Download CALCULO I: Prctica 2 con la calculadora ClassPad 300 PLUS

Facultad de Ingeniería UCV
Cálculo I
Práctica 2
CALCULO I: Práctica 2 con la calculadora ClassPad 330
Objetivos:
En esta práctica aprenderemos a utilizar la Aplicación Principal y la Aplicación
Geometría del Menú de Aplicaciones Incorporadas y de la calculadora ClassPad
330 para resolver problemas sobre rectas y circunferencias en el plano.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica es imprescindible haber estudiado el Apéndice B
del texto recomendado y haber realizado en su totalidad la Práctica 1.
Observaciones:
Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas
siguiendo cuidadosamente cada instrucción.
Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la comunicación de información,
estás se destacarán con los iconos
,
,
o una barra gris
en el margen izquierdo. El primer
icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, indicará al
estudiante que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora y ejecutar las
instrucciones propuestas, el segundo le indicara que se está planteando una situación problemática y el
último que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada.
2.1 Presentación de la Aplicación Geometría.
La Aplicación Geometría permite, en un sistema coordenado rectangular, dibujar y analizar figuras
geométricas en el plano como: puntos, segmentos, rayos, rectas, vectores, círculos, arcos, elipses,
parábolas, hipérbolas, polígonos y gráficas de funciones. Al dibujar la figura o lugar geométrico, por medio
del cuadro de medidas, el usuario puede establecer: las coordenadas de un punto, las ecuaciones de
lugares geométricos trazados, perímetros y áreas de figuras, pendiente de una recta y ángulos entre rectas.
Se pueden trazar mediatrices, medianas y bisectrices de un triángulo, paralelas a una recta y la tangente a
una circunferencia y otros elementos geométricos. Esta aplicación permite el estudio de transformaciones
geométricas como: las reflexiones, traslaciones, rotaciones, homotecias y transformaciones más generales.
La Aplicación Geometría incluye una función de animación que le permite al usuario observar cómo
cambia una figura de acuerdo a las condiciones o restricciones que se hayan especificado.
1.
Operación con la ClassPad
(1)
Extraiga el lápiz táctil de la ranura de
resguardo.
(2)
En el teclado físico de la calculadora presione
la tecla
para encender la calculadora
o simplemente toque con el lápiz táctil la
pantalla.
(3)
En
el
panel
de
iconos
toque
el
icono
para activar el menú de las
permanente
aplicaciones incorporadas.
• Su calculadora mostrará la pantalla de la
Figura 1.
Figura 1
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(4)
(5)
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En el menú de las aplicaciones incorporadas toque el icono
para activar directamente la Aplicación Geometría.
• Una vez activada la aplicación, en la parte superior de la pantalla
que da
encontrará la barra de menús
acceso a diferentes funciones y comandos que se describirán
en lo que sigue.
En esta barra toque el menú desplegable [Arch]. Seguidamente,
en la lista desplegada, toque el comando [Nuevo] [Acep.].
• Con esta secuencia de toques se abre un archivo nuevo en la
aplicación geometría (Figura 2).
• Como habrá observado, al tocar [Arch] se despliega un menú
que muestra los comandos [Nuevo], [Abrir] y [Guar.]. Estos
comandos permiten abrir un archivo nuevo, abrir y guardar
archivos de trabajo (Figura 3).
Figura 2
(6)
Toque el menú [Edit].
(7)
• Se despliega un menú con comandos como: [Deshacer/Rehacer] que permite deshacer o
rehacer la última acción u operación realizada con la calculadora. Luego están: [Cortar], [Copiar],
[Pegar], [Seleccionar todo], [Borrar] y [Borrar todo] que son operaciones similares a las
realizadas comúnmente en una PC (Figura 4).
Toque el menú [Ver].
• Se despliega un menú que muestra comandos para realizar ajustes en el tamaño de la pantalla y
configuración de los ejes coordenados y rejillas (Figura 5).
Figura 3
Figura 4
Figura 5
(8)
En la barra de menús toque [Dibuj].
(9)
• Se despliega un menú de comandos para trazar diferentes figuras (Figura 6).
En el menú desplegado toque [Forma especial ►].
• Se despliega un menú secundario con comandos para trazar diversos polígonos (Figura 7).
(10) En el panel de iconos toque
(11) Toque [Construir ►].
para desactivar el último menú desplegado.
• Se despliega un menú que muestra comandos para trazar rectas notables y realizar
transformaciones geométricas (Figura 8).
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Figura 6
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Figura 7
(12) En el panel de iconos toque varias veces
Figura 8
para desactivar todos los menús desplegados.
Debajo de la barra de menús encontrará la barra de herramientas
que
consiste en una fila de botones que al ser tocados ejecutan de manera automática comandos o
despliegan menús secundarios disponibles en la barra de menús. Veremos luego su uso y utilidad.
(13) En la barra de menús toque el icono
para acceder al menú del
Formato de Aplicación. Al desplegarse el menú aparecen los
menús de opciones de configuración. Toque [Formato geométrico].
(14) En el cuadro de diálogo toque [Defecto] y luego [Def.].
• Cuando se resuelven problemas en la geometría plana,
generalmente se utiliza una pantalla blanca como la mostrada
actualmente en su calculadora. En ella se pueden trazar rectas,
marcar puntos y dibujar figuras. En la geometría analítica las
figuras se trazan en un sistema coordenado rectangular que
será el que usaremos en esta práctica.
• La configuración del formato geométrico que nos interesa es la
mostrada en la Figura 9. Para abordar esta configuración ejecute
la siguiente secuencia de instrucciones:
(15) Toque
botón
[Formato geométrico]. En el recuadro [Ejes] toque el
y luego toque [Número].
Figura 9
• Con esta configuración verá luego que la pantalla presentará los
ejes de coordenadas con la escala numérica. El origen de
coordenadas se ubicará en el centro de la pantalla.
(16) Toque el recuadro
[Rejilla entera] y luego toque [Def.].
• Con esta configuración aparecerá en pantalla una rejilla de
puntos con coordenadas enteras (Figura 10).
Observación: Las demás opciones de configuración:
• [Formato de número] (Fijo 2) presentará diversas medidas en
formato decimal con dos decimales.
• [Ángulo de medida] (Grado) presentará la medida de los
ángulos en grados sexagesimales.
• [Ángulo de función] (Radián) trazará las funciones
trigonométricas con argumento recorriendo el conjunto de los
números reales.
Figura 10
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Una vez realizadas las anteriores operaciones de configuración en la Aplicación Geometría
podremos a resolver las situaciones problemáticas que siguen:
2.2 Rectas y circunferencias.
El objetivo principal en esta práctica, es utilizar la aplicación Geometría en combinación con la
aplicación Principal como una pizarra de trabajo para resolver problemas de geometría analítica en el
plano cartesiano. A modo de ejemplo, resolveremos previamente algunos problemas para que el estudiante
se ambiente en esta modalidad y luego se le propondrán una serie de problemas relativos a rectas y
circunferencias que debe resolver.
2.
Marque, en el sistema coordenado, los puntos A(−2, − 1) y B(4, 2) . Luego trace la recta que
pasa por estos puntos.
Veamos cómo se ejecutan estas construcciones geométricas en la ClassPad 330:
3.
Operación con la ClassPad.
(17) Para marcar los puntos A y B, visualice primeramente, en la rejilla,
el punto que tiene las coordenadas del punto A que va a marcar.
(18) Luego, toque [Dibuj] [Punto] y seguidamente toque el punto de la
rejilla que tiene las coordenadas del punto A(−2, − 1) .
• Observe que el punto A ha sido marcado en el sistema
coordenado (Figura 11).
• En caso de que el punto A se haya marcado erróneamente,
toque en la barra de menús [Edit] [Deshacer/Rehacer]. Esto
deshace la operación realizada, luego repita el paso (18).
• Observe que en la barra de herramientas aparece ennegrecido el
indicando que la opción marcar puntos está
botón
activada. Mientras esta opción esté activada, tenga cuidado con
tocar la pantalla, puede marcar un punto indebido.
• Observe además que el primer botón de la barra de
indica un puntero. Éste tiene la función de
herramientas
activar la opción de selección. Veamos como funciona:
Figura 11
.
(19) Toque en la barra de herramientas el botón
(20) Toque ahora la crucecita del punto A que se ha marcado.
• Observe que sobre la crucecita del punto A, aparece un recuadro
ennegrecido indicado que el punto A ha sido seleccionado. Si
observa la parte inferior de la pantalla, vera que aparecen las
coordenadas del punto A.
• Por otra parte, observe que en la barra de herramientas el icono
indicando que la
de selección se encuentra ennegrecido
opción de selección está activada.
• La selección de puntos o de figuras en general, se usa, entre
otras cosas, para borrar únicamente los elementos
seleccionados. Una vez que un elemento o varios elementos han
sido seleccionados, basta tocar [Edit] [Borrar] y éstos
desaparecerán de la pantalla.
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Figura 12
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(21) Para marcar el punto B toque, en la barra de herramientas, el botón
para activar la opción marcar puntos. Una vez realizado el
toque, la opción activada se evidencia porque el botón aparece
ennegrecido
.
(22) Visualice ahora el punto de la rejilla que tiene las coordenadas del
punto B. Toque en la rejilla el punto que tiene las coordenadas del
punto B(4, 2) .
• Su calculadora mostrara la pantalla de la Figura 12.
• Tracemos ahora la recta que pasa por los puntos A y B.
(23) En la barra de menús toque [Dibuj] [Recta].
(24) Toque ahora la crucecita del punto A y luego toque la crucecita del
punto B.
• Finalizada la operación de toque, aparece trazada la recta que
pasa por los puntos A y B (Figura 13).
Figura 13
Ahora usted podrá contestar a las siguientes preguntas:
4.
¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B?
5.
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B?
A la derecha, en la barra de herramientas, aparece el botón
. Éste da acceso al cuadro de
medidas. Cuando se selecciona un elemento o varios elementos de una figura, podemos visualizar en éste
determinadas “medidas” que dependen del tipo de objeto seleccionado, como por ejemplo: coordenadas
de un punto, distancia entre dos puntos, ecuaciones del elemento seleccionado, pendientes, ángulos, etc.
Utilicemos nuestras figuras trazadas para visualizar algunas “medidas”:
6.
Operación con la ClassPad.
(25) A la derecha, en la barra de herramientas toque el botón
.
• La barra de herramientas presenta el cuadro de medidas. Dado
que no se han seleccionado elementos en la figura, éste aparece
en blanco (Figura 14).
• Cuando se accede al cuadro de
automáticamente la opción de selección.
(26) Toque la crucecita del punto A.
medidas,
se
activa
Figura 14
• El cuadro de medidas mostrará las coordenadas del punto A. El
que aparece a la izquierda anuncia que se está
icono
mostrando las coordenadas del punto seleccionado (Figura 15).
(27) Toque ahora la crucecita del punto B.
Figura 15
• Observará que una nueva medida. En este caso, la distancia
que se encuentra a la
entre los puntos A y B. El icono
izquierda en el cuadro de medidas, anuncia que se está
presentando la distancia entre los dos puntos seleccionados.
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Figura 16
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(28) Toque ahora cualquier punto de la pantalla fuera de la figura.
• Esto cancela la selección de los puntos.
(29) Toque la recta que pasa por los puntos A y B.
• El cuadro de medidas presenta la ecuación de la recta que pasa
por A y B. El icono
ecuación de la recta.
(30) Toque el botón
Figura 17
indica que se está presentando la
que se encuentra al lado del icono
.
• Se despliega un menú mostrando otros iconos de medidas.
Figura 18
. El cuadro de medidas
(31) En el menú desplegado toque el icono
presenta la pendiente de la recta que pasa por A y B (Figura 18).
. El cuadro presenta la medida del ángulo
(32) Finalmente toque
de inclinación de la recta en grados sexagesimales.
Figura 19
Para conocer más detalles sobre la aplicación geometría que nos brinda la ClassPad,
resolveremos la siguiente situación problemática:
7.
8.
Tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(−2, 3) , B(−3, − 4) y C(5, − 1) .
Determine las coordenadas del cuarto vértice.
¿Cuántas soluciones presenta este problema?, ¿por qué?
Para resolver este problema debemos realizar ajustes en la pantalla a fin de poder observar los
elementos que iremos trazando a lo largo de la resolución del problema:
9.
Ejecute la siguiente secuencia de instrucciones:
(33) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para
limpiar la pantalla.
• Ahora realizaremos ajustes en la ventana de visualización.
[Ventana vis.] para realizar
(34) Toque en la barra de menús
ajustes en la ventana de visualización.
• Aparece un cuadro de diálogo esperando los parámetros de
configuración de la pantalla.
(35) Toque el interior del recuadro mínx: y sobrescriba el número – 12.
Para ello, en el teclado físico de la calculadora, oprima la secuencia
.
de teclas
(36) De manera análoga, en el recuadro máxx: sobrescriba 12.
(37) Finalmente, en el recuadro Medy: sobrescriba 0 y toque [Acep.].
• Estos dos primeros parámetros ajustan la visualización de las
abscisas en el eje OX al intervalo [− 12, 12] .
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Figura 20
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• El intervalo de visualización de las ordenadas en el eje OY se
ajustan automáticamente. El último parámetro ubica el origen de
coordenadas en el centro de la pantalla (Figura 20).
• Para comenzar a resolver el problema, dibujaremos el triángulo
de vértices A, B y C.
(38) Toque [Dibuj] [Polígono].
(39) A continuación marque el punto A(−2, 3) .
• Aparecerá marcada una crucecita en el punto A de la rejilla.
(40) Marque ahora el punto B(−3, − 4) , luego marque el punto C(5, − 1) y
finalmente marque de nuevo el punto A(−2, 3) .
• De esta manera tendremos dibujado el triángulo cuyos vértices
son los puntos A, B y C.
Figura 21
El problema presenta tres soluciones, esto es, existen tres puntos D, E y F que pueden conformar el
cuarto vértice del paralelogramo. Uno de ellos, por ejemplo D, podemos determinarlo intersectando la recta
que pasa por C y es paralela al lado AB con la recta que pasa por A y es paralela al lado BC .
10.
¿Cuáles son las ecuaciones de estas rectas?, ¿cuál es el punto D de intersección de estas
rectas? Utilice este espacio para presentar un resumen de sus cálculos.
Para visualizar los elementos mencionados procedamos de la siguiente manera:
11.
Ejecute la siguiente secuencia de instrucciones:
(41) Toque el botón
para activar la opción de selección.
(42) Toque el punto C para seleccionarlo.
(43) Toque el segmento AB para seleccionarlo.
(44) En la barra de menús toque [Dibuj] [Construir ►].
(45) Al desplegarse el menú secundario toque [Paralelo].
• Aparecerá en pantalla la recta que pasa por C y es paralela al
lado AB .
(46) Toque cualquier punto de la pantalla sin tocar ninguno de los
elementos trazados. Esto cancelará la selección actual de
elementos.
para acceder al
(47) En la barra de herramientas toque el botón
cuadro de medidas.
(48) Seleccione la recta que pasa por el punto C.
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Figura 22
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(49) Toque
y luego toque
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.
• Esto permite verificar si la ecuación de la recta encontrada en el
inciso 10 es correcta (Figura 22).
(50) Cancele la selección y toque
herramientas anterior.
para regresar a la barra de
(51) Seleccione el punto A y el segmento BC .
(52) En la barra de menús toque [Dibuj] [Construir ►] [Paralelo].
(53) Cancele la selección actual y seleccione la recta que pasan por A y
la recta que pasa por C.
(54) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Intersección].
• Aparece el punto D de intersección de las rectas.
(55) Utilice el cuadro de medidas para verificar que las coordenadas del
punto de intersección son D(6, 6) .
¿Puede continuar la resolución del problema?
Figura 23
Resolvamos ahora la siguiente situación problemática:
12.
Considere el triángulo de vértices A(2, 5) , B(−4, 3) y C(2, − 3) . Utilice el cuadro de medidas
cuando sea necesario para resolver las siguientes partes de la situación problemática:
a) Dibuje el triángulo ABC.
b) Encuentre las longitudes de cada uno de sus lados y el área del triángulo.
c) Trace las mediatrices a cada uno de los lados del triángulo y encuentre las ecuaciones de las
mediatrices.
d) Encuentre las coordenadas del circuncentro D.
e) Trace la circunferencia que circunscribe al triángulo.
f) ¿Cuál es el radio de la circunferencia y su longitud?
Solución a las partes a) y b):
(56) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la pantalla.
(57) Oprima una vez la tecla
para realizar un acercamiento en la pantalla.
• Esto ajusta el eje OX al intervalo
ubicado en el centro de la pantalla.
[− 6, 6]
y el origen queda
• Utilicemos esta ventana de visualización para resolver la
situación problemática.
(58) Toque [Dibuj] [Polígono].
(59) Dibuje el triángulo ABC tocando en la pantalla sucesivamente el
punto A, el punto B, el punto C y finalmente el punto A.
• De esta manera tenemos dibujado el triángulo ABC.
(60) Toque el botón
para acceder al cuadro de medidas.
(61) Seleccione el lado AB .
• En el cuadro de medidas aparecerá el icono
indicando que
la medida que se presenta es la longitud del lado AB .
• De manera análoga encuentre las longitudes de los otros lados.
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Figura 24
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13.
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¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados?
Para hallar el área del triángulo procedemos de la siguiente manera:
(62) Con el cuadro de medidas activado, seleccione cada uno de los tres
lados del triángulo.
indicando que
• En el cuadro de medidas aparecerá el icono
la medida que se está presentando es el área del triángulo.
14.
Figura 25
¿Cuál es el área del triángulo ABC?
Solución a la parte c):
(63) Toque el botón
para regresar a la barra de herramientas anterior.
(64) Cancele la selección actual de objetos.
(65) Seleccione el lado AB . Toque [Dibuj] [Construir ►] [Mediatríz].
• Se ha trazado la mediatriz del lado AB (Figura 26).
(66) Cancele la selección de objetos.
• De manera análoga trace las mediatrices de los lados AC y BC .
(67) Una vez trazadas las tres mediatrices toque
cuadro de medidas.
(68) Cancele la selección de objetos.
para acceder al
(69) Toque la mediatriz del lado AB .
• El cuadro de medidas presentará la ecuación de la mediatriz del
lado AB .
Figura 26
(70) De manera análoga encuentre las ecuaciones de las demás mediatrices.
15.
¿Cuáles son las ecuaciones de las tres mediatrices?
Solución a la parte d):
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(71) Toque el botón
para regresar a la barra de herramientas anterior.
(72) Cancele la selección actual de objetos.
(73) Seleccione las mediatrices de los lados AB y BC .
(74) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Intersección].
• De esta manera hemos encontrado el circuncentro D.
• Visualizará que las coordenadas del circuncentro son D(0, 1) .
• Para verificar esto accedamos al cuadro de medidas:
(75) Toque el botón
.
(76) Cancele la selección de objetos.
(77) Seleccione el punto D.
• El cuadro de medidas presentará
circuncentro D (Figura 27).
16.
las
coordenadas
del
Figura 27
¿Cuáles son las coordenadas del circuncentro?
Solución a la parte e):
(78) Toque el botón
para regresar a la barra de herramientas.
(79) Cancele la selección actual de objetos. Toque [Dibuj] [Círculo].
(80) Toque el punto D y luego toque el punto A.
• De esta manera hemos trazado la circunferencia que circunscribe
al triángulo ABC.
Solución a la parte f):
• Encontremos el radio y la longitud de la circunferencia:
.
(81) Toque el botón
(82) Seleccione la circunferencia.
• Aparecerá el icono
indicando que la medida que se presenta
es el radio de la circunferencia.
(83) Toque el botón
y luego toque
.
• El cuadro de medidas presentará la longitud de la circunferencia.
17.
Figura 28
Indique el radio y la longitud de la circunferencia.
El siguiente problema permite ilustrar la manera de combinar las herramientas de la Aplicación
Geometría con las de la Aplicación Principal.
18.
Una circunferencia pasa por los puntos A(−4, 1) y B(3, 8) , su centro se encuentra sobre la
recta de ecuación x − 4 y + 11 = 0 . ¿Cuál es su ecuación canónica?
Veamos cómo se resuelve este el problema:
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19.
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Ejecute la siguiente secuencia de instrucciones:
(84) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(85) Configure en la pantalla de visualización los siguientes parámetros:
mínx : −7 ; máxx : 7 y medy : 0 .
(86) En el panel de iconos toque
para acceder a la Aplicación
Principal.
(87) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
para activar el teclado virtual.
(88) Oprima
(89) En la línea de entrada registre la ecuación de la recta
( x − 4 y + 11 = 0 ) y toque [Ejec]. Utilice para ello el teclado virtual.
(90) A la derecha, en la barra de herramientas, toque
y luego toque
para acceder a la aplicación Geometría.
• Con esto la pantalla queda dividida. La superior pertenece a la
Aplicación Principal, mientras que la inferior pertenece a la
Aplicación Geometría.
Figura 29
• Cuando la pantalla se encuentra dividida, sólo una está activa,
la que presenta la línea del marco resaltada.
(91) En la ventana superior seleccione la ecuación de la recta que se
encuentra en la línea de salida y sin levantar el lápiz táctil arrastre
la punta hasta la ventana inferior y levántelo.
• Con esta acción aparece la gráfica de la recta en la ventana
inferior. Observe que la línea del marco inferior se presenta
resaltada (Figura 29).
para maximizar la
(92) Toque en el panel de iconos el botón
ventana de la Aplicación Geometría.
(93) Marque los puntos A(−4, 1) y B(3, 8) .
• Dado que el centro de la circunferencia se encuentra sobre la
mediatriz del segmento AB , entonces podemos determinar las
coordenadas del centro intersectando esta mediatriz con la recta
que contiene su centro.
Figura 30
y luego seleccione los puntos A y B.
(94) Toque el botón
(95) Toque [Dibuj] [Construir ►] [Mediatriz].
(96) Toque cualquier punto de la pantalla si tocar de los elementos
trazados para cancelar la selección.
(97) Seleccione la recta y la mediatriz. Toque [Dibuj] [Construir ►]
[Intersección].
• Aparece el punto C de intersección de las rectas.
(98) Cancele la selección.
(99) Toque [Dibuj] [Círculo].
(100) Toque el punto C y luego toque el punto B.
• Aparece la gráfica de la circunferencia.
• Para visualizar la ecuación de la circunferencia accedemos al
cuadro de medidas.
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Figura 31
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(101) Toque el botón
Cálculo I
Práctica 2
. Seleccione ahora la circunferencia.
para visualizar la ecuación.
(102) De ser necesario, toque
(103) Toque el interior del recuadro donde se encuentra la ecuación de la
circunferencia y luego toque [Edit] [Copiar].
para acceder a la Aplicación
(104) En el panel de iconos toque
Principal.
(105) Con el cursor en la línea de entrada, toque [Edit] [Pegar].
(106) Oprima
.
• Observe que tenemos en la Aplicación Principal la ecuación de la
circunferencia.
• En la aplicación geometría los cálculos que se realizan en el
cuadro de medidas son de carácter numérico y por lo tanto
redondeados. En la aplicación Principal (en el modo Estándar)
los cálculos son de orden simbólico por lo que los datos
trasladados de la aplicación Geometría a la aplicación Principal
vendrán con errores de redondeo. En nuestro caso todos los
coeficientes de la ecuación de la circunferencia son enteros, por
lo que no hay errores de redondeo.
Figura 32
• Veamos ahora como completamos cuadrados en esta ecuación
para obtener la ecuación canónica de la circunferencia.
(107) Oprima
para activar el teclado virtual.
• Para completar cuadrados en las dos variables reescribamos la
ecuación en la forma x 2 − 2x + 1 + y 2 − 6 y + 9 = 29 . Esto es,
(108) En la línea de entrada toque
.
(109) Seleccione en el primer miembro de la ecuación únicamente el
polinomio x 2 − 2x + 1 (Figura 33).
(110) Toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor].
(111) Seleccione la ecuación obtenida en la línea de salida y sin levantar
el lápiz táctil arrastre la punta hasta la línea de entrada.
(112) Seleccione en el primer miembro de la ecuación el polinomio
Figura 33
y 2 − 6y + 9 .
(113) Toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor].
• Se obtiene la ecuación canónica de la circunferencia.
20.
Figura 34
Utilice la aplicación Principal en combinación con la Aplicación Geometría para resolver
cada una de las siguientes situaciones problemáticas, realice los ajustes que crea necesarios
en la ventana de visualización:
1) Utilice el cuadro de medidas para mostrar que las rectas de ecuaciones 2x − y − 1 = 0 ,
x − 8 y + 37 = 0 , 2x − y − 16 = 0 y x − 8 y + 7 = 0 forman un paralelogramo. Encuentre los
vértices del paralelogramo, las ecuaciones de sus diagonales y su punto de intersección.
2) Una circunferencia de radio
5 unidades es tangente a la circunferencia de ecuación
x 2 + 4 x + y 2 − 41 = 0 en el punto A(4, − 3) . Encuentre su ecuación.
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2.3 Familias de rectas y circunferencias.
En ocasiones, diversos problemas se resuelven manejando una familia de curvas tales como un haz de
rectas, una familia de circunferencias concéntricas, etc. Tomemos por ejemplo la familia de rectas que pasa
por el punto A(−1, 4) . Esta familia se caracteriza por tener una ecuación de la forma ( y − 4) = m(x + 1)
donde m es un parámetro que representa, para cada valor real, la pendiente de una recta de la familia. Por
ello, se dice que la ecuación anterior representa a una familia monoparamétrica (un parámetro) de rectas.
21.
Encuentre la ecuación de la tangente a la circunferencia de ecuación (x − 4) 2 + ( y − 5) 2 = 13
que pasa por el punto A(−1, 4) .
Primeramente tracemos algunos elementos de la familia de rectas que pasan por el punto A.
22.
Operación con la ClassPad:
(114) Limpie las ventanas de las Aplicaciones Principal y Geometría.
(115) En la ventana de visualización de la aplicación Geometría configure
los siguientes parámetros:
mínx : −2 ; máxx : 10 ; medy : 3
(116) Marque el punto A.
(117) En la ventana de la aplicación Principal oprima [Keyboard].
• Aparecerá el teclado virtual mth.
(118) En este teclado, toque el botón
de variables.
(119) Toque
para acceder a la modalidad
.
• Con esto se asigna el valor cero a la variable m.
• El botón
permite asignar valores a una variable.
Figura 35
(120) En la línea de entrada registre la ecuación ( y − 4) = m(x + 1) de la familia de rectas y toque
.
• Se obtiene la ecuación de la recta horizontal que pasa por el punto A.
(121) Seleccione y copie la ecuación que aparece en la línea de salida.
(122) Toque
y pegue el contenido del portapapeles en la ventana de la aplicación Geometría.
• Para trazar otro elemento de la familia basta acceder a la ventana de la aplicación Principal y en
la línea de entrada donde aparece registrada la expresión 0 ⇒ m cambie el valor 0 por otro valor
de interés, por ejemplo 2, como en la siguiente instrucción:
(123) En la ventana de la aplicación Principal toque la línea de entrada donde esta registrada la
instrucción 0 ⇒ m. Borre el valor 0 y escriba 2. Oprima [EXE].
• Aparece la ecuación de la recta de que pasa por A y tiene pendiente 2. Observe que en este caso
en el historial de cálculo se realizan nuevamente todos los cálculos a partir de la línea que se ha
modificado.
(124) Trace la gráfica de esta recta, seleccionando la ecuación actual en la línea de salida y
arrastrándola a la ventana de la aplicación Geometría.
(125) De manera análoga trace las gráficas de las rectas de pendientes −3 / 2 ; −1 ; 1 / 2 y 1 .
(126) De igual modo, trace la gráfica de la circunferencia. Al terminar maximice la ventana de la aplicación
Geometría.
• Su calculadora mostrará la pantalla de la Figura 35.
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23.
Cálculo I
Práctica 2
¿La recta de ecuación x = −1 pertenece a esta familia?
En esta pantalla se puede observar que hay elementos de la familia que no intersectan a la
circunferencia y hay otros que si. Se puede observar que éstas últimas intersectan a la circunferencia en
dos puntos. Al imaginar más rectas del haz se concluye que sólo dos intersectan a la circunferencia en un
solo punto (tangentes). De manera que el problema presenta dos soluciones.
Encontremos las ecuaciones de estas tangentes.
24.
Operación con la ClassPad:
(127) En la ventana de la aplicación Principal toque [Edit] [Eliminar toda
variable] [Acep.].
(128) Oprima [Keyboard] y escriba la ecuación de la circunferencia en la
forma (x − 4) 2 + ( y − 5) 2 − 13 = 0 .
(129) Toque el botón
y luego toque
.
• Esto activa el comando “with” (“con”) que nos permitirá evaluar
la ecuación de la circunferencia para y = m(x + 1) + 4 .
Figura 36
(130) Toque
y registre la ecuación y = m(x + 1) + 4 . Toque
(131) Toque [Acción] [Transformación ►] [expand]
.
.
• Se obtiene una ecuación de segundo grado en la variable x.
(132) Toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [solve]
.
• Obtenemos las dos soluciones de la ecuación. Estas soluciones
representan las abscisas de los puntos de corte de los elementos
de la familia con la circunferencia. Estamos interesados en
aquellas rectas de la familia que cortan a la circunferencia en un
solo punto. Esto ocurre cuando la cantidad subradical se anula
(discriminante de la ecuación).
(133) Seleccione, en la primera raíz, la cantidad subradical (Figura 37).
(134) Toque
para copiar en el portapapeles el discriminante.
(135) Ubique el cursor en la línea de entrada y toque [Acción]
[Ecuación/Desigualdad ►] [solve].
(136) Toque
Figura 37
Figura 38
para pegar el discriminante y luego toque
.
• Se obtienen las pendientes de las dos rectas tangentes a la
circunferencia que pasan por el punto A.
• Al sustituir en la ecuación y = m(x + 1) + 4 estos valores y
simplificar obtienen las ecuaciones de las dos rectas:
2x + 3 y − 10 = 0 y 3x − 2 y + 11 = 0 .
(137) Registre la primera ecuación en la línea de entrada y toque
.
(138) Toque
. Seleccione la ecuación en la línea de salida y
arrástrela hasta la ventana de la aplicación Geometría.
(139) De manera análoga trace la gráfica de la segunda recta.
(140) Maximice la ventana de la aplicación Geometría.
Figura 39
• Observará las tangentes a la circunferencia trazadas desde A.
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25.
26.
Cálculo I
Práctica 2
¿Cuáles son los puntos de contacto de las tangentes?
Utilice la aplicación Principal en combinación con la Aplicación Geometría para resolver
cada una de las siguientes situaciones problemáticas. Elimine previamente en cada situación
toda variable:
1) Trace las gráficas de algunos elementos de la familia de circunferencias que pasan por el
origen, sus centros se encuentran sobre el eje OX y tienen radio a , a ∈ R .
2) Trace algunos miembros de la familia de rectas de ecuación 4 x + 5 y + k = 0 . ¿Qué
condición geométrica verifican las rectas que se obtienen al variar el parámetro k en R?
Determine el valor del parámetro k para que la recta de ecuación 4 x + 5 y + k = 0 forme con
los ejes de coordenadas un triángulo de área 10 unidades cuadradas.
x
y
= 1 para
+
(−k / 4) (−k / 5)
k ≠ 0 . Los puntos A(−k / 4, 0) y B(0, − k / 5) son, respectivamente, los puntos de corte de la
Sugerencia: recuerde que esta recta puede escribirse en la forma
recta con el eje OX y el eje OY. Resuelva en la aplicación Principal la ecuación
1 k2
= 10
2 20
para hallar los valores del parámetro k.
3) La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes de coordenadas es igual
a 3 unidades. Encuentre la ecuación de la recta si ésta contiene al punto A(2, 10) . Trace la
ecuación de la recta.
⎧ 2 10
⎪ +
=1
Sugerencia: Resuelva en la aplicación Principal el sistema de ecuaciones ⎨ a b
.
⎪⎩ a + b = 3
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