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CAPÍTULO
5
Aplicaciones de ED de segundo orden
5.3.5
Circuito RL de corriente alterna
R
I
o
V .t / D V0 sen w t
L
El circuito de la figura anterior está formado por una malla simple con una fuente de voltaje V .t/ de tipo
sinusoidal, un resistor R y un inductor L y se le conoce como circuito RL de corriente alterna. De acuerdo
con la ley de Kirchhoff de voltaje, tenemos que
dI
dI
) L
C RI D V0 sen wt )
dt
dt
dI
RI
V0
)
C
D
sen wt:
dt
L
L
V0 sen wt D RI C L
Observe que esta ecuación (5.1) es similar a la ecuación (??) página ??, si hacemos las relaciones:
1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010
1
(5.1)
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ecuación (??)
Ecuación (5.1)
Q
!
I
R
!
L
1
!
R
C
Así obtenemos, de la solución (??), que la corriente que circula sobre el circuito está dada por
R
V0
R
t
I.t/ D 2
sen wt w cos wt C we L D
L
R
2
L
C Lw
L
R
V0 L
R
t
L
D 2
sen wt w cos wt C we
:
R C L2 w 2 L
Que se puede reescribir como
V0
R
V0 Lwe L t
L
C s sen.wt C /:
I.t/ D 2
R C L2 w 2
R 2
C w2
L
Donde el ángulo de fase satisface:
R
L
cos D s ;
R 2
C w2
L
sen D
s
R
L
w
2
& tan D
wL
:
R
C w2
Observe que, para tiempos grandes, la corriente que circula por el circuito tiene la misma frecuencia que el
voltaje de entrada.
Ejemplo 5.3.1 Determinar la corriente en un circuito RL de corriente alterna, si R D 1 , L D 0:01 H y si
V D cos 60t V. Suponga que inicialmente no circula corriente por el circuito.
H
La ecuación diferencial para este ejemplo es
L
dI
dI
dI
C RI D V .t/ ) 0:01
C I D cos 60t )
C 100I D 100 cos 60t:
dt
dt
dt
Multiplicamos por el factor integrante D e 100t ambos lados para obtener:
Z
d e 100t I
D 100e 100t cos 60t ) e 100t I D 100 e 100t cos 60t dt:
dt
Utilizando la relación:
obtenemos el resultado
Z
e at cos bt dt D
e at
.a cos bt C b sen bt/;
a2 C b 2
100e 100t
.100 cos 60t C 60 sen 60t/ C K )
1002 C 602
100
) I.t/ D
.100 cos 60t C 60 sen 60t/ C Ke 100t :
1002 C 602
e 100t I D
Ecuaciones diferenciales ordinarias 5
3
Si al tiempo t D 0 no hay corriente, entonces:
0D
100
.100/ C K ) K D
C 602
1002
104
:
C 602
1002
Finalmente, la corriente está dada por
100
.100 cos 60t C 60 sen 60t 100e
1002 C 602
25
15
25 100t
D
cos 60t C
sen 60t
e
A:
34
34
34
I.t/ D
100t
/D
Ejercicios 5.3.5 Circuito RL de corriente alterna. Soluciones en la página 4
1. Se conectan en serie un resistor de 30  y un inductor de 0:1 H a una fuente de voltaje alterna que
suministra V .t/ D 100 cos 400t V. Si inicialmente no circula corriente por el circuito, determine una
expresión para la corriente en el tiempo t.
2. Un circuito RL está formado por un resistor de 10 , un inductor de 0:02 H y una fuente de voltaje
alterna que suministra V .t/ D 120 cos 500t V. Determine la corriente que circula por el circuito suponiendo que originalmente no hay corriente alguna.
3. Un resistor de 25 , un inductor de 0:5 H y una fuente de voltaje alterna V .t/ D 12 cos 50t C 10 sen 20t V
se conectan formando un circuito RL. Si inicialmente circula una corriente de 1 A, determine la
corriente que circula en el tiempo t.
4. Un circuito en serie está formado por un resistor R D 20 , un inductor L D 0:05 H y una fuente de
voltaje que suministra V .t/ D 80 cos 100t V. Suponga que originalmente circula una corriente de 4 A.
¿Cuál será la corriente al tiempo t?
5. Se conecta un resistor de 2  y un inductor de 0:25 H a una fuente de voltaje alterna que suministra
V .t/ D 2:5e 5t cos 12t V formando un circuito RL. Suponga que la fuente se conecta cuando circula
por el circuito una corriente de 5 A. Determine la corriente que circula en el tiempo t.
4
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios 5.3.5 Circuito RL de corriente alterna. Página 3
8
6 300t
6
cos 400t C sen 400t
e
A.
5
5
5
I.t / D 6 cos 500t C 6 sen 500t 6e 500t A.
6
6
10
4
651
I.t / D
cos 50t C
sen 50t C
sen 20t
cos 20t C
e
25
25
29
29
725
64
16
4
I.t / D
cos 100t C
sen 100t C e 400t A.
17
17
17
40
245 8t
10 5t
e
cos 12t C e 5t sen 12t C
e
A.
I.t / D
51
51
51
1. I.t / D
2.
3.
4.
5.
50t
A.