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MATEMÁTICAS 2 Geometría, trigonometría, datos y azar BACHILLERATO GENERAL SERIE INTEGRAL POR COMPETENCIAS Joaquín Ruiz Basto primera edición ebook 2014 Para establecer comunicación con nosotros puede utilizar estos medios: correo: Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, México, D.F. Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Elaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 22, 23, 24, 44, 45, 68, 69, 90, 91, 118, 119, 134, 135, 156, 157, 172, 173, 188, 189, 204, 205 Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisor de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez Jiménez Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo, Gerardo Díaz, Antonio Núñez Fotografías: Thinkstock e-Mail: Matemáticas 2 Geometría, trigonometría, datos y azar. info@editorialpatria.com.mx Serie integral por competencias Derechos reservados: ©2014, Joaquín Ruiz Basto ©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Fax pedidos: ISBN ebook: 978-607-438-997-5 (0155) 5354 9109 • 5354 9102 sitio web: www.editorialpatria.com.mx Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico teléfono: (0155) 53 54 91 00 Primera edición ebook: 2014 Dedicatoria A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo. A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra. Contenido BLOQUE 1 BLOQUE 2 BLOQUE 3 BLOQUE 4 BLOQUE 5 BLOQUE 6 IV Parte 1 Desarrollo de competencias. . . . . . . 1 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas. . . . . . . . . . . 2 Comprendes la congruencia de triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Resuelves problemas de semejanzas de triángulos y teorema de Pitágoras 46 Reconoces las propiedades de los polígonos. . . . . . . . . . . . . . . 70 Reconoces las propiedades de la circunferencia. . . . . . . . . . . . 92 Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos . . . . . . . . . . 120 BLOQUE 7 BLOQUE 8 BLOQUE 9 BLOQUE 10 Aplicas funciones trigonométricas . . 136 Aplicas las leyes de senos y cosenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Aplicas la estadística elemental. . . . 174 Empleas los conceptos elementales de la probabilidad. . . . . . . . . . . . . . 190 Parte 2 Material de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Sección 1. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Sección 2. Lados de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Sección 3. Triángulos y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1. . . . . . . . . . . 231 Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi- vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas Competencias disciplinarias básicas Bloques de aprendizaje 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos. X X X X X X X X X X 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. X X X X X X X X X X 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. X X X X X X X X X X 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. X X X X X X X X X X X X 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. X X 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. X X 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean. VI X X X X X X X X Presentación MATEMÁTICAS 2 Geometría, trigonometría, datos y azar Es el segundo libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del segundo semestre escolar del bachillerato general. Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante. Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación didáctica al estudiante, de su entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones. La obra propone, enseguida, una secuencia didáctica de actividades que conduce al alumno a la solución de la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del análisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de cada lección; incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares. Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer. Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar. La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados problemas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula. Esta segunda edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor. Problema propuesto Conocimientos Situación didáctica Secuencia didáctica Comentarios adicionales Consulta Análisis de la situación Joaquín Ruiz Basto Rúbrica de evaluación Proyecto de trabajo Segmento informativo Parte teórica Ejemplos Aplicaciones Sugerencias para los ejercicios Autoevaluaciones VII Parte 1 Desarrollo de competencias Contenido Bloque 1 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas A. B. C. El reflejo de la luz en vidrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Rescate de un bebé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Aretes artesanales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Bloque 2 Comprendes la congruencia de triángulos A. B. Campismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Crucero turístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Bloque 3 Resuelves problemas de semejanzas de triángulos y teorema de Pitágoras A. B. C. Amplificando un diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Empaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 La lente de aumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Bloque 4 Reconoces las propiedades de los polígonos A. B. C. Héroes y villanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ángulos y espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Impermeabilizando una casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bloque 5 Reconoces las propiedades de la circunferencia A. B. C. D. Juego con monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arquitectura del paisaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ubicación de un hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pasta hojaldrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 100 106 112 Bloque 6 Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos A. B. Pirámide del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Disco compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Bloque 7 Aplicas funciones trigonométricas A. B. C. Partida de tenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Limpiaparabrisas de autos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Biorritmo de las personas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Bloque 8 Aplicas las leyes de senos y cosenos A. B. Rescate alpino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Juego de mesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Bloque 9 Aplicas la estadística elemental A. B. Concurso de chefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 El chef ganador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Bloque 10 Empleas los conceptos elementales de la probabilidad A. B. Paletas de sabores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Eligiendo premios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Competencias a desarrollar n n n n n E xpresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. n n n n D efine metas y da seguimiento a sus procesos de construccción de conocimientos. Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 1 B LO Q U E Objetos de aprendizaje Ángulos: Por su abertura Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal) Por la suma de sus medidas: Complementarios Suplementarios Triángulos: Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos Propiedades relativas de los triángulos. ¿Qué sabes hacer ahora? Desempeños del estudiante al concluir el bloque Identifica diferentes tipos de ángulos y triángulos. Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad. Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo. Los triángulos constituyen la base para construir diversas figuras geométricas. Muchas de las propiedades de éstas derivan de las propiedades o relaciones métricas entre lados y ángulos de los triángulos. Una aplicación notable de la peculiar determinación mutua entre lados y ángulos de esta figura tan simple, se encuentra en la edificación de estructuras en ingeniería, ya que al ser indeformable esta figura (salvo por su destrucción) hacen que sea la más resistente. Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 1 A BLOQUE Conocimientos Dos ángulos adyacentes tienen un lado en común, pero no se traslapan. A B ∠AOB y ∠BOC son adyacentes. → OB es su lado común. C Situación didáctica El reflejo de la luz en vidrio Cuando un rayo de luz incide sobre un vidrio, una parte se desvía (reflejo) en el medio en que viaja y otra atraviesa el vidrio (refracción). Si haces un experimento con una lámpara de mano, de modo que con la superficie del vidrio el rayo reflejado forme un ángulo de 53º y el rayo refractado un ángulo de 66º, podrías requerir alguna información sobre los ángulos que se forman, tal como: a) ¿Cuánto miden los ángulos de incidencia y de reflexión ϕ y ϕ’? b) ¿Cuánto mide el ángulo de refracción ω? O Dos ángulos complementarios suman 90°. Ejemplo: si a = 30° y β = 60°, entonces son complementarios Dos ángulos suplementarios suman 180°. ϕ ϕ' Ejemplo: Si a = 20° y β = 160°, entonces son suplementarios 53º Dos ángulos pueden ser complementarios o suplementarios sin importar la posición de sus lados. 66º ω Consulta En libros y otras fuentes sobre geometría plana: Clasificación de ángulos según: a) sus medidas. b) la suma de sus medidas. c) la posición de sus lados. Análisis de la situación ¿Existe alguna relación especial entre los lados de los ángulos ϕ y ϕ’? ¿Cómo se denomina a estos ángulos en geometría? ¿Cómo se llama en óptica a los ángulos ϕ y ϕ’? Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica Rúbrica de evaluación 1. ¿A cuánto es igual la suma ϕ’ + 53º? ¿Por qué? 1.Elabora un reporte en el que obtengas la medida de los ángulos ϕ, ϕ’ y ω y justi fiques cada paso de tu desarrollo. 2. A partir del dato anterior, obtén la medida de ϕ’. 3. ¿Es correcto afirmar que ϕ = ϕ’? Justifica la respuesta. 4.Designa por α al ángulo comprendido entre ϕ y el ángulo de 66º. ¿Cuánto mide este ángulo? Justifica tu respuesta. 5. Explica por qué razón ω = 90º - 66º. 6.¿Es correcto que confirmes tus resultados realizando las dos sumas que se pro porcionan a continuación?: a) α + ϕ + ϕ’ + 53º = 180º _______________________________________ b) 66º + α + ϕ = 180º _______________________________________ Argumenta cada una de tus respuestas. 7.Conclusión: En este experimento, el ángulo de incidencia y el ángulo de refle xión miden cada uno: _______________ y el ángulo de refracción mide: _____ _______________. 2.Escribe un resumen donde indiques qué entiendes por: a) Ángulos complementarios b) Ángulos adyacentes c) Ángulo llano Debes ilustrar con diagramas tus explica ciones. 3.Investiga en un libro de física qué es la refracción y la reflexión de la luz y anexa esta información a tu reporte sobre la obtención de las medidas de los ángulos en el experimento presentado en la situa ción didáctica. Proyecto de trabajo 1.Las manecillas del reloj Indica qué tipo de ángulo forman las manecillas del reloj cuando están en la posición mostrada. a) 11 12 1 2 10 3 9 4 8 7 6 5 b) 11 12 1 2 10 3 9 4 8 7 6 5 c) 11 12 1 2 10 3 9 4 8 7 6 5 2.Comprobar y probar En casos particulares, comprueba la validez de las siguientes afirmaciones. Demuestra después que son ciertas para cualquier par de ángulos iguales α, β. a)Dos ángulos iguales tienen complementos iguales. b)Dos ángulos iguales tienen suplementos iguales. c)Si los complementos —o los suplementos— de dos ángulos son iguales, entonces los ángulos son iguales. Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 1A Segmento informativo Fíjate en lo siguiente... Los ángulos agudos nunca miden 0° ni 90°. Los ángulos obtusos nunca miden 90° ni 180°. Tipos de ángulos Recto A) Según sus medidas: Obtuso Entre 0° y 90° 90° Entre 90° y 180° 180° Agudo: Recto: Obtuso: Llano: 90º Agudo 0º 180º Llano B) Según la posición de sus lados: Recuerda Un punto en una recta divide a ésta en dos rayos opuestos, es decir, dos rayos que par ten del mismo origen pero siguen direccio nes opuestas. De lados colineales: Un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. Opuestos por el vértice: Son dos ángulos cuyos lados forman pares de rayos opuestos. Verifica tu avance ¿Por qué todo ángulo de lados colineales es un ángulo llano? Justifica tu respuesta. Adyacentes: Ángulos con vértice y un lado común, pero sin puntos interiores comunes. 3 2 Ampliando el conocimiento Dos rectas son perpendiculares (^) si se cor tan formando ángulos adyacentes iguales. 1 C) Según la suma de sus medidas: Complementarios: Son dos ángulos que suman 90°. m 30º n 60º m^n 70º 20º Suplementarios: Son dos ángulos que suman 180°. Verifica tu avance ¿Por qué podemos decir que las rectas per pendiculares forman ángulos de 90°? ¿Por qué siempre son iguales dos ángulos opuestos por el vértice? Argumenta tu respuesta. 100º Ejemplo 1. 120º 60º 80º Reconociendo tipos de ángulos De acuerdo con los distintos criterios de clasificación de los ángulos, describe qué tipos de ángulos son los siguientes: a) ∠1 y ∠2 b) ∠a, ∠b y ∠c 90º 2 c 1 180º b a 0º Grupo Editorial Patria® c) ∠3 y ∠4 Ejemplo 2b d) ∠LNO, ∠MNO, ∠LNM. 90º Fíjate en lo siguiente… L 90º Cuando usas letras del alfabeto griego para denotar ángulos, puedes prescindir del sím bolo ∠. M 3 4 180º 0º 180º 0º O N Ampliando el conocimiento Solución Algunas letras minúsculas del alfabeto grie go y sus nombres: a) Opuestos por el vértice; agudos. b) Adyacentes; ∠a y ∠b, agudos y complementarios; ∠c recto. c) Cada uno es recto; ambos son suplementarios y adyacentes. ∠MNO agudo; (mide 40°) d)∠LNO obtuso; (mide 130°) Ejemplo 2. ∠LNM recto. (mide 130° - 40° = 90°) a b d g alfa beta delta gamma q j y w theta fi psi omega Verifica tu avance Aplicando criterios para discriminar ¿Son adyacentes ∠s y ∠t? Explica por qué: a) ∠a y ∠b no son opuestos por el vértice. s b) a y b no son adyacentes. t c) ∠1, ∠2 y ∠3 no son complementarios. ¿Son suplementarios ∠1, ∠2, ∠3 y ∠4? 90º a b α β 3 3 2 2 4 1 1 0º a) b) c) Justifica cada respuesta. Solución a) Sólo tienen un par de lados opuestos. b) Tienen puntos interiores comunes. c) Aunque suman 90°, no son dos ángulos, sino tres. Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Sugerencias para la autoevaluación 1A 1.Para hallar el complemento, resta a 90° el ángulo dado. 2.Expresa 90° en grados y minutos. 5.El doble de un ángulo de 42° 40’ se obtiene multiplicándolo por dos. Con vierte en grados los minutos que formen grupos de 60. 6.Expresa 180° en grados, minutos y segundos antes de restar el ángulo dado. 13.Deben cumplirse tres condiciones para que dos ángulos sean adyacentes. Iden tifícalas en la definición. Autoevaluación 1A 1.a) 30° es el complemento de ? b)El complemento de 70° es ? c) 142° es el suplemento de ? d)El suplemento de 15° es ? e) El complemento de 2x° es ? 2.Si a y b son complementarios y a = 31° 25’, ¿cuánto mide b? 3.Un ángulo que mide 179° 59’ 60”, ¿es un ángulo llano? 4.¿Es 67° 45’ 29” el complemento de 23° 15’? 5.¿Puede ser 14° 28’ el complemento del doble del ángulo que mide 42° 40’? 6.Obtén el suplemento de 57° 34’ 20”. 7.Clasifica los siguientes ángulos según sus medidas: a) ∠DFE d) ∠AFE b)∠CFE e) ∠BFD c) ∠BFE C D 90º B A E 0º 180º F Utiliza la figura de la página 9 para los ejercicios 8 a 18. 8.Nombra tres ángulos que tengan el rayo OF como lado común. 9.Nombra todos los ángulos agudos. 10.Nombra dos ángulos obtusos distintos y dos iguales. 11.Nombra un ángulo recto. 12.¿∠2 y ∠6 son opuestos por el vértice? 13.Nombra un par de ángulos adyacentes. 14.¿∠1 y ∠6 son adyacentes?, ¿y ∠3, ∠4? 15.¿Cuánto suman ∠5 y ∠6? Grupo Editorial Patria® 16.¿Es ∠AOB un ángulo de lados colineales? ¿Cuánto mide? 16.Colineales significa que están en la misma recta. 17.Si ∠2 = 35°, ¿cuánto mide ∠3? 18.¿Es correcto afirmar que ∠4, ∠5 y ∠6 son suplementarios? ¿Son iguales ∠1 y ∠4? E A C 6 90º 1 19.Colorea el interior de cada ángulo usando un tono distinto para cada uno, ¿qué observas? 5 23.¿Cómo deben ser los lados de dos ángulos opuestos por el vértice? 4 O 2 18.Revisa el ejemplo 2 en este segmento. Ángulos iguales tienen igual medida. 3 B D 24.La suma de dos ángulos obtusos, ¿es menor o mayor que 180°? ¿Por qué? F 26.¿Qué sucedería si ambos fuesen agu dos, o ambos obtusos? Ejercicios 8 a 18 19.En la siguiente figura, ¿son adyacentes a y b? ¿Tienen un lado común? ¿Tienen el mismo vértice? 20.¿Son complementarios a y b? α β 27.¿La definición de ángulos suplementa rios depende de la posición de los lados de los ángulos? 28.Cuando generas un ángulo mediante un giro, un lado permanece fijo y el otro se mueve. ¿Qué ocurre al completar una vuelta? Ejercicios 19 y 20 21.¿Tiene sentido hablar del complemento de 120°? 22.¿Pueden ser suplementarios dos ángulos agudos? 23.¿Podrían ser adyacentes dos ángulos opuestos por el vértice? 24.¿Pueden ser complementarios dos ángulos obtusos? 25.¿Son iguales todos los ángulos rectos? ¿Y los llanos? ¿Y los agudos? 26.¿El suplemento de un ángulo agudo es siempre un ángulo obtuso? 27.¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes? 28.¿Cómo definirías “ángulo de una vuelta” sin utilizar la noción de grado? 29.¿Cuánto miden dos ángulos complementarios iguales? ¿Y dos ángulos suple mentarios iguales? Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 1 BLOQUE B Conocimientos Rectas paralelas Si dos rectas no se intersecan o cortan en algún punto se dice que son paralelas (||). En el dibujo, l || m l m Para averiguar si dos segmentos de recta son paralelos, puede verificarse alguna de las condiciones siguientes: Situación didáctica Rescate de un bebé El dibujo a escala muestra los avances en la excavación de un pozo hecho para rescatar a un pequeño que cayó al fondo de un pozo de 18 metros de profundidad y 30 cm de diámetro. La estrategia a seguir para evitar derrumbes consiste en excavar un pozo paralelo al pozo donde cayó el bebé, de 80 cm de diámetro, hasta una profundidad de 18.5 metros y conectar ambos por debajo mediante un túnel. Si estuvieras a cargo de los trabajos, ¿cómo verificarías, en los reportes gráficos del avance de la perforación, que el pozo se mantendrá vertical, para no desembocar antes en el pozo provocando un derrumbe? 30 cm 80 cm 1.Que la distancia entre ambos es siempre la misma. 2.Que forman ángulos respectivamente iguales con una recta que atraviese a ambos. 18.5 m 18 m Consulta En libros y otras fuentes sobre geometría plana: Ángulos formados en dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Trazo de a) la perpendicular y b) la paralela a una recta desde un punto exterior, utilizando: 1) regla y compás; 2) escuadras de dibujo. Trazo de una recta paralela a otra utilizando escuadras de dibujo. Análisis de la situación Si el nuevo pozo se perforara en forma vertical para evitar coincidir con el pri mer pozo, ¿podrías suponer entonces que este último también es vertical? Dos perforaciones verticales, ¿deben ser paralelas? ¿Cómo podría garantizarse que el nuevo pozo es paralelo al primero? Dado que no se indica variación en los diámetros de ambos pozos, ¿puede con cluirse que en cada uno los bordes se mantienen “paralelos”? 10 Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica Rúbrica de evaluación 1.Haz un dibujo a escala en el cual representes el pozo vertical donde cayó el bebé. 2.Dibuja a cierta distancia de éste la boca de 80 cm del pozo que se abrirá. Supón un cierto número de avances en la perforación total del pozo (cinco, por ejem plo). Explica cómo debe ser la distancia entre cada punto de avance y el pozo. 3.Ubica ahora en el dibujo el primer punto donde llegó la perforación inicial. ¿Cómo garantizas que está a la distancia correcta? Haz lo mismo para el siguien te punto y prosigue así hasta concluir la ubicación de los cinco puntos. 4.Verifica ahora, con la técnica del trazo de las paralelas con escuadras de dibujo, que tu localización anterior de los puntos fue correcta y que los pozos son paralelos en tu representación gráfica a escala. 5.Utiliza ahora la propiedad de la transversal y, con un transportador, confirma en tu dibujo que ambos pozos efectivamente son paralelos. 6.Describe con palabras el procedimiento completo para asegurar el éxito de la perforación. Debes entregar como producto un trabajo en el que expliques las condiciones de para lelismo entre dos rectas y muestres los tra zos geométricos realizados para situar cada punto de avance de la perforación del túnel: a) Mediante regla y compás. b) Con escuadras de dibujo. El trabajo debe mostrar la verificación del paralelismo con el trazo de una transversal y la medición de los ángulos respectivos. Debe consignarse también la escala que uti lizaste en el dibujo. Trabajo de investigación Investiga qué técnicas de ingeniería se utilizan en la práctica para efectuar per foraciones correctas, verticales o incli nadas. Proyecto de trabajo 1.Los rayos del sol ¿Cómo podrías concluir que los rayos del sol llegan a la Tierra en forma paralela? r1 r2 α A B ia Lirio G a rd e n 1 C Ro s a s 2.Urbanismo En el mapa a escala de un fraccionamiento urbano parece que las calles Rosas y Gardenia son paralelas, lo mismo que las calles Lirio y Clavel. ¿Cómo podrías confirmar o desmentir esta apreciación visual? α' D E 2 Clavel F 3 11 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 1B Segmento informativo Paralelas y transversales Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas (||) cuando coinciden en todos sus puntos o en ninguno. m Verifica tu avance ¿Por qué toda recta es paralela a sí misma? n l Fíjate en lo siguiente... En la figura, las rectas l y m no son paralelas porque están en planos distintos. En cambio, n || m están en el mismo plano y no tienen puntos en común. Las rectas p y q no son paralelas. p Cuando una recta atraviesa varias paralelas es una transversal para éstas. 1 2 3 En la figura, la recta t es una transversal para las rectas m y n. Cuando dos paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos. 4 6 5 7 8 q t m 6 n En este caso observamos que los pares de ángulos no son iguales en cada grupo. Por ejemplo: ∠1 ≠ ∠5, ∠4 ≠ ∠6, ∠2 ≠ ∠8. La recíproca de la proposición condicional: Si es un alce, entonces tiene cuernos, es la proposición: Si tiene cuernos, entonces es un alce. Intercambiando la hipótesis y la conclusión de la condicional dada, se obtiene su recí proca. Verifica tu avance 7 5 1 4 8 Estos ángulos se asocian por pares y se agrupan en tres tipos: Correspondientes Ampliando el conocimiento 2 3 Alternos internos Alternos externos ∠1 y ∠5 ∠2 y ∠6 ∠3 y ∠5 ∠2 y ∠8 ∠3 y ∠7 ∠4 y ∠8 ∠4 y ∠6 ∠1 y ∠7 6 7 2 3 5 8 1 4 2 6 3 5 1 4 7 8 Una propiedad exclusiva de las rectas paralelas es que los pares de ángulos pertene cientes a un mismo grupo son iguales entre sí. Si una proposición es verdadera, ¿siempre será verdadera su recíproca? Ejemplifica. Propiedad fundamental de las paralelas En rectas paralelas, los ángulos correspondientes son iguales. Lo mismo ocurre con los ángulos alternos externos y los alternos internos. La afirmación recíproca también es verdadera. Ésta, sin embargo, opera como un criterio para determinar si dos rectas son paralelas o no. 12 Grupo Editorial Patria® Verifica tu avance Criterio de paralelismo ¿Por qué son iguales dos ángulos agudos, o bien dos ángulos obtusos, cuyos lados son respectivamente paralelos? Si al cortar dos o más rectas con una transversal se obtienen ángulos correspon dientes o alternos iguales, las rectas son paralelas. Ejemplo 1. Ángulos con paralelas y transversales En la figura, las rectas s y q son paralelas, lo mismo que las rectas m y n. n m β α’ a) Si a = 34°, ¿cuánto miden a’ y b? b)¿Cuánto mide el ángulo w? θ α α s β β’ ϕ Examina más posiciones. q ω Solución a)a = a’ = 34° por ser correspondientes; a’ = b = 34° al ser opuestos por el vértice; b’ = b = 34° por ser alternos internos. b)w = 180° - 34° = 146°. Ejemplo 2. Ángulos en un paralelogramo Un paralelogramo es una figura con cuatro lados, paralelos dos a dos. Argumenta por qué es cierto que en cualquier paralelogramo: a) Los ángulos consecutivos son suplementarios. A C α’’ b)Los ángulos opuestos son iguales. β α Una antigua medición de la Tierra Además de comprobar que los rayos del sol son paralelos en la Tierra, el sabio Eratóstenes, en la antigua Grecia, infirió la curvatura terrestre observando las sombras de los objetos en dos ciudades, Siena y Alejandría. En la misma época del año, a la misma hora, en Siena no se producía sombra alguna, y en Alejandría sí, con un ángulo de 7° 12’. α’ Siena 0° 00’ D B Solución Información histórica Por hipótesis, las rectas AB y CD son paralelas, lo mismo que AC y BD. a) a = a’ por ser correspondientes. Por tanto, a’ + b = a + b = 180°. b)a = a’ = a’’ por ser, en ese orden, correspondientes y alternos internos. Ejemplo 3. 7° 12’ Alejandría El campo visual de los seres humanos Cuando vemos de frente, la visión de cada uno de nuestros ojos es de 120°. ¿Cuántos grados de visión abarca la zona común de ambos ojos? Después veremos cómo, con estos datos, dedujo la longitud de la Tierra. ϕ 120° Solución El campo visual común es de 120°. Considerando paralelos los rayos, j = 120°, por ser ángulos correspondientes. 120° Verifica tu avance ¿La distancia entre los ojos de una persona modifica la zona común del campo visual? Argumenta tu respuesta. 13 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Sugerencias para la autoevaluación 1B Autoevaluación 1B 1.Para una mejor visualización, prolonga con líneas punteadas las rectas v y w. 1.En las siguientes figuras, a || b, m || n y v || w, 2.Obtén el suplemento de 150°. a) correspondientes? 3.Obtén ∠1 y después ∠DCE para hallar ∠2. 4.Busca ángulos correspondientes y opues tos por el vértice. 5.Inicia buscando un ángulo auxiliar que sea correspondiente a uno de los ángu los dados. 6.¿Qué tipo de pares de ángulos son los ángulos rectos? Aplica el criterio de paralelismo. 7.Para el inciso a) dibuja el ángulo auxi liar j con lados paralelos a los de b y aplica el resultado del ejercicio 5a). ¿cuáles pares de ángulos son: b)alternos internos? a b 2 1 3 4 6 5 7 8 ϕ n 1 2 3 v 4 c) alternos externos? 2.Las rectas s, p y q de la figura son paralelas. Determina el valor de q y w a partir del dato proporcionado. s 5 w 6 150º υ ϖ p q C 3.En la figura, AB || CD y AD || CE, ¿cuánto miden ∠1 y ∠2? E 30º A 1 20º 2 D B D 4.¿Cuánto miden ∠x y ∠y si los lados de los triángulos son paralelos? A B β α m 38º y x 53º C E F 5.Los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos. Argumenta por qué en tales casos son iguales o suplementarios. a) a = b b) a = b α c) a + b = 180° α β α β β El trazo de j equivale a trasladar el ángulo b. Los incisos 7b) y 7c) se resuelven usando el resultado del inciso 7a). l 6.¿Por qué son paralelas dos rectas cuando ambas son perpendiculares a una tercera recta? m n 7.Los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente perpen diculares. Argumenta por qué en tales casos son iguales o suplementarios. a) a = b b) a = b c) a + b = 180° β α α α 14 β β Grupo Editorial Patria® 8.Obtén primero ∠y. y 8.Si s || t, ¿cuánto miden ∠x, ∠y y ∠z? 9.En este ejercicio, obtén los ángulos en orden alfabético. No confundas parale las con transversales. s x 30º 50º 80º t 10.Utiliza ángulos correspondientes y alter nos internos. Ejemplo: x 9.En la figura, m || n, ¿cuánto miden los ángulos indicados? 52º z 91º m 1 n 10.En el triángulo mostrado, cada lado es paralelo a uno de los segmentos dibu jados en su interior. Prueba que: a) ∠1 = ∠4 c) ∠3 = ∠6 ∠a = ∠4 alternos internos 5 6 4 2 11.Con la información dada, argumenta por qué: AB y CD son paralelas. Información: ∠1 = ∠4 por transitividad 3 A C 11. y 12. Busca ángulos iguales que te permitan aplicar el criterio del para lelismo. ∠A = ∠D AC es paralela a BD D B m 12.Prueba que s || t, cuando m || n, y ∠1 = ∠2. 13.Obtén el suplemento de 63°. Busca ángulos alternos externos y correspon dientes. n 1 s 2 t l 13.Sabiendo que l || m y p || q, determina el valor de ∠a, ∠b y ∠c. a ∠1 = ∠a correspondientes 1 b)∠2 = ∠5 4 14.Obtén ∠1 y su opuesto por el vértice. Asocia el primero, por separado, con 77° y con 23°. Usa ángulos alternos internos y obtén los suplementos de ∠2 y ∠3. m a p b 63º q c 14.Encuentra la medida de cada uno de los ángulos numerados. 1 77º 3 23º 2 15 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 1 C BLOQUE Situación didáctica Aretes artesanales Trabajas en un taller de orfebrería y debes elaborar unos aretes con las indicaciones que se te dan en el dibujo. Conocimientos Los dos tramos rectos mayores son iguales, lo mismo que los lados del triángulo interior donde aparece un ángulo recto. Triángulos isósceles Los ángulos de la base de un triángulo isós celes son iguales. A Si AB = AC, ∠1 = ∠2 ¿Qué medidas tendrán los ángulos interiores de tus piezas? 40° 1 2 B C Ángulos interiores En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180º. 90° δ α + β + δ = 180º α β Consulta En libros y otras fuentes sobre geometría plana: Suma de los ángulos interiores de un triángulo. Análisis de la situación ¿Tiene alguna importancia para la solución del problema que los tramos mayo res de la pieza sean de igual tamaño? ¿Existe alguna relación entre la cantidad de lados iguales en un triángulo y los ángulos interiores de éste? Ángulos en la base de un triángulo isósceles. ¿Cuáles ángulos podrían ser iguales? ¿Por qué? Ángulos en triángulos. ¿Sería de utilidad determinar si existen triángulos iguales en la figura? 16 Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica Rúbrica de evaluación 1.Si el ángulo recto es de 90°, ¿cuánto deben sumar los otros dos ángulos de dicho triángulo? ¿Son complementarios? 2.Aplica la propiedad del triángulo isósceles para determinar cuánto mide cada uno de estos ángulos. 3.Si el triángulo mayor envolvente tiene dos lados iguales, ¿cuántos ángulos igua les posee? Ubica éstos y obtén su medida. 4.A partir de lo anterior, ¿cuánto miden los ángulos α y β? α = ____________, Elabora un reporte sobre la forma en que obtuviste sucesivamente los valores de los ángulos solicitados. En cada caso, utiliza dos columnas para tu descripción: a)En el lado izquierdo, anota tu desarrollo para obtener el valor de los ángulos. b)En el lado derecho, describe la propiedad geométrica que justifica cada paso del desarrollo efectuado a la izquierda. β = ____________. Concluye tu trabajo con un dibujo similar al que se te presentó en la secuencia didáctica, en el que consignes la medida de cada uno de los ángulos interiores del arete. 40° α β ϕ θ a 90° b 5.Utiliza las medidas obtenidas para α y β a fin de hallar el valor de los ángulos θ y ϕ. θ = ____________, ϕ = ____________. 6.¿Cuánto miden, por último, ∠a y ∠b? Justifica tu respuesta. Proyecto de trabajo 1.Lácteos La presentación de seis porciones de un queso se hace en una caja con forma hexagonal. a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la caja? b) ¿Cuánto suman dichos ángulos? Ques Don Paob lo 2.Aspas de un ventilador Las cinco aspas de un ventilador fijo de techo determinan cinco triángulos isósceles, como muestra la imagen. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de cada triángulo? 17