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SOLUCIONARIO
SGUICCO001MT21-A17V1
Generalidades de números
reales
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
GENERALIDADES DE NÚMEROS REALES
Ítem Alternativa
Habilidad
1
D
ASE
2
C
ASE
3
C
ASE
4
E
ASE
5
E
ASE
6
A
ASE
7
D
Comprensión
8
D
Comprensión
9
A
Comprensión
10
D
Comprensión
11
C
Comprensión
12
B
Comprensión
13
E
ASE
14
D
ASE
15
C
ASE
16
C
ASE
17
E
ASE
18
B
Aplicación
19
B
ASE
20
B
ASE
21
C
ASE
22
E
ASE
23
E
ASE
24
A
ASE
25
B
ASE
2
1. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
ASE
Verdadera, ya que la suma de números naturales siempre es un natural. Además, el
conjunto de los números naturales es subconjunto de los números enteros (IN  Z),
lo que implica que todo natural es también un entero.
II) Falsa, ya que no siempre la resta es conmutativa en los naturales, por ejemplo:
5 – 2 = 3 pero 2 – 5  3.
III) Falsa, ya que en los naturales no existen inversos aditivos.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son falsas.
2. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
ASE
Falsa, ya que la sustracción NO es conmutativa en los enteros.
Por ejemplo: (– 3) – (4) = – 7. Pero, (4) – (– 3) = 4 + 3 = 7
II) Falsa, ya que no existe inverso multiplicativo en los números enteros.
III) Verdadera, ya que el neutro aditivo es el cero.
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Falsa, ya que 0,341343434...  0,34134 , es decir, es un número racional, ya que se
puede escribir como fracción.
9
II) Falsa, ya que
NO ESTÁ DEFINIDO.
0
225 45
III) Verdadera, ya que

 15
15
3
I)
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son falsas.
3
4. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
ASE
Verdadera, ya que Q   IR .
II) Verdadera, ya que Z  Q .
III) Verdadera, ya que II  C .
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
5. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
NO es siempre irracional, ya que si a = 2  3 y b = 2  3 , entonces
ab  2 3 2 3  4.
II) NO es siempre irracional, ya que si a = 2 y b = 50 , entonces
a  b  2  50  2  50  100  10
III) NO es siempre irracional, ya que si a = 8 y b = 2 , entonces
I)
a
8
8


 4  2
b
2
2
Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre un irracional.
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
ASE
Verdadera, ya que el neutro de la adición en los reales es 0, que no es un número
natural.
II) Falsa, ya que el neutro de la multiplicación en los reales es 1, que es un número
entero.
III) Falsa, ya que el neutro de la adición en los reales es 0, que no tiene recíproco.
Por lo tanto, solo I es correcta.
4
7. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
El número real positivo n que es igual a su recíproco cumple que n 
1
, lo cual es
n
válido solo para n = 1.
El número real m que es igual a su opuesto cumple que m  m , lo cual es válido solo
para m  0 .
Por lo tanto, los números n y m son, respectivamente, 1 y 0.
8. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
A) No siempre es secuencia de números impares, ya que si n es un número par, la
secuencia está formada por números pares consecutivos.
B) No siempre es secuencia de números impares, ya que si n es un número impar, la
secuencia está formada por números pares consecutivos.
C) No es secuencia de números impares, ya que, dado el número natural n, (n + 1) es
natural y 2(n + 1) es un número par.
D) Es secuencia de números impares consecutivos. Dado que n es un número natural,
2n es par y (2n + 1) el sucesor impar. Como (2n + 1) es impar, los números impares
consecutivos se obtienen sumando dos unidades al número anterior. Así, se tiene la
secuencia de números impares consecutivos (2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9).
E) No es secuencia de números impares consecutivos, ya que dado el número natural
n, (2n + 1) es número impar y el sucesor inmediato (2n + 2) es número par.
Por lo tanto, la única secuencia de números impares consecutivos es:
(2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9).
9. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
Dada la igualdad n  1  m  2 , se puede obtener que n  m  1 , lo que se lee como
“n es el sucesor de m” o bien como “m es el antecesor de n”, entonces
A)
B)
C)
D)
E)
Verdadera, según lo expuesto anteriormente.
Falsa, pues n es el sucesor de m.
Falsa, pues (n + 1) corresponde a un valor impar.
Falsa, pues (n – 1) corresponde a m.
Falsa, pues (n + 2) corresponde a un valor par.
5
10. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
Los números naturales menores que 5 son {1, 2, 3, 4}. En la recta numérica la distancia
entre un número y el 0 es igual a la distancia entre el opuesto de dicho número y el 0.
Luego, la distancia de un número a su opuesto es el doble de la distancia del número al
0, es decir, es el doble del valor absoluto del número. Por ello, el doble de las distancias
de {1, 2, 3, 4} al 0 son, respectivamente, {2, 4, 6, 8}. Por lo tanto, los valores que puede
tomar la distancia entre n y su opuesto en la recta numérica son {2, 4, 6, 8}.
11. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
Considerando la paridad de los factores, es posible determinar la paridad del producto.
Si dos factores son impares, el producto también será impar; en otros casos, cuando uno
de los dos factores sea par, el producto será siempre par.
A)
B)
C)
D)
E)
Par, ya que n es factor par.
Par, ya que n y (m + 1) son factores pares.
Impar, ya que (n – 1) y m son factores impares.
Par, ya que (m – 1) es factor par.
Par, ya que (m + 1) es factor par.
12. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
El conjunto de los divisores de un número primo N siempre tiene dos elementos: 1 y N.
Luego, el único divisor que tienen en común dos o más números primos es el 1.
Si consideramos que el M.C.D. corresponde al menor de los divisores que dos o más
números tienen en común, entonces el M.C.D. entre dos o más números primos siempre
será 1.
Por lo tanto, independiente de cualquier otra condición, por el hecho de ser números
primos, el M.C.D. entre los cuatro números mencionados es 1.
6
13. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
ASE
Verdadera, ya que los números primos son aquellos que son solo divisibles por 1 y
por sí mismos. Luego, los números 13, 17, 19, y 23 son números primos. Sin
embargo, el 1 no lo es, por definición.
II) Verdadera, ya que 29, 13 y 11 son primos, por lo tanto, el mínimo común múltiplo
se obtiene al multiplicarlos.
III) Verdadera, ya que el único divisor que tienen en común los números primos es el 1.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
14. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
El tiempo en el que los ciclistas se encontrarán en el punto de partida coincide con el
mínimo común múltiplo entre los tiempos que tardan en dar una vuelta al velódromo. El
m.c.m entre 10, 12 y 15 segundos es 60 segundos, entonces, los ciclistas se encontrarán
en el punto de partida por primera vez luego de 1 minuto.
15. La alternativa correcta es C
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
El mínimo común múltiplo entre 15 y 20 minutos es 60 minutos. Esto implica que las
alarmas de los dos relojes volverán a coincidir dentro de una hora, esto es, a las 9:35.
16. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
El máximo común divisor entre 100, 75 y 50 es 25. Esto implica que la cantidad
máxima de cajitas que se pueden armar son 25; con 4 caramelos, 3 chocolates y 2
paquetes de galletas cada una.
7
17. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Sea n el primer entero, entonces la suma de cuatro enteros consecutivos a partir de n es:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6. Luego:
4n  6
 n  3 siempre es un número entero.
2
4n  6
3
II) NO siempre es divisible por 4, ya que
 n  no es un número entero.
4
2
4n  6 2n
III) NO siempre es divisible por 6, ya que

 1 no siempre es un número
6
3
entero.
I)
Siempre es divisible por 2, ya que
Por lo tanto, la condición NO siempre se cumple solo para II y III.
18. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Aplicación
La tabla adjunta esquematiza los resultados del juego matemático, destacando los
números primos, que corresponden a los resultados anotados.
Matías
Fernanda
Martina
5
7
9
11
11
13
15
17
13
15
17
19
Con ello, la afirmación correcta es la B, pues Martina anotó tres números, mientras sus
amigos anotaron una cantidad menor.
19. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Aplicación
I)
No podría ser la edad de Mariela, ya que no se cumple que los dos dígitos sean
números primos, dado que el 1 no es número primo.
II) Sí podría ser la edad de Mariela, ya que 37 es un número primo formado por dos
dígitos primos (3 y 7), y al intercambiar la posición de los dígitos se forma el 73,
que es otro número primo.
III) No podría ser la edad de Mariela, ya que al intercambiar la posición de los dígitos
se forma el 35, que no es un número primo.
Por lo tanto, solo II podría ser la edad actual de Mariela.
8
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Según la definición, el conjunto S es {2, 4, 6, 8} y el conjunto T es {1, 3, 5, 7}. Luego:
I) Falsa, ya que el conjunto T incluye al 1, que no es un número primo.
II) Falsa, ya que el conjunto S incluye al 2, que sí es un número primo.
III) Verdadera, pues todos los elementos de S son distintos de todos los elementos de T.
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
La descomposición en números primos de 18 es (2 ∙ 3 ∙ 3) y la descomposición en
números primos de 15 es (3 ∙ 5). Entonces, si a es un múltiplo de 18 y b es un múltiplo
de 15, el producto (a ∙ b) siempre será divisible por (2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5) o por alguna
combinación de estos números. Luego:
I) Verdadera, ya que 27 = (33), y es una combinación posible dentro de (2 ∙ 33 ∙ 5).
II) Falsa, ya que 36 = (22 ∙ 32), y no es una combinación posible dentro de (2 ∙ 33∙ 5).
III) Verdadera, ya que 45 = (32 ∙ 5), y es una combinación posible dentro de (2 ∙ 33 ∙ 5).
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Como m es un número par positivo puede ser expresado como 2n, con n un natural.
Luego, analizando cada alternativa:
A) Verdadera, pues (6m + 12) = (6 · (2n) + 12) = (12n + 12) = 4(3n + 3), luego la
expresión es divisible por 4.
 7m  2   72n   2   27n  1 
B) Verdadera, pues 
 = 

  7n  1 . Luego, como n es
2
2
 

 2  
un natural, entonces la expresión corresponde a un entero.
C) Verdadera, pues (m + 1) es un número impar, luego 3(m + 1) también será impar
por criterio de paridad.
D) Verdadera, pues (5 – 3m) = (5 – 6n), como n es un natural, luego 6n > 5 para todo n
en los naturales es un número negativo.
E) Falsa, pues 2(2m + 2) = 4(m + 1), que es siempre divisible por 2, pero no siempre es
divisible por 3 (depende del valor de m), por ello no es divisible 6.
9
Por lo tanto, la afirmación falsa es “2(2m + 2) es un número divisible por 6”.
23. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Al completar la cuadrícula según la forma descrita resulta:
5
10 11 16 17 22 23 28
6
9
12 15 18 21 24 27
7
8
13 14 19 20 25 26
Luego:
I)
Verdadera, pues de los ocho números que forman la primera fila, cuatro son
números primos, {5, 11, 17, 23}.
II) Verdadera, pues la segunda fila está formada por múltiplos de 3 (excluyendo al 3).
O sea, todos ellos son divisibles por 3, lo que significa que no son números primos.
III) Verdadera, ya que los números primos de la fila inferior son {7, 13, 19}, donde
cada término se obtiene sumando seis al término anterior.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son correctas.
24. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
(1) 3p es positivo. Con esta información, sí es posible determinar que p es positivo, ya
que si el producto de dos números es positivo, entonces necesariamente tienen el
mismo signo. Luego, como 3 es positivo, entonces p es positivo.
(2) p – 5 es negativo. Con esta información, no es posible determinar si p es positivo,
pues se puede concluir que p es menor que 5, pero podría ser positivo (entre 0 y 5),
cero o negativo.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
10
25. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
(1) b es un número impar. Con esta información, no es posible determinar si (a + b + 3)
es un número impar, ya que, se tendría (x + impar + impar) = (x + par), donde x
representa la paridad de a, por lo que se necesita conocer este valor para poder
determinar la paridad de la expresión.
(2) a ∙ b es un número impar. Con esta información, es posible determinar si (a + b + 3)
es un número impar, ya que el producto de dos números enteros es impar solamente
si ambos números son impares. Entonces, la expresión en términos de paridad,
resulta (impar + impar + impar) = impar
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
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