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Circuito RC de corriente alterna .
E: Un circuito RC se forma con un resistor de 200 , un capacitor de 0:01 F y una fuente de voltaje
V .t/ D 100e 3t cos 4t V. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el
circuito al tiempo t, suponiendo que Q.0/ D 20 C.
D: H La ED para la carga Q.t/ es
dQ
Q
Q.t/
C
D V .t/ ) 200Q 0.t/ C
D 100e
dt
C
0:01
que se puede simplificar como:
R
Q 0.t/ C 0:5Q.t/ D 0:5e
3t
3t
cos 4t;
cos 4t:
1
Esta ED es lineal de primer orden con factor integrante e 0:5t D e 2 t . Al multiplicar la lineal por
dicho factor se obtiene:
1
1
1 1
d 1
1 5
t
0
e 2 Q .t/ C Q.t/ D e 2 t e 3t cos 4t ) Œe 2 t Q.t/ D e 2 t cos 4t )
2
2
dt
2
Z
1
5
1
) e 2 t Q.t/ D
e 2 t cos 4t dt:
2
Aplicamos la fórmula de integración
Z
e at cos bt dt D
1
.b sen bt C a cos bt/e at
a2 C b 2
y obtenemos
1
e 2 t Q.t/
D
1
2
25
C 16
4
4 sen 4t
5
cos 4t e
2
5
t
2
2
CK D
25 C 64
5
cos 4t e
2
4 sen 4t
5
t
2
C K;
de donde,
1
2
5
Q.t/ D
4 sen 4t
cos 4t e 3t C Ke 2 t :
89
2
Aplicamos la condición inicial Q.0/ D 20 y obtenemos:
1 785
2
5
5
Q.0/ D
C K D 20 ) K D 20 C
) KD
:
89
2
89
89
Luego, la carga instantánea en el capacitor es
2
5
Q.t/ D
4 sen 4t
cos 4t e
89
2
3t
C
1 785
e
89
1
t
2
C.
La corriente en el circuito es
I.t/ D
1
.47 cos 4t
89
4 sen 4t/e
3t
1 785
e
178
1
t
2
A.
29. canek.azc.uam.mx: 18/ 1/ 2011