Download Trigonometria – Milagros Riquenes

Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas
TRIGONOMETRÍA
Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez;
Salvador Ochoa Rodríguez
PÁGINA LEGAL
374.852-Riq-P
Riquenes Rodríguez, Milagros
Trigonometría en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior /
Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- La
Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN 978-959-16-1958-7 . -- 77 pág.
1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas.
2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto
ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4
Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, (torri@reduniv.edu.cu)
Depósito Legal: 9789591619587
Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa
Rodríguez, 2012
Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de
Educación Superior, 2012
La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo
licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento,
Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución
por cualquier medio siempre que mantenga el
reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna
modificación de ellas.
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e-mail: torri@reduniv.edu.cu
En acceso perpetuo: http://www.e-libro.com/titulos
TABLA DE CONTENIDO
1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales
Ecuaciones Lineales.
Ecuaciones Cuadráticas.
Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y
cuadráticas.
Inecuaciones Lineales.
Inecuaciones Cuadráticas
2. Sistema de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.
Método de adición algebraica.
Método de Sustitución.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.
Ejercicios.
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales
3. Trigonometría (este capítulo).
Ángulos y medición de ángulos
Fórmulas de reducción
Función Periódica
Gráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedades
Funciones de la forma y = a sen bx con a ∈ R y b∈ R y sus propiedades
Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedades
Algunas identidades trigonométricas
Demostración de identidades trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
Ejercicios
PRÓLOGO DE LOS AUTORES
El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de
ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se
compone de tres capítulos:
• Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales.
• Sistema de ecuaciones lineales y
• Trigonometría (este capítulo).
El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y
ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo.
Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo
empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.
Los autores, junio 2012
3. Trigonometría
Milagros Riquenes Rodríguez, Arsenio Celorrio Sánchez y
Salvador Ochoa Rodríguez
Trigonometría
Ángulos y medición de ángulos.
Un ángulo orientado es un par ordenado (h, k ) de rayos
h y k de origen común. En lo sucesivo supondremos
que el rayo k tiene una rotación de sentido positivo,
que es el sentido contrario a las manecillas del reloj
(Fig. 1)
B
k
O
h
( h ,k ) → ∠ AOB
( k ,h ) → ∠ BOA
A
Fig. 1
0 → Vértice del ángulo
Medidas de ángulos.
Dentro de las unidades de medidas de ángulos mas usadas, tenemos el radián y el grado,
estas medidas pertenecen a los sistemas circular y sexagesimal de medidas de ángulos
respectivamente.
Ambos sistemas se relacionan de la siguiente forma:
π
→ 180º
arc α º
π
=
↔
;
arc α º → α º
αº
180º
α º 180 o
=
π
arcα
ó
arc α º
αº
=
, donde arc α ° es la
π
180º
medida en radianes del ángulo α y α ° la medida en grados del ángulo α .
Ejemplos
a) Convertir 30º en radianes.
b) Convertir
3π
en grados.
4
Solución:
3π
180o → π 
180o .
o


4 = 180 3 = 135o
x
b) 
→
=
3π 
4
π
 x→ 
4 

( )
180o → π 
30o .π π
a) 
x
→
=
=

180o 6
30o → x 
En conclusión, para convertir del sistema sexagesimal al circular y viceversa se utiliza
→ 180º 
π
 como se mostró en los ejemplos a) y b). Cuando se convierte
arc α º → α º 
la relación 
del circular al sexagesimal, puede hacerse sustituyendo π por 1800 y se calculan las
3π
3 180 o
operaciones indicadas, es decir:
⇔
= 135o
( )
4
4
3
Trigonometría
Ejemplos.
a) Para llevar 45º al sistema circular:
b) Para llevar
( )
180o → π 
45o .π π
→
=
=
x
 o

4
180o
45 → x 
5π
al sistema sexagesimal:
6
5π
5 1800
⇔
= 1500
6
6
Ampliación del concepto de ángulo.
Si un rayo realiza una vuelta completa y rota hasta quedar en una posición que determina
un ángulo al que se le asocia la medida α, entonces el ángulo determinado por esta
rotación se le asocia la medida α + 360° , la medida α + 2 .360° en la segunda vuelta y la
medida α + n . 360° con n ∈ Z en la enésima vuelta. A los ángulos cuyas amplitudes en
grados se diferencian sólo en un múltiplo entero de 360° se les llama coterminales.
Ejemplos
ƒ Los
ángulos
1820º
2540º - 1820º = 720º = 2 . 360º
y
2540º son
ƒ Los ángulos 1582º y 461º no son coterminales porque
divisible por 360º
ƒ
30º y - 1050º son coterminales porque
ƒ
10π
4π
son coterminales porque
y
3
3
coterminales
porque
1582º - 461º = 1121º no es
30º - (-1050º ) = 1080º = 3 . 360º
4π 6π
10π
=
= 2π
3
3
3
2. Determinemos a qué ángulo α ( 0° ≤ α ≤ 360° ) es coterminal cada uno de los
siguientes ángulos.
a) 1725º
b)
20π
3
c) - 1820º
Soluciones:
a) 1725º = n ( 360º) + α
Para hallar los valores de n y de α , realizamos la división 1725º : 360º
cociente es el valor de n y el resto es el valor de α es decir:
1725º = 4 . 360º + 285º
R/
0
1725º es coterminal con 285º ya que n = 4 y α = 285
4
donde el
Trigonometría
b) En este caso, expresamos el ángulo en el sistema sexagesimal y posteriormente
apliquemos el procedimiento anterior.
20π
20(180°)
⇔
= 1200°
3
3
b)
1200° = 3.360° + 120°
R/
20π
2π
es coterminal con 120° ó
3
3
Nota: Sugerimos que el ángulo coterminal esté expresado en el mismo sistema
(sexagesimal o circular) que el ángulo dado.
c) - 1820º = 5(-360º ) - 20º.
R/ - 1820º es coterminal con - 20º.
Los ángulos 0º , 90º , 180º y 270º (0,
Los ángulos: 30º , 45º y 60º
π
2
,π y
3π
) se denominan ángulos axiales.
2
π π π 
 , y 
6 4 3
B
β
se denominan ángulos notables.
a
Definición
de
las
funciones
trigonométricas seno, coseno, tangente,
cotangente, secante, y cosecante de un
ángulo cualquiera.
δ
a cateto opuesto
:
c
hipotenusa
b cateto adyacente
cos α = :
c
hipotenusa
sen α =
cot α =
b cateto adyacente
:
a cateto opueto
b
Fig. 2
(Fig. 2).
a cateto opuesto
:
b cateto adyacente
α
C
En la enseñanza media se dan las
definiciones de seno, coseno, tangente y
cotangente de un ángulo α como relación
de los lados de un triángulo rectángulo.
tan α =
c
5
A
Trigonometría
Como estas definiciones corresponden solamente a un ángulo agudo α ( 0° ≤ α ≤ 90° ) , no
se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos tales como
: 0º , 90º , 120º , etc., ya que el ángulo agudo de un triángulo rectángulo no puede tomar estos
valores por lo que daremos a continuación una nueva definición de estas magnitudes de
manera que ellas correspondan a cualquier ángulo.
Sea C(O, r) una circunferencia de centro “O” en el origen de coordenadas y radio r,
tomemos un ángulo central x de la misma y un punto P de la circunferencia de
coordenadas (u, v). (Fig.3)
El triángulo OPQ rectángulo en ∠POQ , siendo
OQ = u, PQ = v y OP = r ,
se cumple:
senx =
PQ v
=
r
r
cos x =
OQ u
=
r
r
y
P (u;v)
x
O
v
PQ v r senx
tan x =
= = =
OQ u u cos x
r
u
OQ u r cos x
cot x =
= = =
PQ v v senx
r
Q
x
Fig. 3
A continuación se presentan las definiciones de cada una de estas funciones
trigonométricas:
Definición.
La función seno es el conjunto de los pares ordenados de números reales (x; sen x) con
x ∈R
y se denota por y = sen x ó f ( x ) = sen x.
Definición.
La función coseno es el conjunto de los pares ordenados de números reales
( x; cos x) con x ∈ R y se denota por y = cos x.
6
Trigonometría
Definición.
La función tangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales
π
( x; tan x) con x ∈ R ; x ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z y se denota por y = tan x.
2
Definición.
La función cotangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales
( x; cot x) con x ∈ R ; x ≠ kπ , k ∈ Z y se denota por y = cot x.
De forma análoga se define las funciones trigonométricas secante y cosecante:
y = sec x =
1
cos x
π
con x ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z
y = csc x =
1
senx
con x ≠ kπ , k ∈ Z .
2
TABLA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS
NOTABLES (N) Y AXIALES (A).
0º (A)
0
30º (N)
45º (N)
60º (N)
90º (A)
π
π
π
π
6
4
3
2
2/2
3/ 2
1/2
180º (A) 270º (A)
π
3π
2
1
0
-1
0
-1
0
sen x
0
cos x
1
3/ 2
2/2
tan x
0
3/ 3
1
3
-
0
-
cot x
-
3
1
3/ 3
0
-
0
sec x
1
2 3/ 3
2
2
-
-1
-
csc x
-
2
2
2 3/ 3
1
-
-1
1/2
Todo ángulo α y sus coterminales α + n.360° con n ∈ Z , tienen el mismo valor para cada
función trigonométrica.
El círculo trigonométrico ( r = 1 u ) está dividido en cuatro cuadrantes (Fig. 4).
Primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto
cuadrante (IVC).
7
Trigonometría
Si
0º < x <
90º
→ x ∈ IC
Si
90º < x < 180º
→ x ∈ II C
y
Si 180 < x < 270º → x ∈ III C
Si 270º < x < 360º
IC
II C
o
→ x ∈ IV C
O
IIIC
IVC
x
Fig. 4
Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante.
I
II
III
IV
sen x
+
+
-
-
cos x
+
-
-
+
tan x
+
-
+
-
cot x
+
-
+
-
sec x
+
-
-
+
csc x
+
+
-
-
Reducción de las funciones trigonométricas al primer cuadrante. Fórmulas de
reducción.
Reducir un ángulo x al primer cuadrante, es determinar el ángulo α del primer cuadrante,
cuyas funciones trigonométricas sean iguales en magnitud aunque pueden diferir en el
signo con respecto a las funciones del ángulo.
1. Si x ∈ II Cuadrante → x = 180°-α ó x = π − α
sen (180º - α ) = sen α
cos (180º - α ) = − cos α
tan (180º - α ) = − tan α
cot (180º - α ) = − cot α
sec (180º - α) = − sec α
csc (180º - α) = csc α
8
Trigonometría
2. Si x ∈ III Cuadrante → x = 180° + α ó x = π + α
sen (180º + α ) = − sen α
cos (180º + α ) = − cos α
tan (180º + α ) = tan α
cot (180º + α ) = cot α
sec (180º + α ) = − sec α
csc (180º + α ) = − csc α
3. Si x ∈ IV Cuadrante → x = 360° − α ó x = 2 π − α ó x = −α
sen (360º − α ) = − sen α
cos (360º − α ) = cos α
tan (360º − α ) = − tan α
cot (360º − α ) = − cot α
sec (360º − α ) = sec α
csc (360º − α ) = − csc α
Ejemplos.
Calcular:
a) cos 120º
b) tan 225º
c) cos(−45°)
d) sen
4π
3
e) sen300°
f)
sen 5π / 3 cos 5π / 4
.
. cos π / 6
cos 11π / 6 sen 3π / 2
Solución:
Para calcular el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo x que no
está en el primer cuadrante (x ∉ I C), se debe conocer:
ƒ En qué cuadrante está situado el lado terminal del ángulo para usar la fórmula de
reducción correspondiente y con ello hallar el valor de α.
ƒ Qué signo tiene la función en el cuadrante dado.
a) cos 120º
120º ∈ II C, porque 90° < 120° < 180° ∴ cos 120º < 0
120º = 180º - α
α = 180° − 120°
α = 60°
9
Trigonometría
Como
120º ∈ II C,
y para todo ángulo del segundo
cumple: cos(180º - α) = − cos α cos 120º = - cos 60º , cos 120º = - 1/2
cuadrante
se
a) tan 225°
225º ∈ III C ∴ tan 225º > 0
tan 225º = tan 45º
225º = 180º + α , α = 225° − 180 ,
α = 45°
tan 225º = 1
a) sen300°
300º ∈ IV C → 300° = 360°-α y sen 300° < 0
α = 360° − 300° , α = 60°
sen 300º = -sen 60º
sen 300º = -
3
2
b) cos (-45º )
− 45° ∈ IV Cuadrante∴ cos (-45º ) > 0 y por la forma en que
está expresado el ángulo
tomaremos convenientemente para el IV Cuadrante la fórmula x = -α
- 45º = - α
α = 45°
cos (-45º ) = cos (45º ) =
b) sen
2
2
4π
3
4π
1
4π
es 4 .180°. = 240° ∈ III C ∴ sen
<0
3
3
3
4π
= π +α
3
Observa que si el ángulo esta expresado en el
4π
4π − 3π π
α=
−π =
=
3
3
3
sen
f)
sistema circular en la forma
son números enteros diferentes de cero,
4π
3
π
= −sen = −
3
3
2
sen 5π / 3 cos 5π / 4
.
. cos π / 6
cos 11π / 6 sen 3π / 2
(
)
5π 5 180 o
=
= 300 o ∈ IV
3
3
5π
3
π
= −sen = −
sen
3
3
2
kπ
donde k y n
n
Cuadrante
entonces
(Aquí
10
α=
π
n
el
seno
es
negativo)
Trigonometría
11π
π
3
11π
= cos =
⇔ 330° ∈ IV Cuadrante (Aquí el coseno es positivo), cos
6
6
2
6
5π
π
2
5π
= − cos = −
⇔ 225° ∈ III Cuadrante (Aquí el coseno es negativo), cos
4
4
2
4
sen
3π
 3π

= −1  es un ángulo axial 
2
 2

cos
π
3 π

=
 es un ángulo notable 
6
2 6

Sustituyendo en la expresión original se tiene:
sen 5π / 3 cos 5π / 4
.
. cos π / 6
cos 11π / 6 sen 3π / 2
=
− 3/2 − 2/2
.
. 3 / 2 = −1 . 2 / 2 . 3 / 2 = − 6 / 4
−1
3/2
Función Periódica.
Una función y = f (x) se llama periódica si existe un número k ≠ 0
( k ∈ R) tal que para todo ( k ∈ R) se cumple:
f (x + k ) = f (x).
- Al número k se le denomina período de la función.
- El menor intervalo de valores positivos de x que corresponde a un ciclo completo de la
función, se le llama período principal de la
función.
y
- Las funciones trigonométricas seno y coseno
tienen período principal 2π y las funciones
tangente y cotangente π .
1
Gráfico de la Función y = senx en [0, 2π ]
(Fig. 5) y sus propiedades fundamentales
0
-1
x
0 π π 3π 2π
2
sen x 0 1
2
0 -1
Fig. 5
0
11
3π/2
π/2
π
2π
x
Trigonometría
Algunas propiedades
ƒ Dominio de la función (Dom f ) : x ∈ R
ƒ Imagen de la función (Im f ) : - 1 ≤ y ≤ 1
ƒ Período principal (PP) : 2 π
ƒ
Ceros : kπ ; k ∈ Z , para 0 ≤ x ≤ 2π , k = {0, 1, 2} y los ceros en su período principal
son: {0, π ,2π }
ƒ Monotonía:
ƒ Creciente para 0 < x <
ƒ Decreciente para
π
2
π
2
ó
<x<
3π
< x < 2π
2
3π
2
ƒ Valores de las abscisas de los extremos: En x =
π
2
tiene un punto de máximo
3π
π 
 3π

tiene un punto de mínimo  ; - 1 .
 ; 1 y en x =
2
2 
 2

Funciones de la forma y = a sen bx con a ∈ R y b ∈ R y sus propiedades
Para representar gráficamente este tipo de función es necesario conocer:
El conjunto imagen, ceros y valores de las abscisas de los extremos así como período
principal.
ƒ Imagen: -a ≤ y ≤ a
ƒ Los ceros en el dominio de la función se obtienen resolviendo la ecuación: bx = kπ ,
con k ∈ Z y con valores tales que x ∈ Dom f .
ƒ Las abscisas de los puntos extremos se obtienen resolviendo la ecuación
π
bx = (2k + 1) , con k ∈ Z , es decir, los ceros y las abscisas de los puntos de extremos
2
se obtienen con la expresión
kπ
, si k es un número par se obtiene un cero y si k es
2b
impar se obtiene la abscisa de un punto de extremo.
ƒ Para los extremos debe tenerse en cuenta lo siguiente:
El primer extremo a la derecha es máximo si el signo del producto de a por senbx es
mayor que cero o mínimo si el producto es menor que cero y los restantes extremos
alternan.
ƒ Período principal:
2π
b
12
Trigonometría
Ejemplos
Representar gráficamente las siguientes funciones.
a) y = 3sen 2 x en [0,2π ]
b) y = 2sen
x
en [0 ,3π ]
2
y
3
c) y = −2,5sen 3x en 0 ≤ x ≤ 3π
d) y = sen
x
en [− 2π, 2π ]
3
0
π/2
Solución:
-3
a) y = 3sen 2 x en [0,2π ] → a = 3 y b = 2 (Fig. 6)
Fig. 6
Imagen: - 3 ≤ y ≤ 3
Ceros: x =
π
3π/2 2π
x
3π
kπ
 π

Para k = {0, 2, 4, 6, 8} → Ceros: 0, , π , ,2π 
4
2
 2

Nota: obsérvese que los valores de k dependen del dominio de la función, en este caso
kπ
por cada uno de los
0 ≤ x ≤ 2π . Cada cero se obtiene sustituyendo en la expresión
4
valores de k
Abscisas de los extremos: x =
kπ
para k: {1, 3, 5, 7}
4
π 3π 5π 7π 
: ,
,
,

4
4 
4 4
↓ ↓
↓
↓
Max. Min. Max. Min.
b) y = 2sen
y
x
en [0 ,3π ] → a = 2; b = 1/2
2
2
(Fig.7)
0
Imagen: [ - 2, 2 ]
Ceros: x =
kπ
kπ
=
= kπ con k : {0, 2}
2b 2 1
2
( )
-2
Fig. 7
Ceros: {0, 2π }
Abscisa
de
los
extremos:
13
π/2
π 3π/2
2π
3π
x
Trigonometría
x=
kπ
kπ
=
= kπ con k : {1, 3}
2b 2 1
2
( )
{π : máx, 3π : mín)}
f (π ) = 2sen
π
2
y
=2
2,5
→ Max (π ; 2 )
3π
= −2
2
→ Min (3π; − 2 )
f (3π ) = 2sen
π/2 5π/6 7π/6
0
π/6
c)
5π/2
11π/6
3π/2
13π/6
3π
17π/6
y = −2,5sen 3 x con 0 ≤ x ≤ 3π
→ a = -2.5 y b =3
-2,5
(Fig .8)
Imagen: [− 2,5; 2,5] ,
kπ
kπ
kπ
Fig.1.8
8
Fig
x=
=
=
con
2b 2(3) 6
k : {0, 2 , 4 , 6, 8,10,12,14,16,18}
4π 5π
7π 8π
 π 2π

Ceros: 0, , , π , , ,2π , , ,3π 
 3 3
3
3
Abscisas
de
los
kπ
kπ
kπ
x=
=
=
2b 2(3) 6
k : {1, 3, 5, 7 , 9,11,13,15,17}
3
3
extremos:
con
 π π 5π 7π 3π 11π 13π 5π 17π 
,
, ,
,
,
,
 , ,

6 2 6 
6 2 6 6 2 6
d) y = sen

y
1
- 3π/2
0
-1
x
en [− 2π , 2π ]
3
→ a =1 y b =
1
3
Fig. 9
(Fig. 9)
Imagen: [-1, 1]
14
3π/2
x
x
Trigonometría
Ceros:
kπ
kπ
kπ 3kπ
=
=
=
2b
2
1 2
2 
 3 3
con k : {0}
Abscisas de los extremos:
kπ
kπ
kπ 3kπ
con k : {− 1, 1}
=
=
=
2b
2
1 2
2 
 3 3
 − 3π 3π 
; 
2
 2
:
En este caso, en los límites del dominio de la función la misma no posee valor extremo,
ni se hace cero por lo que es necesario que se evalúe la función para los valores límites:
f (-2π ) = sen (
f (2π ) = sen (
- 2π
π
3
) = - sen = = - 0.86
3
3
2
2π
π
3
= 0.86
) = sen =
3
3
2
1. Dado los siguientes datos, obtenga la ecuación de la función
y = a sen bx
a) Imagen: - 2,3 ≤ y ≤ 2,3
PP: 3π
b) Imagen: - 0,7 ≤ y ≤ 0,7
PP:
5π
3
Solución:
a) Como la imagen está dada por - 2,3 ≤ y ≤ 2,3 → a = 2,3
PP =
2π
por esto se tiene
b
3π =
2π
b
y = 2,3 sen
b=
2π
2
, b=
3π
3
2
x
3
b) Como - 0,7 ≤ y ≤ 0,7 → a = 0.7
2π 5π
=
b
3
15
Trigonometría
b=
6
5
y = 0.7 sen
6
x
5
Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente.
y = cos x (Fig.10)
b)
y
x
cos x
0
1
π /2
0
π
-1
3π /2
0
2π
1
1
0
-1
π
π/2
3π/2
2π
x
Fig. 10
Algunas propiedades
Dom f : x ∈ R
y
Im f: - 1 ≤ y ≤ 1
Período principal: 2π
Monotonía: Creciente (π ,2π ) Decreciente (0, π )


Ceros:  x ∈ R / x = (2k + 1)
π
x
0

: k ∈ Z
2

-π/2
π/2
c) y = tan x (Fig. 11)
π
π
3π


 x ≠ (2k + 1) : k ∈ Z  en - < x <
2
2
2


x
tanx
Fig. 11
-π / 4 0 π / 4
-1
0 1
16
Trigonometría
El gráfico de la función se obtiene en
π π π 3π
los intervalos (− , ); ( , )
2 2
2 2
y
y así sucesivamente, es decir, es
periódica en kπ ; k ∈ Z ; y su período
principal es π .
π
Domf: x ∈ R / x ≠ (2k + 1) : k ∈ Z
2
0
-π
Im f: y ∈ R
Monotonía:
intervalos
π
( 2k − 1 )
2
Creciente
de
la
π
en
-π/2
π/2
π
x
los
forma
< x < ( 2k + 1 ) , k ∈ Z
2
Fig. 12
d) y = cot x, {x ∈ R : x ≠ kπ , k ∈ Z } para -π < x < π (Fig. 12)
Propiedades
Dom f: {x ∈ R : x ≠ kπ, k ∈ Z }
Im f: y ∈ R
Período principal: π
Monotonía: Decreciente en los intervalos de la forma: (2k − 1)π < x < (2k + 1)π , k ∈ Z
Ceros: ( 2 k + 1) π , k ∈ Z
2
Algunas identidades trigonométricas.
En esta sección daremos al estudiante algunas identidades trigonométricas, tan
importantes, que recomendamos memoricen.
1) sen 2 x + cos 2 x = 1
2) tan x =
senx
π
con x ≠ (2k + 1) : k ∈ Z ,
cos x
2
3) cot x =
cos x
con x ≠ kπ; k ∈ Z
senx
4) sen x . csc x = 1
5) cos x . sec x = 1
6) tan x. cot x = 1
7) 1 + sec 2 x = tan 2 x
17
Trigonometría
8) 1 + csc 2 x = cot 2 x
9) sen 2 x = 2sen x . cos x
10) cos 2x = cos2 x- sen2 x
1
2
11) cos 2 x = 1 - 2 sen 2 x → sen 2 x = ( 1 − cos 2 x)
1
2
12) cos 2 x = 2 cos 2 x - 1 → cos 2 x = ( 1 + cos 2 x)
Ejemplos.
1. Sea x0 un ángulo del intervalo
π
2
≤ x≤π
Existe exactamente un valor x0 en este intervalo para el que se cumple:
senx0 =
2
. Calculemos cos x 0 , tan x 0 y cot x 0
3
Solución:
sen 2 x0 + cos 2 x0 = 1
2
2
cos 2 x0 +   = 1
3
cos 2 x0 = 1 −
cos 2 x0 =
4
9
5
como x0 ∈ II cuadrante se cumple: cos x0 < 0
9
cos x0 = −
5
5
=−
9
3
tan x0 =
sen x0
−2. 5
2/3
=
=−2 . 3
=− 2
=
= −2 5
3
5
5
5
cos x0 − 5 / 3
5. 5
cot x0 =
cos x0 − 5 / 3
=
= − 5 /3 . 3/ 2 = − 5
2
sen x0
2/3
Demostración de identidades trigonométricas.
En la trigonometría se tropieza frecuentemente con dos expresiones de diferentes
aspectos, pero, para todos los valores admisibles de los ángulos, adquieren iguales
valores numéricos. Estas dos expresiones se llaman idénticas y la igualdad entre ellas se
llama identidad trigonométrica. Para comprobar que la igualdad dada es una identidad
18
Trigonometría
trigonométrica no existen reglas de validez general que lo permitan, no obstante,
recomendamos que se tenga en cuenta:
1. Iniciar la demostración por el miembro que ofrece mayor posibilidad para
transformarlo en el otro, sino trabaje en ambos miembros por separado para luego
concluir que son iguales.
2. Si es posible, utilice la descomposición factorial y la simplificación.
3. Si no encuentra un camino propicio para empezar las transformaciones, reduce todas
las funciones trigonométricas a senos y cosenos.
4. Tenga en cuenta que todas las transformaciones efectuadas sean válidas en el
dominio de la identidad.
Ejemplos.
Demuestre las siguientes identidades para los valores admisibles de la variable.
a) (sen x + cos x) 2 + (sen x - cos x)2 = 2
b) sen 2 α(1 + cot 2 α) = 1
c) tan x =
sen 2 x
1 + cos 2 x
Soluciones:
a)MI = sen 2 x + 2sen x . cos x + cos 2 x + sen 2 x − 2sen x . cos x + cos 2 x
(
) (
)
= sen 2 x + cos 2 x + sen 2 x + cos 2 x = 1 + 1 = 2 = MD
(
)
b) MI = sen 2 α 1 + cot 2 α = sen 2 α . csc 2 α = sen 2 α .
c) MD =
=
(
1
= 1 = MD
sen 2 α
sen 2 x (1 − cos 2 x )
sen 2 x (1 − cos 2 x ) 2 sen x . cos x (1 − cos 2 x )
=
=
(1 + cos 2 x )(1 − cos 2 x )
sen 2 2 x
4 sen 2 x cos 2 x
)
sen x
1 − 1 − 2sen 2 x
2sen 2 x
=
=
= tan x = MI
2 sen x . cos x
2 sen x . cos x cos x
Otra vía de solución:
sen 2 x
2 sen x . cos x sen x
=
=
= tan x = MI
1 + cos 2 x 1 + 2 cos 2 x − 1 cos x
Ecuaciones trigonométricas.
Una ecuación se llama trigonométrica si ella contiene la incógnita (o variable) sólo bajo
los signos de las funciones trigonométricas y se satisfacen para algunos de los valores
admisibles de la variable.
19
Trigonometría
Ejemplos
b) tan x − 1 = 0
a) sen x = 1
c)sen 2 x + cos x = 1
No es ecuación trigonométrica: x + sen x = 2 ya que la incógnita x se encuentra no solo
bajo el signo seno.
Resolver una ecuación trigonométrica significa hallar todos los ángulos que satisfacen
dicha ecuación, es decir que reducen la ecuación a una proposición verdadera después de
la sustitución de la incógnita.
Para resolver una ecuación trigonométrica debemos tener en cuenta los siguientes pasos:
ƒ Expresar todas las funciones trigonométricas que aparecen en la ecuación con el
mismo argumento aplicando identidades.
ƒ Expresar toda la ecuación en términos de una sola función trigonométrica.
ƒ Resolver la ecuación, haciendo transformaciones algebraicas considerando como
incógnita la función trigonométrica en que quedó expresada la ecuación (factorizando
o de cualquier otra forma).
ƒ Determinar los valores de la incógnita que satisfacen las ecuaciones
transformadas.
Ejemplos
a) sen x =
3
; 0 ≤ x ≤ 2π
2
b) 2 cos 2 x - 1 = 0
c) 3 cos α − 2sen 2 α = 0
d) sen 2t - cos t = 0
Solución:
a) sen x =
3
; 0 ≤ x ≤ 2π
2
En este caso no hay que hacer ninguna transformación porque la función sen x está
despejada.
Para hallar los valores de x , se debe analizar en qué cuadrantes está situado el ángulo x
teniendo en cuenta el signo de la función, como en este caso sen x es positivo , se
cumple que x pertenece al primer cuadrante (IC) o x pertenece al segundo cuadrante
(IIC)
I C: x = α → α es un ángulo del primer cuadrante cuyo seno es
I C : x = 60º
20
3
∴ α = 60° .
2
Trigonometría
II C : x = 180º - α
x = 180º - 60º = 120º
 π 2π 
S = {60°; 120°} ó S =  ; 
3 3 
b) 2 cos 2 x - 1 = 0
cos 2 x =
cos x =
1
2
1
ó cos x = 2
1
2
Racionalizando en ambos casos se tiene:
cos x =
2
2
ó cos x = 2
2
cos x =
2
→
2
→ α = 45º
x ∈ IC ó x ∈ IVC
I C : x = α = 45°
IVC : x = 360º - α = 360º - 45° = 315°
cos x = -
2
→ x ∈ IIC ó x ∈ IIIC
2
II C : x = 180º - α = 180° − 45° = 135°
0
III C : x = 180º + α = 180º + 45° = 225°
Como todo ángulo y sus coterminales tienen el mismo valor para cada función
trigonométrica, al dar el conjunto solución se debe tener en cuenta. Si el dominio de la
variable no está restringido a cada solución se le debe sumar 2kπ ó 360o k con k ∈ Z .
S = {45° + 360°k , 135° + 360°k , 225° + 360°k , 315° + 360°k }, k ∈ Z .
Observe
que
la
diferencia entre cada solución y su consecutiva es de 90º por lo que la solución anterior
se puede simplificar expresándose en la forma siguiente:
π kπ 
S = {45° + k ⋅ 90°} ó  +
 con k ∈ Z
2 
4
c) 3 cos α − 2sen 2 α = 0
En este ejemplo para expresar la ecuación en función de una sola función trigonométrica,
es necesario sustituir a sen 2 α .
3 cos α − 2(1 − cos 2 α ) = 0
3 cos α − 2 + 2 cos 2 α = 0
21
Trigonometría
2 cos 2 α − 2 + 3 cos α = 0
2 cos 2 α + 3 cos α − 2 = 0
↓
↓
2cos α
-1
cosα
2
4 cos α − cos α = 3 cos α
(2 cos α − 1)(cos α + 2) = 0
2 cos α − 1 = 0
cosα + 2 = 0
1
cos α = −2 → imposible ya que - 1 < cosα < 1
2
como cosα es positivo, se tiene que α ∈ I C ó α ∈ IV C
cosα =
I C : α = 60°
IV C : α = 360° - 60° = 300°
S = {(60° + 360°k ); (300° + 360°k ), k ∈ Z} → Sistema sexagesimal
5π
π

+ 2kπ , k ∈ Z → Sistema circular
S =  + 2kπ ;
3
3

d) sen 2t - cos t = 0
En este ejemplo debe transformarse la ecuación de forma tal que en la misma se utilice el
mismo argumento para cada función.
2sen t cos t- cos t = 0
cos t (2sen t - 1) = 0
cos t = 0
ó
cos t = 0
π
2
3π
t=
2
t=
π
t = (2k + 1) ; k ∈ Z
2
2sen t -1 = 0
1
sen t =
→ t ∈ IC ó t ∈ IIC
2
π
α=
6
π
IC : t = α =
6
π 5π
II C : t = π-α = π- =
6
6
5π
π
π
+ 2kπ ; (2k + 1) ;
S =  + 2kπ ;
6
2
6

k ∈ Z

22
Trigonometría
Ejercicios
Ejercicio # 1
1) Determine si los pares de ángulos siguientes son coterminales o no.
a) 2652º y 1572º
b) 1370º y 5204º
c) 3280º y
320º
d) 270º y
-90º
2) Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes:
sen 270 ° ⋅ tan
π
⋅ cot 60°
6
π
b) sec + cos 45°
4
π
π
c) csc ⋅ sen + sen 0°
6
6
cot 60° ⋅ tan 0°-sen 45°
d)
cos π ⋅ sen 30°
a) cos
3) Si a =
π
6
, b =π , c =
e)
π
3
sec 60 °
π
π
f) sen
⋅ cos 30 ° + tan − sec 45 °
3
3
π
3π
cos π + cot 60 °- tan
- sen
6
2
g)
3 3 ⋅ sec 60 °
π
cos π ⋅ cot + sec 60 °
3
h)
csc 60 ° ⋅ sen 270 °
π
2
, d=
π
3π
, e=45º y f = . Halla el valor numérico de las
2
3
expresiones siguientes:
a.
sen 2 a + cos b
cot 2 c − send
b.
5senb − 7 csc c + 5 cos d
2 tan a . sec b
c.
sen f . cos a
cot e
d.
cot f . senc
cos a + csc f
e.
sec f
tan a
cos b + cot f − tan a − send
3 3 . sec a
23
Trigonometría
4) Probar que:
π
3
π
6
a ) 3 cot 2 . cos . sen 2 180 o = 0
b)
d) sen 2 x +
tan π/ 3 .sen30º
= 3/ 2
cot 3π/ 2 + cot 60º
π

π

cos − α 
cos − α 
2
 • cot α •
2
 = cos 2 α
e)
sec α
sen α


π
2
cot 2 x
=1

2 π
sec  − x 
2

c) sen − α . csc α = cot α
5) Halla:
a) cot
7π
4
b) csc 315o
d) cos
4π
3
e) sen
c) cot
2π
3
11π
6
6) Calcula el valor numérico de las restantes funciones trigonométricas del ángulo x:
a) cos x =
1
3
y
senx < 0
b) tan x =
3
4
y
csc x > 0
y
cos x < 0
c) senx = −
5
13
d) tan x =
5
2
y
sec x > 0
e) senx =
1
4
y
cot x < 0
7) Halle el valor numérico de las expresiones siguientes:
a)
cot 5π/ 4 . tan 5π/ 3 . csc 2π/ 3
cos π . sec 5π/ 6
b)
sen5π / 3 cos 5π / 4
. cos π / 6
.
cos11π / 6 sen3π / 2
c)
csc 5π / 6 . cos 7 π / 6 . sec π / 4
sen 4π / 3 . tan 3π / 4
24
Trigonometría
d)
cos 2π / 3 cos11π / 6
.
− sec 5π / 3
tan 3π / 4 senπ / 2
8.-Prueba que:
a)
sen11π / 6 . csc 5π / 6 . cos 0
=− 3
cot 5π / 3 . sen3π / 2
b) 4sen 210º + sec 2 30º +2 cot 2 150º = 16 / 3
c) cos 2 13π / 4 + sen 2 5π / 4 − csc 7 π / 6 = 3
d)
csc 2π / 3 . cos π / 2 . tan 7π / 4
=0
senπ / 2 − sec 5π / 6
e)
cot(−120º ) + cos π 1 − 3
=
2 cot(−120º )
2
f)
senπ / 2 . cos π / 6 . sen3π / 2
= − 3/4
cot π / 4 . sec π / 3
9.- Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes con los valores dados para a:
a.
cos α cos(π / 2 − α) cot(π − α)
; α = π/6
sec(π + α)
b.
cos(π + α) + cot π / 4
; α = π/3
sen (π / 2 − α) sen (2π − α)
c.
cos α tan(π / 2 − α)
; α = π/4
sen α sen (π / 2 − α) cot α
d.
cos(π / 2 − α) sen (π / 2 − α)
. csc(π + α); α = π / 6
tan α cot(2π − α)
10.- Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = 4,5 senx
− 2π ≤ x ≤ 2π
b) y = sen3x
− 2π ≤ x ≤ 2π
c) y = 2,5 sen 2 x
− π ≤ x ≤ 2π
d) y = 0,5 sen3x
− π ≤ x ≤ 2π
25
Trigonometría
e) y = 4 sen
0 ≤ x ≤ 5π
x
2
11.- Demuestra las siguientes identidades para los valores admisibles de las variables.
i. (senα − cos α )2 = 1 − sen 2α
ii. cot 2 x = cos 2 x + (cot x. cos x )2
iii. sen 3 x + cos 3 x = (senx + cos x )(1 − senx. cos x )
iv.
1 + cos 2 x
= cos 2 x
2
v.
1 − cos 2α
= tan α
sen 2α
vi.
cos 2 y + sen 2 y
2
1 − cos y
= cot 2 y
(
)(
vii. (1 − tan 2 x )(1 − sen 2 x ) = 1 − 2 senx 1 + 2 senx
viii.
)
cos 2 x + 2 cos x + 1
=2
cos x (cos x + 1)
8) Resolver las siguientes ecuaciones:
a. senx + 2sen 2 x = 0
h. 3cos x – 2 sen2 x = 0
b. 2 cos 2 x + 3 cos x + 1 = 0
i. cot x . sen 2x = cos x
c. 2 cos2 x + sen x = 2
j. 2 sen2 2x + 4 sen x. cos x =0
d. 2 sen2 x + 3cos x = 0
k. Sen4 x – cos 4 x = 1
e. sen2 α - 2cos α + 1/4 = 0
l. Cos 2x + cos x = -1
f.
2
2sen x + 3 cos x = 0
g. cos 2x – senx = 0
m. 4sen2 x + sen2 2x = 3
n. (1 + cos x) [1/(sen x) - 1 ] = 0
9) Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0 ≤ x ≤ 2π
a. 3 sen2 x = cos2 x
b. 2 3 cos2 x = sen x
c. 3(1 + cos x) = sen 2x. tan x
d. cos 2x + 5cos x = 2
26
Trigonometría
e. cos 2x + 3sen2 x – cos2 x = 5sen x – 2
f. sen2 2x – sen 2x = 2
1
2
g. cos 2 x − cos x + sen 2 x = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π
h.
sen2 x − 2 senx
=1
sen x + ( senx + cos x) 2
2
10)
1
3
y x pertenece al primer cuadrante, hallar: sen x; tan x; sen 2x y
3
4
y x es un ángulo del segundo cuadrante: Halle cos x y sen 2x
Si cos x =
cos 2x
11)
Si sen x =
12)
Si x =
13)
Si tan x = − 5 4 ; cos x = − 3 5 y π 2 ≤ x ≤ π ; Hallar senx, cos2x, y sen2x
14)
Halle el valor de tan
15)
Halle los valores de x, que satisfagan la ecuación 3 tan 3x = 3
16)
Sea cos x =
2π
3
. Calcule sen 2x. tan 2x
7π
+ 2cos225o
4
1 3π
,
≤ x ≤ 2π
3 2
a) Determine el valor de sen x.
b) Determine el valor de cot x.
17) Compruebe que para los valores admisibles de x, se cumple que :
18)
19)
a)
π
2 cos( − x). cos(π + x). tan(π − x)
2
= −2
sen (π + x).sen (π − x)
π
π
π
π
cot . cos
tan .sen
3
6 = 3 2
3
4 +
Pruebe que:
π
π
2
sen
cos
4
6
Calcule.
sen150 + cos 90
7π
tan
4
o
3π
5π
+ tan
2
3
9π
cot 1560 o + tan
4
sen 2 225 o − cos
o
b)
27
Trigonometría
20)
I)
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
2sen2x + 5cos x = 4 en el intervalo [0; 2 π ]
II) 2sen2x - 5cos x + 1 = 0
III) sen2x - cosx = 0
IV) 2 sen 2 x cot x − cos 2 x = 3 cos x
21) Hallar los valores de x; 0 < x < 2π que son soluciones de la ecuación:
sen2x - 5senx - cos2x - 2 = 0. Dar la respuesta en grados sexagesimales.
22) Para qué valores de x, las funciones f ( x) = cos 2 x y g(x) = senx alcanzan el mismo
valor.
3 senx − cos 2 x
23) Sean las funciones: f ( x ) = 2
y
g(x) =3x-4 .
Determine los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=g(4).
24) Sea la ecuación:
4 sen 2 x − 2(k + 1) sen x + 1 = 0
con 0° ≤ x ≤ 90°
a) Halla las soluciones de esta ecuación para k = 3 2 .
b) ¿Para qué valor positivo de k la ecuación tiene una sola solución?
25) Halle los valores de x ( 0 ≤ x ≤ π ) que satisfacen la ecuación:
log ( senx −cos x ) (cos 2 x − sen2 x + 7 cos x + 5) = 2
26) Sean:
1
f ( x ) = 3− sen 2 x tan x
2
g ( x ) = 1 + senx
y
π 
a) Calcula f  
4
b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que f ( x ) = g ( x )
27) Halla la abscisa x (0 < x < π/2 ) del punto donde se cortan los gráficos de las funciones
dadas por las ecuaciones: f ( x) = 10 + 9 2 cos x
28) Dada la igualdad
y
g ( x) = 3 + cos x
A2 + cos 2 x
= A cot x
sen 2 x
a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los
valores admisibles de la variable x.
b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida.
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Trigonometría
BIBLIOGRAFÍA
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González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial
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