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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Variables aleatorias continuas
Distribución Normal
Diapositiva 1
Distribución de Probabilidad Continua
Una variable aleatoria continua asume un valor
dentro del intervalo de los reales o en conjuntos de
los números reales.
No es posible hablar de ellos asumiendo sólo un
valor en particular
Entonces cuando se habla de la probabilidad de una
variable aleatoria se asume un valor dentro de un
intervalo.
La probabilidad que una variable aleatoria asume es
un valor dentro del intervalo de x1 a x2 la cual se
define como el dentro de una gráfica de la función de
densidad de probabilidad entre x1 y x2.
Diapositiva 2
¿Cómo se que es una distribución normal?
La simple exploración visual de los datos puede sugerir
la forma de su distribución. No obstante, existen otras
medidas, gráficos de normalidad y contrastes de
hipótesis que pueden ayudarnos a decidir, de un modo
más riguroso, si la muestra de la que se dispone
procede o no de una distribución normal. Cuando los
datos no sean normales, podremos o bien
transformarlos o emplear otros métodos estadísticos
que no exijan este tipo de restricciones (los llamados
métodos no paramétricos).
Diapositiva 3
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Puede tomar cualquier valor (- ∞, + ∞)
Son más probables los valores cercanos a uno central
que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor m , la
probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e
izquierda (es simétrica).
Conforme nos separamos de ese valor m , la
probabilidad va decreciendo de forma más o menos
rápida dependiendo de un parámetro s , que es la
desviación típica.
Diapositiva 4
Diapositiva 5
Distribución de probabilidad Normal
Gráfica de densidad de la Función de distribución
normal
f(x)
µ
x
Diapositiva 6
Distribución de Probabilidad Normal
LA CURVA NORMAL
• La figura de la curva normal por lo regular como
la ilustración de una curva de campana.
• EL punto más alto en la curva es la media, donde
deben estar la mediana y la moda de la
distribución.
• Tiene una única moda, que coincide con su media
y su mediana.
• La curva normal es simétrica.
• La desviación estándar determina el ancho de la
curva.
• El total del área bajo la curva es 1.
• Probabilidades de la variable aleatoria normal
están dadas por áreas dentro de la curva. Diapositiva
7
Distribución de Probabilidad Normal
Función Normal densidad de probabilidad
1
− ( x − µ )2 / 2 σ 2
f (x) =
e
σ 2π
donde
µ = media
σ = desviación estándar
π = 3.14159
e = 2.71828
Diapositiva 8
Probabilidad de Distribución normal
Una variable aleatoria que tiene una distribución
normal con una media de 0 y una desviación
estándar de 1 se dice que tiene una distribución
estándar de probabilidad
La letra z es comúnmente usada para designar la
variable aleatoria normal.
Convirtiendo a la distribución estándar normal
z=
x−µ
σ
Se puede entender que z es una medida que nos dice
a cuantas desviaciones estándar está x de su µ.
Diapositiva 9
Ejemplo: Aceitera de Pepe
Pepe vende auto partes incluyendo aceite multigrado porque es el producto que más se mueve.
Cuando el se queda con un tambo de 20 galones sabe
que es tiempo de hacer un nuevo pedido. Por lo
general cada día se quedan 15 galones o sea el
consumo medio y con una desviación estándar de 6
galones. El dueño de la aceitera quiere saber cual es
la probabilidad de tener en bodega más de 20
galones P(x > 20).
Diapositiva 10
Ejemplo: Aceitera de Pepe
Distribución Normal
Estandarizada
z = (x - µ)/σ
= (20 - 15)/6
= .83
Area = .2967
Area = .2033
Area = .5
z
0 .83
La tabla normal estandarizada muestra un área de
.2967 para la región entre z = 0 y z = .83 por arriba de
la línea de esta última. El área sombreada es .5 .2967 = .2033. La probabilidad de que el inventario
sea mayo de 20 es .2033.
Diapositiva 11
Ejemplo: Aceitera de Pepe
Distribución Normal
Estandarizada
z = (x - µ)/σ
= (14 - 15)/6
= -.16666
Area = .5
0
Area = .0675
z
La tabla normal estandarizada muestra un área de
.0675 para la región entre z = 0 y z = .166 por debajo y
por arriba de la línea de esta última. El área
sombreada es entre 14 y 16 es .1350
Diapositiva 12
Usando tablas de probabilidad Distribución Normal
TABLA DE APENDICES
.00
z
.0 .0000
.1 .0398
.2 .0793
.01
.02
.03
.04
.0040 .0080 .0120 .0160
.0438 .0478 .0517 .0557
.0832 .0871 .0910 .0948
.05
.06
.07
.08
.0199 .0239 .0279 .0319
.0596 .0636 .0675 .0714
.0987 .1026 .1064 .1103
.09
.0359
.0753
.1141
.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
.5
.6
.7
.8
.9
.1915 .1950 .1985 .2019
.2257 .2291 .2324 .2357
.2580 .2612 .2642 .2673
.2054 .2088 .2123 .2157
.2389 .2422 .2454 .2486
.2704 .2734 .2764 .2794
.2190 .2224
.2518 .2549
.2823 .2852
.2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
.3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
Diapositiva 13
Usando Excel
Use un hoja electrónica y
• Paso 1: Seleccione una celda en una hoja electrónica
• Paso 2: Seleccione el menú insertar.
• Paso 3: Elija el menú de funciones.
• Paso 4: Cuando aparezca elija las funciones
estadísticas y busque DISTNORMAL o NORMDIST
Seleccione aceptar .
continuar
Diapositiva 14
Ejemplo : Aceitera de Pepe
Usando Excel (continuación)
• Paso 5 : cuando aparezca NORMDIST el cuadro de
dialogo :
Ingrese 20 en el cuadro de x .
Ingrese 15 en el cuadro de la media.
Ingrese 6 en el cuadro de desviación estándar.
Ingrese VERDADERO en el cuadro de
acumulación.
Debe de aparecer .7967 en la celda seleccionada en el
paso 1, lo cual indica que la probabilidad de un
inventario menor de 20 galones es de .7967. La
probabilidad de que la demanda exceda 20 galones
sería 1 - .7967 = .2033.
Diapositiva 15
Ejemplo de la Aceitera de Pepe
Si el administrador de la aceitera quiere saber cual es el
inventario cuando no es mas de .05, cuál debería ser
el punto de reorden?
Area = .05
Area = .5 Area = .45
z.05
0
Entonces z.05 representa el valor que corta z para el área
de .05.
Diapositiva 16
Ejemplo: Aceitera de Pepe
Usando la tabla
Se sabe que al ver el área de .4500 en la tabla
correspondiente para el valor de z.05 .
z
.
.00
.01
1.5 .4332 .4345
1.6 .4452 .4463
1.7 .4554 .4564
1.8 .4641 .4649
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418
.4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525
.4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616
.4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693
.09
.4429 .4441
.4535 .4545
.4625 .4633
.4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
.
z.05 = 1.645 es la estimación razonable
Diapositiva 17
Ejemplo aceitera de Pepe
El valor correspondiente dado para x es
x = µ + z.05σ
= 15 + 1.645(6)
= 24.87
Al reordenar el punto de 24.87 galones el lugar de
la probabilidad que dura un inventario de .05.
Entonces el punto para 25 galones es la
probabilidad debajo de .05.
Diapositiva 18