Download Guía: Generalidades de números reales

Bloque 21
Guía:
Generalidades de números
reales
SGUICES020MT21-A17V1
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GENERALIDADES DE NÚMEROS REALES
N° Clave
Habilidad
Dificultad estimada
1
B
Comprensión
Media
2
C
Comprensión
Fácil
3
A
ASE
Media
4
E
ASE
Fácil
5
A
ASE
Media
6
C
ASE
Media
7
D
Comprensión
Media
8
A
Comprensión
Media
9
D
Comprensión
Media
10
C
Comprensión
Media
11
C
Comprensión
Fácil
12
E
Aplicación
Fácil
13
D
ASE
Media
14
C
ASE
Media
15
B
ASE
Media
16
D
Comprensión
Media
17
B
Aplicación
Difícil
18
D
Aplicación
Media
19
B
ASE
Media
20
B
ASE
Media
21
C
ASE
Media
22
E
ASE
Media
23
E
ASE
Difícil
24
E
ASE
Difícil
25
D
ASE
Media
2
1. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
Como m el inverso aditivo del sucesor de p, se puede plantear m = – (p + 1). Luego:
I)
Verdadera, ya que el cuociente entre el inverso aditivo de p y el inverso multiplicativo de m es
1
 p : = – p · m = – p · – (p + 1) = p·(p + 1). Como p y (p + 1) son números positivos, entonces
m
su producto también lo es.
II) Verdadera, ya que la diferencia entre la mitad de p y el antecesor de m es
p
p  2(m  1) p  2(( p  1)  1) p  2 p  2  2 3 p
 (m  1) 



 2 . Como p es un número
2
2
2
2
2
positivo, entonces el resultado anterior también lo es.
III) Falsa, ya que el producto entre el inverso multiplicativo de p y el sucesor de m es
1
1
1
1
 (m  1)   ( ( p  1)  1)   ( p  1  1)    p   1 .
p
p
p
p
Por lo tanto, solo I y II producen siempre un resultado positivo.
2. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
I) Falsa, ya que si a es un múltiplo de b, entonces la expresión
la expresión
a
tomará un valor entero, en otro caso,
b
a
tomará un valor racional no entero.
b
II) Falsa, ya que solo se cumple en el caso de que el valor de a sea igual al valor de c, lo que dado las
condiciones del problema no es posible.
III) Verdadera, ya que corresponde a la propiedad asociativa en los números reales.
Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera.
3
3. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
El conjunto P  Q es igual a {– 2, – 1, 0, 1, 2}. Luego:
I)
Verdadera, ya que si se realizan todas las posibles
combinaciones resulta la tabla adjunta, donde todos los
resultados pertenecen al conjunto {– 2, – 1, 0, 1, 2}.
II) Falsa, ya que si se realizan todas las posibles
combinaciones resulta la tabla adjunta, donde el (– 4)
no pertenece al conjunto {– 2, – 1, 0, 1, 2}.
III) Falsa, ya que si se realizan todas las posibles
combinaciones resulta la tabla adjunta, donde el 3 y el
4 no pertenecen al conjunto {– 2, – 1, 0, 1, 2}.
k
m
0
0
1
m
0
0
0
0
k
0
0
k–m
1
0
1
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
ASE
Verdadera, ya que Q   IR .
II) Verdadera, ya que Z  Q .
III) Verdadera, ya que II  C .
Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.
4
0
2
1
2
–2 –1 –4 –2
1
1
2
2
–2 –1 –2 –1 –2 –1
2
1
3
2
Por lo tanto, solo los resultados de la afirmación I pertenecen siempre al conjunto P  Q.
4. La alternativa correcta es E.
2
–2 –1 –2 –1 –2 –1
k·m
m
2
–2 –1 –2 –1 –2 –1
k+m –2 –1 –1
k
1
4
3
5. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
ASE
Verdadera, ya que el neutro de la adición en los reales es 0, que no es un número entero positivo.
II) Falsa, ya que el neutro de la multiplicación en los reales es 1, que es un número entero.
III) Falsa, ya que el neutro de la adición en los reales es 0, que no tiene recíproco.
Por lo tanto, solo la afirmación I es correcta.
6. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Falsa, ya que 0,341343434...  0,34134 , es decir, es un número racional, ya que se puede escribir
como fracción.
9
II) Falsa, ya que
no está definido.
0
225 45
III) Verdadera, ya que

 15
15
3
I)
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
7. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
A) No siempre es secuencia de números impares, ya que si n es un número par, la secuencia está
formada por números pares consecutivos.
B) No siempre es secuencia de números impares, ya que si n es un número impar, la secuencia está
formada por números pares consecutivos.
C) No es secuencia de números impares, ya que, dado el número entero positivo n, (n + 1) es también
un número entero positivo y 2(n + 1) es un número par.
5
D) Es secuencia de números impares consecutivos. Dado que n es un número entero positivo, 2n es
par y (2n + 1) es el sucesor impar. Como (2n + 1) es impar, los números impares consecutivos se
obtienen sumando dos unidades al número anterior. Así, se tiene la secuencia de números impares
consecutivos (2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9).
E) No es secuencia de números impares consecutivos, ya que dado el número entero positivo n,
(2n + 1) es número impar y el sucesor inmediato (2n + 2) es número par.
Por lo tanto, la única secuencia de números impares consecutivos es:
(2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9).
8. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
Dada la igualdad n  1  m  2 , se puede obtener que n  m  1 , lo que se lee como “n es el sucesor de
m”, o bien como “m es el antecesor de n”. Entonces:
A) Verdadera, según lo expuesto anteriormente.
B) Falsa, pues n es el sucesor de m.
C) Falsa, pues (n + 1) corresponde a un valor impar.
D) Falsa, pues (n – 1) corresponde a m.
E) Falsa, pues (n + 2) corresponde a un valor par.
9. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
Los números enteros positivos menores que 5 son {1, 2, 3, 4}. En la recta numérica, la distancia entre
un número y el 0 es igual a la distancia entre el opuesto de dicho número y el 0. Luego, la distancia de
un número a su opuesto es el doble de la distancia del número al 0, es decir, es el doble del valor
absoluto del número.
Por lo tanto, los valores que puede tomar la distancia entre n y su opuesto en la recta numérica son
{2, 4, 6, 8}.
6
10. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Comprensión
Considerando la paridad de los factores, es posible determinar la paridad del producto. Si dos factores
son impares, el producto también será impar; en otros casos, cuando uno de los dos factores sea par, el
producto será siempre par.
A) Par, ya que n es factor par.
B) Par, ya que n y (m + 1) son factores pares.
C) Impar, ya que (n – 1) y m son factores impares.
D) Par, ya que (m – 1) es factor par.
E) Par, ya que (m + 1) es factor par.
11. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
Comprensión
Verdadera, ya que la suma de n, (n + 1), (n + 2) y (n + 3), con n un número entero, es
(4n + 6) = 2 · (2n + 3), que es un número par.
II) Falsa, ya que no se cumple para el cero, que al elevarlo al cuadrado resulta cero, y no es un número
positivo.
III) Verdadera, ya que si n es un número entero, entonces la suma entre el antecesor y el sucesor de n
es (n – 1 + n + 1) = 2n.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son siempre verdaderas.
7
12. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
El inverso aditivo de
Números racionales
Aplicación
3
4
es
3
, y el sucesor de (– 3 + 1) = – 2.
4
Por lo tanto, si al inverso aditivo de
3
se le resta el sucesor de – 3, se obtiene
4
5
3
 3
 38

 (2)   
 2  

4
4
 4
  4

13. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Siempre se cumple que
Números racionales
ASE
par  par = par
par · par = par
impar  impar = par
impar · impar = impar
Luego:
I)
Falsa, ya que (par + par) – impar = par – impar = impar.
II) Verdadera, ya que (impar · par) – par = par – par = par.
III) Verdadera, ya que impar · (impar + impar) = impar · par = par.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
8
par  impar = impar
par · impar = par
14. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Analizando cada alternativa, resulta
A) – 0,333… no es un valor posible para el inverso multiplicativo de p, ya que en ese caso p valdría
– 3 y su inverso aditivo sería 3, y el enunciado dice que el inverso aditivo de p es un número
racional no entero.
B) 2 no es un valor posible para el inverso multiplicativo de p, ya que en ese caso p valdría 0,5 y su
inverso aditivo sería – 0,5, y el enunciado dice que el inverso aditivo de p es un número racional
positivo.
C) – 1,5 es un valor posible para el inverso multiplicativo de p, ya que en ese caso p valdría – 0,666…
y su inverso aditivo sería 0,666, lo que se condice con el enunciado que plantea que el inverso
aditivo de p es un número racional positivo no entero.
D) – 0,5 no es un valor posible para el inverso multiplicativo de p, ya que en ese caso p valdría – 2 y
su inverso aditivo sería 2, y el enunciado dice que el inverso aditivo de p es un número racional no
entero.
E) 1,333…no es un valor posible para el inverso multiplicativo de p, ya que en ese caso p valdría 0,75
y su inverso aditivo sería – 0,75, y el enunciado dice que el inverso aditivo de p es un número
racional positivo.
15. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
(1) b es un número impar. Con esta información, no es posible determinar si (a + b + 3) es un número
impar, ya que se tendría (x + impar + impar) = (x + par), donde x representa la paridad de a, por lo
que se necesita conocer este valor para poder determinar la paridad de la expresión.
(2) (a ∙ b) es un número impar. Con esta información, es posible determinar que (a + b + 3) es un
número impar, ya que el producto de dos números enteros es impar solo si ambos números son
impares. Entonces la expresión, en términos de paridad, resulta (impar + impar + impar) = impar.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
9
16. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Si
4
m
I)

1
Números racionales
Comprensión
, entonces m = 4k. Luego:
k
Falsa, ya que no se puede determinar si
4
es un número entero.
k
II) Verdadera, ya que
5m

10
III) Verdadera, ya que
5  4k
10
6m
(m  k )


20k
 2k , que es un número entero.
10
6  4k
4k  k

24k
 8 , que es un número entero.
3k
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
17. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Aplicación
La tabla adjunta esquematiza los resultados del juego
matemático, destacando los números primos, que
corresponden a los resultados anotados.
Matías
Fernanda
Martina
5
7
9
11
11
13
15
17
13
15
17
19
Con ello, la afirmación correcta es la B, pues Martina anotó tres números, mientras que sus amigos
anotaron una cantidad menor.
10
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
Aplicación
Los números primos mayores que 7 y menores que 23 son {11, 13, 17, 19}, cuya suma es 60. Luego:
I)
Verdadera, ya que 60 : 6 = 10, que es un número entero.
II) Verdadera, ya que 60 : 10 = 6, que es un número entero.
III) Verdadera, ya que 60 : 15 = 4, que es un número entero.
Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.
19. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
I)
Números racionales
Aplicación
No podría ser la edad de Mariela, ya que no se cumple que los dos dígitos sean números primos,
dado que el 1 no es número primo.
II) Sí podría ser la edad de Mariela, ya que 37 es un número primo formado por dos dígitos primos
(3 y 7), y al intercambiar la posición de los dígitos se forma el 73, que es otro número primo.
III) No podría ser la edad de Mariela, ya que al intercambiar la posición de los dígitos se forma el 35,
que no es un número primo.
Por lo tanto, solo II podría ser la edad actual de Mariela.
11
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Según la definición, el conjunto S es {2, 4, 6, 8} y el conjunto T es {1, 3, 5, 7}. Luego:
I)
Falsa, ya que el conjunto T incluye al 1, que no es un número primo.
II) Falsa, ya que el conjunto S incluye al 2, que sí es un número primo.
III) Verdadera, pues todos los elementos de S son distintos de todos los elementos de T.
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
La descomposición en números primos de 18 es (2 ∙ 3 ∙ 3) y la descomposición en números primos de
15 es (3 ∙ 5). Entonces, si a es un múltiplo de 18 y b es un múltiplo de 15, el producto (a ∙ b) siempre
será divisible por (2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5) o por alguna combinación de estos números. Luego:
I)
Verdadera, ya que 27 = (33) es un factor posible dentro de (2 ∙ 33 ∙ 5).
II) Falsa, ya que 36 = (22 ∙ 32) no es un factor posible dentro de (2 ∙ 33∙ 5).
III) Verdadera, ya que 45 = (32 ∙ 5) no es un factor posible dentro de (2 ∙ 33 ∙ 5).
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
12
22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Como m es un número par positivo, puede ser expresado como 2n, con n un natural. Luego, analizando
cada alternativa:
A) Verdadera, pues (6m + 12) = (6 · (2n) + 12) = (12n + 12) = 4(3n + 3), luego la expresión es
divisible por 4.
 7m  2 
 72n   2   27n  1 
B) Verdadera, pues 
 = 

  7n  1 . Luego, como n es un natural,
2
2

 

 2 
entonces la expresión corresponde a un entero.
C) Verdadera, pues (m + 1) es un número impar, luego 3(m + 1) también será impar por criterio de
paridad.
D) Verdadera, pues (5 – 3m) = (5 – 6n), como n es un natural, luego 6n > 5 para todo n en los
naturales es un número negativo.
E) Falsa, pues 2(2m + 2) = 4(m + 1), que es siempre divisible por 2, pero no siempre es divisible por 3
(depende del valor de m); por ello, no es divisible 6.
23. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Al completar la cuadrícula según la forma descrita resulta la
tabla adjunta. Luego:
I)
Verdadera, pues de los ocho números que forman la
primera fila, cuatro son primos: {5, 11, 17, 23}.
5
10 11 16 17 22 23 28
6
9
12 15 18 21 24 27
7
8
13 14 19 20 25 26
II) Verdadera, pues la segunda fila está formada por múltiplos de 3 (excluyendo al 3). O sea, todos
ellos son divisibles por 3, lo que significa que no son números primos.
III) Verdadera, ya que los números primos de la fila inferior son {7, 13, 19}, donde cada término se
obtiene sumando seis al término anterior.
Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.
13
24. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
Las posibles parejas de números a y b que cumplen con las condiciones de ser dos números primos
tales que a + b = 50, con a < b son:
a=3
a=7
a = 13
a = 19
b = 47
b = 43
b = 37
b = 31




(b – 40) · (9 – a) = (47 – 40) · (9 – 3) = 7 · 6 = 42
(b – 40) · (9 – a) = (43 – 40) · (9 – 7) = 3 · 2 = 6
(b – 40) · (9 – a) = (37 – 40) · (9 – 13) = – 3 · – 4 = 12
(b – 40) · (9 – a) = (31 – 40) · (9 – 19) = – 9 · – 10 = 90
Por lo tanto, el valor de b que produce el menor valor para la expresión (b – 40)·(9 – a) es 43.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Números racionales
ASE
(1) El doble de p es un múltiplo de 6m. Con esta información, se puede afirmar que p es un múltiplo
p
2p
p
de m, ya que se puede concluir que
es un número entero. Luego,
también es un

m
6m 3m
número entero, lo que implica que p es múltiplo de m.
(2) (p + m) es un múltiplo de m. Con esta información, se puede afirmar que p es un múltiplo de m, ya
pm p
p
que se puede concluir que
también es un número
  1 es un número entero. Luego,
m
m
m
entero, lo que implica que p es múltiplo de m.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2).
14