Download guia de ejercicio 4to a,b .trigonometria

U.E CRUZ VITALE
Prof.Zuleidi Zambrano
Matemática 4to A Y B
TEORIA PARA LA ELABORACIÓN DEL CUENTO.
(2 PERSONAS, DEFENSA)
T RIGONOMETRÍA
ETIMOLÓGICAMENTE:
Trigonometría, es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y
aplica dichas relaciones al cálculo del valor o medida de alguno de ellos.
EN LA ACTUALIDAD:
Trigonometría: es la rama de la matemática que estudia las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de ejes cartesianos o de coordenadas rectangulares y su
radio mide la unidad.
ÁNGULOS: Es la región del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen el origen común llamado vértice. Las semi-rectas son lados
del ángulo, siendo uno el lado inicial y el otro el lado final o terminal.
EL ÁNGULO GEOMÉTRICO es siempre positivo, mientras que el ángulo trigonométrico puede ser positivo o negativo. Si se considera al ángulo
como una rotación de una semi-recta; bien en sentido contrario al giro de las agujas del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negativo).
o
Vértice
Lado Final o
Terminal
+
-
a
0
 boa
Lado Inicial
Lado
aob
Inicial
Lado Final o
Terminal
a
0
Vértice
o
M EDICIÓN DE ÁNGULOS
b
mediante
varios sistemas, siendo los más usuales: el sistemab Circular
Los ángulos se miden
Centesimal.
o Radian, el sistema Sexagesimal y el sistema
EL SISTEMA CIRCULAR O RADIAN: Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. La
unidad es el radian.
El ángulo llano mide
El ángulo recto mide

Radianes, o sea: 180º

2
Radianes, es decir: 90º
Por ser la longitud de la circunferencia 2
1 radian =
180º

= 57,296° = 57º 17’
 . r, que contiene 360°, entonces
45” .∙.

2
 . r = 360°, por lo tanto:
= 3,14159
SISTEMA SEXAGESIMAL: Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60.
La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el cual se define como la medida central del ángulo
1
subtendido por un arco de círculo igual a /3600 ava parte de la circunferencia de un círculo.
Un minuto (‘) es la
1
60
ava parte de un grado; un segundo (“) es la
1
60
ava parte de un minuto, o sea
1
3600
ava parte de un grado.
Sistema Centesimal: La circunferencia también puede ser dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado
centesimal posee 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales.
2´ x 60”
2
CONVERSIÓN DEL SISTEMA CENTESIMAL AL SISTEMA SEXAGESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo del sistema decimal al sexagesimal, se multiplican las cifras decimales por sesenta (60’) para
convertirlos en minutos y si aún existen cifras decimales, se multiplican nuevamente por sesenta (60”) para convertirlos en segundos, siendo la parte
entera del número dado, los grados y de las partes enteras de ambas multiplicaciones los minutos y segundos de la medida angular.
EJEMPLOS:
A ) 29,23°
62, 4°  62° 24’
B)
29, 23°  29°
0,23
.60
13,80  13’
0,4
60’
24,0  62° 24’
.
0,8.
60
48,0  48”
29, 23° = 29° 13’ 48”
CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGESIMAL AL CENTESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo dado en el sistema sexagesimal, se plantea una suma de fracciones en donde los grados son la parte
entera, los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre 3600; y luego se efectúa la división para llevarlo a centesimal.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
El círculo trigonométrico, es la circunferencia cuyo radio es la unidad.
y
(0,1)
α1
r=
P (x,y)
y
(1,0)
(1,0)
x
0
(0,- 1)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.- Seno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la ordenada “y” del punto P, es decir:
Seno (α) = y
Sen α = y
2.- Coseno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la abscisa “x” del punto P, o sea:
Coseno (α) = x
Cos α = x
3.- Tangente: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la razón entre la ordenada “y” y la abscisa “x” del punto P.
Tangente (α) =
y
x

Sen 
Cos 
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y
Sen 
Tg α =

x
Cos 
4.- La Cotangente: es la función inversa de la tangente, es decir:
Cotangente (α) =
Ctg α =
y
x
y
x
1
tag 
ó
ó Ctg α =
1
tag 
5.- La Secante: es la función inversa del coseno, por tanto:
1
1

x
Cos 
Secante (α) =
Sec α =
1
x
ó Sec α =
1
Cos 
6.- La Cosecante: es la inversa de la función seno, o sea:
Cosecante (α) =
Csc  
1
y
1
1

y
Sen 

1
Sen 
El producto de toda función trigonométrica por su inversa, es igual a la unidad.
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 0° - 90° - 180° - 270° y 360°
Ángulos
Funciones
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
0°
90°
180°
270°
360°
0
1
0
No
1
No
1
0
No
0
No
1
0
-1
0
No
-1
No
-1
0
No
0
No
-1
0
1
0
No
1
0
Los valores máximos y mínimos de las funciones: Seno y Coseno es 1 y –1, por lo tanto el Rango de ambos es el intervalo cerrado.
Rgo f seno = [-1 , 1]
Rgo f coseno = [-1 , 1]
La representación gráfica del seno es una curva llamada Sinousoide y la del coseno: Cosinousoide.
4
RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y
R = 10
α
0
y
x
x
Por definición:
Sen α = y
Cos α = x
y
x
Tg α =
x
Cos 

y
Sen 
1
1
Sec α =

x
Cos 
1
1

y
Sen 
Ctg α =
Sen 
Cos 

Csc α =
=
IDENTIDADES PITAGÓRICAS:
El triángulo de la figura es rectángulo, y la circunferencia es el círculo trigonométrico (r = 1) y según el Teorema De Pitágoras tenemos:
2
y
+
2
x = r
2
De acuerdo con las igualdades anteriores:
2
2
2
Sen α + Cos α = 1
a.-
2
2
Sen α + Cos α = 1 (identidad pitogórica fundamental)
2
b.- Si la identidad fundamental se divide miembro a miembro entre el Cos α, tenemos:
2
2
Sen α + Cos α = 1
Sen 2
Cos 2
Cos 2
Cos 2


1
Cos 2
Según las identidades iniciales:
2
2
Tg α 1 = Sec α
2
c.- Dividiendo la identidad fundamental entre Sen α, nos queda:
2
2
Sen α + Cos α = 1
Sen 2
Sen 2
2
Cos 2
Sen 2

2
1 + Ctg α = Csc α

1
Sen 2
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Matemática 4to A Y B
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 30º - 45º - 60º
Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º, usaremos un triángulo equilátero, cuyo lado miden 2
unidades longitud y al cual le trazaremos la altura que calcularemos a través del TEOREMA DE PITÁGORAS
B
b 2 + h 2 = c2
c =2
30º
h =
h2 = c2 - b2  h 
2
3
h2 
A
c2 - b2
2 2 - 12 
4-1 
3
C
60º
Para el ángulo de 30º, el cateto apuesto (b) mide una (1) unidad de longitud, el cateto adyacente (h) mide
hipotenusa (c) mide 2 unidades de longitud.
3
unidades de longitud y la
Los valores de las funciones trigonométricas de 30º se obtendrán al aplicar las definiciones de las razones trigonométricas e n el triángulo
rectángulo.
Sen 30º 
Cos 30º 
Cat. opuesto a 30º
hipotenusa
Cat. adyacente a 30º
hipotenusa
1
2

3
2

Tag 30º 
Cat. opuesto a 30º
Cat.adyacente a 30º

Ctg 30º 
Cat. adyacente a 30º
Cat.opuesto a 30º

Sec 30º 
hipotenusa

Cat. adyacente
Csc 30º 
hipotenusa
Cat. opuesto

1
3
3
1
2

3
2
1
3
3


2.
3
3
3
(Racionalizando)
(racionalizando)
 2
El triángulo anterior será usado para calcular los valores para 60º, sólo que los catetos cambian, es decir, opuesto será el adyacente y
viceversa.
Sen 60º 
Cat. opuesto a 60º
hipotenusa
Cos 60º 
Cat. adyacente a 60º
hipotenusa
3

2

1
2
6
Tag 60º 
Cat. opuesto a 60º
Cat.adyacente a 60º
Ctg 60º 
Cat. adyacente a 60º
Cat.opuesto a 60º
Sec 60º 
hipotenusa

Cat.adyacente a 60º
Csc 60º 
hipotenusa

Cat.opuesto a 60º
2
3
3
1
=
1
=
3
2
1



3
3
3
(racionalizando)
 2
2. 3
3
(racionalizando)
Debes observar que los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º se intercambian por ser complem entarios, es
decir la suma de sus medidas es igual a 90º .
Los valores de las razones trigonométricas se obtendrán usando un cuadrado cuyos lados miden unas unidades de longitud y a la cual se le
Trazará una diagonal cuya longitud será calculada mediante el TEOREMA DE PITÁGORAS.