80° = 0,98, cos 80° = 0,18
Unidad 7. Trigonometría
U
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1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°.
sen 37° = 0,6
(cos 37°)2 + (0,6) 2 = 1 → cos 37° = ± √1 – 0,36 = ±0,8
Solo tomamos el resultado positivo: cos 37° = 0,8
tg 37° = 0,6 = 0,75
0,8
2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°.
sen 28° = 0,53
cos 28°
(sen 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1
sen 28° = 0,53 cos 28°
(0,53 cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 → 0,28(cos 28°) 2 + (cos 28°) 2 = 1 →
→ 1,28(cos 28°) 2 = 1 →
→ cos 28° = ±
√
1
→ cos 28° = ±0,88
1,28
Solo tomamos el resultado positivo: cos 28° = 0,88
sen 28° = 0,53 · 0,88 → sen 28° = 0,46
Página 157
3 Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45°
mediante las relaciones fundamentales.
sen 45° = 1; sen 45° = cos 45°
cos 45°
(sen 45°) 2 + (cos 45°) 2 = 1
(cos 45°) 2 + (cos 45°) 2 = 1 → cos 45° = ±
√
Solo tomamos el resultado positivo: cos 45° =
Unidad 7. Trigonometría
1
√2
=±
2
2
√ 2 → sen 45° = √ 2
2
2
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4 Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30°
mediante las relaciones fundamentales.
sen 30° = 1
2
√3
(sen 30°)2 + (cos 30°)2 = 1 → 1 + (cos 30°)2 = 1 → cos 30° = ±
2
4
Tomamos el resultado positivo: cos 30° =
tg 30° =
√3
2
1/2
1
√3
=
=
3
√ 3/2 √ 3
5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
sen α
cos α
tg α
0,94
4/5
√3 /2
0,82
3,5
1
En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal.
sen α
0,94 0,57
4/5
cos α
0,34 0,82
2,76 0,69
3/5
4/3
tg α
1/2 √2 /2
0,27 √3 /2 √2 /2
3,5 √3 /3 1
0,96
En todos los casos solo tomaremos los resultados positivos.
• sen α = 0,94
(cos α) 2 + (0,94) 2 = 1 → cos α = 0,34
tg α = 0,94 = 2,76
0,34
• cos α = 0,82
(sen α)2 + (0,82)2 = 1 → sen α = 0,57
tg α = 0,57 = 0,69
0,82
• sen α = 4
5
()
4
5
2
+ (cos α)2 = 1 → (cos α)2 = 1 – 16 → cos α = 3
25
5
tg α = 4/5 = 4
3/5 3
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• tg α = 3,5
sen α = 3,5; sen α = 3,5 · cos α
cos α
(sen α)2 + (cos α)2 = 1
(3,5 cos α)2 + (cos α)2 = 1 → 13,25(cos α)2 = 1 → cos α = 0,27
sen α = 3,5 · 0,27 → sen α = 0,96
√3
• cos α =
2
(sen α)2 +
tg α =
( )
√3
2
2
= 1 → (sen α)2 = 1 – 3 → sen α = 1
4
2
1/2
1
√3
=
=
3
√ 3/2 √ 3
• tg α = 1
sen α = 1; sen α = cos α
cos α
(sen α)2 + (cos α)2 = 1
(cos α)2 + (cos α)2 = 1 → 2(cos α)2 = 1 → cos α =
sen α =
√2
1
√2
=
2
√2
2
6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°.
Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?
√ 3 = 2 → L = 4 ≈ 2,3 m
cos 30° = 2 →
2
L
L
√3
Cada brazo deberá medir, aproximadamente, 2,3 m de longitud.
7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,7.
cos α = 0,7
(sen α) 2 + (cos α) 2 = 1 → (0,7) 2 + (sen α) 2 = 1 → sen α = ±0,71
Tomamos solo el valor positivo: sen α = 0,71
tg α = 0,71 = 1,01
0,7
Unidad 7. Trigonometría
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Pág. 7
8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7.
tg α = 0,7
sen α = 0,7; sen α = 0,7 · cos α
cos α
(sen α) 2 + (cos α) 2 = 1
(0,7 cos α) 2 + (cos α) 2 = 1 → 1,49(cos α) 2 = 1 → cos α = ±0,82
Solo tomamos el valor positivo: cos α = 0,82
sen α = 0,7 · 0,82 → sen α = 0,57
Página 158
1 Halla tg 76° y cos 38°.
76
38
2 Copia en la calculadora 39° 11' 48". Pasa a
39
11
el ángulo 39,19666667°.
48
que en nuestra notación es 39° 11' 48''.
3 Halla α y β directamente con la calculadora, sabiendo que cos α = 0,83 y
tg β = 2,5.
cos α = 0,83 →
tg β = 2,5 →
0,83
2,5
33,901262
68,19859051
33° 54' 4''
68° 11' 55''
4 Si tg β = 0,6924, halla cos β.
tg β = 0,6924 →
0,6924
34,69872863
0,822156673
Página 159
1 Víctor y Ramón quieren saber la altura a la que se encuentra el campanario de
la iglesia de su pueblo. Para ello, Víctor sube al campanario y lanza el extremo
de una cuerda hacia afuera. El pie de la torre no es accesible. Ramón se aleja
con la cuerda hasta que queda tensa y la clava en el suelo. Forma un ángulo de
42°. La cuerda mide 51 metros.
a) ¿A qué altura está el campanario?
b) ¿A qué distancia se encuentra Ramón de la base del campanario?
Unidad 7. Trigonometría
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Pág. 8
a) sen 42° = h → h = 51 sen 42° → h = 51 · 0,67 = 34,13 m
51
El campanario tiene una altura de 34,13 m.
51 m
h
b) cos 42° = b → b = 51 · cos 42° →
51
→ b = 37,9 m
42°
b
La distancia de Ramón a la base del campanario es de 37,9 m.
Página 160
2
Para hallar la altura a la que se
encuentra un globo, procedemos del siguiente modo:
Rosa se coloca en un punto B,
y yo en un punto A, a 5 metros de ella, de tal forma que
los puntos A, B y C (observa la figura) quedan alineados.
Si los ángulos α y β miden 40° y 50°, respectivamente, ¿a qué altura se encuentra el globo?
h → altura a la que se encuentra el globo.
h
tg β = —
—
BC
h
tg α = —
—
AC
h
 tg 50° = —

x

h
 tg 40° = —
x+5






h
α
β
x
h
h = 1,19x
1,19 = —
A
B
C
x
h
1,19x
0,84 = — → 0,84 = — → 0,84x + 4,2 = 1,19x → 0,35x = 4,2 →
x+5
x+5
→ x = 12 → h = 1,19 · 12 = 14,28 m
El globo se encuentra a 14,28 m de altura.
3
Una antena de radio está sujeta al
suelo con dos tirantes de cable de
acero, como indica la figura.
Calcula:
a) La altura de la antena.
b) La longitud de los cables.
∧
c) El valor del ángulo ABC.
Unidad 7. Trigonometría
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Pág. 9
B
h
60°
A
45°
x
126 m
C
a) h → altura de la antena.
—
h
h
 √—
tg 60° = —
3 = — → h = √ 3x

x
x

h
h
→ h = 126 – x
tg 45° = —  1 = —
126 – x 
126 – x
√3 x = 126 – x → ( √3 + 1)x = 126 →
126
= 46,12 →
√3 + 1
→ h = 126 – 46,12 → h = 79,88 m
→ x=
La altura de la antena es de 79,88 m.
x
b) cos 60° = —
AB
h
sen 45° = —
BC
—
→ 1 = 46,12
→ AB = 92,24 m
—
2
AB
→
—
√ 2 = 79,88 → BC
= 112,97 m
—
2
BC
c) ABC = 180° – 60° – 45° = 75°
Página 161
4 En un triángulo ABC, calcula BC conociendo AB = 37 cm, AC = 50 cm y
∧
BAC = 32°.
—
—
sen 32° = BH → BH = 37 · sen 32° = 19,6 cm
37
—
—
cos 32° = AH → AH = 37 · cos 32° = 31,38 cm
37
—
CH = 50 – 31,38 = 18,62 cm
B
Aplicando el teorema de Pitágoras al
triángulo BCH:
37
—
—
—
BC = √BH 2 + CH 2 =
= √19,6 2 + 18,62 2 = 27,03 cm
Unidad 7. Trigonometría
A
cm
32°
H
50 cm
C
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Página 162
90° Y
cos α
1 Razonando sobre el triángulo coloreado de la figura, y teniendo en cuenta que su hipotenusa es
OA = 1, justifica que los segmentos OA' y A'A
corresponden, efectivamente, a las razones trigonométricas cos α, sen α, respectivamente.
—
—
—
AA' → sen α = AA'
sen α = AA'
→
sen
α
=
—
OA
1
B
sen β
180°
γ
sen γ
C
A
cos β
β
δ
sen α
α
O
A'
X
sen δ
cos γ
cos δ
270°
D
A
—
cos α = OA'
—
OA
1
—
cos α = AA'
1
—
cos α =OA'
α
O
A'
2 Aplicando el teorema de Pitágoras en el correspondiente triángulo rectángulo,
justifica que (sen β)2 + (cos β)2 = 1. (Ten en cuenta que (–a)2 = a 2).
B
cos β
β
1
sen β
Por el teorema de Pitágoras:
—
(–cos β) 2 + (sen β) 2 = OB →
O
→ (cos β) 2 + (sen β) 2 = 1
3 Di el valor de sen α y cos α cuando α vale 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.
sen 0° = 0
sen 90° = 1
sen 180° = 0
sen 270° = –1
sen 360° = 0
cos 0° = 1
cos 90° = 0
cos 180° = –1
cos 270° = 0
cos 360° = 1
4
+ +
– –
En este círculo se da el signo de sen φ según el cuadrante en el que se halle situado el ángulo φ. Comprueba que es correcto y haz algo similar para cos φ.
cos φ
El coseno se corresponde con la longitud en el eje X, por lo que será positivo en el primer y
cuarto cuadrante y negativo en el segundo y tercer cuadrante.
Unidad 7. Trigonometría
– +
– +
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Página 163
5 Sitúa sobre la circunferencia goniométrica los ángulos siguientes: a) 32°,
b) 323°. Representa sus razones trigonométricas y valóralas numéricamente.
a) 32°
sen 32° = 0,52
cos 32° = 0,85
tg 32° = 0,62
b) 323°
sen 323° = –0,6
cos 323° = 0,8
tg 323° = –0,75
1
0,2
32°
323°
–1
6 Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos OA'A y OUT, y que
OU = 1, demuestra que sen α/cos α = tg α.
Por la semejanza de triángulos:
—
—
— —
—
— AA'
OA' = OU → UT
AA'
·
OU
= —
= —
—
—
OA'
AA' UT
OA'
—
sen α
→ tg α = AA'
— = cos α
OA'
T
A
→
sen α
α
O
tg α
cos α
A'
U
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7 Expresa con valores comprendidos entre –180° y 180°: a) 1 555°, b) 1 297°.
a) 1 555° → 1 555° = 4 · 360° + 115° → 1 555° = 115°
b) 1 297° → 1 297° = 3 · 360° + 217° → 1 297° = –360° + 217° = –143°
Unidad 7. Trigonometría