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XI Coo greso Galego de Esrarísticz e 1n’estigaciáo de 01,eraekns
A Coruiia. 23—25—26 de rnarubro de 2013
MEDIDAS DE DISPERSIÓN CON GEOMETRIA DINÁMICA
José Alexandre Manins’. Assumpta Estrada Roca, Maria Manuel Nascimento3, Carles Comas4
UDI-IPG, Instituto Politécnico da Guarda, Guarda, Portugal, jasvm@ipg.pt
Universitat de Lleida, Lleida, Espaüa. aestrada@matematica.udl,cat
CM-UTAD, Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, Vila Real. Portugal, mmsn@utad.pt
Universitat de Lleida, Lleida. Espafia, carles.comas@matematica.udl.cat
RESUMEN
Dado que las medidas de dispersiãn son cruciales en ia ensebanza de la Esladistica. presentamos
algunas aplicaciones dinámicas utilizables para su exploraciãn de esos conceptos en las clases.
En ia primera parte de este trabajo resaltamos la importancia de utilizar la visualizacián como
estímulo para introducir y explorar la variación estadística usando la tecnologia actual disponible.
Además. ai mejorar la motivación de los alumnos en clase. se subsanan dificultades y enores
relacionados con su interpretación y comprensión.
Con la ayuda dei software de geometria dinámica (SGD), Cabri-Géomêtre li Plus, se presentan tres
aplicaciones, que desde un punto de vista didáctico permiten visualmente estimular, motivar y facilitar la
familiahzación con los conceptos estadísticos de dispersión.
Las aplicaciones presentadas podrán ser implementadas por cualquier profesor con conocimientos
básicos de Cabri-Géométre u otro software de geometria dinámica. Esperamos que su utilizacián permita
una mayor interacción en las clases de estadística y en especial las relacionadas con las medidas de
dispersión.
Keywords: Educacián, Estadística, dispersián. visualización. simulacián. SGD.
1. INTRODUCCIÓN
La ensefianza de ia Estadística es un tema actual que requiere innovaciones y cambios en ias formas
tradicionales de formación, produccián y comunïcacidn de Ia informacián. Según (Darius, Michiels y
Raeymaekers, 2002. p. i) con ei uso de heEamientas tecnoiágicas surgen nuevas posibilidades de
enseanza, con las cuales es posible proporcionar a los aiumnos una experiencia diferente, que permita un
aprendizaje más eficiente y eficaz.
La Estadística es una parte de la Malemática donde es posible desarroilar la visuahzacián dinámica
de muchos conceptos (Martins y Nascimento, 2009). Además si tenemos en cuenta las enormes
potencialidades de la exploración grafica y visual dei entorno tecnológico actual, es natural consideraria
visualización como un aspecto extraordinariamenie importante tanlo en la construcción y la transmisión
de conceptos, como co ei descubrimiento de nuevas relaciones. Guzmán (2001), Evidentemente ia
visualizacián es una componente más en la continua tentativa de mejorar ia ensehanza de la estadistica.
siendo necesaria una gran labor de reflexián e investigación para adecuarla a ia ensehanza de conceptos
específicos.
Con este trabajo se pretende por un lado. presentar una respuesta dinámica y visual ai aprendizaje de
las medidas de dispersión a través de ia utilizacián dei software de geometria dinámica Cabri Géomètre H
Plus y por otro facilitar ei trabajo a los profesores, mostrando ideas y caminos que puedan contribuir a la
mejora de ia caiidad de la ensehanza de la estadística a través de la utiiizacián de recursos tecnológicos
adecuados.
Fn ese sentido, con la ayuda fundamental de Cabri, se presentan unas aplicaciones, que pretenden
visualmente estimular, motivar y facilitar la inteHorización de los conceptos de varianza así como algunas
de sus propiedades, y que además ayudan a reforzar ei trabajo cooperativo gracias a su componente
lúdica. lan importante hoy en dia para nuestros estudiantes más jóvenes.
2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
A pesar de la imponancia de ia variacián esiadistica. su tratamiento en los programas escolares se
reduce a dar una pequea interpretación basada en la búsqueda de una medida que indique la dispersión
de los datos (Barros & Fernandes, 2001, y Estepa & Pino. 2013); después de 1 cual se procede a deducir
las fórmulas correspondientes: desviaciãn media. variania y desviación estándar. El problema es que aI
aplicar la fórmula para encontrar ei valor de la varianza o desviación estándar, no se refleja en modo
aiguno ei concepto de variación. Algunas de las explicaciones para esta situación sugeridas por
Shaughnessy(l997) son:
El cálculo e interpretación no son muy fáciies.
•
Li carencia de modelos didácticos para dar significado a las medidas de variación, a
•
diferencia de modelos que sirven para motivar los conceptos de medidas centrales (balanza,
punto de equilibrio, etc).
Por todo esto. deberíamos considerar a la variación estadistica como un concepto central de la
investigación científica y nos debe Ilevar a una reflexión profunda sobre ei papel que debe jugar esta
noción en la ensehanza y aprendizaje de la estadística. Ei concepto de variación debe ser revalorado y
utilizado en los programas de estadistica y además ei maestro debe prepararse para este cambio.
En esta línea, se presentan a continuación en ei entorno Cabri diferentes expeHencias o actividades
sobre la reiación entre ias frecuencias y ei valor de la varianza. ia representación gráfica dei concepto de
varianza y ia idea de varianza como una media.
2.1. Varianza
y
frecuencia
En primer lugar se pretende, para ei caso de las variabies continuas, relacionar ei histograrna con ei
valor de la varianza y ver su evolución. Para cilo se construye un histograma en ei que es posible alterar
dinámicamente las frecuencias y se puede cornprobar, por ei área dei círculo asociado, ei valor de la
varianza correspondiente.
Asi. se pueden explorar distintas variaciones en ias frecuencias y observar lo que sucede (Figura 1).
En particular, tiene interés experimentar situaciones con medias semejantes á con diferentes asimetrías y
varianzas muy distintas.
Con estos experimentos es posibie entender ia complejidad e interdependencia que encierra ei
concepto de varianza, y además estimularia intuicián y ia capacidad critica de los aiumnos respecto a ia
dispersián y sus medidas estadísticas.
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-
P1 ,J±3 aJM&i .dzi dri
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V.,,I..d.’fl.TF
V.di.,,.’IV.
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Figure 1: Vadanza y frecuencia
2.2. Representación gráfica de ia varianza
En la siguiente apiicación se pretende. visualizar, a través de cuadrados (con sus áreas y ias medidas
de sus lados), ei valor de ia varianza y su evolución. Para una variabie discreta (con 5 valores). Para elio
se pane de la fórmula dela varianza:
a2
=
(x,
7
—
lii
En contexto geométrico. la varianza surge como Ia media aritmética de las áreas de los cuadrados
que tienen sus lados iguales a la distancia entre cada uno de los datos y la media aritmética
correspondiente.
Basándonos en esta intemretación geométrica. la aplicación representa, Figura 2, a la izquierda de la
media dc los datos y para cada uno de los datos de valor inferior a la media, los cuadrados que tienen la
medida de sus lados iguales a la distancia entre la media aritmética y cada uno de los datos coo valor
inferior ala media. Lo mismo pasa para los datos superiores a la media, pero co este caso están situados a
la derecha de ia misma. Finalmente se presenta un cuadrado de área igual a la media de las áreas de los
cuadrados referidos y que tiene la medida dei lado igual ai valor dei desvio padrón.
Con esta aphcación se puede visualizar ei contenido geométrico dei concepto de varianza
evidenciando que es muy sensible a variaciones de los datos y que su valor depende mucho ia dimensián
de estos valores.
L
.à1i 1J23 IEI
.2’ 2
xJ.2
cd’ O
.0’ O
Mc 5.00
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De..A, I’.d,I,i03
r
jL1a
-
—
.2
-
—
—
ei
-
Mc
Figura 2: Representacián gráfica de ia varianza
2.3. La varianza como una media
En este punto. se pretende visualizar eI valor de la varianza y su evolución. para variables discretas
paniendo de ia idea en ia que se la considera como la media aritmética dei cuadrado de Ias diferencias
entre los valores de los datos y la media aritmética de esos datos.
Para eso se recuerda aqui la pmpiedad de la media aritmética deque. ia suma de las diferencias entre
los valores de los datos y ia media es cero. á sea,
É
Entonces. considerando
(
—j,
—
=
o.
o una nueva serie de datos. se puede afirmar que ia
1
varianza de los datos x’s es igual aia media de los datos yjs, á sea.
y
=
=
_)2
Z(
=
k
II
1?
y. por consiguiente.
3
7?
) Z (y
2
—
=
=
—
Así, tal como se puede observar en la Figura 3, en que y
=
o
(Vj’ y en que a
=
V solo cuando
Vsomav=0, con esta aplicación de Cabri Géomêtre se experimenta, en simultâneo, la obtención de la
media y de la varianza de los datos, usando Ia misma propiedad de la media para Ias dos series de datos
relacionadas.
—
[a
[moo
0*o
—
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2
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3
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4
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3.00 ia
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Figura 3: La varianza como una media
3. CONCLUSIONES
Las aplicaciones presentadas. que cualquier profesor con conocimientos mínimos de Cabri
Géomètre õ de mm software de geometria dinâmica puede implementar, habrán cumplido los objetivos
iniciales si, a través dei potencial de la geometria dinámica. pudieran ser considerados, no sólo. como
ejempios versátiles. capaces de estimular y facilitar ia asimilación, intemretación y comprensión de dei
concepto de dispersián. y en particular ei de la varianza y de algunas de sus propiedades. sino también
como elementos capaces de promover una mayor interactividad en ei aula.
Otrns ejemplos podrían ser mostrados. pues hay. con certeza. muchis posibilidades de explorar estas
aplicaciones pudiendo profundizarlas. perfeccionarias y/á afladiries otras potencialidades, teniendo como
motivación ia mejoria de ia ensefianza de ia estadística. y en especial en lo que toca a la ensefianza de la
variación estadistica. bien como la curiosidad, la imaginación. la reflexiôn y ia voluntad.
AGR4DECIMIENTOS
Trabajo apoyado por ei Proyecto EDU2OIO-11917 (MICIIN. Espaha). y por ei Centro de
Matemática de la UTAD (CM-UTAD) y por ei proyeclo PEst-DEIEGEIUI4O56/201 1 de la UDI/IPO
tinanciado poria Fundaçúo para a Ciência e a Tecnologia (FCT. Portugal).
REFERENCIAS
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South Africa,
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Guzmán, M. (2001). Ei rincón de la pizan-a
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