Download Anexo - Matemática - Números especiales

Laura Gómez Leyton -
CENTRO EDUCATIVO
NÚMEROS ESPECIALES:
NÚMERO DE ORO:
1- Número áureo o de oro, número igual a 1,618.... , que permite determinar
proporciones estéticas en las obras arquitectónicas, labores de imprenta, etc.
Desde la antigüedad se considera que la mejor armonía entre dos dimensiones se
obtiene cuando la proporción entre las mismas es igual a la proporción existente
entre la mayor de ellas y la suma de las dos. Consiguientemente, si y es la mayor
dimensión y x la menor, tendremos que:
x
y

y x y
En el caso supuesto de que x sea igual a la unidad, el valor de y se obtiene por la
fórmula:
1 5
 1,618 ...
2
Independientemente de su valor estético, el número de oro se caracteriza por
algunas propiedades notables. Así, en el caso del rectángulo cuyo lado mayor
mide 1,618 veces la longitud del menor, se pueden obtener hasta el infinito
rectángulos idénticos cada vez más pequeños, cortando cuadrados. Inversamente,
se obtendrán rectángulos idénticos, aunque cada vez mayores, agregando
cuadrados de lado igual al del lado mayor del rectángulo.
2- Estrella Pitagórica:
En la estrella de cinco puntas – emblema de los pitagóricos- encontramos el
número irracional  , al que llamamos número de oro.
d 1 5
 
 1,61803398 ...
l
2
donde d mide la longitud de la diagonal del pentágono
regular donde se encuentra inscripta la estrella, y l mide la
longitud del lado de dicho pentágono.
El símbolo de la comunidad de matemáticos pitagóricos fue una estrella
pentagonal, donde cada uno de los segmentos es un segmento áureo, para cada
una de sus divisiones.
3 - El número de oro ha sido utilizado desde la antigüedad por escultores,
arquitectos y artistas.
Lo descubrimos en el Partenón (templo griego del siglo V a. C), donde la relación
entre el ancho y el alto de la fachada es igual a  .
A

B
A esta razón igual al número de oro la denominamos razón áurea, y al rectángulo
cuyos lados guardan esa razón, rectángulo áureo.
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En Psicología se ha estudiado que, entre todos los rectángulos, los que resultan
más armoniosos y agradables a la gente son aquellos en los que la razón entre
sus lados es igual a la razón áurea.
4 - Construcción de un rectángulo áureo
 Dibujamos un cuadrado abcd.
 Tomamos m, el punto medio de uno de sus lados, y lo unimos con uno
de los vértices opuestos, por ejemplo, con c
 Con centro en m, trazamos un arco de radio mc , que corte la recta que
incluye al lado ad en p.
El rectángulo de lados ap y ab es áureo.
Desafío:
Calculen cuánto mide ap si el lado del cuadrado mide 1.
Pistas: ap  am  mp y mp  mc ; mc se calcula aplicando el teorema de Pitágoras.
5 - En el libro Elementos, del famoso matemático griego Euclides (siglo lll a.C), se
encuentra la siguiente construcción gráfica del número de oro:
 Se traza un segmento unitario ab y, perpendicular a éste, se traza otro
también unitario ac .
 Con centro en o, punto medio de ac, se traza una circunferencia de radio
oa.
 Se une b con o y se prolonga hasta cortar a la circunferencia en d.
Desafío: aplicando el teorema de Pitágoras, demostrar que:
bd = 
6 - Utilizando el número áureo, resuelve el siguiente problema:
“Dividir el segmento dado en dos partes, de tal forma que la longitud de todo el
segmento sea a la parte mayor, como la parte mayor es a la parte menor”.
Encuentra la solución para cada segmento:
a.
8 cm
b.4 cm
7 – Segmento aúreo:
Un segmento s dividido en dos partes, una mayor y otra menor:
x
en el que se cumple
y
xy
s x
 , se denomina: segmento áureo.
x y
8 – Para encontrar el número áureo, no tenemos que remontarnos a la
antigüedad griega.
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Hoy las tarjetas de crédito tienen sus medidas armónicas, pues la relación entre
sus lados es el número de oro.
Nosotros llevamos el número áureo en nuestras proporciones anatómicas.
La proporción que se plantea es la siguiente:
La distancia desde el suelo al ombligo es media proporcional entre la distancia del
ombligo a la cabeza y la altura de la persona.
B) LOS NÚMEROS DE FIBONACCI :
Leonardo Fibonacci nació en Pisa hacia el año de 1 170 y murió cerca del año 1230.
Considerado el matemático más completo de la edad media, introdujo en su libro
titulado “Liber Abaci” los números arábigos a Europa, sustituyendo el antiguo
sistema romano de numeración.
En este libro, Fibonacci presenta el siguiente problema:
“ ¿Cuántos conejos puede producir una sola pareja en un año, si todos los meses
cada pareja engendra una nueva pareja, la cual comienza a engendrar a partir del
segundo mes, y así sucesivamente, suponiendo que no se produce ninguna
muerte?”
En el primer mes empezamos con una pareja de conejos inmaduros y durante el
segundo mes, todavía tenemos una sola pareja, pero ahora son conejos maduros.
Al tercer mes han producido una nueva pareja; de manera que tenemos dos
parejas: una madura y otra inmadura. Durante el cuarto mes, la pareja inmadura
ha madurado y la primera pareja ha producido otra pareja inmadura; de modo
que hay tres parejas, dos maduras y una inmadura.
Podríamos determinar el número de conejos en el doceavo mes, continuando el
razonamiento anterior, con lo cual llegaríamos a la sucesión (secuencia de
números) que aparece a continuación:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Entonces al final del primer año habrá 144 parejas de conejos. Esta sería la
respuesta al problema planteado.
La sucesión que surgió como respuesta al problema es conocida como “sucesión
de Fibonacci”, y los números de la misma reciben el nombre de “números de
Fibonacci”.
Es fácil ver que cada número, a partir del tercero, es la suma de dos números que
lo preceden, esto nos permite obtener tantos números de la sucesión como lo
deseemos.
Lo interesante de esta sucesión es que, a demás de dar la solución al problema de
Fibonacci, está relacionada con otras situaciones de la naturaleza igualmente
interesantes. Por ejemplo la distribución en espiral de las hojas alrededor del tallo
del girasol, para aprovechar mejor la luz del sol, las escamas que se distribuyen en
torno al eje de una piña; o el ordenamiento de las semillas en el centro de la flor
del girasol.
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C) NÚMERO e:
Un número irracional de particular importancia es e que se obtiene al calcular para
n
 1
un número infinitamente grande el valor de la expresión 1   .
 n
n
 1
En la sucesión 1   al remplazar n por cada uno de los números naturales se
 n
obtiene:
1
 1
1. 1    2
 1
2
9
 1
2. 1     2,25
4
 2
3
64
 1
 2,3703...
3. 1   
3
27

10
10
1

 11 
1       2,593742...
 10 
 10 
1 

1 

 100 
100
1 

1 

 100 
 101 


 100 
1 000
100
 2,7048...
 1 001 

 
1
000


10 000
1000
 2,7169...

 10 001 
1 
1 


 
10
000
10
000




Los términos de esta sucesión están comprendidos entre 2 y 3
4
625
 1
 2,4414...
4. 1   
256
 4
10000
 2,7181...
n
 1
2 ≤ 1   < 3
 n
n
 1
Cuando n se torna infinitamente grande el valor de 1   se hace
 n
aproximadamente igual a e.
Un número próximo a este valor es e = 2,718281828459
e se llama el número neperiano, o de Neper, su descubridor.
El número e es utilizado para determinar funciones cuyo crecimiento es en forma
exponencial y como base de los logaritmos naturales.
d) NÚMEROS PRIMOS:
Son los números naturales que sólo tienen por divisores a: 1 y al mismo número.
e) NÚMEROS COMPUESTOS
Si un número natural tiene más de dos divisores, se le denomina número
compuesto.
f) NÚMEROS COPRIMOS:
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Dos números enteros son primos entre sí o coprimos , cuando el mayor divisor que
tienen en común en +1 o –1.
Es decir que a y b son coprimos, si el m.c.m(a,b)=  1
g) NÚMEROS AMIGOS
En matemáticas se llaman números amigos a las parejas de números que cumplen
la siguiente propiedad: la suma de los divisores de cada uno (excluido él mismo) da
como resultado el otro.
La pareja de números más pequeños con esta propiedad es la formada por 220 y
284.
h) PRIMOS GEMELOS
Son aquellos cuya diferencia es dos. Algunos pares de primos gemelos son 3 y 5, 5 y
7, etc.
i) NÚMEROS ENTEROS PITAGÓRICOS
Son los números que pueden corresponder a las longitudes de los lados de un
triángulo rectángulo.
Las ternas de números naturales que como 3, 4 y 5, satisfacen la relación
a 2+ b 2 = c 2
Desafío:
Te proponemos emplear tu calculadora para formar una tabla de los cuadrados de
los números del 1 al 50 y encontrar todas las ternas pitagóricas.
j) NÚMEROS CAPICÚAS
A los números como 34 543, que se leen lo mismo de derecha a izquierda que de
izquierda a derecha, se les llama capicúas.
Desafío:
Te proponemos que escribas todos los números capicúas de tres cifras menores que
1000
k) NÚMEROS PERFECTOS
Euclides demostró que si p = 1 + 2 + 22 +............+ 2n es un nº primo, entonces 2n .
p es un nº perfecto
Por ejemplo: 1 + 2 1 = 3 y como 3 es nº primo
21 . 3 = 6 es perfecto;
1 + 21 + 22 = 7 y como 7 es nº primo
22 . 7 = 4 . 7 = 28 es perfecto.
En la actualidad se sabe que todos los números perfectos pares responden a esa
condición. Sin embargo, aún se ignoran muchas cuestiones acerca de los números
perfectos; por ejemplo: si bien se cree que no hay perfectos impares, todavía nadie
pudo hacer una demostración de este hecho.