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EJERCICIOS DIVERSOS Nº 1
Lógica y conjuntos
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1) Demuestre que B ∩ (B C ∪ A) C ∪ ( A ∪ B) C = B − A
Solución.
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B ∩ (B C ∪ A) C ∪ (A ∪ B) C = B ∩ ((B C ) C ∩ A C ) ∪ ( A C ∩ B C )
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= B ∩ (B ∩ AC ) ∪ (B C ∩ AC )
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= B ∩ (B ∪ B C ) ∩ A C
]
]
]
= B ∩ (U ∩ A C )
= B ∩ AC = B − A
2) Demuestre , usando el álgebra de proposiciones que ( p ⇒ q) ⇒ [(~ q) ⇒ (~ p)]
es una tautología
Demostración
Debemos demostrar que {( p ⇒ q) ⇒ [(~ q) ⇒ (~ p)]}⇔ I
( p ⇒ q) ⇒ [(~ q) ⇒ (~ p)] ⇔~ ( p ⇒ q) ∨ [(~ q) ⇒ (~ p)]
⇔ [~ ((~ p) ∨ q)]∨ [~ (~ q) ∨ (~ p)]
⇔ ( p ∧ (~ q)) ∨ (q ∨ (~ p))
⇔ [( p ∧ (~ q)) ∨ q ]∨ (~ p)
⇔ [( p ∨ q) ∧ ((~ q) ∨ q)]∨ (~ p)
⇔ [( p ∨ q) ∧ I ]∨ (~ p)
⇔ ( p ∨ q) ∨ (~ p)
⇔ (q ∨ p) ∨ (~ p)
⇔ q ∨ [p ∨ (~ p)]
⇔ q∨I ⇔ I
3) Exprese ( p ∧ q) ∨ (r ∨ s) usando sólo los conectivos “~” y “ ⇒ ”
Solución.
( p ∧ q) ∨ (r ∨ s) ⇔~ ( p ∧ q) ⇒ (r ∨ s)
⇔ [(~ p) ∨ (~ q)]⇒ (r ∨ s)
⇔ [~ (~ p) ⇒ (~ q)]⇒ [(~ r) ⇒ s ]
⇔ [p ⇒ (~ q)]⇒ [(~ r) ⇒ s ]
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMATICA Y C.C.
.
.
MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ SERRANO
4) En una encuesta a 250 personas, realizada para conocer el contenido de
su desayuno, en relación al consumo de café, té y leche, se obtuvieron los
siguientes resultados:
30 personas tomaban té con leche
40 personas tomaban café con leche
80 personas tomaban leche
130 personas tomaban café o leche
150 personas tomaban café o leche
a)¿Cuántas personas toman té?
b)¿Cuántas personas tomaban sólo leche?
Solución.
Considere los siguientes conjuntos: U = población encuestada , T = personas que
toman té , C = personas que toman café , L = personas que toman leche; así, del enunciado
conseguimos los siguientes datos
n(u) = 250 , n(T ∩ L) = 30 , n(C ∩ L) = 40 , n(L) = 80 , n(T ∪ L) = 130 , n(C ∪ L) = 150 , se
pide a) n(T) b) n(L ∩ C C ∩ T C )
a) Como n(T ∪ L) = n(T ) + n(L) − n(T ∩ L) entonces 130 = n(T ) + 80 − 30 , de donde
n(T ) = 80
b) n(L ∩ C C ∩ T C ) = n(L ∩ (C ∪ T ) C )
= n(L) − n(L ∩ (C ∪ T ))
= n(L) − [n(L ∩ C) + n(L ∩ T ) − n(L ∩ C ∩ T )]
= 80 − (40 + 30 − 0) = 10
Naturalmente que podemos encontrar la solución usando un diagrama