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ABACOM Boletín Matemático
MAYO 2007
Editorial
PROBLEMAS v/s EJERCICIOS
Una de las actividades más comunes,
que se realizan al estudiar matemáticas, es el “hacer ejercicios”. Más
aun, el material de trabajo que los
profesores dan a los alumnos, generalmente son “guías de ejercicios”.
Pero…el hacer ejercicios, ¿garantiza
aprendizaje?
Muchas veces, el hacer ejercicios, se
transforma en algo mecánico y repetitivo, que posteriormente, en una
prueba, ante el menor cambio en los
enunciados o datos en una pregunta,
hace que ésta sea imposible de responder.
Entonces, ¿qué habría que hacer además de hacer ejercicios? Una posible
solución es resolver problemas. Pero, aparentemente ¿no es lo mismo
ejercicio que problema?
Hay varias diferencias:
Un problema se caracteriza por tener
una situación inicial (elementos dados, datos), una situación final
(elementos buscados, incógnitas) y
Visítanos en: www.uach.cl/abacom
la vía de solución que es desconocida y debe obtenerse a través de procedimientos heurísticos.
Un ejercicio se caracteriza por tener
un algoritmo más o menos mecánico
conocido, que lleva a la solución en
forma rutinaria. En un ejercicio se
sabe de antemano qué hacer y cual
es el proceso para lograrlo.
Hacer ejercicios es útil para aprender
una cierta técnica, pero una vez
aprendida se debe enfrentar a la resolución de problemas.
La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la
aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto
donde los datos guarden una cierta
coherencia. Desde este análisis se
han de establecer jerarquías: ver qué
datos son prioritarios, rechazar los
elementos distorcionadores, escoger
las operaciones que los relacionan,
estimar el rango de respuesta, analizar los resultados obtenidos, decidiendo si resuelven el problema propuesto, etc.
El tema central de esta edición de
ABACOM Boletín Matemático es
Álgebra, una de las ramas de la matemática más conocida pues es uno
de los temas que se estudia en todos
los cursos de enseñanza media, e
incluso en algunos de enseñanza básica. Pero no es lo mismo aprender
solamente a efectuar operaciones
algebraicas que saber aplicarlas para
resolver problemas concretos de situaciones reales.
AÑO 6 N°22
En esta edición
Modelamiento Matemático
pág
•¿Qué es Modelamiento
Matemático?.................................. 2
•Modelamiento en Ingeniería.......... 2
Reflexiones ......................................... 3
Construcciones con Regla y Compás .... 4
Concurso
• Desafío a tu Ingenio ...................... 5
• Sopa Matemática........................... 5
• Los ciclistas y la mosca................. 5
Álgebra
• De Al - Juarizmi a Wiles.............. 6
• Al - Juarizmi..................................... 6
• Álgebra: una Introducción ............ 7
• Problema de las vacas de Newton…...7
• Torpedo de Álgebra….....…………8
Matemátic@s ...................................... 9
Epitafios ............................................. 9
Frases Célebres ................................... 9
Matemática Entrete
• Curiosidades de los Números........ 10
• Tipos de Números......................... 10
• El dígito verificador…………………..11
• Humor .......................................... 11
• La Matemática...con risas entra ... 11
Noticias
• Carlos Toro ............................................ 12
• Aniversario ABACOM ................. 12
• Página web de ABACOM............. 12
Contáctanos en: abacom@uach.cl
MAYO
2007
Luis Véliz Matus
¿Qué es el modelamiento matemático? ¿Qué son los modelos matemáticos?
En palabras sencillas modelar matemáticamente es representar la realidad mediante el uso de conceptos matemáticos, como ecuaciones, funciones, esquemas , diagramas, etc. El modelamiento matemático es usado en la mayoría de las áreas del conocimiento y en la investigación, principalmente en Física, Química, Biología, Ingeniería,
Economía y Estadística. Para comprender mejor este concepto veamos un ejemplo.
Un caso particular: supongamos
que tenemos un pastel en un horno a una temperatura T0 = 200ºC,
lo sacamos y lo dejamos enfriar,
siendo la temperatura ambiente de
25ºC. La temperatura T del pastel
se comportará aproximadamente
como se describe en el modelo.
Esto es porque los modelos son representaciones de
la realidad que no tienen porqué ser absolutamente
exactas, pueden acercarse muy bien a la realidad en
ciertos intervalos de tiempo. Además, en el caso del
enfriamiento de un cuerpo, existen otras variables
que no son consideradas al menos en este modelo,
como la forma o los materiales que lo componen,
que tienen propiedades particulares cada uno en relación a la temperatura y a otros factores. Si queremos tener mayor exactitud entonces nuestro modelo
se volverá más complejo, con más variables y tal
vez ¡imposible de resolver! por métodos analíticos.
Un modelo muy famoso es la Ley de Enfriamiento
de Newton: “La variación de la temperatura de un
cuerpo a través del tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del ambiente.”
dT
= k(A − T )
dt
(donde T es la temperatura del cuerpo, t es el tiempo, dT/dt es la derivada de T respecto de t, k es una
constante de proporcionalidad y A es la temperatura
ambiente).
Esta ecuación es una ecuación diferencial, su solución es una función:
T (t ) = Ce − kt + A
(donde C es una constante, que depende de la temperatura inicial del cuerpo).
Esta función nos indica la temperatura T para cualquier instante t del tiempo.
Modelamiento en Ingeniería
Los problemas que se tratan de modelar en Ingeniería son muy diversos, algunos muy complejos y particulares. En la mayoría de los casos los modelos planteados no se pueden resolver por métodos analíticos, por lo
que se hace necesario recurrir a herramientas computacionales que realicen esta tarea. Para esto, primero se
debe discretizar el problema, es decir, en vez de usar una ecuación que describa el comportamiento a través de
todo el tiempo, se formulan muchas ecuaciones (algebraicas) que describen el comportamiento en un punto en
particular o para un instante en particular del tiempo. Luego todas estas ecuaciones, que a los ingenieros les
tomaría muchísimo tiempo resolver, se ingresan a un programa computacional, que resuelve y entrega las soluciones de estas ecuaciones. En general estos programas se desarrollan específicamente para el problema que
se está modelando. En el modelamiento de ingeniería trabajan codo a codo científicos, matemáticos, ingenieros e informáticos.
En las próximas ediciones de nuestro boletín hablaremos acerca de algunos modelos matemáticos y problemas de ingeniería muy interesantes en donde ni te imaginas el gran aporte que hacen la matemática y la computación.
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ABACOM Boletín Matemático
REFLEXIONES
EL CURRICULUM OCULTO EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA
Luis Castro Haase
Hace unos días comentaba con
un amigo, de esos que se interesan por la educación, sobre
cuál será la razón que impulsa
a las personas en general y a
nuestros estudiantes universitarios en particular, a actuar
razonada y reflexivamente en
unos ambientes y no en otros.
Me decía mi amigo, que le costaba imaginarse a un estudiante entrar al Supermercado, tomar el carrito de las compras e
ir vaciando indiscriminadamente en su interior los diferentes
artículos que se encuentran en
las estanterías. Así, caerían al
carrito un grupo de envases de
margarina, unos paquetes de
fideos, un atado de ropas de
esas de liquidación, un conjunto de envases de leche o bebidas, todo sin orden ni concierto. Todo ello ante la mirada
atónita e incrédula, pero también indiferente, de los otros
compradores.
Compradores
que por supuesto, hojita en
mano, iban seleccionando cuidadosamente sus compras.
Muy por el contrario, me explicaba, estoy seguro que nuestro estudiante entrará al Supermercado, también con su listado anotado en una hojita, o al
menos con una clara intención
de compra en su mente. Nuestro personaje realizará la com-
pleja tarea de seleccionar,
identificar, buscar calidad y
costo mínimo, de esta forma
comparará los costos con sus
disponibilidades, calculará el
peso y tamaño de la compra de
manera de poder transportarla
y otras acciones no menos
complejas. Sin embargo realizará todo ese trabajo con facilidad, sin esfuerzo aparente y en
un tiempo mínimo.
Una vez que mi amigo me explicó todo este proceso, me miró fijamente y me preguntó: ¿Y
porqué crees, que esta misma
persona tiene un comportamiento tan diferente como estudiante en la universidad?
Como todavía no captaba hacia
adonde apuntaba mi amigo
con sus observaciones, un tanto ingenuamente le repliqué:
¿Hablas de una persona que
hace sus compras en el Supermercado y desea comparar
esa actividad con su desempeño como estudiante? ¿Pero
qué tiene que ver…?
Un tanto sorprendido y molesto, mi amigo me interrumpió y
dijo: Veo que no captas la idea.
Te explicaré: no comprendo
porqué esa misma persona,
que es exitosa en el supermercado, cuando viene a la Universidad a adquirir una formación profesional: aparentemente no organiza su tiempo para
estudiar, no parece interesarle
el tema que estudia, no tiene
claridad en la importancia del
conocimiento científico para su
formación como persona y como profesional, estudia solamente para las pruebas y para
aprobar con nota mínima, no
parece interesado en investigar en forma autónoma para
3
profundizar sus materias. Pero
sin embargo se dirige mansamente a pagar a la caja, se
preocupa de su asistencia, se
preocupa con cuidado de recibir copias de guías y trabajos.
A esta altura del diálogo, empecé a darme cuenta de la incongruencia que había en la
actitud del estudiante exitoso
en el supermercado, pero que
en la Universidad actuaba descuidadamente y con una motivación mínima por su propia
formación. Y entonces, ya a la
defensiva, atiné a farfullar:
bueno, pero no serán todos…
habrá excepciones… además
cada persona tiene su libertad
y hay que respetar la vida que
cada cual elija para si mismo,
además…
Pero no pude seguir, mi amigo
ya no me escuchaba, se había
marchado sin volver la mirada
atrás, me di cuenta que… se
dirigía al Supermercado.
ABACOM Boletín Matemático
Publicación destinada a Estudiantes y
Profesores de Enseñanza Media.
Proyecto auspiciado por el Instituto de
Matemáticas de la Universidad Austral de
Chile.
Director: Juan Leiva V.
Director Alterno: Victor Alvarado A.
Redacción Periodística : Carolina Leiva C.
Diagramación: Katherine Inalef P.
Instituto de Matemáticas.
Facultad de Ciencias. UACH.
Casilla 567 Valdivia.
E.mail: abacom@uach.cl
Fono (63)221828
Fax (63)293730
www.uach.cl/abacom
MAYO
2007
Víctor Alvarado Alvarado
Un poco de historia
guió, se dirigieron nuevamente al oráculo lo que éste
reprochó porque el nuevo altar tenía volumen ocho veces más grande.
La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado, problema
que fue propuesto por Anaxágoras en el 500 a.C.
Estos tres problemas de enunciado tan sencillo, han
tenido a la humanidad pendiente durante más de dos
mil años. Estos problemas son imposibles de resolver
usando solamente regla y compás. (En 1837, el francés
Wantzel demostró la imposibilidad de trisectar un ángulo arbitrario y la duplicación de un cubo).
Recordemos que el álgebra nació como un intento de
abstracción de operaciones tan geométricas como el
cálculo de áreas y de volúmenes, y las demostraciones
de sus teoremas se basaban en cuestiones geométricas.
La curiosidad aparece cuando la geometría requiere del
álgebra para demostrar sus teoremas.
La imposibilidad de la construcción geométrica en los
tres problemas mencionados se basa en la teoría de
cuerpos y extensión de cuerpos.
En los próximos números de ABACOM mostraremos
como realizar con regla y compás ciertas construcciones geométricas.
El primer avance importante de la geometría se produjo en Grecia (500 a.C.), ello reflejado en “Los Elementos” de Euclides, considerado el primer modelo de sistema axiomático. La importancia de los griegos en la
geometría no es sólo en el aspecto teórico, sino que se
preocuparon de construir en forma sistemática cada
figura que imaginaban. Para ello crearon una gran cantidad de herramientas, entre ellas regla y compás
(también construyeron instrumentos para trisectar
ángulos).
Esta afición de los griegos por este tipo de construcciones fue transmitida al Mundo Árabe, a la Edad Media y al Renacimiento como un juego más que por su utilidad.
También, apareció una cierta corriente de matemáticos
que intentó poner más restricciones en la construcción,
como por ejemplo, construcciones sólo con regla y compás rígido (o compás oxidado). En el siglo XIX, el francés Poncelet demostró que toda construcción con regla
y compás puede hacerse con regla y compás rígido.
Hubo tres construcciones con regla y compás que se
plantearon en la Antigua Grecia y que no se pudieron
resolver: la trisección de un ángulo arbitrario, la duplicación de un cubo y la cuadratura de un círculo.
Dada la facilidad para realizar la bisectriz de un ángulo
y la trisección de un segmento, parece natural que se
planteasen cómo dividir un ángulo en tres ángulos iguales. Ellos encontraron solución a algunos casos particulares y a lo largo de la historia han aparecido falsas
demostraciones.
Cuenta la historia que en el año 429 a.C. murió Pericles,
tirano de Atenas, y el pueblo, abrumado, pidió ayuda al
Oráculo de Delos y la respuesta fue que construyesen
un altar del doble de volumen del altar cúbico existente. Crearon un altar con el doble de arista, la crisis si-
4
ABACOM Boletín Matemático
ConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoC
Viola García Paredes
PROBLEMAS EDICIÓN Nº 22
Problema 1: La falsa moneda
La alegría que tuvo Óscar cuando llegó a casa con
su botín sólo se vio empañada cuando uno de sus
compañeros de fechorías lo llamó por teléfono:
- Óscar, tengo que darte una mala noticia.
- ¿Qué?
- No digas que te lo he dicho yo, pero de las seis
monedas de oro que te han correspondido una es
falsa; lo puedes saber fácilmente porque pesa menos
que las demás.
- ¡Maldición! Pero, oye, espera…, y ¿tú como lo
sabes?
En ese momento se cortó bruscamente la comunicación, y Óscar, maldiciendo contra su amigo, se dispuso a salir rápidamente
en su busca, pero antes de hacerlo cogió una balanza y en dos pesadas supo
cuál era la moneda falsa. ¿Cómo lo hizo?
Problema 2: El producto igual a la suma
El profesor está explicando a su clase el hecho notable de que dos veces dos
da el mismo resultado que dos más dos. O sea 2 · 2 = 2 + 2
Aunque el 2 es el único número no nulo que tiene esta propiedad, hay muchos pares de números A y B de modo que A · B = A + B.
(No necesariamente deben ser números enteros, pueden ser fracciones).
¿Puedes descubrir algunos pares de números así?
P
A
T
I
N
G
O
C
N
I
S
O
L
U
C
I
O
N
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A
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R
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Z
K
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T
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O
P
I
A
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R
C
H
I
E
R
L
R
E
P
A
S
I
C
O
P
F
A
M
A
Y
F
R
A
I
Z
Te proponemos que
descubras diez (10)
palabras relacionadas
con Álgebra.
Pueden encontrarse
en forma vertical,
horizontal o en diagonal, de arriba hacia
abajo (o viceversa),
de izquierda a derecha (o viceversa).
SOLUCIÓN EN
PRÓXIMO NÚMERO
Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a:
ABACOM Boletín Matemático
Casilla 567 Valdivia email: abacom@uach.cl Fax (63)293730
Recepción de soluciones hasta el 30 de Junio de 2007
A fin de año se entregarán reconocimientos a los participantes.
5
Los ciclistas y la
mosca
El siguiente problema, aparentemente
complicado, tiene una solución muy fácil
y directa.
Dos ciclistas se hallan en dos ciudades
distantes 60 Km. Parten al mismo tiempo ambos a 30 Km. por hora, cada uno
hacia la otra ciudad. Una mosca que se
encuentra, al momento de partir, en el
casco de uno de ellos, viaja a 45 Km.
por hora hacia el otro ciclista, toca su
casco y vuelve hacia el primero, y así
sucesivamente hasta el momento en
que se encuentran ambos ciclistas.
¿Qué distancia recorre la mosca?
Se podría pensar que se deben calcular
cada uno de los trayectos que efectúa la
mosca desde uno al otro para luego sumarlos. Resulta de ese modo una suma
de infinitos términos, o sea una serie
infinita. Pero, si se considera que los
ciclistas tardan exactamente una hora
en encontrarse (pues deben recorrer 30
Km. a 30 Km. por hora), entonces la
mosca ha estado volando durante una
hora a 45 Km. por hora, por tanto la
mosca recorre exactamente 45 Km.
Se cuenta que habiéndosele planteado
este problema a John von Neumann
(destacado
matemático
húngaroestadounidense del siglo XX), dio la solución en seguida. Le preguntaron si ya
sabía el truco, a lo que respondió.
“¿Qué truco?, …¿hay algo más fácil que
sumar una serie?...”
MAYO
2007
DE AL-JUARIZMI A WILES
La historia del álgebra se remonta al
antiguo Egipto y Babilonia, donde
pioneros matemáticos fueron capaces
de resolver ecuaciones lineales y
cuadráticas, con una y con varias
incógnitas. Los antiguos babilonios
resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los
mismos métodos que hoy se enseñan.
Los matemáticos alejandrinos Herón
y Diofanto continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque
el libro Las aritméticas de Diofanto
es de bastante más nivel y presenta
muchas soluciones sorprendentes
para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre
resolución de ecuaciones encontró, a
su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de
reducción y equilibrio”. (La palabra
árabe al-dejaber que significa
`reducción', es el origen de la palabra
álgebra). En el siglo IX, el matemático Al-Juarizmi escribió uno de los
primeros libros árabes de álgebra,
una presentación sistemática de la
teoría fundamental de ecuaciones,
con ejemplos y demostraciones incluidas, así es como a éste sabio se le
considera el padre del álgebra. Su
Juan Leiva Vivar, Víctor Alvarado Alvarado
obra Álgebra fue traducida al latín y
publicada en el siglo XII.
A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci,
habiendo viajado a países árabes,
consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro,
Tartaglia y Cardano resolvieron la
ecuación cúbica general. Ludovico
Ferrari, alumno de Cardano, pronto
encontró la solución exacta para la
ecuación de cuarto grado y, como
consecuencia, ciertos matemáticos de
los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las
ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del
siglo XIX el matemático noruego
Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de
dicha fórmula.
En 1637 el matemático francés René
Descartes fusionó la geometría y el
álgebra creando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica
moderna, en la cual las constantes
están representadas por las primeras
letras del alfabeto, a, b, c, … y las
variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la
notación exponencial que usamos
hoy en día.
Durante el siglo XVIII se continuó
trabajando en la teoría de ecuaciones
y en 1799 el matemático alemán Carl
Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano
complejo.
A partir de allí, el foco de atención
del álgebra se trasladó desde el estudio de las ecuaciones al estudio de la
estructura de sistemas matemáticos
abstractos, tales como grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales,
iniciándose así el Álgebra Abstracta.
Desde entonces, el álgebra moderna
ha seguido evolucionando; se han
obtenido resultados importantes y se
le han encontrado aplicaciones en
todas las ramas de las matemáticas y
en muchas otras ciencias.
Recientemente, en 1993, el matemático británico Andrew Wiles demostró una conjetura planteada en el siglo XVII, el “último teorema de Fermat” (ver ABACOM Nº 6 y Nº 11),
lo que muestra que la matemática
está viva y se desarrolla día a día.
Al - Juarizmi (790 – 850)
Se conocen pocos detalles sobre la vida de Abu
Ja'far Muhammad ibn
Musa al - Juarizmi. Se
especula que su nombre
Al - Juarizmi puede indicar que llegó de Khwarizm, al sur del mar de
Aral en Asia central, pero otra fuente indicaría
que provenía de un distrito entre el Tigris y el
Eufrates, cerca de Bagdad.
Harun al-Rashid, califa
del imperio islámico en
tiempos de Al - Juariz-
mi, quiso llevar a su corte, en Bagdad, la cultura
y las disciplinas intelectuales. Su hijo al-Mamun
continuó la labor de su
padre y fundó una academia que fue llamada la
Casa de la Sabiduría. Al
- Juarizmi fue alumno de
esta academia. Sus tareas
incluían la traducción de
manuscritos científicos
griegos y también estudió, y escribió sobre álgebra, geometría y astronomía.
El tratado de álgebra
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Hisab al-jabr w'almuqabala fue el más
famoso e importante de
todos los trabajos de Al Juarizmi. Es el título de
esta obra el que nos ha
dado la palabra 'álgebra'
y, es considerado el primer libro escrito sobre
álgebra.
El álgebra de Al - Juarizmi es reconocida como el fundamento y la
piedra angular de las
ciencias, por lo que es
llamado “el padre del
álgebra”.
ABACOM Boletín Matemático
Algebra Elemental : Una Introducción.
PROBLEMADE LAS VACAS DE NEWTON
Consideremos el siguiente problema:
“Cinco socios han comprado un negocio, contribuyendo por
partes iguales. Si hubiera habido dos socios, más cada uno
hubiera contribuido con 800 UF menos. ¿Cuánto costó el negocio?”
Frente a este problema, si no se tiene ningún método para
resolverlo, la única alternativa sería probar con diferentes valores.
Supongamos que el negocio costó 5.000 UF. Así cada socio
inicial aportó con 1.000 UF. Al ingresar 2 socios más y cancelar cada uno de los 7 la cantidad de 1.000 – 800 = 200 UF daría un total de 200 · 7 = 1.400, que no corresponde a las 5.000
UF originales. Supongamos ahora que el negocio costó
50.000 UF, haciendo cálculos análogos al caso anterior, el
valor del negocio sería de 64.400 UF. Tampoco corresponde a
las 5.000 UF.
Así podríamos probar con diferentes valores tentativos. Con
suerte podríamos llegar a la solución en forma rápida, pero
podría ser que tardásemos mucho tiempo.
Pensando racionalmente tenemos lo siguiente:
El valor del negocio es el producto entre 5 y el aporte de cada
socio. Luego al incrementar el número de socios en 2, el valor
del negocio es el producto entre 7 y lo que había aportado cada socio inicial, menos 800 UF. Pero estos dos valores deben
ser iguales, o sea:
5 · (lo que aportó cada socio inicial) =
= 7 · ((lo que aportó cada socio inicial) – 800 UF)
Si denominamos por x al valor que aportó cada socio inicial, la
igualdad anterior queda: 5 x = 7 (x – 800)
Esta igualdad se denomina una ecuación de primer grado,
cuya solución es x = 2.800.
Así lo que aportó cada socio inicial fue 2.800 UF, y por tanto
el valor del negocio es de
5 · 2.800 = 14.000 UF.
Observemos la gran diferencia que hay entre plantear y resolver la ecuación y buscar la solución mediante un método de
ensayo y error, como el primero.
El siguiente problema se adjudica a Newton. Aunque
parece un problema simple de proporcionalidad directa e
inversa (ver TORPEDO), tiene una complicación que lo
hace muy interesante.
El álgebra (elemental) es la rama de las matemáticas que
estudia las operaciones (sumas, restas, productos, divisiones,
potencias y raíces) de números, considerados en forma general, o sea, representados por símbolos (letras). Una expresión algebraica es una combinación de variables, números y
por lo menos una operación. Una ecuación (con una incógnita) es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que
contiene una incógnita. Resolver una ecuación (con una incógnita) es determinar el valor de la incógnita que hace que la
igualdad se cumpla.
La ecuación del ejemplo anterior es de primer grado, también
existen ecuaciones de segundo grado (ver TORPEDO), racionales, irracionales, etc.
En álgebra se trabaja con potencias, raíces, fracciones, polinomios, etc. y operaciones entre este tipo de expresiones.
El álgebra permite resolver muchos problemas de todo tipo,
en donde se debe hallar el valor de alguna(s) cantidad(es)
(por ejemplo la edad de una persona, cantidad de dinero, medidas de algún objeto, etc.)
Lo anterior se refiere al álgebra elemental, que es la que se
estudia en la enseñanza media, pero…existen otras ramas de
la matemática denominadas álgebra, como: álgebra abstracta,
álgebra conmutativa, álgebra lineal, álgebra de Boole, etc.
7
Problema:
Si se sabe que 3 vacas consumen el pasto de un potrero de 2 hectáreas en 2 semanas y que 2 vacas consumen también el pasto del mismo potrero en 4 semanas, ¿cuántas vacas pueden alimentarse durante 6
semanas en un potrero de 6 hectáreas?
(Debe considerarse que al inicio la cantidad de pasto
por hectárea es, en todos los casos, la misma y a medida que transcurre el tiempo crece uniformemente).
Resolución:
Sea V el número de vacas, T el tiempo (en semanas) y P la cantidad de pasto consumido.
Se sabe que V es directamente proporcional con
P, pues al aumentar (o disminuir) una, aumenta
(o disminuye) también la otra, en la misma proporción y es inversamente proporcional con T,
pues al aumentar (o disminuir) una, diminuye (o
aumenta) la otra, en la misma proporción.
Así se tiene la relación siguiente entre estas variables: V ⋅ T = k , k constante.
P
Sean a la cantidad de pasto al inicio y b la cantidad
de pasto que crece cada semana, por hectárea.
Así, según los datos tenemos:
3⋅ 2
2⋅4
=
=k
2a + 2 ⋅ 2b 2a + 2 ⋅ 4b
,
que reduciendo queda : a = 4 b , de donde la constante
1 .
de proporcionalidad es
k=
2b
Ahora sea x la cantidad de vacas que consumen un
potrero de 6 hectáreas en 6 semanas, entonces:
x⋅6
1 ,pero como a = 4 b, resulta que x = 5.
=
6a + 6 ⋅ 6b 2b
Así la respuesta es: cinco vacas.
2007
MAYO
TORPEDO DE ALGEBRA
Potencias
• Exponente natural:
n
a = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( n veces) ,
• Proporcionalidad Directa e Inversa
x e y varían en forma directamente proporcional si
x / y = k (constante)
x e y varían en forma inversamente proporcional si
x · y = k (constante)
n∈N
• Exponente entero:
a 0 = 1, a − n =
1
, − n ∈ Z, n > 0
an
Productos notables. Factorización
• Exponente racional:
a
m/n
=
( )
m
n m
, m/n∈Q
a = na
m
a
a
n
= a
m
a
n =a
m +n
m−n
,
,
(a b )
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝b⎠
m
=
m
a
b
= a
m
b
m
,
(a m )
n
= a
3
3
m , a
−m
=
1
2n
≥0
m , a
a
2
2
= a ± 3a b + 3ab ± b
3
a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + ... + ab n − 2 + b n −1 )
Polinomios
• Polinomio de grado n
p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an −1 x n −1 + an x n ,
n a = b ⇔ b n = a (raiz n-esima)
n
a
n
b,
m n
a =
mn
a,
n
a/b =
n
• Algoritmo de la división
Sean p(x), d(x) dos polinomios. Entonces existen polinomios únicos q(x) (cuociente), r(x) (resto) tales que:
p(x) = q(x) d(x) +r(x) , con grado(r(x)) < grado (d(x))
a /nb
Fracciones
Ecuación de segundo grado
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
a c ad ± bc − a
a a
a c ac a / b ad
± =
,
=− = ,
⋅ =
,
=
b d
bd
b
b −b b d bd c / d bc
S o lu c io n e s s o n
• Proporción
x1 =
a c
= ⇔ ad = bc
b d
⇒
an ≠ 0
Si p(a) = 0 entonces a se dice que es un cero del polinomio y una solución (raíz) de la ecuación polinómica p(x) = 0.
• Propiedades:
a c
=
b d
2
2
( a + b + c ) = a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
m
2
a = b ⇔ b = a (raiz cuadrada)
a b =
(a ± b)
2
= a ± 2ab + b
( a ± b ) ( a 2 m ab + b 2 ) = a 3 ± b3
mn
Raíces
n
2
( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
• Propiedades:
a
(a ± b)
−b +
b
2
2a
− 4ac
x1 , x 2 :
, x
2
=
−b −
b
2
− 4ac
2a
Las soluciones satisfacen: x1 +x2 = - b/a , x1 x2 = c/a
b
c
se escribe
x2 + x + = 0
x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0
a
a
a +b c+ d a −b c −d a−b c−d
=
,
=
,
=
b
d
b
d
a+b c+d
ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)
8
ABACOM Boletín Matemático
MATEMATIC@S
Srinivasa Ramanujan (1887-1920)
Matemático hindú
muy enigmático. De
familia humilde, a los
siete años asistió a
una escuela pública
gracias a una beca.
Recitaba a sus compañeros de clase fórmulas matemáticas y cifras de Pi. A los 12
años dominaba la trigonometría, y a los 15
le prestaron un libro
con 6000 teoremas
conocidos, sin demostraciones. Ésa fue su formación matemática básica. En 1903 y 1907 suspendió
los exámenes universitarios porque solo se dedicaba a sus "diversiones" matemáticas. En 1912 fue
animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo G.H. Hardy, de Cambridge,
tenido por el más eminente matemático británico
de la época. Hardy estuvo a punto de tirar la carta,
pero la misma noche que la recibió se sentó con su
amigo John E. Littlewood a descifrar la lista de
120 fórmulas y teoremas de Ramanujan. Horas
más tarde creían estar ante la obra de un genio.
Hardy tenía su propia escala de valores para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo.
Algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron, pero escribió "...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la
imaginación necesaria para inventarlas". Invitado
por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en
1914 y comenzaron a trabajar juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College, siendo el primer indio
que lograba tal honor. De salud muy débil, moría
tres años después.
Lo principal de los trabajos de Ramanujan está en
sus "Cuadernos", escritos por él en nomenclatura y
notación particular, con ausencia de demostraciones, lo que ha provocado una hercúlea tarea de desciframiento y reconstrucción, aún no concluida.
Fascinado por el número Pi, desarrolló potentes
algoritmos para calcularlo. Uno de ellos, reelaborado por los hermanos Jonathan y Peter Borwein,
permite calcular Pi con más de dos mil millones de
cifras exactas.
Epitafios
DIOFANTO (200 d.C.? – 284 d.C.?)
Matemático griego
Diofanto fue uno de los matemáticos que más fama dio a Alejandría.
En su tumba se lee un relato que
narra en forma concisa su vida.
Su epitafio dice así:
“¡Caminante! Aquí yacen los restos
de Diofanto. Los números pueden
mostrar, ¡oh maravilla! la duración
de su vida, cuya sexta parte fuera
niño. Añadiendo un doceavo, las
mejillas tuvieron la primera barba.
Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo,
y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo.
Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la
vida de su padre, lo arrebató la helada tumba.
Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida.”
(Los datos dados permiten determinar la edad a qué murió Diofanto.
Si llamamos x a la edad, entonces tenemos:
x x x
x
+ + +5+ + 4 = x
6 12 7
2
de donde se concluye que vivió 84 años).
FRASES CÉLEBRES
ACERCA DE LA MATEMÁTICA…
…dichas por no matemáticos
“En las matemáticas es donde el espíritu encuentra los elementos que
más ansía: la continuidad y la perseverancia”.
Jacques Anatole France (1844 – 1924) escritor francés.
“Sólo en las ciencias matemáticas existe la identidad entre las cosas que
nosotros conocemos y las cosas que se conocen en modo absoluto”.
Umberto Eco (1932 - )crítico literario, semiólogo y novelista italiano.
“En la matemática no encuentro ninguna imperfección, excepto quizá
en el hecho de que los hombres no comprenden de manera suficiente el
excelente uso de la Matemática Pura”.
Francis Bacon (1561 – 1626), filósofo inglés.
“El progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado”.
Napoleón I (1769 – 1821), emperador de Francia.
“Las leyes de la matemática no son meramente invenciones o creaciones humanas. Simplemente "son": existen independientemente del intelecto humano. Lo más que puede hacer un hombre de inteligencia aguda es descubrir que esas leyes están allí y llegar a conocerlas”.
Mauritis Cornelis Escher (1898 – 1972), artista gráfico holandés.
“Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos
mentirosos”.
Henry David Thoreau (1817 – 1862), filósofo norteamericano.
9
MAYO
2007
Curiosidades de los números
Algunas pirámides de números
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 =888888888
1x8+1=9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
1111111112 = 12345678987654321
Particularidad del número 37
37 x 3 = 111
37 x 6 = 222
37 x 9 = 333
37 x 12 = 444
37 x 15 = 555
37 x 18 = 666
37 x 21 = 777
37 x 24 = 888
37 x 27 = 999
Multiplicaciones por múltiplos de 9
12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999
Tipos de Números
En matemáticas se trabaja preferentemente con números (también con letras, pero generalmente representan números).
Algunos de los tipos de números que más se conocen
son:
Números Naturales, Números Enteros, Números
Racionales, Números Irracionales, Números Reales
y Números Complejos. (Ver Conjuntos Numéricos,
ABACOM Nº 13).
Pero se puede clasificar a los números de muchas
otras maneras. Hay muchas propiedades de los números que hacen que cuando alguno las cumple se le denomine de cierta forma determinándose así un cierto
tipo de números. Veamos algunos:
Número primo: todo número natural mayor que 1 que
cumple que sus únicos divisores son el 1 y el propio
número. Por ejemplo 2, 3, 5 y 29 son números primos.
Número compuesto: todo número natural mayor que 1
que no es primo. Por ejemplo 28 = 5 X 13 y 323 = 17
X 19 son números compuestos.
Número perfecto: todo número natural que es igual a
la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus
divisores excepto el propio número). Por ejemplo, 6 es
un número perfecto ya que sus divisores propios son 1,
2, y 3 y se cumple que 1 + 2 + 3 = 6. Los números 28,
496 y 8128 también son perfectos.
Número semiperfecto: todo número natural que cumple que es igual a la suma de algunos de sus divisores
propios. Por ejemplo, 18 es semiperfecto ya que sus
divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y se cumple que 3 + 6 + 9 =
18.
Número abundante: todo número natural que cumple
que la suma de todos sus divisores propios es mayor
que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya
que sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple
que 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, que es mayor que el propio
12.
Número deficiente: todo número natural que cumple
que la suma de todos sus divisores propios es menor
que el propio número. Por ejemplo, 16 es un número
deficiente ya que sus divisores propios son 1, 2, 4 y 8
y se cumple que 1 + 2 + 4 + 8 = 15, que es menor que 16.
10
ABACOM Boletín Matemático
EL DÍGITO VERIFICADOR, ¿CÓMO VERIFICA?
Cada vez que se habla
del carnet de identidad,
se nombra el dígito verificador, que se supone
permite verificar si el
número es auténtico,
pero ¿cómo verifica?
Un algoritmo basado en
aritmética modular (ver
ABACOM Nº 14), permite efectuar esta verificación.
Se multiplican las cifras del número de carnet por 2, 3, … ,7 en forma
inversa; al llegar al 7 se comienza de nuevo con el 2.
Los resultados se suman obteniendo un número que llamaremos S.
Se divide S por 11 obteniéndose un resto R.
R puede ser : 0, 1, 2, …, 10.
Finalmente el dígito verificador es V = 11 – R.
V puede ser 1, …, 11. Si resulta 11 se considera V = 0 y si resulta
10 se considera V = K.
La matemática…
... con risas entra
♦
Un alumno llega a clases de matemáticas con una vaca.
El profesor, sorprendido, le pregunta qué hace con una vaca en
clases.
El alumno responde que esa vaca
es muy especial, pues sabe matemáticas.
- A ver, que me diga una letra
griega – dice, contrariado, el profesor.
- ¡Mu! – dice la vaca.
El profesor, indignado, expulsa al
alumno junto a la vaca.
A la salida la vaca mira al niño y
le dice:
- Parece que debería haber dicho
Alfa…
Por ejemplo para el número 14. 765.118 el algoritmo es el siguiente:
1X3 + 4X2 + 7X7 + 6X6 + 5X5 + 1X4 + 1X3 +8X2 = 144 = S.
Al dividir S por 11 resulta 13 y el resto es 1.
O sea R = 1 y V = 11 – 1 = 10.
Por tanto el dígito verificador es K. Y así el número es 14. 765.118 -K
Otro ejemplo:
Para el número 9.583.627 resulta:
S = 160, R = 6 y V = 5.
Por tanto el dígito verificador es 5, o sea el número del carnet es:
9.583.627 - 5
Ahora …¡ Hazlo con tu número de carnet!
H
U
M
O
R
♦ El alumno frente al computador le
dice al profesor:
- Profesor, no puedo ingresar al
computador, coloco la clave y no
me la acepta.
- Pero, ¿estás seguro que colocaste la clave correcta?
- Lógico, si ayer vi cuando Ud. la
ingresaba.
- ¿Cómo?, ¿y cuál era?
- *****
♦ Un alumno pregunta al profesor:
- OK, TU PADRE CONSIGUIO EL RATON ,
¿AHORA... COMO LO USAMOS?
11
- ¿Cuánto pesa la tierra?
Y el profesor responde:
- Buena pregunta, buscadlo y mañana me lo decís.
Ese día el profesor buscó la respuesta en todas las enciclopedias y
en Internet. Al día siguiente preguntó si alguien lo había encontrado, y como nadie dijo nada, lo dijo
él:
- La tierra pesa 128.239.496 toneladas. Y el alumno que le hizo la
pregunta le volvió a preguntar:
- ¿Con gente o sin gente?
MAYO
2007
ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasN
Carolina Leiva Cádiz
Falleció profesor de matemáticas:
CARLOS TORO BARRÍA
DESTACADO
PARTICIPANTE DE ABACOM
Carlos Toro falleció el viernes 30
de marzo debido a un paro cardíaco dando término así a su destacada trayectoria como docente y activo participante de Abacom.
El profesional
por 30 años
se dedicó a la
docencia de
las ciencias
Matemáticas
y Física en el
Liceo Industrial y por 20
años en el
Colegio
Inmaculada
Concepción,
ambos
de
Valdivia.
El
profesor Toro
asistió a varios cursos de perfeccionamiento que
dictó el Instituto de Matemáticas de la
UACh, demostrando su dedicada vocación para aprender y enseñar a sus
alumnos sus logros profesionales.
El equipo de ABACOM lo recordará
como uno de sus participantes más
activos a la hora de incentivar a los
estudiantes a participar en diversas
actividades relacionadas con la matemática, tales como Olimpíadas de
Matemática y Taller Alfa, entre otras.
Además “fue uno de los guías para
que alumnos participaran de los diversos concursos que realizó ABACOM”,
señala Juan Leiva docente del Instituto de Matemáticas de la UACh.
También es necesario reconocer que
Carlos Toro fue un representante activo del gremio de profesores. Gracias
a su participación constante este profesor deja un legado a cientos de
alumnos y profesores de esfuerzo y
dedicación a una de las actividades
más importantes de nuestra sociedad:
la educación.
CONMEMORACIÓN DEL V ANIVERSARIO ABACOM:
EL viernes 5 de Enero el equipo del Boletín Matemático Abacom se reunió en el Laboratorio de Recursos Acuáticos de Calfuco de la UACh para celebrar cinco años
desde que se editó el primer boletín.
En el quinto aniversario de Abacom estuvieron presentes el Decano de la Facultad de
Ciencias, el Prodecano de la Facultad de
Ciencias, el Director del Instituto de Matemáticas al igual que docentes del Instituto de
Matemáticas y de la Facultad de Ciencias.
Ellos fueron testigos de los hitos que se han
registrado en el Boletín ABACOM a lo largo
de los años en relación a las matemáticas.
Expusieron sus trabajos dos matemáticos de la U.A.Ch. que estuvieron presentes
en el XXV Congreso Internacional de Matemáticas 2006 en Madrid, España. Ellos
fueron la Dra. Mónica del Pilar Canales con el trabajo “Waring’s problem mod p
and cyclotomy”, por el cual obtuvo un premio en España y el Dr. Michael Vielhaber que junto a la Dra. Mónica Canales presentaron el trabajo “Modeling simultaneous diophantine approximation of formal power series”.
El Director del Instituto de Matemáticas, Dr. Luis Vergara, destacó el trabajo realizado por ABACOM: “Más que un nexo entre el Instituto de Matemáticas y los
colegios de la región, ABACOM es un catalizador del talento matemático que hay
entre los estudiantes de enseñanza media. Poner en evidencia el talento matemático de un muchacho es muy importante para la Ciencia Matemática y su desarrollo
futuro y, todavía más, es determinante para el joven talentoso y su futuro”,señaló
Vergara.
ABACOM, en su corta edad, ha jugado un papel en esta tarea. Edición tras edición,
decenas de estudiantes, desde Valdivia a Coyhaique, envían respuestas a los problemas propuestos en la sección “Desafío a tu Ingenio”. Se constata entonces que,
entre nuestros estudiantes, hay interés por la matemática. También es un hecho que
hay talento: el número 21 de ABACOM daba cuenta de la medalla de oro que obtuvo Héctor Pasten, alumno del Colegio Alemán de La Unión, en la XVIII Olimpíada Nacional de Matemáticas y medalla de bronce en la XXI Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas, realizada en Guayaquil, Ecuador.
Es motivo de orgullo para el Instituto de Matemáticas que los diversos artículos
publicados sirvan a los profesores de matemática de Enseñanza Media para incentivar a sus alumnos. Justamente ése es también nuestro objetivo.
PÁGINA WEB DE ABACOM
El Boletín matemático Abacom ya puede ser visitado en Internet en la página
web www.uach.cl/abacom, en donde se
pueden conocer las diversas secciones
de esta edición Nº 22 y de los números
anteriores. Tales ediciones se pueden
ver e imprimir, ya que se encuentran en
formato PDF.
Además invitamos a los estudiantes que
tienen a disposición en nuestro sitio web
links de sitios de matemáticas relacionados con los temas tratados para complementar la información que por razones de espacio no se alcanza a incluir.
En esta oportunidad haremos una encuesta on line que nos permita conocer la opinión
de nuestros lectores acerca de los temas a tratar en próximos números.
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