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Teoría de Conjuntos
Índice
I.
II.
III.
La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel . . . . . . . . . . . . . . . .
5
I.1.
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
I.2.
La idea intuitiva de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3.
La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.4.
Extensionalidad, Vacío y Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.5.
Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.6.
Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . 18
I.7.
Relaciones y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.8.
Funciones. Axioma de Reemplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.9.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Buenos órdenes. Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.1.
Clases bien ordenadas [[Z−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.2.
Números ordinales [[Z−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.3.
El teorema del buen orden [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.4.
Sucesiones de ordinales [[ZF−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.5.
Aritmética ordinal [[ZF−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.6.
Números naturales [[ZF−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.7.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.1.
El número de elementos de un conjunto [[ZF−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . 49
III.2.
Conjuntos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4
Índice
III.3.
Conjuntos numerables [[ZF−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III.4.
Números enteros y racionales [[ZF−
∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III.5.
Conjuntos no numerables. La función ℵ [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . 60
III.6.
Aritmética cardinal [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III.7.
Números reales [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
III.8.
Aritmética cardinal innita [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.9.
Exponenciación cardinal [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
IV.
V.
VI.
El axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV.1.
La clase WF [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV.2.
El axioma de regularidad [[ZF∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
IV.3.
∈Inducción y ∈recursión [[ZF∗− ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
IV.4.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
El Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
V.1.
Resultados conjuntistas equivalentes a AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
V.2.
Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V.3.
Formas débiles del Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V.4.
Equivalencias bajo el axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V.5.
Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
V.6.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
VI.1.
Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
VI.2.
Inmersiones entre Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VI.3.
Espacios Polacos no numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
VI.4.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
VII. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
VII.1. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
VII.2. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
VII.3. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
VII.4. Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Capítulo I
La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
I.1. Objetivos
Los objetivos básicos de la Teoría de Conjuntos son los siguientes:
1. Fundamentar las Matemáticas: Desde el punto de vista de la Teoría de Conjuntos todos los objetos matemáticos son conjuntos.
() En Álgebra se estudia la estructura de grupo. Un grupo es un conjunto con una
operación entre sus elementos que satisface ciertas propiedades. En Álgebra es
irrelevante la naturaleza conjuntista de los elementos de un grupo: dos grupos
isomorfos son idénticos. Sin embargo, desde la fundamentación que proporciona
la Teoría de Conjuntos, los elementos de un grupo también son conjuntos.
A lo largo del curso se describirán los objetos más importantes en Matemáticas:
() Conjuntos básicos en Matemáticas: Números naturales (II.6), enteros, racionales (III.3) y reales (III.7).
() Conjuntos esenciales en Matemáticas: Aplicaciones y relaciones (I.7).
Para obtener esta descripción se introduce la Teoría de Conjuntos de Zermelo
Fraenkel. Para la Teoría de Conjuntos este objetivo es secundario. Por ejemplo, se
dene el conjunto de los números reales, R, y las operaciones aritméticas habituales (suma y producto), la relación de orden y el valor absoluto. Sin embargo, se
considera que a partir de estas deniciones, con una formación básica en Matemáticas, se puede probar sin grandes dicultades que: R es un cuerpo conmutativo,
el orden es total y denso, y con respecto al valor absoluto es un espacio métrico
separable y completo.
2. Conjuntos y clases: La idea intuitiva de que toda colección de objetos es un conjunto es inconsistente (ver I.2). Existen colecciones de objetos que no son conjuntos
y las denominaremos clases propias. Es importante determinar que ciertas clases
son propias. La clase de todos los conjuntos y la clase de los números ordinales
son los ejemplos más importantes de clases propias.
6
I.1. Objetivos
3. Inducción y recursión: Las pruebas por inducción y las deniciones por recursión son herramientas básicas en Matemáticas. Sin embargo, no es posible justicar
determinadas construcciones usando esta metodología (inducción y recursión) sobre los números naturales, conjunto que se denota por ω . Para ello introduciremos
la clase de los números Ordinales (ω es un ordinal) y demostramos que esta clase
satisface los teoremas de inducción y recursión. En el curso veremos numerosas
aplicaciones del uso de inducción y recursión sobre la clase de los números ordinales y sobre ordinales mayores que ω ; por ejemplo, en el estudio sobre subconjuntos
de R: conjuntos de Borel, analíticos, de Baire y medibles. Históricamente, el primer resultado cuya prueba requiere una denición por recursión sobre un ordinal
mayor que ω , trata sobre la existencia y estructura del mayor subconjunto sin
puntos aislados de un conjunto (cerrado) de números reales (para más detalles ver
VI.3.C).
Puntos aislados: En lo que sigue R es el conjunto de los números reales.
() Sean a, b ∈ R tales que a < b. El intervalo abierto de extremos a y b, (a, b),
es
(a, b) = {c ∈ R : a < c < b}.
() Sea A ⊆ R.
() Sea a ∈ A. Diremos que a es aislado en A si existen b1 < b2 ∈ R tales
que A ∩ (b1 , b2 ) = {a}.
() A0 = {a ∈ A : a no aislado en A}.
() Por recursión sobre n ∈ ω denimos A(n) .
½
A,
si n = 0;
(n)
A =
0
A(m) , si n = m + 1.
Sea A ⊆ R. Diremos que A es nCantor si
∀m < n [A(m) 6= ∅] ∧ A(n) = ∅.
Seguidamente describiremos conjuntos nCantor. Sea a ∈ R.
Un conjunto 1Cantor: Sea A1,a = {a}. Es evidente que A1,a es 1Cantor.
1
Un conjunto 2Cantor: Para cada n ∈ ω sea an = a − n+1
. Sea
A2,a = {an : n ∈ ω} ∪ {a}.
Para todo n ∈ ω , an es aislado en A2,a . Por tanto, A02,a = A1,a = {a}. En
consecuencia, A2,a es 2Cantor.
S
Un conjunto 3Cantor: Sea A3,a = n∈ω A2,an ∪ {a}. Entonces
S
S
S
A03,a = ( n∈ω A02,an ) ∪ {a} = ( n∈ω A1,an ) ∪ {a} = ( n∈ω {an }) ∪ {a} = A2,a .
Por tanto, A3,a es 3Cantor.
Un conjunto 4Cantor: Sea A4,a =
Por tanto, A4,a es 4Cantor.
S
n∈ω
A3,an ∪{a}. Entonces A04,a = A3,a .
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
Un conjunto ω Cantor: Sea A(ω) =
es ω Cantor si
T
n∈ω
7
A(n) . Diremos que un conjunto
∀n ∈ ω [A(n) 6= ∅] ∧ A(ω) = ∅.
¾Existe un conjunto ω Cantor?
S Sean b = {bk : k ∈ ω} una sucesión creciente
de números reales, y Ab = k∈ω Ak+1,bk . Entonces
S
S
(1)
(1)
() Ab = k∈ω Ak+1,bk = k≥1 Ak,bk ;
S
S
(2)
(2)
() Ab = k∈ω Ak+1,bk = k≥2 Ak−1,bk .
Por tanto,
T
n∈ω
A(n) = ∅.
En consecuencia, Ab es ω Cantor.
0
Un conjunto (ω +1)Cantor: Sea A(ω+1) = A(ω) . Diremos que A es (ω +1)
Cantor si
A(ω) 6= ∅ ∧ A(ω+1) = ∅.
¾Existe un conjunto (ω + 1)Cantor? En el ejemplo anterior supongamos que
la sucesión {bk : k ∈ ω} es convergente. Sean c = limk∈ω bk , y
Ab,c = Ab ∪ {c}.
(n)
(ω)
(ω+1)
Entonces para todo n ∈ ω , c ∈ Ab,c . En consecuencia, Ab,c = {c} y Ab,c
Por tanto, Ab,c es (ω + 1)Cantor.
= ∅.
Más importante, que el ejemplo anterior, para la consolidación de la Teoría de
Conjuntos es la prueba del Teorema del Buen Orden: Todo conjunto puede ser
bien ordenado. En este caso es necesaria una denición por recursión sobre la
clase de los ordinales.
Las pruebas por inducción y las deniciones por recursión sobre clases bien ordenadas son la forma más común de estas metodologías. La propiedad fundamental
para aplicar estas herramientas es que todo subconjunto no vacío tiene un elemento
minimal. Puesto que no es necesario que exista un único elemento minimal, podemos usar inducción y recursión sobre órdenes parciales que veriquen la propiedad
anterior.
4. Cardinales: El objetivo principal de la Teoría de Conjuntos es estudiar el concepto de cardinal (número de elementos) de un conjunto. En el Capítulo III
estableceremos las propiedades básicas de las operaciones entre cardinales innitos. Mientras que la suma y el producto de cardinales (asociadas a la unión y al
producto cartesiano) tienen una solución elemental, la exponenciación (asociada a
las partes de un conjunto) no es posible determinarla. En este sentido, uno de los
problemas más conocidos es la Hipótesis del Continuo, CH: para todo A ⊆ R, ¾es
A numerable o tiene el cardinal de R? La Hipótesis del Continuo es independiente
de la Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel; es decir, en esta teoría no se puede
probar la Hipótesis del Continuo ni su negación.
8
I.1. Objetivos
5. El Axioma de Elección, AC: El Axioma de Elección es el axioma de la Teoría
de Conjuntos que ha suscitado más controversia. El Capítulo V está dedicado
al estudio del Axioma de Elección. Se probará la equivalencia del Axioma de
Elección con otras propiedades (lema de Zorn, . . . ) usadas en Matemáticas. Uno
de los objetivos es aprender a determinar cuando se usa el Axioma de Elección y
si es posible eliminar su uso. En algunos casos el Axioma de Elección sólo hace
que la prueba sea más simple. En otros, la prueba del resultado en su forma más
general usa el Axioma de Elección; sin embargo, casos particulares de éste, de gran
interés, no requieren el Axioma de Elección para su demostración. Por ejemplo:
Lema.
(AC). Si A es un conjunto innito, existe f : A −→ A2 biyectiva.
La prueba de este resultado requiere el uso del Axioma de Elección. Sin embargo,
se tiene que:
Lema.
() Si A es un conjunto numerable innito, existe f : A −→ A2 biyectiva.
() Existe f : R −→ R2 biyectiva.
Veamos otro ejemplo.
Lema.
Sean X un espacio topológico de Hausdor y A ⊆ X .
A compacto =⇒ A cerrado.
Supongamos que A no es cerrado. Entonces existe a ∈ cl(A) − A
(cl(A) denota la clausura topológica de A). Puesto que X es de Hausdor, para
cada x ∈ A existen Gx y Ux abiertos tales que
Demostración:
() x ∈ Gx , a ∈ Ux ,
() Gx ∩ Ux = ∅.
S
Es evidente que A ⊆ x∈A Gx . Puesto que A es compacto, existen Gx1 , . . . , Gxn
tales que A ⊆ Gx1 ∪ · · · ∪ Gxn . Entonces
() a ∈ Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn .
() A ∩ (Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn ) = ∅.
Lo cual está en contradicción con a ∈ cl(A).
La prueba anterior usa el Axioma de Elección para elegir Gx y Ux . Para los siguientes espacios es posible eliminar el uso del axioma de elección.
Espacios segundo numerables: Sea B = {Vn : n ∈ ω} una base numerable de X .
Para cada x ∈ X sean
¾
½
Gx = Vn
x ∈ Vk ∧ a ∈ Vk 0
⇐⇒ (n, m) = (mı́n(k, k 0 ))
U x = Vm
Vk ∩ Vk0 = ∅.
(donde el mínimo, mı́n(k, k 0 ), se toma, por ejemplo, respecto al orden inducido en
ω × ω por la función inyectiva H : ω × ω → ω , H(x, y) = 2x · 3y ).
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
9

 r = d(x, a)
Espacios métricos: Para cada x ∈ X sean Gx = B(x, r/2)

Ux = B(a, r/2)
En ambos casos la prueba procede como anteriormente.
Sin embargo, la prueba del lema no requiere el uso del Axioma de Elección.
Nueva prueba: Supongamos que A no es cerrado, sea a ∈ cl(A) − A. Sea
GA = {G ∈ G(X) : ∃U ∈ G(X) (a ∈ U ∧ G ∩ U = ∅)}.
Se tiene que:
Aserto. Para todo x ∈ A existe G ∈ GA tal que x ∈ G.
Prueba del aserto: Sea x ∈ A. Puesto que X es de Hausdor, existen Gx y
Ux abiertos tales que x ∈ Gx , a ∈ Ux y Gx ∩ Ux = ∅. Lo que prueba el aserto.
2
S
Por el aserto, A ⊆ GA . Puesto que A es compacto, existen G1 , . . . , Gn ∈ GA tales
que A ⊆ G1 ∪ · · · ∪ Gn . Sean U1 , . . . , Un ∈ G(X) tales que para todo j , 1 ≤ j ≤ n,
() a ∈ Uj ,
() Gj ∩ Uj = ∅.
Entonces
() a ∈ U1 ∩ · · · ∩ Un .
() A ∩ (U1 ∩ · · · ∩ Un ) = ∅.
Lo cual está en contradicción con a ∈ cl(A).
¥
Resumen de resultados:
Resumimos a continuación los resultados más importantes que se presentan en el
curso.
Teorema 1.
(a) La clase de los ordinales, Ord, es una clase propia.
(b) La relación α < β es un buen orden sobre Ord.
Teorema 2. Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) Todo conjunto puede ser bien ordenado.
Teorema 3.
(a) |A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A|
(b) |A| < |P(A)|.
=⇒
|A| = |B|.
Teorema 4. ℵ0 < |R| = |Rn | = 2ℵ0 .
10
I.2. La idea intuitiva de conjunto
Teorema 5.
(a) ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max(ℵα , ℵβ ).
(b) ℵα < 2ℵα = ℵℵαα .
(c) (AC). ℵα+1 ≤ 2ℵα . ℵα < cf(2ℵα ).
Teorema 6. (AC). ℵα+1 es regular.
Teorema 7. (AC). Supongamos GCH(≡ ∀α (2ℵα = ℵα+1 )). Para todo λ ≥ ℵ0 ,
κ≥2
 +
 λ , si κ ≤ λ;
κλ = κ+ , si cf(κ) ≤ λ < κ;

κ, si λ < cf(κ).
I.2. La idea intuitiva de conjunto
En Matemáticas el procedimiento básico para describir los objetos de estudio es
caracterizarlos mediante una denición. Por ejemplo, sea R el conjunto de los
números reales
Denición: Sea f una aplicación de R en R. Diremos que f es continua si
∀x ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y [d(x, y) < δ =⇒ d(f (x), f (y)) < ε].
Por tanto, debemos proceder a denir lo que es un conjunto.
Denición: Un conjunto es cualquier colección de objetos que verican una
determinada propiedad.
La denición de función continua se basa en otros conceptos denidos con anterioridad: aplicación, números reales, 0, relación de orden, distancia.
La denición de conjunto se construye usando: colección, objetos, propiedad. Esta
denición es (en apariencia) circular pues colección y objetos son palabras
sinónimas de conjunto. Más aún, en I.2.A y I.2.B veremos que la denición de
conjunto dada anteriormente es incorrecta.
I.2.A. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos
(Primera incorrección: La paradoja de Berry). Sea P (n) la
propiedad:
P (n) ≡ n es un número natural denible con menos de mil símbolos.
Notas I.2.1
Consideremos el conjunto:
C = {n : P (n)}.
Sea m el menor número natural que no está en C . Se tiene que:
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
11
(a) Existe m. Basta observar que C es nito.
(b) m ∈/ C . Se sigue de la denición de m.
(c) m ∈ C . En efecto, m está denido por:
el menor número natural no denible con menos de mil símbolos.
Lo anterior es una denición de m que usa menos de mil símbolos.
De (b) y (c) se sigue una contradicción.
El lenguaje de la Teoría de Conjuntos. La contradicción obtenida en I.2.1
se debe a que la propiedad P (n) que considerabamos para denir al conjunto C
no tiene una formulación adecuada. Ahora precisaremos lo que entenderemos que
es una propiedad.
() El lenguaje de la Teoría de Conjuntos consta de un único símbolo de predicado
binario, ∈ (pertenencia).
Además, tiene los símbolos habituales:
() variables: x, y, . . . ;
() = (igualdad);
() conectivas proposicionales: ∨ (disyunción), ∧ (conjunción), → (implicación), ↔ (equivalencia), ¬ (negación); y
() cuanticadores: ∃ (existencial) y ∀ (universal).
Las fórmulas del lenguaje de la Teoría son:
() x = y (x es igual a y ).
() x ∈ y (x pertenece a y ).
() Si Φ y Ψ son fórmulas, entonces las siguientes expresiones son fórmulas:
() Φ ∨ Ψ , Φ ∧ Ψ , Φ → Ψ , Φ ↔ Ψ , ¬Φ.
() Si Φ(x) es una fórmula, entonces son fórmulas:
() ∃x Φ(x) (existe x tal que Φ(x)).
() ∀x Φ(x) (para todo x se tiene Φ(x)).
Usaremos
()
()
()
()
()
∀x ∈ y Φ(x) para denotar a ∀x (x ∈ y → Φ(x)).
∃x ∈ y Φ(x) para denotar a ∃x (x ∈ y ∧ Φ(x)).
∃!x Φ(x) para denotar a ∃x Φ(x) ∧ ∀x ∀y (Φ(x) ∧ Φ(y) → x = y).
x 6= y para denotar a ¬(x = y).
x∈
/ y para denotar a ¬(x ∈ y).
Ahora podemos precisar qué es una propiedad:
() Una propiedad es una fórmula del lenguaje de la Teoría de Conjuntos.
No se trata de realizar un desarrollo formal de la Teoría de Conjuntos. Por tanto,
las propiedades sobre conjuntos se presentarán, analizarán y demostrarán de la
12
I.2. La idea intuitiva de conjunto
forma habitual en Matemáticas, con las notaciones especícas de la Teoría de
Conjuntos, ver I.2.3. Sin embargo, debemos tener presente que toda propiedad
sobre conjuntos que consideremos debe transcribirse sin ambigüedad al lenguaje
de la Teoría de Conjuntos. Por ejemplo, la propiedad P (x) (considerada en I.2.1)
x es un número natural denible con menos de mil símbolos
sólo la aceptaríamos si la transcribimos al lenguaje de la Teoría de Conjuntos.
Extensiones por denición. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos es muy
simple, sólo tiene el símbolo ∈ (pertenencia). Describir en este lenguaje propiedades
sobre conjuntos es, en general, muy laborioso. Por ello el lenguaje se extiende
añadiéndole nuevos símbolos que hacen más simple la descripción de propiedades.
Este proceso de extensión del lenguaje se realiza en ciertas condiciones, descritas
más abajo en (a) y (b), de forma que no es posible:
() describir nuevas propiedades en la extensión (es decir, toda fórmula de la
extensión es equivalente a una del lenguaje original);
() probar más propiedades sobre conjuntos (la extensión es conservativa).
Los métodos de extensión se dividen en los siguientes tipos:
(a) Predicados: Sean Φ(x1 , . . . , xn ) una fórmula y p un nuevo símbolo predicado
nario. Se tiene que:
Aserto. T + p + [p(x1 , . . . , xn ) ↔ Φ(x1 , . . . , xn )] es conservativa sobre T.
Ejemplos: Contención (x ⊆ y ); x es una aplicación; x es un ordinal (Ord(x));
x e y tienen el mismo cardinal (|x| = |y|).
(b) Funciones: Sean Φ(x1 , . . . , xn , y) una fórmula y f un nuevo símbolo de función
naria (si n = 0, se considera un nuevo símbolo de constante). Se tiene que:
Aserto. Si T ` ∀x ∃!y Φ(x, y), entonces la teoría T + f + [f (x) = y ↔ Φ(x, y)]
es conservativa sobre T.
Ejemplos: El conjunto vacío (∅); la unión de x e y (x ∪ y ); las partes de x
(P(x)); el conjunto de los números naturales (ω ); el conjunto de los números
reales (R); el cardinal de un conjunto (card(x)); la función aleph (ℵα ).
I.2.B. Clases y conjuntos
Sea Φ(x) una fórmula. La colección de los conjuntos que satisfacen Φ(x) diremos
que es una clase, que notaremos por:
{x : Φ(x)}.
Usaremos
() las letras a, b, c, . . . , A, B, C, . . . para designar conjuntos.
() las letras A, B, C, . . . (en negrita) para designar clases.
Sea A la clase {x : Φ(x)}. Probar que
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
13
() A es una clase propia, es decir que no es un conjunto, consiste en establecer
que:
¬∃y ∀x [x ∈ y ↔ Φ(x)].
() A es un conjunto consiste en establecer que:
∃y ∀x [x ∈ y ↔ Φ(x)].
Teorema I.2.2
(Segunda incorrección: La paradoja de Russell). La clase
{x : x ∈
/ x}
es una clase propia.
Demostración:
Supongamos que R = {x : x ∈
/ x} es un conjunto. Entonces
R ∈ R ⇐⇒ R ∈
/ R.
Lo cual es una contradicción.
¥
(Operaciones y relaciones entre clases). En lugar de usar directamente fórmulas del lenguaje de la Teoría de Conjuntos, para referirnos a
propiedades sobre conjuntos, usaremos el concepto de clase.
Nota I.2.3
Sean A = {x : Φ(x)} y B = {x : Ψ (x)} clases. En primer lugar prestaremos
atención a las relaciones básicas entre conjuntos: pertenencia, ∈, e igualdad, =.
() Escribiremos x ∈ A y x ∈
/ A en lugar de Φ(x) y ¬Φ(x), respectivamente.
Nota: Observemos que si escribimos a ∈ A, entonces a es un conjunto. Si B
es una clase propia, no tiene ningún sentido escribir B ∈ A.
() A = B representará: ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B); es decir,
∀x [Φ(x) ↔ Ψ (x)].
() A 6= B representará: ¬(A = B).
Ahora describiremos sobre clases las relaciones y operaciones básicas sobre conjuntos.
() A ⊆ B representará: ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B).
() A ⊂ B representará: A 6= B ∧ A ⊆ B.
() Ac = {x : x ∈
/ A}.
() A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
() A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
() A − B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}.
S
() A = {x : ∃y ∈ A (x ∈ y)}.
T
() A = {x : ∀y ∈ A (x ∈ y)}.
() P(A) = {x : x ⊆ A}.
() La clase vacía, ∅, es la clase denida por:
∅ = {x : x 6= x}.
14
I.3. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
() Par no ordenado de x e y , {x, y}, es la clase denida por:
{x, y} = {z : z = x ∨ z = y}.
() La clase universal, V, es la clase denida por:
V = {x : x = x}.
I.3. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
Si los conjuntos son los objetos básicos de las Matemáticas, entonces no disponemos, como en el caso de las funciones continuas, de objetos más simples a partir
de los cuáles podamos denir lo que es un conjunto. La solución consiste en caracterizar los conjuntos como los elementos de un sistema de objetos con una
relación binaria entre ellos (relación de pertenencia) que satisfacen determinadas
propiedades (fórmulas del lenguaje de la Teoría de Conjuntos) que denominaremos
axiomas. Los conjuntos que existen son aquellos cuya existencia se puede probar
usando estos axiomas. Los conjuntos satisfacen las propiedades que podamos deducir a través de los axiomas.
La Teoría de Conjuntos apareció en la primeras décadas del siglo XX. Con anterioridad, durante más de dos milenios, se desarrollaron conceptos, métodos y resultados matemáticos muy importantes. Los axiomas de la Teoría de Conjuntos sirven
para fundamentar y unicar toda esta metodología; en particular, el desarrollo
que se había llevado a cabo en la segunda mitad del siglo XIX. Por tanto, la conguración del sistema axiomático es un acto convencional que está guiado por la
necesidad de claricar ciertos conceptos y justicar métodos y resultados sobre
éstos.
La primera axiomática de conjuntos apareció en 1908. E. Zermelo introdujo estos
axiomas para justicar la prueba del Teorema del Buen Orden que había presentado en 1904. Los axiomas que presentamos son esencialmente los que consideró
Zermelo con ligeras modicaciones. El Axioma de Reemplazamiento fue introducido por Fraenkel (1922), el Axioma de Regularidad por Hausdor (e independientemente por otros) (1920). T. Skolem (1925) propuso que el concepto de propiedad
se sustituyese por el de fórmula del lenguaje de primer orden de la Teoría de
Conjuntos.
Axiomas: Los axiomas de la Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel garantizan
que los conjuntos satisfacen determinadas propiedades. Dividimos los axiomas en
cuatro grupos.
Grupo I: Existencia de determinados conjuntos:
() Axioma del Vacío, Ax0;
() Axioma del Innito, Ax8.
Grupo II: Propiedades básicas de la relación de pertenencia:
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
15
() El carácter fundamental: Axioma de Extensionalidad, Ax1.
Lo importante es la extensión de un conjunto no la intención (propiedades
con las se puede denir dicho conjunto).
() Descripción estructural: Axioma de Regularidad, Ax9.
Es posible, sin usar este axioma, describir los objetos básicos de las
Matemáticas de tal forma que todos ellos lo satisfacen.
Este axioma arma que la relación de pertenencia es bien fundamentada. Esto permite realizar pruebas por inducción sobre la relación de pertenencia. Sin embargo, en Matemáticas la naturaleza conjuntista de los
elementos de un conjunto es, en general, irrelevante; por tanto, es poco habitual usar inducción y recursión sobre la relación de pertenencia entre los
elementos de un conjunto para establecer propiedades de dicho conjunto.
Grupo III: Procesos para obtener conjuntos.
½
Axioma de Separación, Ax2;
() Usando propiedades:
Axioma de Reemplazamiento, Ax7.

Axioma del Par, Ax3;



Axioma de la Unión, Ax4;
() Mediante operaciones:
Axioma de las Partes, Ax5;



Axioma del Producto Cartesiano, Ax6.
Grupo IV: Axioma de Elección, AC, Ax10.
Todo conjunto puede ser bien ordenado.
Este axioma es puramente existencial: arma que existe un buen orden. Sin
embargo, para conjuntos muy importantes (por ejemplo, los números reales)
no existe una descripción explícita de un buen orden del conjunto. Por ello su
uso ha generado muchas controversias.
Los axiomas de la Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel son los siguientes.
Ax0. Axioma del Conjunto Vacío. Existe un conjunto que no tiene elementos.
∃y ∀x (x ∈
/ y).
Ax1. Axioma de Extensionalidad. Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales.
A ⊆ B ∧ B ⊆ A =⇒ A = B .
Ax2. Axioma de Separación (esquema). Sea C una clase. Para todo conjunto
A la clase
{x : x ∈ A ∧ x ∈ C} = {x ∈ A : x ∈ C} = C ∩ A
es un conjunto.
Ax3. Axioma del Par. Para cualesquiera conjuntos x, y , la clase
{x, y} = {z : z = x ∨ z = y}
16
I.3. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
es un conjunto.
Ax4. Axioma de la Unión. Para todo conjunto A, la clase
S
A = {y : ∃x ∈ A (y ∈ x)}
es un conjunto.
Ax5. Axioma de las Partes. Para todo conjunto A, la clase
P(A) = {x : x ⊆ A}
es un conjunto.
Ax6. Axioma del Producto Cartesiano. Para cualesquiera conjuntos A y B ,
la clase
A × B = {hx, yi : x ∈ A ∧ y ∈ B}
es un conjunto.
Ax7. Axioma de Reemplazamiento (esquema). Si F es una función, entonces
para todo conjunto A la clase
F[A] = {y : ∃x (x ∈ A ∧ F(x) = y)} = {F(x) : x ∈ A}
es un conjunto
Ax8. Axioma del Innito.
∃x (∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x (y ∪ {y} ∈ x)).
Ax9. Axioma de Regularidad.
x 6= ∅ =⇒ ∃y ∈ x (x ∩ y = ∅).
Ax10. Axioma de Elección, (AC). Para todo conjunto A existe f tal que
f es una aplicación ∧ dom(f ) = A ∧ ∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f (y) ∈ y).
Diremos que f es una función de elección sobre A.
En los capítulos que siguen usaremos las siguientes teorías.
Z
Z−
Z−
∗
ZF
ZFC
PA
Ext. Sep. Par Un. Partes Cart. Rp
sí
sí
si sí
sí
no
sí
sí
sí sí
no
sí no
sí
sí
sí sí
no
sí no
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
sí
Si T es una teoría, notaremos por
() T∗ = T − Ax. Regularidad.
() T− = T − Ax. Partes.
() TF = T + Ax. Reemplazamiento.
Inf. Reg. Elec.
sí
sí
no
sí
sí
no
sí
no no
sí sí
sí
no
sí sí
sí ¬Inf
sí
sí
sí
sí
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
17
() TC = T + AC.
En las siguientes secciones de este capítulo describiremos las notaciones que vamos
a usar a lo largo del curso (algunas de ellas se han empleado para formular los
axiomas) y estableceremos algunas propiedades elementales sobre conjuntos.
No se trata de desarrollar de forma axiomática la Teoría de Conjuntos. No estamos
interesados en especicar los axiomas usados en cada demostración. Sin embargo,
() en cada capítulo al inicio de una sección o subsección indicaremos los axiomas
que usaremos en las pruebas de los resultados que allí aparecen;
() el capítulo V está dedicado al estudio del Axioma de Elección.
En los capítulos que siguen los resultados que se obtengan estarán probados en
ZFC. Sin embargo, debido a la posición particular que ocupa el Axioma de Elección, escribiremos las siglas AC (Axiom of Choice) delante de todos los resultados
cuya prueba (o al menos la prueba que presentamos) dependa de este axioma. Por
ejemplo,
Lema.
(AC). Si A es un conjunto innito, existe f : A −→ A2 biyectiva.
I.4. Extensionalidad, Vacío y Separación
Proposición I.4.1.
Definición I.4.2
Lema I.4.3.
Ax2
Ax0 ∧ Ax1
=⇒
∃!y ∀x (x ∈
/ y).
(El Conjunto Vacío). A = ∅
=⇒
⇐⇒
∀x (x ∈
/ A).
Ax0.
Demostración: Sea A un conjunto. Por Ax2, la clase B = {x : x ∈ A ∧ x 6= x}
es un conjunto. Además, ∀x (x ∈
/ B).
¥
(Ax2). Sea A una clase. Si existe un conjunto B tal que A ⊆ B ,
entonces A es un conjunto.
Lema I.4.4
Sea B un conjunto tal que A ⊆ B . Entonces (por el axioma de
separación) C = {x : x ∈ B ∧ x ∈ A} es un conjunto. Es evidente que
∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ C),
Demostración:
Por tanto, A es un conjunto.
Teorema I.4.5.
Ax2
=⇒
¥
V es una clase propia.
En caso contrario, por Ax2, la clase {x : x ∈ V ∧ x ∈
/ x} es un
conjunto. Es decir, {x : x ∈
/ x} es un conjunto. Lo cual está en contradicción con
el teorema I.2.2, paradoja de Russell.
¥
Demostración:
18
I.6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano
I.5. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes
Definición I.5.1.
(a) {x, y} = {u : u = x ∨ u = y}.
(b) {x} = {x, x}.
Definición I.5.2.
S
(a) A = {z : ∃u (u ∈ A ∧ z ∈ u)}.
S
(b) A ∪ B = {A, B} = {z : z ∈ A ∨ z ∈ B}.
T
(c) A = {z : ∀u (u ∈ A → z ∈ u)}.
T
(d) A ∩ B = {A, B} = {z : z ∈ A ∧ z ∈ B}.
(e) A − B = {z : z ∈ A ∧ z ∈/ B}.
(f) A 4 B = (A − B) ∪ (B − A).
[(Ax1, Ax2)]
T
(a) A 6= ∅ =⇒
A es un conjunto.
T
(b) ∅ = V. Sin embargo, si entendemos que ∅ ⊆ P(A) (es decir,
si consideramos
T
a ∅ como una familia de subconjuntos de A), denimos ∅ = A
(c) A ∩ B es un conjunto.
(d) A − B es un conjunto.
Lema I.5.3.
Definición I.5.4.
(a) A ⊆ B ⇐⇒ ∀z (z ∈ A =⇒ z ∈ B). [[A es un subconjunto de B]].
(b) A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ A 6= B . [[A es un subconjunto propio de B]].
(c) P(A) = {z : z ⊆ A}.
Definición I.5.5.
(a) Si A ∩ B = ∅, diremos que A y B son disjuntos.
(b) Diremos que A es una colección de conjuntos disjuntos dos a dos (o una co-
lección disjunta) si para cualesquiera B, C ∈ A tales que B 6= C , entonces
B ∩ C = ∅.
I.6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano
Definición I.6.1
Teorema I.6.2.
(Par ordenado). hx, yi = {{x}, {x, y}}.
hx, yi = hz, ui
=⇒
x = z ∧ y = u.
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
19
Veamos primero que x = z .
hx, yi = hz, ui =⇒ {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, u}}
=⇒ {x} ∈ {{z}, {z, u}}
=⇒ {x} = {z} ∨ {x} = {z, u}
=⇒ z ∈ {x}
=⇒ z = x.
Demostración:
Para concluir la prueba del teorema probaremos primero el siguiente resultado.
Aserto I.6.2.1. {x1 , x2 } = {x1 , x3 } =⇒ x2 = x3 .
Prueba del aserto: Primero observemos que
x3 ∈ {x1 , x3 } =⇒ x3 ∈ {x1 , x2 }
[[{x1 , x2 } = {x1 , x3 }]]
=⇒ x3 = x1 ∨ x3 = x2 .
Supongamos que x3 = x1 . Entonces
x2 ∈ {x1 , x2 } =⇒ x2 ∈ {x1 , x3 } [[{x1 , x2 } = {x1 , x3 }]]
=⇒ x2 ∈ {x3 }
[[x1 = x3 ]]
=⇒ x2 = x3 .
Lo que prueba el aserto.
2
Veamos ahora que y = u.
¾
x=z
=⇒ hx, yi = hx, ui
hx, yi = hz, ui
=⇒ {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, u}}
=⇒ {x, y} = {x, u}
[[I.6.2.1]]
=⇒ y = u
[[I.6.2.1]].
Lo que prueba el teorema.
Lema I.6.3.
¥
[(Ax2, Ax5)]
(a) ∀x ∀y, z ∈ x [{y, z} es un conjunto].
(b) ∀x ∀y, z ∈ x [hy, zi es un conjunto].
Definición I.6.4
(Producto Cartesiano).
Proposición I.6.5.
A × B = {hx, yi : x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Ax2 ∧ Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax5
=⇒
I.7. Relaciones y aplicaciones
Definición I.7.1.
(a) x es un par ordenado
⇐⇒
∃y ∃z (x = hy, zi).
Ax6.
20
I.7. Relaciones y aplicaciones
(
(b)
Π1 (x) = y
⇐⇒
Π2 (x) = y
⇐⇒
∀u [u ∈ y ↔ ∃v ∃w (x = hw, vi ∧ u ∈ v].
½
y, si ∃w (x = hy, wi);
Observemos que: Π1 (x) =
∅, en cualquier otro caso.
(c) R es una relación
½
(d)
∀u [u ∈ y ↔ ∃v ∃w (x = hv, wi ∧ u ∈ v].
⇐⇒
∀y (y ∈ R =⇒ y es un par ordenado).
dom(R) = {y : ∃z (hy, zi ∈ R)}
rang(R) = {z : ∃y (hy, zi ∈ R)}
(e) R|A = {hz, ui ∈ R : z ∈ A ∧ u ∈ A} = R ∩ (A × A).
(f) R es una relación sobre A ⇐⇒ R es una relación ∧ dom(R), rang(R) ⊆ A.
(g) R−1 = {hy, xi : hx, yi ∈ R}.
Proposición I.7.2.
(a) dom(R) y rang(R) son conjuntos.
(b) R|A es un conjunto.
Definición I.7.3.
(a) R es una relación de equivalencia sobre A si:
(a.1) R es una relación sobre A, y

 ∀y ∈ A (hy, yi ∈ R)
(a.2) ∀y, z ∈ A (hy, zi ∈ R =⇒ hz, yi ∈ R)

∀y, z, u ∈ A (hy, zi ∈ R ∧ hz, ui ∈ R =⇒ hy, ui ∈ R).
(b) < es una relación de orden parcial sobre A si:
(b.1) < es una relación sobre A, y
½
(b.2)
∀y ∈ A (y 6< y)
∀y, z, u ∈ A (y < z ∧ z < u =⇒ y < u)
(c) < es una relación de orden total sobre A si:
(c.1) < es una relación de orden parcial sobre A, y
(c.2) ∀y, z ∈ A (y < z ∨ z < y ∨ y = z).
(d) Sean < una relación de orden parcial sobre A, B ⊆ A (B 6= ∅), y z ∈ A.
Diremos que:
(d.1) z
(d.2) z
(d.3) z
(d.4) z
(d.5) z
(d.6) z
(d.7) z
es
es
es
es
es
es
es
un elemento maximal de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (z 6< u).
un elemento minimal de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (u 6< z).
el mayor elemento de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (u ≤ z).
el menor elemento de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (z ≤ u).
una cota superior de B si: ∀u ∈ B (u ≤ z).
una cota inferior de B si: ∀u ∈ B (z ≤ u).
el supremo de B , z = sup(B), si: z es la menor cota superior de B .
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
21
(d.8) z es el ínmo de B , z = inf(B), si: z es la mayor cota inferior de B .
Definición I.7.4.
(a) f es una aplicación
½
⇐⇒
f es una relación ∧
∀x ∀y ∀z (hx, yi ∈ f ∧ hx, zi ∈ f =⇒ y = z)
Si f es una aplicación y hx, yi ∈ f , escribiremos f (x) = y . Usaremos indistintamente los términos aplicación y función.
(b) f|A = {hy, zi ∈ f : y ∈ A}.
Observemos que f|A , considerando f como una aplicación, no coincide con f|A ,
considerando f como una relación.
(c) f : A −→ B ⇐⇒ f aplicación ∧ dom(f ) = A ∧ rang(f ) ⊆ B .
Leeremos f : A −→ B como f es una aplicación de A en B .
(d) Si f : A −→ B y g : B −→ C , g ◦ f = {hu, vi : ∃w (hu, wi ∈ f ∧ hw, vi ∈ g)}
(e) Sea f : A −→ B .
(e.1) f es suprayectiva ⇐⇒ rang(f ) = B .
(e.2) f es inyectiva ⇐⇒ ∀z, u ∈ A (f (z) = f (u) =⇒ z = u).
(e.3) f es biyectiva ⇐⇒ f es suprayectiva e inyectiva.
(f) A B = {f : f es una aplicación de A en B}.
½
(g)
f [C] = {y : ∃x (x ∈ C ∧ f (x) = y)},
f −1 [C] = {x : f (x) ∈ C}.
Proposición I.7.5.
(a) A B es un conjunto.
(b) Sean f : A −→ B , C ⊆ A y D ⊆ B . Entonces f|C , , f [C] y f −1 [D] son
conjuntos.
(c) f : A −→ B ∧ g : B −→ C
un conjunto.
Lema I.7.6.
=⇒
g ◦ f : A −→ C . En particular, g ◦ f es
Sea f : A −→ B una aplicación inyectiva. Entonces
(a) f −1 es una aplicación, y
(b) dom(f −1 ) = rang(f ) y rang(f −1 ) = A.
I.8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento
Definición I.8.1.
(a) Sea R una clase. Diremos que R es una relación (binaria) si
∀x ∈ R (x es un par ordenado).
22
I.8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento
(b) Sea F una relación. Diremos que F es una función si
∀x ∀y ∀z (hx, yi, hx, zi ∈ F =⇒ y = z).
Notaremos
(b.1) F(x) = y ⇐⇒ hx, yi ∈ F.
(b.2) dom(F) = {x : ∃y (hx, yi ∈ F)}.
(b.3) rang(F) = {y : ∃x (hx, yi ∈ F)}.
(c) F : A −→ V ⇐⇒ F función ∧ dom(F) = A.
Lema I.8.2.
Ax3 ∧ Ax7
=⇒
Ax2.
Sean C una clase y A un conjunto. Veamos que A ∩ C es un conjunto. Sea F : C −→ V la función: F(x) = x. Por el Axioma de Reemplazamiento
F[A] = {F(x) : x ∈ A}.
Demostración:
es un conjunto. Por tanto,
{x ∈ A : x ∈ C}
es un conjunto. Lo que prueba el resultado.
¥
Nota I.8.3. Denotaremos por Ax7' la siguiente formulación alternativa del esquema de Reemplazamiento: Para cada fórmula Φ(x, y), si
∀u ∀v ∀w (Φ(u, v) ∧ Φ(u, w) → v = w)
entonces, para cada conjunto A, la clase
{v : ∃u ∈ A Φ(u, v)}
es un conjunto.
Lema I.8.4.
Ax5 ∧ Ax7'
=⇒
Ax3.
Por el Axioma de las Partes, Ax5, existe P(∅). Usando otra vez
el Axioma de las Partes, P(P(∅)) es un conjunto. Además, P(P(∅)) = {∅, {∅}}.
Sean a y b conjuntos. Consideremos la fórmula Φ(x, y) dada por
(x = ∅ ∧ y = a) ∨ (x 6= ∅ ∧ y = b).
Demostración:
Sea A = P(P(∅)) = {∅, {∅}}, entonces, por Ax7', la clase
{y : ∃x ∈ A Φ(x, y)} = {a, b}
es un conjunto. Lo que prueba el resultado.
Proposición I.8.5.
Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax7
¥
=⇒
Ax6.
Definición I.8.6. Sea I un conjunto. Una familia de conjuntos sobre I , notada
{Aj : j ∈ I}, es una aplicación H tal que
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
23
(a) dom(H) = I , y
(b) para todo j ∈ I , H(j) = Aj .
Puesto que {Aj : j ∈ I} = H[I], por el Axioma de Reemplazamiento, una familia
de conjuntos sobre I es un conjunto.
Proposición I.8.7.
Sean C una clase y A un conjunto.
(a) Si existe F : A −→ C suprayectiva, entonces C es un conjunto.
(b) Si existe F : C −→ A inyectiva, entonces C es un conjunto.
Demostración: ((a)): Sea F : A −→ C suprayectiva. Entonces C = F[A]. Entonces, por el Axioma de Reemplazamiento, C es un conjunto.
((b)): Sea D = F[C]. Puesto que D ⊆ A, D es un conjunto. Puesto que F es
inyectiva, F−1 es una función. Además, F−1 [D] = C. Puesto que D es un conjunto,
por el Axioma de Reemplazamiento, C es un conjunto.
¥
I.9. Ejercicios
Ejercicio I.9.1
(I.4.1). Ax0 ∧ Ax1 =⇒ ∃!y ∀x (x ∈/ y).
Ejercicio I.9.2
(I.5.3). [(Ax1), (Ax2)]
(a) A 6= ∅ → ∃!y ∀z (z ∈ y ↔ ∀u (u ∈ A → z ∈ u)).
(b) ∀x ∀y ∃!u ∀z (z ∈ u ↔ z ∈ x ∧ z ∈/ y).
Ejercicio I.9.3
(I.5.3).
T
(a) Si A 6= ∅, entonces A es un conjunto.
T
(b) ∅ = V. Sin embargo, si entendemos que ∅ ⊆ P(A) (es decir,
si consideramos
T
a ∅ como una familia de subconjuntos de A), denimos
Ejercicio I.9.4
∅=A
(I.6.3). [(Ax2, Ax4)]
(a) ∀x ∀y, z ∈ x [{y, z} es un conjunto].
(b) ∀x ∀y, z ∈ x [hy, zi es un conjunto].
Ejercicio I.9.5
(I.6.5). Ax2 ∧ Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax5
Ejercicio I.9.6
(I.7.2).
(a) dom(R) y rang(R) son conjuntos.
(b) R|A es un conjunto.
=⇒
Ax6.
24
I.9. Ejercicios
Ejercicio I.9.7
(I.7.5).
(a) B es un conjunto.
(b) Sean f : A −→ B , C ⊆ A y D ⊆ B . Entonces f|C , , f [C] y f −1 [D] son
A
conjuntos.
(c) f : A −→ B ∧ g : B −→ C =⇒ g ◦ f : A −→ C es un conjunto.
Ejercicio I.9.8
(I.7.6). Si f : A −→ B es una aplicación inyectiva, entonces
(a) f es una aplicación, y
(b) dom(f −1 ) = rang(f ) y rang(f −1 ) = A.
−1
Ejercicio I.9.9
(I.8.5). Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax7
Ejercicio I.9.10.
(a) Encontrar dos conjuntos A y B tales que A 6= B y
S
(b) Para todo B ∈ A, B ⊆ A.
S
S
(c) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B .
S
(d) ∀C ∈ A (C ⊆ B) =⇒ A ⊆ B .
Ejercicio I.9.11.
Ax6.
=⇒
S
A=
S
B.
Denimos la diferencia simétrica de dos conjuntos como sigue
A 4 B = (A − B) ∪ (B − A).
Probar que:
(a) A 4 B es un conjunto.
(b) A 4 B = B 4 A.
(c) A 4 (B 4 C) = (A 4 B) 4 C .
(d) A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C).
(e) A 4 B = C ⇐⇒ A 4 C = B .
(f) A 4 ∅ = A.
(g) A 4 A = ∅.
(h) A 4 B = C 4 B ⇐⇒ A = C .
(i) A 4 B = ∅ ⇐⇒ A = B .
(j) A 4 B = (A ∪ B) − (A ∩ B).
(k) (A ∪ C) 4 (B ∪ C) = (A 4 B) − C .
(l) A ∪ C = B ∪ C ⇐⇒ A 4 B ⊆ C .
(m) ∀A, B ∃!C (A 4 C = B).
(n) A, B disjuntos ⇐⇒ A ∪ B = A 4 B .
(ñ) A ∪ B = A 4 B 4 (A ∩ B).
Ejercicio I.9.12.
Sean A y B conjuntos y F una función. Probar que:
Capítulo I. La Teoría de Conjuntos de ZermeloFraenkel
S
25
S
(a) F −1 [ A] = {F −1 [C] : C ∈ A}.
T
T
(b) A 6= ∅ =⇒ F −1 [ A] = {F −1 [C] : C ∈ A}.
(c) F −1 [A − B] = F −1 [A] − F −1 [B].
Ejercicio I.9.13.
conjuntos:
Sean A y B conjuntos. Probar que las siguientes clases son
(a) {R : R relación sobre A}.
(b) {{{x}} : x ∈ A ∪ B}.
(c) {A ∪ C : C ∈ B}.
(d) {P(C) : C ∈ A}.
(e) {C ∪ D : C ∈ A, D ∈ B}.
En cada caso especicar los axiomas que se usan.
Ejercicio I.9.14.
Sea A un conjunto. Probar que:
(a) {x : x ∈/ A} es una clase propia.
(b) Si ∅ ∈/ A, {f : f función de elección sobre A} es un conjunto. ¾Qué sucede si
∅ ∈ A?
(c) ¾Es {f : f aplicación ∧ dom(f ) = A} una clase propia?
(d) No existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertenecen a algún elemento de A.
(e) No existe ningún conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertenecen a algún elemento de un elemento de A.
Ejercicio I.9.15.
Sea f : A −→ B .
(a) Sea g la aplicación de dominio P(A) denida por: g(C) = f [C]. Probar que
f inyectiva
=⇒
g : P(A) −→ P(B) inyectiva
(b) Sea g : B −→ P(A) denida por: g(c) = {x ∈ A : f (x) = c}. Probar que
f suprayectiva
=⇒
g inyectiva
¾Es cierto el recíproco?
Ejercicio I.9.16.
(a) Demostrar que la siguiente denición sirve para denir el concepto de par
ordenado; es decir, hx, yi = hx0 , y 0 i ↔ x = x0 ∧ y = y 0 .
hx, yi = {{{x}, ∅}, {{y}}}
(b) Determinar cuáles de las siguientes propuestas pueden servir como denición
de par ordenado.
(b.1) hx, yi = {{x, ∅}, y}.
(b.2) hx, yi = {{x, ∅}, {y, ∅}}.
26
I.9. Ejercicios
(b.3) hx, yi = {{x, ∅}, {y}}.
Ejercicio I.9.17.
Usando el axioma de regularidad, Ax9, probar que:
∀x (x ∈
/ x).
Capítulo II
Buenos órdenes. Ordinales
II.1. Clases bien ordenadas [[Z−
∗ ]]
II.1.A.
Introducción
Sean A una clase y < una relación sobre A; es decir, < ⊆
A × A. Sean x, y ∈ A. Notaremos
Definición II.1.1.
() x < y si hx, yi ∈ <.
() x ≤ y si x < y ∨ x = y .
() x 6< y si hx, yi ∈
/ <.
Diremos que < es un buen orden sobre A si
(a) < es un orden total sobre A; es decir,
(a.1) < es irreexiva: ∀x ∈ A (x 6< x).
(a.2) < es transitiva: ∀x, y, z ∈ A (x < y ∧ y < z =⇒ x < z).
(a.3) ∀x, y ∈ A (x ≤ y ∨ y ≤ x).
(b) < es adecuada a izquierda: ∀x ∈ A ({y ∈ A : y < x} es un conjunto).
(c) ∀B [B ⊆ A ∧ B 6= ∅ =⇒ ∃x (x ∈ B ∧ ∀y ∈ B (y 6< x))].
Nota II.1.2.
Sea < un buen orden sobre A. Sea B ⊆ A tal que B 6= ∅. Por
II.1.1-(c) existe x ∈ A tal que
() x ∈ B .
() ∀y ∈ B (x ≤ y), [[el orden es total]].
Diremos que x es un elemento <minimal. Además, el elemento x es único. Notaremos
x = infA,< (B), o bien x = (µy)A,< (y ∈ B).
Si la clase A y la relación de orden < están determinadas por el contexto, escribiremos x = inf(B) ó x = (µy)(y ∈ B).
28
II.1. Clases bien ordenadas [[Z−
∗ ]]
Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A. Diremos que B es un
segmento inicial de A si:
Notas II.1.3.
∀x, y ∈ A [x ∈ B ∧ y < x =⇒ y ∈ B].
Se tiene que
½
Aserto II.1.3.1. B y C segmentos iniciales =⇒
B segmento inicial de C ∨
C segmento inicial de B
Para todo x ∈ A sea
Ax = {y ∈ A : y < x}.
Por II.1.1-(b), Ax es un conjunto. Además, Ax es un segmento inicial de A.
Puesto que el orden es total, se tiene que:
Aserto II.1.3.2. x 6= y
II.1.B.
=⇒
Ax 6= Ay .
2
Los teoremas de minimización, inducción y recursión
Teorema II.1.4
Entonces
(Minimización). Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A.
B 6= ∅
=⇒
∃x [x ∈ B ∧ ∀y ∈ B (x ≤ y)].
Notaremos x = inf(B) = (µz)(z ∈ B).
Demostración:
Sea a ∈ A tal que a ∈ B. Entonces, por II.1.1-(b),
() C = {z ∈ A : z ≤ a} es un conjunto.
Por tanto, (axioma de separación)
() D = {z ∈ C : z ∈ B} es un conjunto.
Puesto que a ∈ D, D 6= ∅. Por tanto, de II.1.1-(c) se sigue que existe b ∈ A tal
que b = inf(D). Se tiene que:
() b ∈ B. [[b ∈ D ⊆ B]].
() ∀y ∈ B (b ≤ y). [[∀y ∈ D (b ≤ y), {y < b : y ∈ D} = {y < b : y ∈ B}]].
Lo que prueba el teorema.
Corolario II.1.5.
¥
Sea B un segmento inicial de A. Entonces
B = A ∨ ∃x (B = Ax ).
Demostración: Supongamos que B 6= A. Entonces existe x = inf(A − B). Es
evidente que B = Ax .
¥
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
Teorema II.1.6
29
(Inducción). Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A. Entonces
∀x ∈ A [∀y < x (y ∈ B) =⇒ x ∈ B]
=⇒
A = B.
La parte ∀y < x (y ∈ B) se denomina hipótesis de inducción.
Demostración:
Supongamos lo contrario; es decir,
(1) ∀x ∈ A [∀y < x (y ∈ B) =⇒ x ∈ B].
(2) ∃x ∈ A (x ∈
/ B).
(2) =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
A − B 6= ∅
∃a ∈ A (a = inf(A − B)) [[II.1.4]]
∀y < a (y ∈ B)
a∈B
[[(1)]].
Lo cual está en contradicción con a ∈ A − B.
Teorema II.1.7
¥
(Denición por recursión, ZF−
∗ ). Sean < un buen orden so-
bre A y G : V −→ V. Entonces existe una única función F : A −→ V tal
que:
∀x ∈ A [F(x) = G(F|Ax )].
Existencia: Sea C la clase denida por:
½
f aplicación ∧ dom(f ) segmento inicial de A ∧
⇐⇒
∀y ∈ dom(f ) [f (y) = G(f|Ay )].
Demostración:
f ∈C
S
Sea F = C. Las siguientes propiedades son consecuencia inmediata de la denición de F:
S
S
(1) dom(F) = f ∈C dom(f ) = {dom(f ) : f ∈ C}.
(2) dom(F) es un segmento inicial de A.
(3) f, g ∈ C =⇒ dom(f ) ⊆ dom(g) ∨ dom(g) ⊆ dom(f ).
Se tiene que:
Aserto II.1.7.1.
(i) f, g ∈ C ∧ dom(f ) ⊆ dom(g) =⇒ f = g|dom(f ) .
(ii) F es una función.
(iii) f ∈ C ∧ x ∈ dom(f ) =⇒ F|Ax = f|Ax .
(iv) dom(F) = A.
Prueba del aserto: ((i)): Observemos que
f = g|dom(f )
⇐⇒
∀x ∈ dom(f ) (f (x) = g(x)).
Probaremos, por inducción, la parte derecha de la equivalencia anterior. Sea
a ∈ dom(f ) tal que ∀x < a [f (x) = g(x)]. Entonces
(∗)
f|Aa = g|Aa .
30
II.1. Clases bien ordenadas [[Z−
∗ ]]
Por tanto,
f (a) = G(f|Aa )
= G(g|Aa )
= g(a)
[[f ∈ C y denición de C]]
[[(∗)]]
[[g ∈ C y denición de C]].
De lo anterior por II.1.6, ∀x ∈ dom(f ) (f (x) = g(x)).
((ii), (iii)): Se siguen de (i).
((iv)): Supongamos lo contrario. Entonces A − dom(F) 6= ∅. Por tanto, existe
a = inf(A − dom(F)). Luego, dom(F) = Aa . En consecuencia, dom(F) es un
conjunto. Por tanto, F es un conjunto.
Sea y ∈ dom(F). Entonces existe f ∈ C tal que y ∈ dom(f ). Se tiene que:
F(y) = f (y)
= G(f|Ay ) [[f ∈ C]]
= G(F|Ay ) [[f|Ay = F|Ay , (iii)]].
De lo anterior
se sigue que F ∈ C. Por tanto, F ∪ {ha, G(F)i} ∈ C. Luego,
S
a ∈ dom( C) = dom(F). Contradicción.
2
Como en la prueba de la parte (iv) del aserto anterior se obtiene que para todo
x ∈ A,
F(x) = G(F|Ax ).
Lo que prueba la existencia.
Unicidad: Sea F0 : A −→ V tal que para todo x ∈ A,
F0 (x) = G(F0|Ax ).
Veamos que F = F0 . Sea a ∈ A tal que (hipótesis de inducción)
∀x < a (F0 (x) = F(x)).
Entonces
F(a) = G(F|Aa )
= G(F0|Aa ) [[Hip. Ind. F|Aa = F0|Aa ]]
= F0 (a).
Lo que prueba la unicidad.
II.1.C.
¥
Isomorsmos entre clases bien ordenadas
Sean < una relación de buen orden sobre A y <0 una relación
de buen orden sobre B.
Definición II.1.8.
(a) Diremos que una función F : A −→ B es:
(a.1) creciente: si ∀x, y ∈ A (x < y ⇐⇒ F(x) <0 F(y)).
(a.2) un isomorsmo (F : A ∼
= B): si F es biyectiva y creciente.
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
31
(b) Diremos que A y B son isomorfas, A ∼
= B, si existe un isomorsmo de A en
B.
En los resultados que siguen < es una relación de buen orden sobre A y <0 es una
relación de buen orden sobre B.
Proposición II.1.9.
F : A −→ A creciente
=⇒
∀x ∈ A [x ≤ F(x)].
Demostración: Sea C = {y ∈ A : y ≤ F(y)}. Veamos que A = C. Supongamos
lo contrario; es decir, A − C 6= ∅. Entonces por II.1.4 existe a = inf(A − C). Por
tanto,
a∈
/ C =⇒ a 6≤ F(a)
=⇒ F(a) < a
=⇒ F(F(a)) < F(a) [[F creciente]]
=⇒ F(a) ∈ A − C.
Puesto que F(a) < a, lo anterior está en contradicción con a = inf(A − C).
¥
Corolario II.1.10.
(a) F : A ∼
= A =⇒ F = idA .
(b) F, G : A ∼
= B =⇒ F = G.
Demostración:
((a)): Supongamos lo contrario; es decir,
() ∃x ∈ A [x 6= F(x)].
Entonces, por II.1.4, existe
() a = (µx)(x 6= F(x)).
En consecuencia, a 6= F(a); luego, por II.1.9, a < F(a). Además, se tiene que:
Aserto II.1.10.1. ∀b ∈ A (F(b) 6= a).
Prueba del aserto: Sea b ∈ A. Entonces: b < a ∨ a ≤ b. Además,
b < a =⇒ F(b) = b
a ≤ b =⇒ F(a) ≤ F(b)
=⇒ F(b) =
6 a [[b < a]]
=⇒ F(b) =
6 a
[[a < F(a)]].
Lo que prueba el aserto.
2
El aserto anterior está en contradicción con que F es suprayectiva.
((b)): Sean F, G : A ∼
= B. Entonces G−1 ◦ F : A ∼
= A. Por (a), G−1 ◦ F = idA .
Por tanto, F = G.
¥
Corolario II.1.11.
(a) A no es isomorfa a una subclase suya estrictamente acotada. Es decir,
C ⊆ A ∧ ∃x ∈ A ∀y ∈ C [y < x]
=⇒
A∼
6 C.
=
32
II.1. Clases bien ordenadas [[Z−
∗ ]]
(b) A no es isomorfa a una sección inicial suya.
(c) Ax ∼
= Ay =⇒ x = y .
Es evidente que (b) se sigue de (a) y que (c) se sigue de (b).
Por tanto, es suciente probar (a). Sean C ⊆ A y a ∈ A tales que ∀y ∈ C (y < a).
Supongamos que existe F : A ∼
= C. Entonces
Demostración:
() F : A −→ A es creciente, y
() F(a) ∈ C.
Por tanto, F(a) < a. Lo cual está en contradicción con II.1.9.
Lema II.1.12.
F:A∼
=B
=⇒
¥
∀x ∈ A [F|Ax : Ax ∼
= BF(x) ].
Sea a ∈ A. Puesto que F es creciente, lo único que es necesario
probar es que F|Aa : Aa −→ BF(a) es suprayectiva. Sea b ∈ B tal que b <0 F(a).
Puesto que F es biyectiva, existe c ∈ A tal que F(c) = b. Entonces F(c) <0 F(a).
Por tanto, c < a; es decir, c ∈ Aa . Luego, b = F(c) = F|Aa (c).
¥
Demostración:
Teorema II.1.13.
Se verica una y sólo una de las condiciones siguientes:
(a) A ∼
= B.
(b) ∃y ∈ B (A ∼
= By ).
(c) ∃x ∈ A (Ax ∼
= B).
Demostración:
nes. Sea
De II.1.11 se sigue que sólo puede darse una de estas condicio-
F = {hx, yi ∈ A × B : Ax ∼
= By }.
De II.1.11-(c) y II.1.12 se sigue que
() F : dom(F) ∼
= rang(F),
() dom(F) es un segmento inicial de A y
() rang(F) es un segmento inicial de B.
Se tiene que:
Aserto II.1.13.1. dom(F) = A ∨ rang(F) = B.
Prueba del aserto: Supongamos que dom(F) 6= A y rang(F) 6= B. Sean
() a = inf(A − dom(F)) y b = inf(B − rang(F)).
Entonces F : Aa ∼
= Bb . Por tanto, ha, bi ∈ F. Lo cual está en contradicción
con la denición de a y b.
2
De lo anterior se sigue el resultado.
¥
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
33
II.2. Números ordinales [[Z−
∗ ]]
II.2.A.
La clase de los números ordinales
Definición II.2.1.
si
Diremos que una clase A es transitiva, y notaremos Trans(A),
∀y ∈ A (y ⊆ A).
Lema II.2.2.
(a) Trans(A) =⇒ Trans(A ∪ {A}). [[A conjunto]].
T
S
(b) ∀y ∈ A (Trans(y)) =⇒ Trans( A) ∧ Trans( A).
Definición II.2.3
Ord(x)
(Ordinales).
⇐⇒
Trans(x) ∧ (∈ relación de buen orden sobre x).
Usaremos α, β, δ, γ, . . . como variables sobre ordinales. Representaremos a la clase
de los ordinales por:
Ord = {x : Ord(x)}.
Ejemplos II.2.4.
(a) Conjuntos transitivos:
(a.1) 0 = ∅, {0}, {0, {0}}. Son también ordinales.
(a.2) {0, {0}, {{0}}}. No es ordinal.
(b) {{0}} no es transitivo.
Lema II.2.5.
(a) 0 ∈ Ord.
(b) α ∈/ α.
(c) a ∈ α =⇒ a ∈ Ord. Por tanto, Ord es una clase transitiva.
(d) α ∪ {α} ∈ Ord.
Demostración:
((a)): Trivial.
((b)): Puesto que ∈ es una relación de orden en α, no es reexiva. Por tanto,
α∈
/ α.
((c)): Puesto que α es transitivo si a ∈ α, a ⊆ α. Puesto que ∈ es un buen orden
en α, ha, ∈i es un buen orden. Por tanto, es suciente probar el siguiente aserto.
Aserto II.2.5.1. a es transitivo.
Prueba del aserto: Sea b ∈ a. Veamos que b ⊆ a. Sea c ∈ b. Puesto que
α es transitivo, a, b, c ∈ α. Puesto que ∈ es una relación de orden en α (en
particular es una relación transitiva),
c ∈ b ∧ b ∈ a =⇒ c ∈ a.
Lo que prueba que b ⊆ a.
2
34
II.2. Números ordinales [[Z−
∗ ]]
Del aserto se sigue (c).
((d)): Por II.2.2-(a), α ∪ {α} es transitivo. Además, por (b), ∈ es un orden total
sobre α ∪ {α}. Veamos que es un buen orden. Sea B ⊆ α ∪ {α} no vacio. Sea
B 0 = B ∩ α. Consideremos los siguientes casos
Caso 1: B 0 6= ∅. Entonces b = inf(B 0 ) = inf(B).
Caso 2: B 0 = ∅. Entonces B = {α}. Por tanto, B tiene elemento mininal.
De lo anterior se sigue que ∈ bien ordena a α ∪ {α}.
¥
Definición II.2.6.
(a) α + 1 = α ∪ {α}.
(b) 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, . . . , n + 1 = {0, 1, . . . , n}, . . .
Lema II.2.7.
α+1=β+1
⇐⇒
α = β.
Supongamos que α 6= β . Entonces
α + 1 = β + 1 =⇒ α ∪ {α} = β ∪ {β}
=⇒ α ∈ β ∪ {β} ∧ β ∈ α ∪ {α}
=⇒ α ∈ β ∧ β ∈ α
[[α 6= β]]
=⇒ α ∈ α
[[α transitivo]].
Demostración:
Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b).
II.2.B.
¥
Ord como clase bien ordenada
Lema II.2.8.
Sean α ∈ Ord y A ⊆ α. Si A es transitivo, entonces
(a) A ∈ Ord.
(b) A = α ∨ A ∈ α.
((a)): Puesto que A ⊆ α, entonces ∈ bien ordena al conjunto A.
Puesto que A es transitivo, de lo anterior se sigue que A ∈ Ord.
Demostración:
((b)): Supongamos que A 6= α. Sea β = inf(α−A). Por denición, β ∈
/ A. Además,
(β ⊆ A): De la denición de β se sigue que: ∀γ ∈ β (γ ∈ A).
(A ⊆ β): Sea γ ∈ A. Puesto que γ, β ∈ α y ∈ es una relación de orden total sobre
α
β = γ ∨ β ∈ γ ∨ γ ∈ β.
Veamos que no se dan los dos primeros casos:
() Supongamos que β = γ . Entonces β ∈ A. Contradicción.
() Supongamos que β ∈ γ . Puesto que A es transitivo, β ∈ A. Contradicción.
Por tanto, γ ∈ β . Luego, A ⊆ β .
¥
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
Definición II.2.9.
sigue:
35
En la clase de los ordinales, Ord, denimos la relación < como
α<β
⇐⇒
α ∈ β.
Lema II.2.10.
(a) α ∈ β ⇐⇒ α < β ⇐⇒ α ⊂ β .
(b) α ≤ β ⇐⇒ α ⊆ β .
Demostración:
(α ∈ β ⇐⇒ α < β ): Se tiene por denición.
(α ∈ β =⇒ α ⊂ β ): En efecto,
½
α ⊆ β [[β transitivo]]
α 6= β [[II.2.5-(b)]]
=⇒ α ⊂ β.
α ∈ β =⇒
(α ⊂ β =⇒ α ∈ β ): En efecto,
½
¾
α⊆β
α ⊂ β =⇒
α 6= β
=⇒
α∈β
[[α transitivo y II.2.8]].
Lo que prueba el resultado.
Teorema II.2.11.
Demostración:
Lema II.2.12.
¥
La relación < es un buen orden sobre Ord.
El teorema se sigue de II.2.12, II.2.13 y II.2.14.
¥
< es un orden total sobre Ord.
Demostración:
(α 6< α): Se sigue de II.2.5-(b).
(α < β ∧ β < γ =⇒ α < γ): En efecto,
α < β ∧ β < γ =⇒ α ∈ β ∧ β ∈ γ
=⇒ α ∈ γ
[[γ es transitivo]]
=⇒ α < γ.
(α < β ∨ α = β ∨ β < α): Consideremos el conjunto α ∩ β .
Puesto que α ∩ β ⊆ α y, por II.2.2-(b), α ∩ β es transitivo, entonces por II.2.8,
α ∩ β es un ordinal. Sea δ = α ∩ β . Entonces
() δ ⊆ α
() δ ⊆ β
=⇒
=⇒
δ ≤ α.
δ ≤ β.
Se tiene que:
Aserto II.2.12.1. δ = α ∨ δ = β .
Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces δ < α y δ < β . Por
tanto, δ ∈ α y δ ∈ β . Luego, δ ∈ α ∩ β = δ . Lo cual está en contradicción con
II.2.5-(b).
2
36
II.2. Números ordinales [[Z−
∗ ]]
Supongamos que δ = α. Entonces α = δ = α ∩ β ⊆ β . Por tanto, α ≤ β .
Lema II.2.13.
α = {β : β < α}. Por tanto, ∀α ∈ Ord ((Ord)α es un conjunto).
Demostración:
Lema II.2.14.
T
¥
Es consecuencia de II.2.5-(c) y la denición de <.
¥
Sea C ⊆ Ord tal que C 6= ∅. Entonces
(a) C ∈ Ord.
T
(b) inf(C) = C. Por tanto, C tiene primer elemento.
Demostración:
Puesto que C 6= ∅,
T
C es un conjunto.
((a)): Sea α ∈ C. Entonces
T
()
C es un conjunto transitivo. [[II.2.2-(b)]].
T
()
C ⊆ α.
T
Por tanto, de II.2.8 se sigue que C ∈ Ord.
T
((b)): Sea β = C. Se tiene que
Aserto II.2.14.1. ∀δ ∈ C [β ≤ δ].
Prueba del aserto: Sea δ ∈ C.TEntonces
δ ∈ C =⇒ C ⊆ δ T
=⇒ β ⊆ δ
[[ C = β]]
=⇒ β ≤ δ
[[II.2.10]].
Lo que prueba el resultado.
2
Aserto II.2.14.2. β ∈ C.
Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces
β∈
/ C =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
∀δ ∈ C (δ 6= β)
∀δ ∈ C (β < δ) [[II.2.14.1]]
∀δ ∈TC (β ∈ δ) [[II.2.10]]
β ∈ C = β.
Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b).
De los asertos se sigue (b).
Teorema II.2.15.
2
¥
Ord es una clase propia.
En caso contrario, por II.2.5-(c) y II.2.11, Ord es un ordinal.
Por tanto, Ord ∈ Ord. Lo cual está en contradicción con II.2.5-(b).
¥
Demostración:
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
37
Corolario II.2.16.
(a) Sea A ⊆ Ord tal que Trans(A). Se tiene uno de los siguientes casos:
(a.1) A = Ord. Por tanto, A es una clase propia.
(a.2) A ∈ Ord. Por tanto, A es un conjunto.
S
S
(b) A ⊆ Ord =⇒
A ∈ Ord. Esto permite denir sup(A) = A.
(c) α + 1 = inf({β : α < β}).
Demostración: ((a)): Supongamos que A
6= Ord. Sea α = ı́nf(Ord−A). Puesto
que A es transitiva, como en II.2.8 se obtiene que A = α.
S
((b)): Por II.2.2-(b), A es transitivo. Por tanto, el resultado se sigue de (a).
((c)): Puesto que α < α + 1, α + 1 ∈ {β : α < β}. Además,
α < β =⇒ α ⊆ β ∧ α ∈ β =⇒ α ∪ {α} ⊆ β =⇒ α + 1 ≤ β.
T
Por tanto, α + 1 = {β : α < β} = inf({β : α < β}).
II.2.C.
¥
Ordinales límites
Definición II.2.17.
(a) α sucesor: α ∈ Suc ⇐⇒ ∃β (α = β + 1).
(b) α límite: α ∈ Lim ⇐⇒ α 6= 0 ∧ α ∈/ Suc.
(c) Sea A una clase.
A inductiva
⇐⇒
∅ ∈ A ∧ ∀y ∈ A (y ∪ {y} ∈ A).
Lema II.2.18.
(a) Axioma del Innito ⇐⇒ ∃A (A conjunto inductivo).
(b) α ∈ Lim ⇐⇒ α inductivo.
Lema II.2.19.
Sea α 6= 0. Son equivalentes:
(a) α ∈ Lim.
(b) ∀β < α (β + 1 < α).
S
(c) α = α.
Demostración: ((a) =⇒ (b)): Sea β < α. Entonces β + 1 ≤ α. Puesto que α es
límite, α 6= β + 1. Por tanto, β + 1 < α.
S
S
((b) =⇒ (c)): Por ser α transitivo, α ⊆ α. Veamos que α ⊆ α.
β ∈ α =⇒ β < α
=⇒ β + 1 < α [[(b)]]
=⇒ β + 1S∈ α
=⇒ β ∈ α [[β ∈ β + 1]].
38
II.2. Números ordinales [[Z−
∗ ]]
((c) =⇒ (a)): Supongamos que α es sucesor. Sea β ∈ Ord tal que α = β + 1.
Entonces
S
S
S
α = (β ∪ {β}) = ( β) ∪ β = β 6= α.
Lo cual está en contradicción con (c).
Definición II.2.20.
¥
La clase de los números naturales, ω , está denida por
ω = {α ∈ Ord : α ∈
/ Lim ∧ ∀β ∈ α (β ∈
/ Lim)}.
Lema II.2.21.
(a) ω es transitiva (como clase).
(b) ω es inductiva (como clase).
(c) A inductiva =⇒ ω ⊆ A.
Demostración:
((a) y (b)): Ejercicios.
((c)): Sea A una clase inductiva. Veamos que ω ⊆ A. Es decir, veamos que
∀α (α ∈ ω =⇒ α ∈ A).
Procedemos por inducción sobre Ord. Supongamos que, hipótesis de inducción,
∀β < α (β ∈ ω =⇒ β ∈ A).
Veamos que
α ∈ ω =⇒ α ∈ A.
Supongamos que α ∈ ω . Entonces α = 0
casos:
∨ α ∈ Suc. Consideremos los siguientes
Caso 1: α = 0. Entonces de A inductiva se sigue que α ∈ A.
Caso 2: α ∈ Suc. Entonces existe β ∈ Ord tal que α = β + 1. Por tanto,
α ∈ ω =⇒ β ∈ ω
[[β < α y (a)]]
=⇒ β ∈ A
[[Hip. Ind. [[β < α]]]]
=⇒ β + 1 ∈ A [[A inductiva]]
=⇒ α ∈ A
[[α = β + 1]].
Lo que prueba (c).
Lema II.2.22
(Ax. Innito).
(a) ω es un conjunto.
T
(b) ω = {A : A conjunto inductivo}
(c) ω ∈ Ord.
(d) ω ∈ Lim.
(e) ω = inf({α : α ∈ Lim}).
¥
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
39
Demostración: ((a)): Por el Axioma del Innito y II.2.18-(a) existe un conjunto
inductivo, A. Por II.2.21-(c), ω ⊆ A. Por tanto, ω es un conjunto.
((b)): Ejercicio.
((c)): Puesto que ω ⊆ Ord y, por II.2.21-(a), es transitivo, entonces de II.2.16(a) se sigue que ω ∈ Ord.
((d)): Por II.2.21-(b), ω es inductivo. Por tanto, de (c) y II.2.18-(b) se sigue
que ω ∈ Lim.
((e)): Se tiene que:
α ∈ Lim =⇒ α inductivo [[II.2.18-(b)]]
=⇒ ω ⊆ α
[[(b)]]
=⇒ ω ≤ α.
Por tanto, ω = inf({α : α ∈ Lim}).
¥
Lema II.2.23.
Son equivalentes:
Notas II.2.24
(ZF−
∗ ). Lista de ordinales:
(a) Axioma del Innito.
(b) ω es un conjunto.
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2 = (ω + 1) + 1, ω + 3, . . .
Para obtener ω + ω necesitamos el Axioma de Reemplazamiemto, pues
ω + ω = sup({ω + n : n ∈ ω}).
II.2.D.
Conjuntos bien ordenados y ordinales
Lema II.2.25.
α∼
=β
Demostración:
con II.1.11-(a).
=⇒
α = β.
Supongamos que α < β . Entonces α ∼
= β está en contradicción
¥
Teorema II.2.26
(ZF−
∗ ). Sea A una clase bien ordenada. Se tiene una y sólo
una de las siguientes posibilidades:
(a) A ∼
= Ord. Por tanto, A es una clase propia.
(b) ∃!α ∈ Ord [A ∼
= α]. Por tanto, A es un conjunto.
Demostración:
Se sigue de II.1.13.
Definición II.2.27
¥
(ZF−
∗ ). Sea hA, <i un conjunto bien ordenado.
OT(hA, <i) = α
⇐⇒
hA, <i ∼
= α.
40
II.3. El teorema del buen orden [[ZF∗ ]]
II.2.E.
Teoremas de inducción y recursión sobre Ord
(Inducción). Sea C ⊆ Ord una clase.
Teorema II.2.28
(1a
(a)
forma): ∀α [∀β < α (β ∈ C) =⇒ α ∈ C] =⇒
(b) (2a forma): Si
(b.1) 0 ∈ C,
(b.2) α ∈ C =⇒ α + 1 ∈ C, y
(b.3) ∀β < α (β ∈ C) =⇒ α ∈ C, si α es límite,
C = Ord.
entonces C = Ord.
(Recursión, (ZF−
∗ )).
Teorema II.2.29
(a) Sea G : V −→ V una función. Existe una única función F : Ord −→ V tal
que:
F(α) = G(F|α ).
(b) Sean a un conjunto y G, H : V −→ V funciones. Existe una única función
F : Ord −→ V tal que
(b.1) F(0) = a,
(b.2) F(α + 1) = G(F(α)), y
(b.3) F(α) = H({F(β) : β < α}); si α es límite.
II.3. El teorema del buen orden [[ZF∗ ]]
Definición II.3.1. Un conjunto A es bien ordenable (o puede ser bien ordenado)
si existe un buen orden sobre A; es decir,
A bien ordenable
Lema II.3.2.
⇐⇒
∃R (R buen orden sobre A).
Sea A un conjunto.
(a) Si existe f : A −→ Ord inyectiva, entonces A es bien ordenable.
(b) Si existen δ ∈ Ord y f : δ −→ A biyectiva, entonces A es bien ordenable.
La parte (b) se sigue de (a). Probemos (a). Sea f : A −→ Ord
inyectiva. Consideremos la relación <0 sobre A denida como sigue:
Demostración:
x <0 y
0
⇐⇒
f (x) < f (y).
Es evidente que < bien ordena al conjunto A.
Teorema II.3.3.
¥
(Teorema del Buen Orden (Zermelo), (AC)) Todo con-
junto puede ser bien ordenado.
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
41
Sean A un conjunto y G una función de elección sobre P(A).
Por recursión denimos F : Ord −→ A. Sea a ∈ A. [[Recordar que F[α] = {F(β) :
β ∈ α}]].
½
G(A − F[α]), si A 6= F[α];
F(α) =
a,
en caso contrario.
Demostración:
Se tiene que:
Aserto II.3.3.1. ∃α ∈ Ord (A = F[α]).
Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Sean β1 < β2 ∈ Ord. Entonces
β1 < β2 =⇒ F(β1 ) ∈ F[β2 ];
A 6= F[β2 ] =⇒ F(β2 ) = G(A − F[β2 ]) ∈ A − F[β2 ]
¾
=⇒ F(β2 ) 6= F(β1 ).
Por tanto, F es inyectiva. Luego, por I.8.7, Ord es un conjunto. Lo cual está
en contradicción con II.2.15.
2
Sean
() δ = inf({α : A = F[α]}), y
() H = F|δ .
Entonces H es un conjunto. Además, puesto que H[δ] = F[δ] = A, H es suprayectiva. Como en el aserto se prueba que H es inyectiva. Por tanto, H : δ −→ A es
biyectiva. Luego, II.3.2, A es bien ordenable.
¥
Teorema II.3.4 (Zermelo). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) Todo conjunto puede ser bien ordenado.
((a) =⇒ (b)): Se sigue de II.3.3.
S
((b) =⇒ (a)): Sea < un buen orden sobre A. Sea F : A −→ V la aplicación
denida por:
½
inf< (B), si B 6= ∅;
F (B) =
∅,
si B = ∅.
S
Sea B ∈ A tal que B 6= ∅. Puesto que B ⊆ A, entonces F (B) = inf(B) ∈ B . Por
tanto, F es un función de elección sobre A.
¥
Demostración:
II.4. Sucesiones de ordinales [[ZF−
∗ ]]
Definición II.4.1.
(a) Una αsucesión es una aplicación de dominio α.
(b) Una sucesión es una función de dominio Ord. Una sucesión F es un sucesión
de ordinales si rang(F) ⊆ Ord.
(c) Sea F una sucesión de ordinales.
42
II.4. Sucesiones de ordinales [[ZF−
∗ ]]
(c.1) F es continua si para todo α ∈ Lim
sup({F(β) : β < α}) = F(α).
(c.2) F es normal si: F es creciente y continua.
Lema II.4.2.
(a) Sea F continua. Son equivalentes:
(a.1) F es normal.
(a.2) ∀α [F(α) < F(α + 1)].
(b) F normal ∧ α ∈ Lim =⇒ F(α) ∈ Lim.
(c) F y G normales =⇒ F ◦ G normal.
Lema II.4.3.
∀α ∃β > α [β ∈ Lim].
Demostración:
Sea F : ω −→ Ord la función denida por recursión:
() F (0) = α.
() F (n + 1) = F (n) + 1.
Sea β = sup({F (n) : n ∈ ω}). Entonces
α = F (0) < F (1) ≤ β .
Veamos que β es límite. Sea γ < β . Entonces existe n ∈ ω tal que γ < F (n). Por
tanto,
γ + 1 ≤ F (n) < F (n) + 1 = F (n + 1) ≤ β .
Lo que prueba el lema.
Lema II.4.4.
¥
Sea F una función normal y β ∈ Ord tal que F(0) ≤ β . Entonces
∃α [F(α) ≤ β ∧ ∀γ (α < γ =⇒ β < F(γ))].
Es decir, ∃α [F(α) ≤ β < F(α + 1)].
Demostración:
Puesto que F es creciente, {γ : β < F(γ)} 6= ∅. Por tanto, existe
δ = inf({γ : β < F(γ)}).
Puesto que F(0) ≤ β , δ 6= 0. Además, se tiene que:
Aserto II.4.4.1. δ es sucesor.
Prueba del aserto: De la denición de δ se sigue que
(1) ∀γ < δ (F(γ) ≤ β).
Supongamos que δ no es sucesor. Puesto que δ 6= 0, entonces δ es límite. Por
tanto,
F(δ) = sup({F(γ) : γ < δ}) [[F continua]]
≤β
[[(1)]].
Lo cual está en contradicción con la denición de δ .
2
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
43
Por el aserto, existe α tal que δ = α + 1. Puesto que F es creciente, de la denición
de δ se sigue que
F(α) ≤ β ∧ ∀γ [α < γ =⇒ β < F(γ)].
Lo que prueba el resultado.
¥
Teorema II.4.5
(Punto jo). F normal
Demostración:
Sea G : ω −→ Ord denida por:
=⇒
∀α ∃β ≥ α (F(β) = β).
() G(0) = α.
() G(n + 1) = F(G(n)).
Sea β = sup({G(n) : n ∈ ω}). Veamos que F(β) = β . Si F(α) = α, el resultado es
trivial. Supongamos que α < F(α). Entonces
Aserto II.4.5.1. β es límite.
Se tiene que:
F(β) = sup({F(γ) : γ < β})
[[Aserto, F continua]]
= sup({F(G(n)) : n ∈ ω}) [[Ejercicio]]
= sup({G(n + 1) : n ∈ ω})
= β.
Lo que prueba el resultado.
Sea β el ordinal obtenido en la prueba anterior. Se tiene que:
() β = inf({γ : α ≤ γ ∧ F(γ) = γ}), y
() F(α) 6= α =⇒ β ∈ Lim ∧ cf(β) = ω . [[Ver III.9.1]].
Nota II.4.6.
II.5. Aritmética ordinal [[ZF−
∗ ]]
Definición II.5.1.
(a) Suma.
() α + 0 = α,
() α + (β + 1) = (α + β) + 1,
() α + β = sup({α + γ : γ < β}), si β es límite.
(b) Producto.
() α · 0 = 0,
() α · (β + 1) = α · β + α,
() α · β = sup({α · γ : γ < β}), si β es límite.
(c) Exponenciación.
() α0 = 1,
¥
44
II.5. Aritmética ordinal [[ZF−
∗ ]]
() αβ+1 = αβ · α,
() αβ = sup({αγ : 0 < γ < β}), si β es límite.
Proposición II.5.2.
(a) (Propiedades de la Suma).
(a.1) (Normal) Para todo α la función Fα : Ord −→ Ord, denida por:
Fα (β) = α + β
es normal.
(a.2) (Asociativa) (α + β) + γ = α + (β + γ).
(a.3) No es conmutativa. [[1 + ω 6= ω + 1]].
(b) (Propiedades del Producto).
(b.1) (Normal) Para todo α ≥ 1 la función Fα : Ord −→ Ord denida por:
Fα (β) = α · β
es normal.
(b.2) (Distributiva (por la izquierda)) α · (β + γ) = α · β + α · γ .
(b.3) (Asociativa) α · (β · γ) = (α · β) · γ .
(b.4) No es conmutativa. [[2 · ω 6= ω · 2]].
(b.5) No es distributiva por la derecha. [[(1 + 1) · ω = 2 · ω 6= ω · 2 = ω + ω =
1 · ω + 1 · ω]].
(c) (Propiedades de la Exponenciación).
(c.1) (Normal) Para todo α ≥ 2 la función Fα : Ord −→ Ord denida por:
Fα (β) = αβ
es normal.
(c.2) αβ · αγ = αβ+γ .
(c.3) (αβ )γ = αβ·γ .
Nota II.5.3.
Las operaciones anteriores permiten ampliar la lista de ordinales:
0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, . . . ,
ω · 2 = ω + ω, ω · 2 + 1, . . . , ω · 3, . . . , ω · 4, . . . , ω · ω = ω 2 , . . . , ω 3 , . . . ,
2
ω
ω ω , . . . , ω ω · ω = ω ω+1 , . . . , ω ω , . . . , ω ω , . . .
Se dene:
ε0 = sup({F(n) : n ∈ ω})
donde F : ω −→ Ord es la función denida por: F(n) =


β + α ≤ γ + α
β·α≤γ·α
Lema II.5.4. β ≤ γ =⇒

 α
β ≤ γα
(
ω,
si n = 0;
ω F(m) , si n = m + 1.
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
=⇒
45
∃!β (α + β = γ).
Lema II.5.5.
α≤γ
Lema II.5.6.
∀α ∀β > 0 ∃!σ, ρ (α = β · σ + ρ ∧ 0 ≤ ρ < β ∧ σ ≤ α).
Lema II.5.7.
Para cualesquiera α > 0 y β > 1, existen γ, δ, ρ únicos tales que:
0 < δ < β ∧ ρ < β γ ∧ α = β γ · δ + ρ.
(Forma Normal de Cantor). Sea β > 1. Para todo α > 0
existen k ∈ ω, γ0 , . . . , γk , δ0 , . . . , δk únicos tales que:
(a) γ0 > γ1 > . . . > γk .
(b) ∀i ≤ k (0 < δi < β).
(c) α = β γ0 · δ0 + β γ1 · δ1 + · · · + β γk · δk .
Teorema II.5.8
II.6. Números naturales [[ZF−
∗ ]]
Recordemos que (ver II.2.20) ω es el conjunto de los números naturales. Denimos [[usaremos n, m, i, j, . . . como variables sobre números
naturales]]
x es un número natural ⇐⇒ x ∈ ω .
Definición II.6.1.
Teorema II.6.2.
Sea A una clase.
(a) Principio de Inducción.
(a.1) (Primera versión): 0 ∈ A ∧ ∀n ∈ ω (n ∈ A =⇒ n+1 ∈ A) =⇒ ω ⊆ A.
(a.2) (Segunda versión): ∀n ∈ ω (∀m < n (m ∈ A) =⇒ n ∈ A) =⇒ ω ⊆ A.
(b) Teorema de Recursión. Para cualesquiera a ∈ A y G : A × ω −→ A, existe
una única F : ω −→ A tal que
F(0) = a,
F(n + 1) = G(F(n), n).
Proposición II.6.3.
(a) n + m = m + n.
(b) n · m = m · n.
Para todo n, m ∈ ω ,
Definición II.6.4 (La función de Cantor).
(a) Sea J : ω 2 −→ ω la función denida por
(n + m) · (n + m + 1)
+ n.
2
(b) Sean K, L : ω −→ ω las funciones denidas por
K(i) = inf({n ∈ ω : ∃m ∈ ω (J(n, m) = i)});
L(i) = inf({m ∈ ω : ∃n ∈ ω (J(n, m) = i)}).
J(n, m) =
46
II.7. Ejercicios
Lema II.6.5.
(a) J es biyectiva.
(b) Para todo i ∈ ω , J(K(i), L(i)) = i.
II.7. Ejercicios
Ejercicio II.7.1
(a) x 6= y
=⇒
(II.1.3).
Ax 6= Ay .
½
(b) B y C segmentos iniciales =⇒
B segmento inicial de C ∨
C segmento inicial de B
Ejercicio II.7.2 (II.2.2).
(a) Trans(A) =⇒ Trans(A ∪ {A}). [[A conjunto]].
T
S
(b) Si ∀y ∈ A (Trans(y)), entonces Trans( A) y Trans( A).
Ejercicio II.7.3.
S
(a) Trans(A) ⇐⇒ A ⊆ A ⇐⇒ A ⊆ P(A).
S
(b) Trans(A) =⇒ Trans( A).
Ejercicio II.7.4 (II.2.18).
(a) Axioma del Innito ⇐⇒
(b) α ∈ Lim ⇐⇒ α inductivo.
Ejercicio II.7.5
∃A (A conjunto inductivo).
T
(Ax. Innito, (II.2.22)). ω = {A : A inductivo}.
Ejercicio II.7.6 (II.2.23). Son equivalentes:
(a) El Axioma del Innito.
(b) ω es un conjunto.
Ejercicio II.7.7
(II.4.5.1). Sea F una función normal. Sea G : ω −→ Ord la
aplicación denida por:
G(0) = α, G(n + 1) = F(G(n)).
Sea β = sup({G(n) : n ∈ ω}). Probar que si α < F(α), entonces β es límite.
Ejercicio II.7.8 (II.6.3). Para todo n, m ∈ ω ,
(a) n + m = m + n.
(b) n · m = m · n.
Ejercicio II.7.9 (II.6.5).
(a) J es biyectiva.
Capítulo II. Buenos órdenes. Ordinales
47
(b) Para todo i ∈ ω , J(K(i), L(i)) = i.
Sean A una clase, F : A −→ A y B ⊆ A. Probar que existe
C ⊆ A tal que
(a) B ⊆ C.
(b) ∀x (x ∈ C =⇒ F(x) ∈ C).
(c) Para toda clase C0 ⊆ A
Ejercicio II.7.10.
B ⊆ C0 ∧ ∀x ∈ C0 (F(x) ∈ C0 )
Ejercicio II.7.11.
(a) Sean
=⇒
C ⊆ C0 .
Sean α, β ∈ Ord.
() Conjunto: A = α × {0} ∪ β × {1}.
() Relación: hhγ1 , δ1 i, hγ2 , δ2 ii ∈ R ⇐⇒ (δ1 < δ2 ) ∨ (δ1 = δ2 ∧ γ1 < γ2 ).
∼ hA, Ri
Se tiene que: α + β =
(b) Sean
() Conjunto: A = α × β .
() Relación: hhγ1 , δ1 i, hγ2 , δ2 ii ∈ R ⇐⇒ (δ1 < δ2 ) ∨ (δ1 = δ2 ∧ γ1 < γ2 ).
Se tiene que: α · β ∼
= hA, Ri.
(c) Sean
() Conjunto: Ex(α, β) = {f : f : β −→ α ∧ {δ ∈ β : f (δ) 6= 0} es nito }.
() Relación: hf, gi ∈ R ⇐⇒ (γ = sup({δ ∈ β : f (δ) 6= g(δ)} → f (γ) < g(γ)).
Se tiene que: αβ ∼
= hEx(α, β), Ri.
Ejercicio II.7.12.
Denir sobre ω dos buenos órdenes <1 , <2 tales que:
hω, <1 i ∼
hω, <2 i ∼
=ω+ω
= ω · 3.
Ejercicio II.7.13.
Sea F : Ord −→ Ord la función denida por
F(α) = (ω ω + ω) · α.
(a) ¾Es F normal?
(b) Sea A = {α : F(α) = α}. Demostrar que existe un único isomorsmo, G, de
Ord en A.
(c) Calcular G(0), G(1), G(2) y G(ω).
Ejercicio II.7.14.
Si f, g ∈ 2ω sea
nf,g = inf({m ∈ ω : f (m) 6= g(m)}.
En el conjunto 2ω (= {f : f : ω −→ 2}) denimos la relación C como sigue:
f Cg
⇐⇒
f (nf,g ) < g(nf,g ).
¾Es C una relación de orden total? ¾Es C una relación de buen orden?
48
II.7. Ejercicios
Ejercicio II.7.15. Probar que el conjunto {A ⊆ ω : ∃n (A ∼ n)} es bien ordenable. (Sin usar el axioma de elección).
Ejercicio II.7.16.
(a) Probar que Ord<ω = {f : f aplicación ∧ dom(f ) ∈ ω ∧ rang(f ) ⊂ Ord} es
una clase propia.
(b) Sobre Ord<ω denimos la siguiente relación, C,. Sea, f, g ∈ Ord<ω

sup(rang(f )) < sup(rang(g)) ∨



[sup(rang(f )) = sup(rang(g)) ∧ dom(f ) < dom(g)] ∨
f C g ⇐⇒ ½
 [sup(rang(f )) = sup(rang(g)) ∧ dom(f ) = dom(g)] ∧


∃k ∈ dom(f ) (f|k = g|k ∧ f (k) < g(k)).
Probar que
(b.1) ∀g ∈ Ord<ω ({f ∈ Ord<ω : f C g} es un conjunto).
(b.2) C es un buen orden sobre Ord<ω .
(b.3) Existe un isomorsmo F : Ord −→ Ord<ω . Calcular F(0), F(ω), F(ω+ω).
Ejercicio II.7.17.
(a) Sean k ∈ ω , 0 < ni , 0 ≤ i ≤ k, y γ0 > γ1 > . . . > γk . Probar que
(a.1) Si 0 < m, entonces
(ω γ0 · n0 + · · · + ω γk · nk ) · m = ω γ0 · n0 · m + ω γ1 · n1 + · · · + ω γk · nk .
(a.2) (ω γ0 · n0 + · · · + ω γk · nk ) · ω = ω γ0 +1 .
(a.3) (ω γ0 · n0 + · · · + ω γk · nk ) · ω γ = ω γ0 +γ .
(b) Sean α < β . Probar que:
(b.1) ω α + ω β = ω β .
(b.2) ∀n, m > 0 (ω α · n + ω β · m = ω β · m).
Ejercicio II.7.18.
Encontrar el menor ordinal α tal que
Ejercicio II.7.19.
Encontrar A ⊆ Q tal que hA, <Q i ∼
= α donde
(a) ω + α = α.
(b) ω < α y ∀β < α (β + α = α).
(c) 0 < α y ω · α = α.
(d) ω < α y ∀β < α (β · α = α).
(e) ω α = α.
(f) ω < α y (∀β)1<β<α (β α = α).
(a) α = ω + 1.
(b) α = ω · 2.
(c) α = ω · 3.
(d) α = ω 2 .
Capítulo III
Cardinales
III.1. El número de elementos de un conjunto [[ZF−
∗ ]]
Definición III.1.1.
Sean A y B dos conjuntos.
(a) Diremos que A y B son equipotentes, y notaremos A ∼ B o |A| = |B|, si existe
una biyección de A en B ; esto es,
A ∼ B ⇐⇒ ∃f (f : A −→ B biyectiva).
Si |A| = |B|, diremos que A y B tienen el mismo cardinal.
(b) A ¹ B ⇐⇒ ∃f (f : A −→ B inyectiva). También escribiremos |A| ≤ |B|.
(c) A ≺ B ⇐⇒ A ¹ B ∧ A 6∼ B . También escribiremos |A| < |B|.
Notas III.1.2.
(a) La relación ∼ es de equivalencia.
(b) Observemos que |A| = |B| es tan sólo una notación. En la denición anterior
no se ha asignado al conjunto A un conjunto |A|. Por tanto, el símbolo = en
la expresión |A| = |B| no tiene sentido de igualdad conjuntista.
Teorema III.1.3
(Teorema de Schröder-Bernstein-Cantor).
|A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| =⇒ |A| = |B|.
Demostración: Sean F : A −→ B y G : B −→ A inyectivas. Por recursión sobre
n ∈ ω denimos la siguiente sucesión, {An : n ∈ ω}:
() A0 = A − G[B].
() An+1 = G[F [An ]].
S
Sea A∗ = {An : n ∈ ω}. Sea H : A −→ G[B] la aplicación denida por:
½
G(F (a)), si a ∈ A∗ ;
H(a) =
a,
en caso contrario.
Se tiene que:
50
III.1. El número de elementos de un conjunto [[ZF−
∗ ]]
Aserto III.1.3.1.
(i) a ∈ An =⇒ H(a) ∈ An+1 .
(ii) a ∈ A∗ =⇒ H(a) ∈ A∗ .
½
(iii) n 6= m
=⇒
An ∩ Am = ∅.
F [An ] ∩ F [Am ] = ∅.
(iv) H es biyectiva.
Del aserto, se sigue que |A| = |G[B]|. Por tanto, |A| = |G[B]| = |B|. En consecuencia, |A| = |B|. Lo que prueba el resultado.
¥
Corolario III.1.4.
A ⊆ B ⊆ C ∧ |A| = |C|
=⇒
|B| = |C|.
Definición III.1.5.
(a) Sea A un conjunto bien ordenable. Denimos el cardinal de A como sigue
card(A) = inf({α ∈ Ord : A ∼ α}).
(b) Sea α ∈ Ord. Diremos que α es un cardinal, y notaremos α ∈ Card, si
card(α) = α, es decir,
Card = {α ∈ Ord : ∀β < α [α 6∼ β]}
= {α ∈ Ord : ∀β < α (|α| 6≤ |β|)}.
Usaremos
κ, λ, . . . como variables sobre ordinales que son cardinales.
Lema III.1.6.
(a) A es bien ordenable =⇒ A ∼ card(A).
(b) (AC): Para todo A existe κ ∈ Card tal que card(A) = κ.
(c) ω ≤ α =⇒ α + 1 ∈/ Card.
(d) |A| = |κ| =⇒ card(A) = κ.
(e) |κ| < |λ| ⇐⇒ κ < λ.
Lema III.1.7.
(a) card(α) = (µβ)(α ∼ β).
(b) card(α) ∈ Card.
(c) card(α) ≤ α.
(d) card(α) ≤ β ≤ α =⇒ card(β) = card(α).
(e) card(card(α)) = card(α).
Lema III.1.8.
C ⊆ Card
=⇒
S
C ∈ Card.
S
Sea β = C . Supongamos que β no es un cardinal. Entonces
existen α < β y F : β −→ α inyectiva. Puesto que α < β , existe λ ∈ C tal que
α < λ. Además, λ ≤ β . Por tanto, F|λ : λ −→ α inyectiva. Contradicción con λ
cardinal.
¥
Demostración:
Capítulo III. Cardinales
51
III.2. Conjuntos nitos
III.2.A.
Álgebra de conjuntos nitos [[Z−
∗ ]]
Definición III.2.1.
(a) A nito ⇐⇒ ∃n ∈ ω (n ∼ A).
(b) Diremos que A es innito si no es nito.
Notaremos por Fin a la clase de los conjuntos nitos; es decir,
Fin = {A : A conjunto nito}.
Lema III.2.2.
(a) ∀n ∈ ω (n ∈ Fin).
(b) A ∈ Fin =⇒ A ∪ {a} ∈ Fin.
Demostración:
((a)): Trivial, para todo n ∈ ω , n ∼ n.
((b)): Podemos suponer que a ∈
/ A. Por hipótesis, existen n ∈ ω y f : n −→ A
biyectiva. Sea g : n + 1 −→ A ∪ {a} la aplicación denida por:
½
f (k), si k < n;
g(k) =
a,
si k = n.
Es decir, g = f ∪ {hn, ai}: Por tanto, g es un conjunto. Además, g es biyectiva.
Por tanto, A ∪ {a} es nito.
¥
Teorema III.2.3
(Inducción sobre conjuntos nitos). Sea C una clase.
∅ ∈ C ∧ ∀A ∀y ∈
/ A [A ∈ C =⇒ A ∪ {y} ∈ C]
Demostración:
=⇒
Fin ⊆ C.
Sea C una clase tal que:
(i) ∅ ∈ C, y
(ii) ∀A ∀y ∈/ A [A ∈ C =⇒ A ∪ {y} ∈ C].
Veamos que Fin ⊆ C. Para ello es suciente probar que:
Aserto III.2.3.1. ∀n ∈ ω ∀A (n ∼ A =⇒ A ∈ C).
Prueba del aserto: Por indución sobre n ∈ ω .
(n = 0): Si 0 ∼ A, entonces A = ∅. Por tanto, de (i) se sigue que A ∈ C.
(n =⇒ n + 1): Sea A un conjunto tal que n + 1 ∼ A. Sea f : n + 1 −→ A
biyectiva. Puesto que n ∼ f [n], por hipótesis de inducción, f [n] ∈ C. Por
tanto, de (ii) se sigue que f [n] ∪ {f (n)} ∈ C. Puesto que f [n] ∪ {f (n)} = A,
entonces A ∈ C.
2
Del aserto se sigue el teorema.
¥
52
III.2. Conjuntos nitos
Proposición III.2.4.
A ∈ Fin
Demostración:
Sea F una función.
=⇒
F[A] es un conjunto ∧ F[A] ∈ Fin.
Por inducción sobre conjuntos nitos usando la clase
C = {A : F[A] es un conjunto nito}.
(∅): F[∅] = ∅ y ∅ es un conjunto nito.
(A =⇒ A ∪ {x}): En efecto,
F[A ∪ {x}] = F[A] ∪ {F(x)}.
Por hipótesis de inducción, F[A] es un conjunto nito. Por tanto, de III.2.2-(b)
se sigue que F[A ∪ {x}] es un conjunto nito.
¥
Proposición III.2.5.
Demostración:
A, B ∈ Fin
=⇒
A ∪ B ∈ Fin.
Sea B un conjunto nito. Veamos que para todo A
A ∈ Fin
A ∪ B ∈ Fin.
=⇒
Por inducción sobre conjuntos nitos usando la clase
C = {A : A ∪ B ∈ Fin}.
(∅): Pues ∅ ∪ B = B y B es nito.
(A =⇒ A ∪ {x}): Entonces
(A ∪ {x}) ∪ B = (A ∪ B) ∪ {x}.
Por hipótesis de inducción A ∪ B es nito. Por tanto, de III.2.2-(b) se sigue que
el conjunto (A ∪ B) ∪ {x} es nito. En consecuencia, (A ∪ {x}) ∪ B es nito. ¥
Proposición III.2.6.
(a) |A| = |B| =⇒ (A ∈ Fin ⇐⇒ B ∈ Fin).
(b) B ⊆ A ∧ A ∈ Fin =⇒ B ∈ Fin.
S
(c) A ∈ Fin ∧ ∀B ∈ A (B ∈ Fin) =⇒
A ∈ Fin.
(d) A ∈ Fin =⇒ P(A) ∈ Fin.
(e) A, B ∈ Fin =⇒ A × B ∈ Fin.
(f) B ∈/ Fin =⇒ ∀A [A ∈ Fin =⇒ ∃C ⊆ B (|C| = |A|)].
(g) A ∈ Fin ∧ y ∈/ A =⇒ |A| 6= |A ∪ {y}|.
(h) A ∈ Fin ∧ B ⊂ A =⇒ |A| 6= |B|.
½
Teorema III.2.7.
Demostración:
A ∈ Fin
=⇒
∃f
f aplicación ∧ dom(f ) = A ∧
∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f (y) ∈ y).
Por inducción sobre conjuntos nitos usando la clase
Capítulo III. Cardinales
53
C = {A : ∃f [dom(f ) = A ∧ ∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f (y) ∈ y)]}.
(∅): Trivial. ∅ es una función de elección sobre ∅.
(A =⇒ A ∪ {a}): Supongamos que a ∈
/ A y a 6= ∅. Por hipótesis de inducción existe
f tal que f es una función de elección sobre A. Sean b ∈ a y g = f ∪ {ha, bi}. Es
evidente que g es una función de elección sobre A ∪ {a}.
¥
Proposición III.2.8.
(a) ∀n, m ∈ ω (n ∼ m ⇐⇒ n = m).
(b) ∀n ∈ ω [n ∈ Card].
(c) (Ax. Inf.) ω ∈ Card ∧ ω ∈/ Fin.
Demostración:
((a)): Por inducción sobre n ∈ ω probaremos que
∀m (n ∼ m =⇒ n = m).
(n = 0): Sea m ∈ ω tal que 0 ∼ m. Entonces m = 0.
(n =⇒ n + 1): Sea m ∈ ω tal que n + 1 ∼ m. Puesto que n + 1 6= ∅, m 6= ∅. Por
tanto, existe k ∈ ω tal que m = k + 1. Sea f : n + 1 −→ k + 1 biyectiva. Denimos
g : n −→ k como sigue
½
f (a), si f (a) 6= k;
g(a) =
f (n), si f (a) = k.
Es evidente que g es biyectiva. Entonces, por hipótesis de inducción, n = k . Por
tanto, n + 1 = k + 1 = m.
((b)): Se sigue de (a).
S
((c)): Puesto que ω = {n : n ∈ ω}, de (b) y III.1.8 se sigue que ω ∈ Card.
Por tanto, para todo α < ω , α 6∼ ω . En consecuencia, ω ∈
/ Fin.
¥
III.2.B.
Conjuntos Dnitos [[ZF−
∗ ]]
Definición III.2.9
(Dedekindinnito).
A es Dinnito
⇐⇒
∃B ⊆ A (B ∼ ω)
⇐⇒
ω ≤ |A|.
Proposición III.2.10.
(a) A Dinnito =⇒ A innito.
(b) (AC) A innito =⇒ A Dinnito.
((a)): Sea B ⊆ A tal que B ∼ ω . Entonces B es innito. Por
tanto, A es innito.
Demostración:
((b)): Nota: La prueba que presentamos usa el axioma de las partes.
54
III.3. Conjuntos numerables [[ZF−
∗ ]]
Por el teorema del buen orden, A es bien ordenable. Por tanto, existe α ∈ Ord tal
que A ∼ α. Puesto que A es innito, ω ≤ α. Sea G : α −→ A biyectiva. Entonces
G[ω] ⊆ A y G[ω] ∼ ω . Por tanto, A es Dinnito.
¥
Proposición III.2.11.
A Dinnito
⇐⇒
∃B (B ⊂ A ∧ |A| = |B|).
(=⇒): Sea F : ω −→ A inyectiva. Sean B = A − {F (0)} (luego,
B ⊂ A) y G : A −→ B la aplicación denida por:
½
F (n + 1), si a = F (n);
G(a) =
a,
en caso contrario.
Demostración:
Es evidente que G es biyectiva; luego, |A| = |B|.
(⇐=): Sean F : A −→ B biyectiva y a ∈ A − B . Denimos G : ω −→ A
() G(0) = a.
() G(n + 1) = F (G(n)).
Es decir, G(n) = F n (a). Es evidente que G es inyectiva. Luego ω ∼ G[ω] ⊆ A. ¥
III.3. Conjuntos numerables [[ZF−
∗ ]]
Definición III.3.1.
A numerable
Proposición III.3.2.
⇐⇒
A nito ∨ A ∼ ω .
Sea A ⊆ ω . Son equivalentes.
(a) card(A) = ω .
(b) A es innito.
(c) A es no acotado.
Demostración:
((a) =⇒ (b)): Se sigue de ω innito.
((b) =⇒ (c)): Supongamos que A es acotado. Entonces existe n ∈ ω tal que para
todo m ∈ A, m < n. Entonces A ⊆ n. Por tanto, A es nito. Contradicción.
((c) =⇒ (a)): Denimos F : ω −→ A como sigue
() F (0) = inf(A).
() F (n + 1) = inf(A − {F (k) : k ≤ n}) = inf(A − F [n + 1]).
Entonces F es biyectiva. Por tanto, card(A) = ω .
Proposición III.3.3.
Corolario III.3.4.
(a) B ⊆ A
=⇒
¥
A numerable ⇐⇒ ∃f (f : A −→ ω inyectiva) ⇐⇒ |A| ≤ ω .
Sea A un conjunto numerable.
B numerable.
Capítulo III. Cardinales
(b) A innito
⇐⇒
55
card(A) = ω .
((a)): Sea f : A −→ ω . inyectiva. Entonces f|B : B −→ ω
inyectiva. Por tanto, B es numerable.
Demostración:
((b)): (=⇒): Puesto que A no es nito, entonces A ∼ ω . Por tanto, card(A) = ω .
(⇐=): Trivial, ω es innito.
Proposición III.3.5.
Demostración:
dom(f ) = ω
¥
=⇒
rang(f ) numerable.
Denimos G : rang(f ) −→ ω por
G(a) = inf({n ∈ ω : f (n) = a}).
Puesto que G es inyectiva, rang(G) es numerable.
¥
½
Proposición III.3.6.
Demostración:
card(A) = card(B) = ω
=⇒
card(A ∪ B) = ω;
card(A × B) = ω.
(A ∪ B ): Se tiene que
Aserto III.3.6.1. ω ¹ A ∪ B .
Aserto III.3.6.2. A ∪ B ¹ ω .
Prueba del aserto: Sean F : A −→ ω y G : B −→ ω inyectivas. Denimos
H : A ∪ B −→ ω como sigue
½
2 · F (x),
si x ∈ A;
H(x) =
2 · G(x) + 1, si x ∈ B − A.
Es evidente que H es inyectiva.
2
De los asertos y III.1.3 se sigue que ω = card(A ∪ B). Por tanto, A ∪ B es
numerable.
(A × B ): En efecto,
Aserto III.3.6.3. ω ¹ A × B .
Prueba del aserto: Sean b ∈ B y F : ω −→ A inyectiva. Denimos la función
G : ω −→ A × B como sigue:
G(n) = hF (n), bi.
Es evidente que G es inyectiva.
2
Aserto III.3.6.4. A × B ¹ ω .
Prueba del aserto: Sean F : A −→ ω y G : B −→ ω inyectivas. Denimos
H : A × B −→ ω como sigue:
H(x, y) = 2F (x) · 3G(y) .
Es evidente que H es inyectiva.
2
56
III.3. Conjuntos numerables [[ZF−
∗ ]]
Por los asertos y III.1.3, ω = card(A × B). Por tanto, A × B es numerable.
¥
(AC). Sea {An : n ∈ ω} una familia de conjuntos numeraA
n∈ω n es numerable.
Proposición III.3.7
bles. Entonces
S
Para cada n ∈ ω sea
S
A0n = An − m<n Am .
S
S
Es evidente que n∈ω An = n∈ω A0n y que la familia {A0n : n ∈ ω} es disjunta.
Además, para cada n ∈ ω , |A0n | ≤ ω . Por tanto, existe Fn : A0n −→ ω inyectiva.
S
Sea H : n∈ω An −→ ω × ω la aplicación denida por:
H(a) = hFn (a), ni ⇐⇒ a ∈ A0n .
S
S
Puesto que H[ n∈ω An ] ⊆ ω×ω y H es inyectiva, entonces n∈ω An es numerable.
Demostración:
¾Sobre qué conjunto se usa el Axioma de Elección en la prueba anterior? ¾Se usa
el Axioma de las partes?
¥
Definición III.3.8.
(a) Sea n ∈ ω . An = {g : g : n −→ A}.
S
(b) A<ω = {An : n ∈ ω}.
Proposición III.3.9.
(a) Para todo n ∈ ω , An es un conjunto.
(b) A<ω es un conjunto.
Proposición III.3.10.
Si card(A) = ω , entonces
(a) ∀n > 0 (card(A ) = ω).
(b) card(A<ω ) = ω .
(c) Sea P<ω (A) = {B ⊆ A : B nito}. card(P<ω (A)) = ω .
n
Demostración:
((a)): Por inducción sobre n ∈ ω .
(n = 1): Puesto que |A| = |A1 | y card(A) = ω , entonces card(A1 ) = ω ; por tanto,
es numerable.
(n =⇒ n + 1): Por hipótesis de inducción, card(An ) = ω . Entonces por III.3.6,
card(An × A) = ω . Ahora bien, |An+1 | = |An × A|, [[g 7→ hg|n , g(n)i]]. Por tanto,
card(An+1 ) = ω .
((b)): Sea F : A −→ ω inyectiva. Sea {pn : n ∈ ω} una enumeración de los
números primos. Denimos G : A<ω −→ ω como sigue
() si dom(g) = 0, G(g) = 0.
F (g(0))+1
() si dom(g) = n + 1, G(g) = p0
F (g(1))+1
· p1
F (g(n))+1
· · · · · pn
.
Capítulo III. Cardinales
57
Es evidente que G es inyectiva. Por tanto, card(A<ω ) = ω .
((c)): Sea F : ω −→ A biyectiva. Entonces G : P<ω (ω) −→ P<ω (A) denida por
G(C) = {F (n) : n ∈ C} = F [C]
es biyectiva. Por tanto, es suciente probar que card(P<ω (ω)) = ω . Sea C ⊆ ω
nito. Puesto que < bien ordena a C , existe gC : OT(C) ∼
= C . Además, de C nito
se sigue que OT(C) ∈ ω . Por tanto, gC ∈ ω <ω . La aplicación G : P<ω (ω) −→ ω <ω
denida por: G(C) = gC ; es inyectiva. Por tanto, card(P<ω (ω)) = ω ; luego, es
numerable.
¥
Proposición III.3.11.
A. Entonces
Sea A numerable y R una relación de equivalencia sobre
(a) {y/R : y ∈ A} es numerable.
(b) ∀y ∈ A (y/R es numerable).
III.4. Números enteros y racionales [[ZF−
∗ ]]
III.4.A.
Números enteros
La relación R denida sobre ω × ω por:
hhn1 , n2 i, hm1 , m2 ii ∈ R ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2
Proposición III.4.1.
es de equivalencia. A la clase de equivalencia del par hn, mi la notaremos por
[n, m].
Definición III.4.2
Lema III.4.3.
(Conjunto de los números enteros). Z = ω × ω/R.
∀a ∈ Z ∃n ∈ ω (a = [n, 0] ∨ a = [0, n]).
Teorema III.4.4.
Z es numerable.
Definición III.4.5.
(a) [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].
(b) [a, b] · [c, d] = [a · c + b · d, b · c + a · d].
(c) [a, b] < [c, d] ⇐⇒ a + d < b + c.
(d) 0 = [0, 0], 1 = [1, 0],
Lema III.4.6.
clase elegidos.
Las deniciones anteriores no dependen de los representantes de
Teorema III.4.7.
(a) hZ, +.·, 1, 0i es un dominio de integridad.
(b) hZ, <i es un orden total, pero no es un buen orden.
58
III.4.B.
III.4. Números enteros y racionales [[ZF−
∗ ]]
Números racionales
La relación R denida sobre Z × (Z − {0}) por:
hha, bi, hc, dii ∈ R ⇐⇒ a · d = b · c
Proposición III.4.8.
es de equivalencia. La clase del par ha, bi la notaremos por [a, b].
Definición III.4.9
(Conjunto de los números racionales).
Q = Z × (Z − {0})/R
Proposición III.4.10.
Q es numerable.
Definición III.4.11.
(a) [a, b] + [c, d] = [a · d + b · c, b · d].
(b) [a, b] · [c, d] = [a · c, b · d].
(c) [a, b] < [c, d] ⇐⇒ a · d < b · c.
(d) 0 = [0, 1], 1 = [1, 1].
Teorema III.4.12.
III.4.C.
hQ, +, ·, 1, 0i es un cuerpo.
Órdenes totales densos
Definición III.4.13.
Sea hA, <i un orden total. Diremos que:
(a) es denso si: ∀z, y ∈ A (z < y =⇒ ∃u (z < u < y)).
(b) no tiene puntos nales si: ∀y ∈ A ∃z, u ∈ A (z < y ∧ y < u).
Teorema III.4.14.
hQ, <i es un orden total denso sin puntos nales.
Teorema III.4.15 (Cantor). Cualesquiera dos órdenes totales, densos, sin puntos nales y numerables son isomorfos.
Sean A y B conjuntos numerables y < y <0 órdenes totales
densos sin puntos nales sobre A y B , respectivamente. Sean
Demostración:
() {an : n ∈ ω} una enumeración de los elementos de A.
() {bn : n ∈ ω} una enumeración de los elementos de B .
Por recursión sobre n ∈ ω denimos una sucesión {Fn : n ∈ ω} tal que:
(1) dom(Fn ) ⊆ A, rang(Fn ) ⊆ B ,
(2) ∀n [Fn ⊆ Fn+1 ].
(3) ∀i < n [ai ∈ dom(Fn )],
Capítulo III. Cardinales
59
(4) ∀i < n [bi ∈ rang(Fn )],
(5) Fn : dom(Fn ) ∼
= rang(Fn ).
Supongamos
S que la sucesión {Fn : n ∈ ω} ha sido denida vericando (1)(5).
Sea F = Fn . Se tiene que:
Aserto III.4.15.1. F : A ∼
= B.
Prueba del aserto: Por (2), F es una función. Por (3), dom(F ) = A. Por
(4), rang(F ) = B . Por tanto, F : A −→ B suprayectiva. Sean a, a0 ∈ A tales
que a < a0 . Sean i, j ∈ ω tales que ai = a y aj = a0 . Sea n = max(i, j) + 1.
Entonces, por (3), ai , aj ∈ dom(Fn ). Por tanto,
a < a0 ⇐⇒ ai < aj
⇐⇒ Fn (ai ) <0 Fn (aj ) [[(5)]]
⇐⇒ Fn (a) <0 Fn (a0 ).
Por tanto, F : A ∼
= B.
2
Por el aserto, para completar la prueba del teorema es suciente denir una sucesión {Fn : n ∈ ω} vericando (1)(5). Para cada n ∈ ω escribiremos
() dom(Fn ) = {cn,0 < . . . < cn,rn }, y
() rang(Fn ) = {dn,0 <0 . . . <0 dn,rn }.
Por (5), ∀j ≤ rn [Fn (cn,j ) = dn,j ].
(n = 0): F0 = ∅.
(n =⇒ n + 1): Supongamos denidas Fj , j ≤ n, vericando (1)(5). La denición
0
(paso hacia delante) tal
de Fn+1 la realizaremos en dos pasos. Deniremos Fn+1
0
0
que Fn ⊆ Fn+1 ; y Fn+1 (paso hacía atrás) tal que Fn+1 ⊆ Fn+1 .
Paso hacia adelante: (El objetivo es asegurar que an ∈ dom(Fn+1 )). Consideremos
los siguientes casos:
0
= Fn .
Caso 1.1: an ∈ dom(Fn ). Entonces Fn+1
Caso 1.2: an ∈
/ dom(Fn ). Se tiene que
Aserto III.4.15.2. Existe b ∈ B tal que
∀j ≤ rn [an < cn,j ⇐⇒ b <0 dn,j ].
Prueba del aserto: Se sigue de que <0 es un orden total denso sobre B sin
puntos nales.
Sea b ∈ B vericando III.4.15.2. Denimos
2
0
Fn+1
(an )
= b.
Paso hacia atrás: (El objetivo es asegurar que bn ∈ rang(Fn+1 )). Consideremos los
siguientes casos:
0
0
Caso 2.1: bn ∈ rang(Fn+1
). Entonces Fn+1 = Fn+1
.
0
Caso 2.2: bn ∈
/ rang(Fn+1
). Se tiene que
60
III.5. Conjuntos no numerables. La función ℵ [[ZF∗ ]]
Aserto III.4.15.3. Existe a ∈ A tal que
0
∀j ≤ rn+1
[a < cn,j ⇐⇒ bn <0 dn,j ].
Prueba del aserto: Se sigue de que < es un orden total denso sobre A sin
puntos nales.
2
Sea a ∈ A vericando III.4.15.3. Denimos Fn+1 (a) = bn .
De la denición de la sucesión {Fn : n ∈ ω} se sigue que se verica (1)(5). Esto
concluye la prueba del teorema.
¥
Sean hA, <i, hB, <i órdenes totales numerables densos sin
puntos nales. Para cualesquiera n ∈ ω , a1 < a2 < . . . < an ∈ A, b1 < b2 < . . . <
bn ∈ B existe F : hA, <i ∼
= hB, <i tal que para todo i, 1 ≤ i ≤ n, F (ai ) = bi .
Corolario III.4.16.
Sea hA, <i un orden total con A nito o numerable. Entonces
e hQ, <i.
hA, <i ⊂
Teorema III.4.17.
Es decir, existe f : A −→ Q inyectiva tal que para cualesquiera a, b ∈ A
a < b ⇐⇒ f (a) < f (b).
III.5. Conjuntos no numerables. La función ℵ [[ZF∗ ]]
Teorema III.5.1
(Cantor). |A| < |P(A)|.
Demostración: Veamos que |A| ≤ |P(A)|. En efecto, la aplicación F : A −→
P(A) dada por F (a) = {a} es inyectiva.
Sean G : A −→ P(A) y B = {x ∈ A : x ∈
/ G(x)}. Se tiene que:
Aserto III.5.1.1. B ∈/ rang(G).
Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Sea a ∈ A tal que G(a) = B .
Entonces
a∈
/ G(a) ⇐⇒ a ∈ B
[[Denición de B]]
⇐⇒ a ∈ G(a) [[B = G(a)]].
Contradicción.
2
Del aserto se sigue que no existe ninguna aplicación biyectiva de A en P(A).
Corolario III.5.2.
Corolario III.5.3
P(ω) no es numerable.
(AC). (Ver III.5.7).
(a) Card es una clase propia.
(b) Card − ω es una clase propia.
¥
¥
Capítulo III. Cardinales
61
((a)): Sean α ∈ Ord y λ = card(P(α)). Entonces por III.5.1,
α < λ; luego, por II.2.16(b), Card es una clase propia.
Demostración:
((b)): Puesto que ω es un conjunto el resultado se sigue de (a).
Teorema III.5.4
¥
(Hartogs). Sea A un conjunto. Existe α ∈ Ord tal que
(a) |α| 6≤ |A|.
(b) α ∈ Card.
(c) ∀λ (|λ| 6≤ |A| =⇒ α ≤ λ).
(d) |α| ≤ |P(P(A × A))|.
A lo largo de la prueba se considera que las relaciones de orden
son reexivas. Sea
Demostración:
B = {R : R es un buen orden sobre un subconjunto de A}.
Es evidente que B ⊆ P(A × A). Sea F : B −→ Ord la aplicación
F(R) = γ ⇐⇒ hdom(R), Ri ∼
= γ.
Puesto que B es un conjunto, F[B] es un conjunto. Por tanto, ∃β (β 6∈ F[B]). Sea
α = (µβ)(β 6∈ F[B]).
Es evidente que α = (µβ)(|β| 6≤ |A|). De aquí se sigue (a), (b) y (c). Para probar
(d) consideremos la aplicación G : α −→ P(P(A × A)) denida por
G(γ) = {R ∈ B : hA, Ri ∼
= γ}.
Es evidente que G es inyectiva.
Definición III.5.5.
Corolario III.5.6
¥
A+ = inf({α : |α| 6≤ |A|}).
(Hartogs).
(a) A+ ∈ Card.
(b) |λ| 6≤ |A| =⇒ A+ ≤ λ.
(c) κ < λ =⇒ κ+ ≤ λ. Es decir, κ+ = inf({λ ∈ Card : κ < λ}).
(d) ∀α ∃β (|β| 6≤ |α|).
Corolario III.5.7.
(Ver III.5.3).
(a) Card es una clase propia.
(b) Card − ω es una clase propia.
S
Sea C ⊆ Card. Por III.1.8, κ = C ∈ Card. Además, para
todo λ ∈ C , λ < κ+ . Por tanto, κ+ ∈
/ C . En consecuencia, Card es una clase
propia.
¥
Demostración:
62
III.6. Aritmética cardinal [[ZF∗ ]]
(La función Aleph, ℵ). Puesto que < bien ordena a Card−
ω , de III.5.7 y II.2.26 se sigue que
Ord ∼
= Card − ω .
Definición III.5.8
Además, por II.1.10, el isomorsmo es único. Notaremos a este isomorsmo por:
ℵ : Ord −→ Card − ω .
Escribiremos ℵα ó ωα en lugar de ℵ(α).
Proposición III.5.9.
(a) ℵ0 = ω
(b) ℵ+
α = ℵα+1 .
(c) ∀α (ωα es un ordinal límite).
(d) α < β ⇐⇒ ℵα < ℵβ .
(e) ℵ es normal. Por tanto, II.4.5, ∀β ∃α ≥ β (α = ℵα ).
III.6. Aritmética cardinal [[ZF∗ ]]
Definición III.6.1.
Sean A, B y C conjuntos.
(a) |C| = |A| + |B|
⇐⇒ |C| = |A ] B|.
Donde (Unión disjunta), A ] B = (A × {0}) ∪ (B × {1}).
(b) |C| = |A| · |B| ⇐⇒ |C| = |A × B|.
(c) |C| = |A||B| ⇐⇒ |C| = |{f : f : B −→ A}| = |B A|.
Lema III.6.2.
Si |A| = |A1 | y |B| = |B1 |, entonces
|A| + |B| = |A1 | + |B1 |, |A| · |B| = |A1 | · |B1 |, |A||B| = |A1 ||B1 | .
III.6.A.
Suma y producto
Lema III.6.3.
ordenables.
Si A y B son bien ordenables, entonces A ] B y A × B son bien
Definición III.6.4.
Sean
κ, λ ∈ Card.
(a) κ + λ = card((κ × {0}) ∪ (λ × {1})).
(b) κ · λ = card(κ × λ).
Lema III.6.5.
ℵα · ℵ α = ℵα .
Capítulo III. Cardinales
63
Sobre Ord × Ord denimos la relación <max como sigue: Sean
hγ1 , γ2 i, hδ1 , δ2 i ∈ Ord × Ord

 max
½ (γ1 , γ2 ) < max(δ1 , δ2 ) ∨
max(γ1 , γ2 ) = max(δ1 , δ2 ) ∧
hγ1 , γ2 i <max hδ1 , δ2 i ⇐⇒

γ1 < δ1 ∨ (γ1 = δ1 ∧ γ2 < δ2 ).
Demostración:
Se tiene que
Aserto III.6.5.1. <max bien ordena a Ord × Ord.
Puesto que Ord es una clase propia, por II.1.13, para cada α ∈ Ord existen
δα,1 , δα,2 ∈ Ord tales que
Fα : ωα ∼
= h(Ord × Ord)hδα,1 ,δα,2 i , <max i.
Puesto que
δ × δ = {hγ1 , γ2 i : hγ1 , γ2 i <max h0, δi} = (Ord × Ord)h0,δi ,
entonces (Ord × Ord)h0,ωα i = ωα × ωα .
Por tanto,
hδα,1 , δα,2 i = h0, ωα i =⇒ Fα : ωα −→ ωα × ωα biyectiva
=⇒ ℵα = ℵα · ℵα .
En consecuencia, es suciente probar el siguiente aserto.
Aserto III.6.5.2. hδα,1 , δα,2 i = h0, ωα i.
Prueba del aserto: Puesto que {hγ, 0i : γ < ωα } ⊆ ωα × ωα y su tipo de
orden, con respecto a <max , es ωα , entonces, por II.1.11(a), hδα,1 , δα,2 i ≤max
h0, ωα i.
Probaremos el aserto por inducción sobre α.
(< α =⇒ α): Por hipótesis de inducción, para todo β < α, hδβ,1 , δβ,2 i =
h0, ωβ i. Por tanto,
(∗) para todo β < α, ℵβ = ℵβ · ℵβ .
Si el aserto no se verica para α, entonces hδα,1 , δα,2 i <max h0, ωα i. Sea δα =
max(δα,1 , δα,2 ). Entonces δα < ωα . Además,
Fα : ωα −→ (δα + 1) × (δα + 1)
es inyectiva. Por tanto, δα ≥ ω ; luego, existe β < α tal que card(δα + 1) = ℵβ .
En consecuencia,
ℵα ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ .
Donde la última igualdad se sigue de (∗). Lo anterior está en contradicción con
ℵβ < ℵα . Lo que prueba el aserto.
2
El aserto completa la prueba del lema.
Teorema III.6.6.
ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max(ℵα , ℵβ ).
¥
64
III.6. Aritmética cardinal [[ZF∗ ]]
Supongamos que α ≤ β ; es decir, ℵβ = max(ℵα , ℵβ ). Entonces
≤ ℵα + ℵβ ≤ ℵβ + ℵβ = 2 · ℵβ ≤ ℵα · ℵβ ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ .
Demostración:
ℵβ
Lo que prueba el teorema.
Corolario III.6.7.
Demostración:
III.6.B.
¥
Para todo n > 0, n · ℵα = ℵα .
En efecto, ℵα ≤ n · ℵα ≤ ℵα · ℵα = ℵα .
¥
Exponenciación
Definición III.6.8.
|A| = κλ
Corolario III.6.9.
Para todo n > 0, ℵnα = ℵα .
Demostración:
Lema III.6.10.
|A| = |λ κ|.
⇐⇒
Por inducción sobre n ∈ ω usando III.6.6.
¥
|A| < 2|A| = |P(A)|.
Proposición III.6.11.
Demostración:
|P(ω)| = 2ℵ0 .
Sea G : ω 2 −→ P(ω) la aplicación denida por:
G(f ) = {n ∈ ω : f (n) = 1},
para cada f ∈ ω 2. Es evidente que G es biyectiva.
Corolario III.6.12.
ℵα < 2ℵα < 22
ℵα
¥
.
Proposición III.6.13.
(a) 2 ≤ n =⇒ nℵα = 2ℵα .
(b) β ≤ α =⇒ ℵβ ℵα = 2ℵα .
(c) ℵβ ≤ 2ℵα =⇒ ℵβ ℵα = 2ℵα .
Demostración:
() n ∈ ω
() β ≤ α
=⇒
=⇒
Puesto que
n ≤ 2ℵα y
ℵβ ≤ ℵα < 2ℵα ,
sólo es necesario probar (c). En efecto,
2ℵα ≤ ℵβ ℵα
[[2 ≤ ℵβ ]]
ℵα ℵα
≤ (2 ) [[ℵβ ≤ 2ℵα ]]
= 2ℵα ·ℵα
= 2 ℵα .
Lo que prueba el resultado.
¥
Capítulo III. Cardinales
65
Proposición III.6.14.
(a) ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 .
(b) 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 .
Demostración:
En efecto,
2ℵ0 ≤ ℵ0 · 2ℵ0 ≤ 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 +ℵ0 = 2ℵ0 .
Lo que prueba el resultado.
¥
III.7. Números reales [[ZF∗ ]]
III.7.A.
Completación
Definición III.7.1.
Sea hP, <i un orden total denso. Diremos que:
(a) P es completo si
∀A ⊆ P (A 6= ∅ ∧ A tiene cota superior =⇒ A tiene supremo).
½
z ∈ A ∧ y < z =⇒ y ∈ A ∧
(b) A ⊆ P es una cortadura ⇐⇒
∃x ∈ P ∀y ∈ A [y < x].
(c) Una cortadura A es una cortadura de Dedekind si A no tiene elemento maximal.
Definición III.7.2.
A si:
Sea hA, <i un orden total. Diremos que B ⊆ A es denso en
∀a, b ∈ A (a < b =⇒ ∃c ∈ B (a < c < b)).
Teorema III.7.3. Sea hP, <i un orden total denso sin puntos nales. Entonces
existe un orden total denso y completo hC, <0 i tal que:
(a) P ⊆ C .
(b) ∀x, y ∈ P (x < y ⇐⇒ x <0 y).
(c) P es denso en C .
(d) C no tiene puntos nales.
Más aún, hC, <0 i es único salvo isomorsmos. Esto es, si hC ∗ , <∗ i es un orden total
denso y completo que satisface (a)-(d), entonces existe H : hC, <0 i ∼
= hC ∗ , <∗ i tal
que
∀x ∈ P (H(x) = x).
A hC, <0 i lo denominaremos completación de hP, <i.
Demostración:
Basta tomar
66
III.7. Números reales [[ZF∗ ]]
() C = {A : A cortadura de Dedekind en P }, y
() para A1 , A2 ∈ C :
A1 <0 A2 ⇐⇒ A1 ⊂ A2 .
Identicando cada x ∈ P con la cortadura de Dedekind, {y ∈ P : y < x} se
prueba que hC, <0 i satisface las propiedades del teorema.
¥
Definición III.7.4
decir,
(Números reales). hR, <i es la completación de hQ, <i. Es
R = {A ⊆ Q : A cortadura de Dedekind en hQ, <i}.
Identicando cada q ∈ Q con la cortadura Aq = {q 0 ∈ Q : q 0 < q} se obtiene que
Q ⊆ R. La relación de orden está denida por: para cada r, t ∈ R,
r < t ⇐⇒ r ⊂ t.
Proposición III.7.5.
Nota III.7.6
() r <R q
() q <Q q 0
Q es denso en R.
¥
(Operaciones sobre R). Sean r ∈ R y q, q 0 ∈ Q. Observemos que
⇐⇒ ∃q1 ∈ Q [q1 ∈
/ r ∧ q1 <Q q].
⇐⇒ q <R q 0 .
Denimos las operaciones sobre números reales.
() r + t = {q + q 0 : q ∈ r ∧ q 0 ∈ t}.
½
{−q : q ∈ Q ∧ r < q},
si r ≥ 0;
() −r =
{q ∈ Q : ∃q 0 ∈ Q [r < q 0 < 0 ∧ q < −q 0 ]}, si r < 0.

0,
si




 {q ∈ Q : ∃q1 ∈ r ∃q2 ∈ t [0 < q1 , q2 ∧ q < q1 · q2 ]}, si
si
() r · t = −((−r) · t),


−(r
·
(−t)),
si



((−r) · (−t)),
si
½
{q ∈ Q : ∃q1 ∈
/ r [q < q1−1 ]}, si 0 < r;
() r−1 =
−1
−((−r) ),
si r < 0.
½
r, si 0 ≤ r;
() |r| =
−r, si r < 0.
Proposición III.7.7.
III.7.B.
hR, +, ·, <, 0, 1i es un cuerpo ordenado.
Topología de la recta real
Definición III.7.8.
(a) d(a, b) = |a − b|.
Sean a < b ∈ R.
r =0∨t=0
0 < r, t;
r < 0 ∧ 0 < t;
0 < r ∧ t < 0;
r < 0 ∧ t < 0.
Capítulo III. Cardinales
67
(b) Intervalo abierto: (a, b) = {c ∈ R : a < c < b}.
(c) Intervalo cerrado: [a, b] = {c ∈ R : a ≤ c ≤ b}.
(d) A ⊆ R es acotado: ∃a, b ∈ R ∀x ∈ A [a ≤ x ≤ b].
Lema III.7.9.
(a) d es una métrica sobre R.
(b) I = {I ⊆ R : I intervalo abierto} es una base de la topología inducida por d
en R.
(c) (R, d) es un espacio métrico completo.
Proposición III.7.10.
numerable.
Toda colección disjunta de intervalos abiertos es nita o
Todo intervalo contiene a un número racional. Para cada I ∈ S
sea qI ∈ Q ∩ I . Sea H : S −→ Q la aplicación denida por:
H(I) = qI .
Demostración:
Puesto que S es una colección de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, H es
inyectiva. Por tanto, |S| ≤ |Q| = ℵ0 .
¾Usa la prueba anterior el Axioma de Elección?
¥
Todo conjunto abierto es la unión de una familia de intervalos abiertos con puntos nales racionales.
Proposición III.7.11.
Demostración:
Sea G abierto. Entonces por III.7.5,
S
G = {(a, b) : a, b ∈ Q, (a, b) ⊆ G}.
¥
Definición III.7.12.
Sea hA, <i un orden total denso.
(a) Diremos que A es separable si existe B ⊆ A numerable y denso en A.
(b) Diremos que A satisface la condición de cadenas numerables, c.c.c., si toda
colección disjunta de intervalos abiertos es numerable.
Lema III.7.13.
Sea hA, <i un orden total denso
(a) Si A es separable, entonces A verica c.c.c.
(b) Si A no tiene puntos nales, es completo y separable, entonces hA, <i ∼
= R.
III.7.C.
El cardinal de R. La Hipótesis del Continuo, CH
Teorema III.7.14.
|R| = 2ℵ0 .
68
III.7. Números reales [[ZF∗ ]]
Demostración:
tanto,
(|R| ≤ 2ℵ0 ): De la denición de R se sigue que R ⊆ P(Q). Por
|R| ≤ |P(Q)|
= |P(ω)| [[Q numerable]]
= 2ℵ0 .
Lo que prueba el resultado.
(2ℵ0 ≤ |R|): Para cada f : ω −→ 2 sea f 0 : ω −→ 2 la función denida por
½
0,
si n es impar;
f 0 (n) =
f (k), si n = 2 · k.
Es decir, f 0 = hf (0), 0, f (1), 0, f (2), . . .i. Sea G : ω 2 −→ R la aplicación denida
por
P
G(f ) = {q ∈ Q : ∃m ∈ ω (q < n≤m f 0 (n) · 2−(n+1) )}
P
= n∈ω f 0 (n) · 2−(n+1) .
Es evidente que para toda f ∈ ω 2, G(f ) ∈ R. Además,
Aserto III.7.14.1. f 6= g =⇒ G(f ) 6= G(g).
Prueba del aserto: Sea m = inf({n : f (n) 6= g(n)}). Supongamos que
f (m) = 1 y g(m) = 0. Entonces

 ∀k < 2 · m (f 0 (k) = g 0 (k)) ∧
f 0 (2 · m) = f (m) = 1 6= 0 = g(m) = g 0 (2 · m) ∧

∃k > 2 · m (g 0 (k) 6= 1).
Por tanto, G(g) < G(f ).
2
ℵ0
Del aserto se sigue que G es inyectiva; luego, 2
≤ |R|.
¥
Corolario III.7.15.
(a) ∀n > 0 (|Rn | = 2ℵ0 ).
(b) |Rω | = 2ℵ0 .
En efecto,
2 = |R| ≤ |Rn | ≤ |Rω | = (2ℵ0 )ℵ0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0 .
Demostración:
ℵ0
Lo que prueba el resultado.
Proposición III.7.16.
Demostración:
A ⊆ R numerable
¥
=⇒
|R − A| = 2ℵ0 .
Es suciente probar que |R − A| = |R| = 2ℵ0 .
(|R − A| ≤ |R|): Trivial, R − A ⊆ R.
(|R| ≤ |R − A|): Sea G : R −→ R × R biyectiva. Puesto que A es numerable,
G(A) = {G(x) : x ∈ A} es numerable. Se tiene que
Capítulo III. Cardinales
69
Aserto III.7.16.1. Existe r ∈ R tal que G(A) ∩ ({r} × R) = ∅.
Prueba del aserto: Sea F : ω −→ A biyectiva. Sean
B = {x ∈ R : ∃y ((x, y) ∈ G(A))}
y H : B −→ ω , la aplicación denida por:
H(x) = (µn)[∃y ((x, y) = G(F (n)))].
Puesto que H es inyectiva, B es nito ó numerable; por tanto, existe r ∈ R−B .
Es evidente que
G(A) ∩ ({r} × R) = ∅.
Lo que prueba el aserto.
2
−1
−1
Por el aserto, G ({r}×R) ⊆ R−A. Por tanto, |G ({r}×R)| ≤ |R−A|. Por otra
parte, de G biyectiva se sigue que |G−1 ({r} × R)| = |R|. Por tanto, |R| ≤ |R − A|.
Lo que prueba el resultado.
¥
Lema III.7.17
(AC). A ⊆ R ∧ |A| < |R|
Demostración:
=⇒
|R − A| = 2ℵ0 .
Puesto que A y R − A son disjuntos
() card(R) = card(R − A) + card(A).
Puesto que al menos uno de los cardinales card(R − A) y card(A) es innito, por
III.6.6 se tiene que
() card(R − A) + card(A) = max(card(R − A), card(A)).
Puesto que card(A) < card(R), de lo anterior se sigue que card(R) = card(R − A).
Lo que prueba el resultado.
¥
Nota III.7.18
(Hipótesis del Continuo (CH)).
¬∃A ⊆ R (ℵ0 < |A| < |R|).
Aserto III.7.18.1. (AC). CH ⇐⇒ ℵ1 = 2ℵ0 .
Se tiene que ZFC 0 CH, ZFC 0 ¬CH.
Proposición III.7.19.
(a) I intervalo abierto =⇒ |I| = 2ℵ0 .
(b) A abierto no vacío =⇒ |A| = 2ℵ0 .
(c) |{A ⊆ R : A abierto}| = 2ℵ0 .
(d) |{A ⊆ R : A cerrado}| = |{A ⊆ R : A cerrado ∧ ℵ0 < |A|}| = 2ℵ0 .
Demostración:
((a)): Consideremos la aplicación f : (0, 1) −→ R denida por:
x .
f (x) = 1 −
x
Es evidente que f es inyectiva. Sea g : (−1, 1) −→ R la aplicación denida por
70
III.8. Aritmética cardinal innita [[ZF∗ ]]

si 0 < x < 1;
 f (x),
si x = 0;
g(x) = 0,

−f (−x), si −1 < x < 0.
Es evidente que g es biyectiva. Sea I = (a, b) un intervalo abierto. Consideremos
la aplicación h : (a, b) −→ (−1, 1) denida por:
h(x) = 2 · (x − a) − 1.
b−a
Es evidente que h es biyectiva. Por tanto,
|(a, b)| = |(−1, 1)| = |R| = 2ℵ0 .
Lo que prueba (a).
((b)): (|A| ≤ 2ℵ0 ): Puesto que A ⊆ R, |A| ≤ |R| = 2ℵ0 .
(2ℵ0 ≤ |A|): Puesto que A es abierto, existe I , intervalo abierto, tal que I ⊆ A.
Por tanto, 2ℵ0 = |I| ≤ |A|.
((c)): El resultado se sigue de los siguientes asertos:
Aserto III.7.19.1. |{A ⊆ R : A abierto}| ≤ 2ℵ0 .
Prueba del aserto: Consideremos la aplicación.
f : {A ⊆ R : A abierto} −→ P(Q × Q)
denida por
f (A) = {ha, bi ∈ Q × Q : (a, b) ⊆ A}.
S
Puesto que A = {(a, b) : ha, bi ∈ f (A)}, f es inyectiva. Por tanto,
|{A ⊆ R : A abierto}| ≤ |P(Q × Q)| [[f inyectiva]]
= |P(Q)|
[[|Q| = |Q × Q|]]
= 2 ℵ0 .
Lo que prueba el aserto.
2
Aserto III.7.19.2. 2 ≤ |{A ⊆ R : A abierto}|.
Prueba del aserto: En efecto, {(r, r + 1) : r ∈ R} ⊆ {A ⊆ R : A abierto}.
ℵ0
2
Lo que prueba (c).
((d)): Se sigue de (c).
¥
III.8. Aritmética cardinal innita [[ZF∗ ]]
Definición III.8.1.
Sean {Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos y B un conjunto.
(a) |B| = Σi∈I |Ai |
(b) |B| = Πi∈I |Ai |
⇐⇒
⇐⇒
|B| = |]i∈I Ai |.
|B| = |×i∈I Ai |.
Capítulo III. Cardinales
71
Donde
S
() Unión disjunta: ]i∈I Ai = {ha, ii : a ∈ Ai ∧ i ∈ I} = i∈I (Ai × {i}).
S
() Producto cartesiano: ×i∈I Ai = {f : f : I −→ i∈I Ai ∧ ∀i ∈ I (f (i) ∈ Ai )}.
Si para todo i ∈ I , Ai = A, entonces
Lema III.8.2
]i∈I Ai = A × I , ×i∈I Ai = AI .
((AC)). Sean {Ai : i ∈ I} y {Bi : i ∈ I} familias de conjuntos.
(
∀i ∈ I (|Ai | = |Bi |)
=⇒
(
∀i ∈ I (|Ai | ≤ |Bi |)
=⇒
Σi∈I |Ai | = Σi∈I |Bi |;
Πi∈I |Ai | = Πi∈I |Bi |.
Σi∈I |Ai | ≤ Σi∈I |Bi |;
Πi∈I |Ai | ≤ Πi∈I |Bi |.
Sean A un conjunto y {κi : i ∈ I} familia de cardinales bien
ordenables; es decir, una función de I en Card.
Definición III.8.3.
(a) |A| = Σi∈I κi
(b) |A| = Πi∈I κi
Lema III.8.4.
Entonces
⇐⇒
⇐⇒
|A| = |]i∈I κi |.
|A| = |×i∈I κi |.
Sean {κi : i ∈ I}, {κ0i : i ∈ I} ⊆ Card tales que ∀i ∈ I (κi ≤
κ0i ).
(a) Σi∈I κi ≤ Σi∈I κ0i .
(b) Πi∈I κi ≤ Πi∈I κ0i .
Lema III.8.5. Sea {κi : i ∈ I} una familia de cardinales tales que para todo
i ∈ I , 2 ≤ κi . Entonces
Σi∈I κi ≤ Πi∈I κi .
Proposición III.8.6.
(a) Πi∈I κi λ = (Πi∈I κi )λ .
(b) Πi∈I κλi = κ(Σi∈I λi ) .
(c) Asociativa: Si {Aj : j ∈ J} es una partición de I , entonces
¡
¢
Πi∈I κi = Πj∈J Πi∈Aj κi .
Demostración:
λ
((a)): Denimos F : Πi∈I κλi −→ (Πi∈I κi ) . Sea f ∈ Πi∈I κλi .
F (f )(α)(i) = f (i)(α).
Es evidente que F es biyectiva.
((b)): Denimos F : Πi∈I κλi −→ κ(Σi∈I λi ) . Sean f ∈ Πi∈I , (α, i) ∈ Σi∈I λi ,
F (f )(α, i) = f (i)(α).
Es evidente que F es biyectiva.
72
III.9. Exponenciación cardinal [[ZF∗ ]]
((c)): Denimos F : Πi∈I κi −→ Πj∈J (Πi∈Aj κi ). Sean j ∈ J y f : I −→
tales que ∀i ∈ I [f (i) ∈ κi ]
F (f )(j)(i) = f (i).
Es evidente que F es biyectiva.
S
i∈I
κi
¥
Lema III.8.7. Sea {κα : α < λ} ⊆ Card, donde λ es un cardinal innito, tal que
para todo α < λ, κα ≥ 1, y κ = sup({κα : α < λ}).
(a) Σα<λ κα = κ · λ.
(b) Si {κα : α < λ} es no decreciente, Πα<λ κα = κλ .
Demostración:
((a)): (Σα<λ κα ≤ κ · λ): Trivial.
(κ · λ ≤ Σα<λ κα ): Se tiene que
Aserto III.8.7.1.
(i) κ ≤ Σα<λ κα , y
(ii) λ ≤ Σα<λ κα .
κ · λ = max(κ, λ) ≤ Σα<λ κα .
((b)): (Πα<λ κα ≤ κλ ): Trivial, Πα<λ κα ≤ Πα<λ κ = κλ .
(κλ ≤ Πα<λ κα ): Sean F : λ × λ −→ λ biyectiva y para cada β < λ, Aβ =
Por tanto,
F [λ × {β}]. Entonces {Aβ : β < λ} es una partición de λ. Por tanto,
Πα<λ κα = Πβ<λ (Πα∈Aβ κα ).
Puesto que la sucesión {κα : α < λ} es no decreciente, para todo β < λ,
∀β ∈ λ [κ = sup({κα : α ∈ Aβ })].
Se tiene que
Aserto III.8.7.2. κ ≤ Πα∈Aβ κα .
Por tanto,
κλ = Πα<λ κ ≤ Πβ<λ (Πα∈Aβ κα ) = Πα<λ κα .
Lo que prueba el resultado.
¥
III.9. Exponenciación cardinal [[ZF∗ ]]
III.9.A.
Conalidad
Definición III.9.1.
(a) Sea f : β −→ α. Diremos que f es conal en α si
∀δ < α ∃γ < β [δ ≤ f (γ)].
Capítulo III. Cardinales
73
(b) Sea α ∈ Ord. Denimos la conalidad de α, cf(α), por:
cf(α) = inf({β : ∃f (f : β −→ α conal en α)}).
Lema III.9.2.
(a) cf(α) ≤ α.
(b) cf(0) = 0.
(c) cf(α + 1) = 1.
(d) cf(α) es un cardinal.
Proposición III.9.3.
(a) α límite =⇒
(b) cf(ω) = ω .
(c) cf(ω + ω) = ω .
cf(α) límite.
((a)): Puesto que α es límite, 1 < cf(α). Sea f : β + 1 −→ α
conal, donde 0 < β . Denimos g : β −→ α
Demostración:
() g(0) = max(f (0), f (β)).
() g(γ) = f (γ), si γ 6= 0.
Entonces g es conal. Por tanto, cf(α) ≤ β . Por tanto, cf(α) no es sucesor.
((b)): Se sigue de (a), pues ω es el menor ordinal límite.
((c)): Por (a), ω ≤ cf(ω + ω). Consideremos la aplicación f : ω −→ ω + ω ,
f (n) = ω + n. Es evidente que f es conal en ω + ω .
¥
Lema III.9.4.
Sean f : γ −→ α y g : α −→ β conales.
g no decreciente
Demostración:
Entonces
=⇒
g ◦ f conal.
Sea δ < β . Existen σ < α y ρ < γ tales que δ ≤ g(σ) y σ ≤ f (ρ).
δ ≤ g(σ) ≤ g(f (ρ)).
Donde la última desigualdad se sigue de g no decreciente.
Lema III.9.5.
¥
Existe g : cf(α) −→ α tal que g es creciente y conal.
Demostración: Sin perdida de generalidad podemos suponer que α es límite.
Sea h : cf(α) −→ α conal. Denimos g : cf(α) −→ α
() g(0) = h(0).
() g(β) = max(sup({g(γ) : γ < β}), h(β)) + 1.
74
III.9. Exponenciación cardinal [[ZF∗ ]]
Tengamos en cuenta en la denición anterior que si β < cf(α), entonces
∃δ < α ∀γ < β (g(γ) ≤ δ).
Es evidente que g es creciente y conal en α.
Lema III.9.6.
cf(β).
β límite ∧ g : α −→ β no decreciente y conal
¥
=⇒
cf(α) =
Demostración: (cf(β) ≤ cf(α)): Sea f : cf(α) −→ α conal. Entonces de III.9.4
se sigue que g ◦ f : cf(α) −→ β es conal. Por tanto, cf(β) ≤ cf(α).
(cf(α) ≤ cf(β)): Sea f : cf(β) −→ β conal. Denimos h : cf(β) −→ α
h(γ) = inf({δ < α : f (γ) < g(δ)}) = (µδ)<α [f (γ) < g(δ)].
Sean ρ < α y γ < cf(β) tales que g(ρ) < f (γ) [[β es límite]]. Puesto que g es
no decreciente, ∀η ≤ ρ [g(η) < f (γ)]. Por tanto, ρ < h(γ). En consecuencia, h es
conal en α; luego, cf(α) ≤ cf(β).
¥
Proposición III.9.7.
(a) cf(cf(β)) = cf(β).
(b) α límite =⇒ cf(ωα ) = cf(α).
((a)): Si β es sucesor, el resultado es trivial. Supongamos que β
es límite. Entonces el resultado se sigue de III.9.5 y III.9.6 tomando α = cf(β).
Demostración:
((b)): Sea g : α −→ ωα , g(γ) = ωγ . Si α es límite, entonces g es creciente y conal.
Por tanto, el resultado se sigue de III.9.6.
¥
III.9.B.
Cardinales regulares
Definición III.9.8.
α es regular
⇐⇒
α límite ∧ cf(α) = α.
En caso contrario diremos que α es singular.
Lema III.9.9.
α límite
Demostración:
Lema III.9.10
=⇒
cf(α) regular.
Se sigue de III.9.7-(a) y III.9.3-(a).
(AC). Sea κ un cardinal innito. Son equivalentes:
(a) κ es singular.
(b) Existen λ < κ y {κδ : δ ∈ λ} tales que
(b.1) ∀δ < λ (κδ < κ).
P
(b.2) κ = δ<λ κδ .
¥
Capítulo III. Cardinales
75
((a) =⇒ (b)): Sean λ = cf(κ) y f : λ −→
card(f (δ) + 1). Entonces
κ ≤ |]δ<λ (f (δ) + 1)|
[[f conal]]
= Σδ<λ card(f (δ) + 1)
= Σδ<λ κδ
= sup({κδ : δ < λ}) · λ
≤ κ·λ
= κ.
Demostración:
κ conal. Sea κδ =
κ = Σδ<λ κδ .
((b) =⇒ (a)): Sea f : λ −→ κ la aplicación f (δ) = κδ . Es evidente que f es
Por tanto,
conal.
¥
Teorema III.9.11
(Hausdor (AC)). ℵα+1 es regular.
Demostración: Supongamos que ℵα+1
λ < ℵα+1 y {κδ : δ < λ} tales que
es singular. Entonces por III.9.10 existen
() ∀δ < λ (κδ < ℵα+1 ).
() ℵα+1 = Σδ<λ κδ .
Por tanto,
(1) ∀δ < λ (κδ ≤ ℵα ); luego, sup({κδ : δ < λ}) ≤ ℵα .
(2) λ ≤ ℵα . [[λ < ℵα+1 ]].
En consecuencia,
ℵα+1 = Σδ<λ κδ
= sup({κδ : δ < λ}) · λ [[III.8.7]]
≤ ℵ α · ℵα
[[(1), (2)]]
= ℵα .
Por tanto, ℵα+1 ≤ ℵα . Contradicción.
III.9.C.
¥
El lema de König
Teorema III.9.12
(Lema de König). Sea κ un cardinal innito. Se tiene que:
(a) κ < κcf(κ) .
(b) (AC) κ < cf(2κ ).
((a)): Sea G : κ −→ κcf(κ) . Veamos que G no es suprayectiva.
Sea h : cf(κ) −→ κ conal. Denimos f : cf(κ) −→ κ por
f (β) = inf(κ − {G(γ)(β) : γ < h(β)}).
Demostración:
Veamos que
76
III.9. Exponenciación cardinal [[ZF∗ ]]
() ∀α < κ [G(α) 6= f ].
Sea α < κ. Entonces existe β < cf(κ) tal que α < h(β). Por tanto,
f (β) = inf(κ − {G(γ)(β) : γ < h(β)})
6= G(α)(β)
[[α < h(β)]].
Por tanto, G(α) 6= f .
((b)): Supongamos que cf(2κ ) ≤ κ. Entonces
κ
(2κ )cf(2 ) ≤ (2κ )κ = 2κ .
Lo cual está en contradicción con (a).
¥
Nota III.9.13.
() 2ℵ0 6= ℵω .
(
ℵ1 ≤ 2ℵ0
() (AC)
ω < cf(2ℵ0 )
() Sea
κ tal que ω < cf(κ).
ZFC consistente
III.9.D.
=⇒
ZFC + 2ℵ0 = κ consistente.
Las funciones Continuo y Gimel
Definición III.9.14.
(a) La función Continuo: κ 7−→ 2κ .
(b) La función Gimel: ‫(ג‬κ) = κcf(κ) .
Teorema III.9.15
ℵα
ℵβ
=
(AC).
 ℵβ
2 ,






 ℵγ ℵβ ,
si α ≤ β;
si β < α ∧ ∃γ < α (ℵα ≤ ℵγ ℵβ );


ℵα ,





‫(ג‬ℵα ),
Demostración:
si β < α ∧ ∀γ < α (ℵγ ℵβ < ℵα ) ∧ ℵβ < cf(ℵα );
si β < α ∧ ∀γ < α (ℵγ ℵβ < ℵα ) ∧ ℵβ ≥ cf(ℵα ).
Dividiremos la prueba en los siguientes casos:
Caso 1: α ≤ β : Entonces ℵα ℵβ = 2ℵβ .
Caso 2: β < α: Consideraremos los siguientes casos:
Caso 2.1: ∃γ < α (ℵα ≤ ℵγ ℵβ ). Entonces
ℵγ ℵβ ≤ ℵα ℵβ ≤ (ℵγ ℵβ )
ℵβ
= ℵγ ℵβ .
Caso 2.2: ∀γ < α (ℵγ ℵβ < ℵα ): Consideramos los siguientes casos:
Capítulo III. Cardinales
77
Caso 2.2.1: ℵβ < cf(ℵα ). Entonces las aplicaciones de ℵβ en ℵα están
acotadas. Por tanto,
ℵ
ℵα ≤ ℵα ℵβ = Σγ<ℵα card(γ) β ≤ Σγ<ℵα ℵα = ℵα · ℵα = ℵα .
Caso 2.2.2: cf(ℵα ) ≤ ℵβ . Entonces ℵα P
es singular. Por tanto, existe una
familia {κδ : δ < cf(ℵα )} tal que ℵα = δ<cf(ℵα ) κδ y κδ < ℵα , para todo
δ < cf(ℵα ). En consecuencia,
ℵ
‫(ג‬ℵα ) ≤ ℵαβ
P
= ( δ<cf(ℵα ) κδ )ℵβ
Q
≤ ( δ<cf(ℵα ) κδ )ℵβ
Q
ℵ
≤ δ<cf(ℵα ) κδ β
Q
≤ δ<cf(ℵα ) ℵα
cf(ℵ )
= ℵα α
= ‫(ג‬ℵα ).
Lo que prueba el teorema.
III.9.E.
¥
La Hipótesis Generalizada del Continuo, GCH
Nota III.9.16.
(a) La hipótesis del continuo (CH): 2ℵ0 = ℵ1 .
(b) La hipótesis generalizada del continuo (GCH): ∀α [2ℵα = ℵα+1 ].
(AC). Supongamos GCH. Si κ ≥ 2, λ ≥ 1 y al menos uno
de ellos es innito, entonces
 +
 λ , si κ ≤ λ;
κλ = κ+ , si cf(κ) ≤ λ < κ;

κ,
si λ < cf(κ).
Teorema III.9.17
Demostración:
Caso 1:
Dividimos la prueba en los siguientes casos.
κ ≤ λ: Entonces
λ+ = 2λ ≤ κλ ≤ λλ = 2λ = λ+ .
Caso 2: λ < κ: Consideremos los siguientes casos.
Caso 2.1: cf(κ) ≤ λ: Puesto que κ < κcf(κ) , entonces
κ+ ≤ κcf(κ) ≤ κλ ≤ κκ = 2κ = κ+ .
Caso 2.2: λ < cf(κ): Entonces como en III.9.15,
tiene que:
() card(α) ≤ λ
() λ < card(α)
=⇒
=⇒
κλ = Σα<κ card(α)λ . Se
card(α)λ ≤ 2λ = λ+ ≤ κ.
card(α)λ ≤ card(α)card(α) = card(α)+ ≤ κ.
78
III.10. Ejercicios
Por tanto,
κ ≤ κλ = Σα<κ card(α)λ ≤ Σα<κ κ = κ · κ = κ.
Lo que prueba el teorema.
¥
Corolario III.9.18 (AC).
(a) ℵ0 ≤ κ =⇒ max(2cf(κ) , κ+ ) ≤ ‫(ג‬κ).
(b) GCH =⇒ ‫(ג‬κ) = κ+ .
¥
III.10. Ejercicios
(III.1.3.1). Sean F : A ¹ B y G : B ¹ A. Por recursión
sobre n ∈ ω denimos la siguiente sucesión, {An : n ∈ ω}:
Ejercicio III.10.1
() A0 = A − G[B].
() An+1 = G[F [An ]].
S
Sean A∗ = {An : n ∈ ω} y H : A −→ G[B] la aplicación denida por:
½
G(F (a)), si a ∈ A∗ ;
H(a) =
a,
en caso contrario.
Entonces
(i) a ∈ An =⇒ H(a) ∈ An+1 .
(ii) a ∈ A∗ =⇒ H(a) ∈ A∗ .
(iii) n 6= m =⇒ An ∩ Am = ∅ ∧ F [An ] ∩ F [Am ] = ∅.
(iv) H es biyectiva.
Ejercicio III.10.2
(III.1.4). A ⊆ B ⊆ C ∧ |A| = |C| =⇒ |B| = |C|.
Ejercicio III.10.3 (III.1.6, III.1.7).
(a) A es bien ordenable =⇒ A ∼ card(A).
(b) (AC): Para todo A existe κ ∈ Card tal que card(A) = κ.
(c) ω ≤ α =⇒ α + 1 ∈/ Card.
(d) |A| = |κ| =⇒ card(A) = κ.
(e) |κ| < |λ| ⇐⇒ κ < λ.
(f) card(α) ∈ Card.
(g) card(α) ≤ α.
(h) card(α) ≤ β ≤ α =⇒ card(β) = card(α).
(i) card(card(α)) = card(α).
Ejercicio III.10.4
(III.2.6).
Capítulo III. Cardinales
79
(a) |A| = |B| =⇒ (A nito ⇐⇒ B nito).
(b) B ⊆ A ∧ A ∈ Fin =⇒ B ∈ Fin.
S
(c) A ∈ Fin ∧ ∀B ∈ A (B ∈ Fin) =⇒
A ∈ Fin.
(d) A ∈ Fin =⇒ P(A) ∈ Fin.
(e) A, B ∈ Fin =⇒ A × B ∈ Fin.
(f) B ∈/ Fin =⇒ ∀A [A ∈ Fin =⇒ ∃C ⊆ B (|C| = |A|)].
(g) A ∈ Fin ∧ y ∈/ A =⇒ |A| 6= |A ∪ {y}|.
(h) A ∈ Fin ∧ B ⊂ A =⇒ |A| 6= |B|.
Ejercicio III.10.5
(ZF−
∗ , (III.3.9)).
(a) Para todo n ∈ ω , An es un conjunto.
(b) A<ω es un conjunto.
(c) P<ω (A) = {B ⊆ A : B nito} es un conjunto.
Ejercicio III.10.6 (III.3.11). Sea A numerable y R una relación de equivalencia
sobre A. Entonces:
(a) {y/R : y ∈ A} es numerable.
(b) ∀y ∈ A (y/R es numerable).
Ejercicio III.10.7.
(a) (III.4.1) La relación R denida sobre ω × ω por:
hhn1 , n2 i, hm1 , m2 ii ∈ R
⇐⇒
n1 + m 2 = m 1 + n2
es de equivalencia. A la clase de equivalencia del par hn, mi la notaremos por
[n, m].
(b) (III.4.3) ∀a ∈ Z ∃n ∈ ω (a = [n, 0] ∨ a = [0, n]).
(c) (III.4.4) Z es numerable.
(d) (III.4.7)
(d.1) hZ, +.·, 1, 0i es un dominio de integridad.
(d.2) hZ, <i es un orden total, pero no es un buen orden.
(e) (III.4.8) La relación R denida sobre Z × (Z − {0}) por:
hha, bi, hc, dii ∈ R
⇐⇒
a·d=b·c
es de equivalencia. La clase del par ha, bi la notaremos por [a, b].
(f) (III.4.10) Q es numerable.
(g) (III.4.12) hQ, +, ·, 1, 0i es un cuerpo.
(h) (III.4.14) hQ, <i es un orden total denso sin puntos nales.
Ejercicio III.10.8.
(a) (III.4.16) Sean hA, <i, hB, <i órdenes totales numerables densos sin puntos
nales. Para cualesquiera n ∈ ω , a1 < a2 < . . . < an ∈ A, b1 < b2 < . . . < bn ∈
B existe F : hA, <i ∼
= hB, <i tal que
F (ai ) = bi , i = 1, . . . , n.
80
III.10. Ejercicios
(b) (III.4.17) Sea hA, <i un orden total con A nito o numerable. Entonces
e hQ, <i.
hA, <i ⊂
Es decir, existe f : A −→ Q inyectiva tal que para cualesquiera a, b ∈ A
a < b ⇐⇒ f (a) < f (b).
Ejercicio III.10.9 (Hartogs, (III.5.6)).
(a) A+ ∈ Card.
(b) λ 6¹ A =⇒ A+ ≤ λ.
(c) κ < λ =⇒ κ+ ≤ λ. Es decir, κ+ = inf({λ ∈ Card : κ < λ}).
(d) ∀α ∃β (β 6¹ α).
Ejercicio III.10.10 (III.5.9).
(a) ℵ0 = ω
(b) ℵ+
α = ℵα+1 .
(c) ∀α (ωα es un ordinal límite).
(d) α < β ⇐⇒ ℵα < ℵβ .
(e) ℵ es normal. Por tanto, dado β , ∃α ≥ β (α = ℵα ).
Ejercicio III.10.11
(III.6.2). Si |A| = |A1 | y |B| = |B1 |, entonces
|A| + |B| = |A1 | + |B1 |, |A| · |B| = |A1 | · |B1 |, |A||B| = |A1 ||B1 |
Ejercicio III.10.12
(III.6.10). |A| < 2|A| = |P(A)|.
Ejercicio III.10.13
(III.6.3). Si A y B son bien ordenables, entonces A ] B y
Ejercicio III.10.14
(III.6.5.1). Sobre ωβ ×ωβ consideremos la siguiente relación
A × B son bien ordenables.
de orden:

 max(γ1 , γ2 ) < max(δ1 , δ2 ) ∨ ½
γ1 < δ1 ∨
hγ1 , γ2 i < hδ1 , δ2 i ⇐⇒
 max(γ1 , γ2 ) = max(δ1 , δ2 ) ∧
γ1 = δ1 ∧ γ2 < δ2
Entonces < bien ordena a ωβ × ωβ .
Ejercicio III.10.15
(III.6.12). ℵα < 2ℵα < 22 α .
ℵ
(III.7.3). Sea hP, <i un orden total denso sin puntos nales.
Entonces existe un orden total denso completo hC, <0 i tal que:
(a) P ⊆ C .
(b) ∀x, y ∈ P (x < y ⇐⇒ x <0 y).
(c) P es denso en C .
(d) C no tiene puntos nales.
Ejercicio III.10.16
Capítulo III. Cardinales
81
Más aún, hC, <0 i es único salvo isomorsmos. Esto es, si hC ∗ , <∗ i es un orden total
denso y completo que satisface (a)-(d), entonces existe H : hC, <0 i ∼
= hC ∗ , <∗ i tal
que
∀x ∈ P (H(x) = x).
A hC, <0 i lo denominaremos completación de hP, <i.
Ejercicio III.10.17.
(a) (III.7.5) Q es denso en R.
(b) (III.7.7) hR, +, ·, <, 0, 1i es un cuerpo ordenado.
(c) (III.7.9)
(c.1) d es una métrica sobre R.
(c.2) I = {I ⊆ R : I intervalo abierto} es una base de la topología inducida
por d en R.
(c.3) (R, d) es un espacio métrico completo.
(d) (III.7.13) Sea hA, <i un orden total denso
(d.1) Si A es separable, entonces A verica c.c.c.
(d.2) Si A no tiene puntos nales, es completo y separable, entonces hA, <i ∼
= R.
Ejercicio III.10.18
de conjuntos.
((AC), III.8.2). Sean {Ai : i ∈ I} y {Bi : i ∈ I} familias
(
∀i ∈ I (|Ai | = |Bi |)
=⇒
(
∀i ∈ I (|Ai | ≤ |Bi |)
Ejercicio III.10.19
=⇒
Σi∈I |Ai | = Σi∈I |Bi |
Πi∈I |Ai | = Πi∈I |Bi |
Σi∈I |Ai | ≤ Σi∈I |Bi |
Πi∈I |Ai | ≤ Πi∈I |Bi |
(III.8.4). Sean {κi : i ∈ I}, {κ0i : i ∈ I} ⊆ Card tales que
∀i ∈ I (κi ≤ κ Entonces
(a) Σi∈I κi ≤ Σi∈I κ0i .
(b) Πi∈I κi ≤ Πi∈I κ0i .
0
i ).
(III.8.5). Sea {κi : i ∈ I} una familia de cardinales tales
que para todo i ∈ I , 2 ≤ κi . Entonces
P
Q
i∈I κi .
i∈I κi ≤
Ejercicio III.10.20
Ejercicio III.10.21.
(a) (III.8.7.1)
(i) κ ≤ Σα<λ κα , y
(ii) λ ≤ Σα<λ κα .
(b) (III.8.7.2) κ ≤ Πα∈Aβ κα .
82
III.10. Ejercicios
Ejercicio III.10.22 (III.9.2).
(a) cf(α) ≤ α.
(b) cf(0) = 0.
(c) cf(α + 1) = 1.
(d) cf(α) es un cardinal.
Ejercicio III.10.23
de III.9.12-(b)?
(III.9.12). ¾Dónde se usa el axioma de elección en la prueba
Ejercicio III.10.24 (AC, III.9.18).
(a) ℵ0 ≤ κ =⇒ max(2cf(κ) , κ+ ) ≤ ‫(ג‬κ).
(b) GCH =⇒ ‫(ג‬κ) = κ+ .
Ejercicio III.10.25
(a) Ax. del innito
(b) ∃x [x innito].
(ZF−
∗ + Inf ). Son equivalentes:
Ejercicio III.10.26. Determinar cuáles de las siguientes colecciones son conjuntos y cuáles clases propias.
(a) {α ∈ Ord : α ∼ ω}.
(b) {A : A ∼ ω}.
(c) (AC) {κ ∈ Card : κ = κℵ0 }.
Ejercicio III.10.27.
(a) ℵ0 ≤ |A| =⇒ |A| + n = |A|.
(b) |A| + 1 = |A| ⇐⇒ ℵ0 ≤ |A|.
Ejercicio III.10.28.
Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:
Ejercicio III.10.29.
Sea f : R −→ R.
(a) {f : f : ω −→ R}.
(b) {f : f : R −→ R}.
(a) Supongamos que f es creciente. Determinar el cardinal del siguiente conjunto:
{a ∈ R : f no es continua en a}.
(b) Diremos que a ∈ R es un máximo para f si existe un intervalo abierto I tal
que:
a ∈ I y ∀x ∈ I (x 6= a =⇒ f (x) < f (a)).
Determinar el cardinal del siguiente conjunto:
{a : a es un máximo para f }.
Ejercicio III.10.30.
Probar que no existe una aplicación f : ω1 −→ R creciente.
Capítulo III. Cardinales
83
(AC). Sea {An : n ∈ ω} una partición de R. Probar que
existe n ∈ ω tal que card(An ) = card(R).
Ejercicio III.10.31
Sean I 6= ∅ y {Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos tal que
para todo i ∈ I , Ai 6= ∅. Sea
S
B = ( i∈I Ai )ω .
Ejercicio III.10.32.
Probar que para todo i ∈ ω , |B × Ai | = |B|.
Ejercicio III.10.33. Sean α = ω4 + ω3 y κ = ℵα . Usando la hipótesis generalizada del continuo calcular κλ en los siguientes casos:
(a) λ = ℵ5 .
(b) λ = ℵω2 .
(c) λ = ℵω5 .
Ejercicio III.10.34.
Probar que para cada ordinal α:
Ejercicio III.10.35.
Si existe f : ωα −→ A suprayectiva, entonces A ¹ ωα .
(a) Existe un cardinal singular κ > α.
(b) Existe un cardinal κ > α tal que cf(κ) = ω .
Ejercicio III.10.36 (AC). Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:
(a) ωα − ωβ , β < α.
(b) {A ⊆ ωα : card(A) < ℵ0 }.
(c) {A ⊆ ω1 : card(A) = ℵ0 }.
(d) {A ⊆ ω1 : card(A) = ℵ1 }.
(e) {A ⊆ ωβ : card(A) = ℵ0 }, donde ℵβ ≤ 2ℵ0 .
(f) 2 × ωβ .
(g) {A ⊆ ωβ : card(A) = ℵβ }.
Ejercicio III.10.37
(AC). Probar que existe κ > ℵ0 tal que ∀λ < κ (2λ < κ).
Ejercicio III.10.38.
sigue
Para cada conjunto A denimos el factorial de A, A! como
A! = {f ∈ AA : f biyectiva}
Probar que:
(a) |A| = |B| =⇒
(b) (AC) κ innito
Ejercicio III.10.39
lentes:
(a) CH.
|A!| = |B!|.
=⇒ κ! = 2κ .
((AC)). Probar que las condiciones siguientes son equiva-
84
III.10. Ejercicios
(b) ℵℵ1 0 = ℵ1 .
(c) ℵℵ1 0 < ℵℵ2 0 .
Ejercicio III.10.40
(AC). ℵα+1 ℵβ = ℵα ℵβ · ℵα+1 .
Capítulo IV
El axioma de regularidad
IV.1. La clase WF [[ZF∗ ]]
(Axioma de Regularidad)
Nota IV.1.1.
x 6= ∅ =⇒ ∃y ∈ x (y ∩ x = ∅).
Definición IV.1.2
(ZF∗ ).
(a) Denimos V : Ord −→ V como sigue:
() V(0) = ∅.
() V(α + 1) = P(V(α)).
S
() V(α) = β<α V(β), si α es límite.
S
(b) WF = α∈Ord V(α).
Sea A una clase.
S
(a) ∀x ∈ A (Trans(x)) =⇒ A transitiva.
(b) A transitiva =⇒ P(A) transitiva.
Nota IV.1.3.
Lema IV.1.4.
Lema IV.1.5
x ∈ WF ∧ α = inf[{β : x ∈ V(β)}]
=⇒
α sucesor.
¥
(ZF). A transitivo ∧ A 6= ∅ =⇒ ∅ ∈ A.
Demostración:
Ejercicio.
Definición IV.1.6.
Sea x ∈ WF, denimos
rank(x) = inf[{β : x ∈ V(β + 1)}] = (µβ)[x ∈ V(β + 1)] = (µβ)[x ⊆ V(β)].
¥
86
IV.1. La clase WF [[ZF∗ ]]
Proposición IV.1.7.
(a) ∀α ∈ Ord
(a.1) V(α) es transitivo.
(a.2) β ≤ α =⇒ V(β) ⊆ V(α)
(b) WF es transitiva.
(c) ∀α ∈ Ord [V(α) = {x ∈ WF : rank(x) < α}].
(d) Si y ∈ WF, entonces
(d.1) x ∈ y =⇒ rank(x) < rank(y)
(d.2) rank(y) = sup({rank(x) + 1 : x ∈ y})
(e) x ∈ WF, x transitivo =⇒ ∀β < rank(x) ∃y ∈ x [rank(y) = β].
(f) ∀x [x ∈ WF ⇐⇒ x ⊆ WF].
Demostración:
((a)): Por inducción sobre α ∈ Ord. (a.1) se sigue de IV.1.3.
((b)): Se sigue de (a.1) y IV.1.3.
((c)): De la denición de rank se sigue que
V(α) ⊆ {x ∈ WF : rank(x) < α}.
Por inducción sobre α ∈ Ord probaremos la otra inclusión.
(α = 0): V(0) = ∅, {x ∈ WF : rank(x) < 0} = ∅.
(α =⇒ α + 1): Sea x ∈ WF tal que rank(x) < α + 1. Entonces rank(x) ≤ α.
() Si rank(x) < α, por hipótesis de inducción x ∈ V(α). Por tanto, x ∈ V(α + 1).
() Si rank(x) = α, entonces, por denición de rank, x ∈ V(α + 1).
(α límite): Sea x ∈ WF tal que rank(x) < α. Entonces existe β < α tal que
rank(x) = β < β + 1 < α. Por hipótesis de inducción, x ∈ V(β + 1) ⊆ V(α).
((d)): Sean y ∈ WF, α = rank(y), β = sup({rank(x) + 1 : x ∈ y}).
((d.1)): Sea x ∈ y . Puesto que y ∈ V(α + 1), y ⊆ V(α). Luego, x ∈ V(α), de (c)
se sigue que rank(x) < α.
((d.2)): Veamos que α = β .
(β ≤ α): Se sigue de (d.1).
(α ≤ β ): De la denición de β y (c) se sigue que y ⊆ V(β). Por tanto, y ∈ V(β +1).
Luego, α ≤ β .
((e)): Ejercicio.
((f)): (=⇒): Se sigue de (b).
(⇐=): Sea α = sup({rank(y) + 1 : y ∈ x}). Entonces x ⊆ V(α). Por tanto,
x ∈ P(V(α)) = V(α + 1). Luego, x ∈ WF.
¥
Capítulo IV. El axioma de regularidad
87
Proposición IV.1.8.
(a) ∀α ∈ Ord [α ∈ WF ∧ rank(α) = α ∧ V(α) ∩ Ord = α]
(b) Sea S
x ∈ WF tal que rank(x) = α. Entonces
(b.1) x, P(x), {x} ∈ WF.
S
(b.2) rank( x) ≤ α, rank(P(x)) = α + 1 = rank({x}).
(c) Sean x, y ∈ WF y α = max(rank(x), rank(y)). Entonces
(c.1) {x, y}, x ∪ y, x ∩ y, hx, yi, x × y, x y ∈ WF.
½
(c.2)
rank({x, y}) = α + 1, rank(x ∪ y) = α, rank(x ∩ y) ≤ α
rank(hx, yi) = α + 2, rank(x × y) ≤ α + 2, rank(x y) ≤ α + 3
Demostración:
sobre α.
((a)): Es suciente probar que ∀α (rank(α) = α). Por inducción
(α = 0). Entonces rank(0) = 0.
(α =⇒ α + 1): Puesto que α ∈ V(α + 1), α + 1 = α ∪ {α} ⊆ V(α + 1). Luego,
α + 1 ∈ V(α + 2). Además, rank(α + 1) ≤ α + 1. Se tiene que:
rank(α + 1) = sup({rank(β) : β < α + 1}) [[IV.1.7-(d.2)]]
= sup({β + 1 : β < α + 1})
[[Hip. ind.]]
= α + 1.
(α límite): β < α =⇒ β ∈ V(β + 1) ⊆ V(α). Por tanto, α ⊆ V(α). Luego,
α ∈ V(α + 1). Además, rank(α) = sup({rank(β) + 1 : β < α}) = α.
S
S
S
((b)): ( x): Puesto que x ⊆ V(α), entonces x ⊆ V(α). Por tanto, rank( x) ≤
α.
(P(x)): Puesto que x ⊆ V(α), entonces P(x) ⊆ P(V(α)) = V(α + 1). Por tanto,
rank(P(x)) ≤ α + 1. La otra desigualdad es trivial.
({x}): rank({x}) = sup({rank(x) + 1}) = α + 1.
((c)): ({x, y}): rank({x, y}) = sup({rank(x) + 1, rank(y) + 1}) = α + 1.
(x∪y ): Puesto que x, y ⊆ V(α), entonces x∪y ⊆ V(α). Por tanto, rank(x∪y) ≤ α.
La otra desigualdad es trivial.
(hx, yi): Por denición hx, yi = {{x}, {x, y}}. Por tanto, como
() rank({x}) ≤ rank({x, y}) = α + 1,
se tiene que rank(hx, yi) = α + 2.
(x × y ): Consideremos los siguientes casos:
Caso 1: α límite: Entonces rank(x × y) = α
Caso 2: α sucesor: Entonces rank(x × y) = α + 2.
(x y ): Se tiene que x y ⊆ P(x × y). Por tanto, rank(x y) ≤ α + 3.
¥
88
IV.2. El axioma de regularidad [[ZF∗ ]]
Definición IV.1.9
(AC). Denimos i : Ord −→ Card por:

si α = 0;

 ℵ0 ,
iβ
si α = β + 1;
iα = 2 ,


sup({iβ : β < α}), si α es límite.
Proposición IV.1.10.
(a) ∀n ∈ ω |V(n)| < ℵ0 .
(b) |V(ω)| = ℵ0 .
(c) (AC) |V(ω + α)| = iα .
¥
IV.2. El axioma de regularidad [[ZF∗ ]]
Sea A una clase y R una relación sobre A. Diremos que R
está bien fundamentada sobre A si:
Definición IV.2.1.
∀B ⊆ A [B 6= 0 → ∃y ∈ B (∀z ∈ B (hz, yi ∈
/ R))].
Si y ∈ B y ∀z ∈ B(hz, yi ∈
/ R), diremos que y es un elemento Rminimal de B en
A.
Si R es la relación de pertenencia, ∈, entonces ∈ está bien fundamentada sobre A es la propiedad
Nota IV.2.2.
∀B ⊆ A [B 6= ∅ → ∃y ∈ B (y ∩ B = ∅)].
Es fácil comprobar que:
() Ax Reg
⇐⇒ ∈ está bien fundamentada sobre V.
Lema IV.2.3.
(a) A ∈ WF =⇒ ∈ está bien fundamentada sobre A.
(b) A transitivo ∧ ∈ bien fundamentada sobre A =⇒ A ∈ WF.
Demostración:
((a)): Ejercicio.
((b)): Sea B = A − WF. Supongamos que B 6= ∅.
Puesto que ∈ está bien fundamentada sobre A, existe C ∈ B tal que B ∩ C = ∅.
Puesto que A es transitivo, C ⊆ A.
De lo anterior se sigue que C ⊆ WF. Luego, por IV.1.7-(f), C ∈ WF. Lo cual es
una contradicción. Por tanto, A ⊆ WF; en consecuencia, A ∈ WF. Lo que prueba
el resultado.
¥
Capítulo IV. El axioma de regularidad
Definición IV.2.4
½ S0
89
(ZF−
∗ ).
(x) = x; S S
n
∪n+1 (x) =
(x).
S Sn
(b) TC(x) = { (x) : n ∈ ω}. TC(x) es la clausura transitiva de x.
(a)
Lema IV.2.5.
(a) TC(x) es el menor conjunto transitivo que contiene a x; es decir,
(a.1) x ⊆ TC(x).
(a.2) TC(x) es transitivo.
(a.3) x ⊆ y ∧ y transitivo =⇒ TC(x) ⊆ y .
(b) x transitivo =⇒ TC(x) = x.
(c) y ∈ x =⇒ TC(y) ⊆ TC(x).
S
(d) TC(x) = x ∪ {TC(y) : y ∈ x}.
Proposición IV.2.6.
¥
Son equivalentes:
(a) x ∈ WF.
(b) TC(x) ∈ WF.
(c) ∈ está bien fundamentada sobre TC(x).
((a) =⇒ (b)): Por inducción sobre n ∈ ω se obtiene que
WF. Por tanto, TC(x) ⊆ WF. Luego, por IV.1.7-(f), TC(x) ∈ WF.
Demostración:
Sn
(x) ∈
((b) =⇒ (c)): Se sigue de IV.2.3-(a).
((c) =⇒ (a)): Puesto que TC(x) es transitivo, de IV.2.3-(b) se sigue que TC(x) ∈
WF; por tanto, como x ⊆ TC(x), x ∈ WF.
¥
Teorema IV.2.7.
Son equivalentes:
(a) Axioma de regularidad.
(b) ∀A (∈ está bien fundamentada sobre A).
(c) V = WF.
Demostración:
((a) =⇒ (b)): Trivial.
((b) =⇒ (c)): Por hipótesis, ∈ está bien fundamentada sobre TC(A); luego por
IV.2.6, A ∈ WF.
((c) =⇒ (a)): Sean A 6= ∅ y α = inf[{rank(x) : x ∈ A}].
Sea B ∈ A tal que rank(B) = α. Entonces A ∩ B = ∅.
Teorema IV.2.8
(a) x ∈ Ord.
(ZF). Son equivalentes:
¥
90
IV.3. ∈Inducción y ∈recursión [[ZF−
∗ ]]
(b) Trans(x) ∧ hx, ∈i orden total.
(c) Trans(x) ∧ ∀y ∈ x (Trans(y)).
IV.3.
∈Inducción y ∈recursión [[ZF−
∗ ]]
IV.3.A. Relaciones adecuadas
Definición IV.3.1.
Sean A una clase y R una relación sobre A.
(a) Diremos que R es adecuada sobre A si:
∀x ∈ A ({y ∈ A : hy, xi ∈ R} es un conjunto).
(b) Si R es adecuada sobre A, denimos
(b.1) ExtR (x) = {y ∈ A : hy, xi ∈ R}.
(
Ext0R (x) = ExtR (x)
S
n
Extn+1
R (x) = {ExtR (y) : y ∈ ExtR (x)}
S
(b.3) ClR (x) = {ExtnR (x) : n ∈ ω}.
(b.2)
Proposición IV.3.2.
Si R es adecuada sobre A y x ∈ A, entonces
(a) ∀y ∈ ClR (x) (ExtR (y) ⊆ ClR (x)).
S
(b) ClR (x) = ExtR (x) ∪ {ClR (y) : y ∈ ExtR (x)}.
IV.3.B. Teoremas de inducción y recursión sobre relaciones bien
fundamentadas y adecuadas
Teorema IV.3.3
(Teorema de inducción). Sea R una relación bien fundamen-
tada y adecuada sobre A y B ⊆ A. Entonces
(a) B 6= ∅ → B tiene un elemento Rminimal en A.
(b) ∀x ∈ A (ExtR (x) ⊆ B → x ∈ B) =⇒ A = B.
Lema IV.3.4 (ZF). En el teorema anterior la condición de que R es adecuada
sobre A puede omitirse.
Teorema IV.3.5
(Teorema de ∈-inducción (ZF∗ )).
(a) B 6= ∅ =⇒ ∃x ∈ B (x ∩ B = ∅).
(b) Sean A transitiva y B ⊆ A.
∀x ∈ A (x ⊆ B → x ∈ B) =⇒ A = B.
Capítulo IV. El axioma de regularidad
91
(c) Sean A y B clases transitivas y F : A −→ B una función biyectiva tal que
∀x, y ∈ A (x ∈ y ↔ F(x) ∈ F(y)).
Entonces A = B y F es la identidad.
(Teorema de recursión). Sean R una relación bien fundamentada y adecuada sobre A y G : V × V −→ V una función. Entonces existe
una única F : A −→ V tal que:
∀x ∈ A (F(x) = G(x, F|ExtR (x) ).
Teorema IV.3.6
Esquema de la prueba. Considerar la clase C
½
f aplicación ∧ ∃z ∈ A (dom(f ) = ClR (z) ∪ {z}) ∧
⇐⇒
∀x ∈ dom(f ) (f (x) = G(x, f|ExtR (x) )).
Demostración:
f ∈C
Probar que:
Aserto IV.3.6.1.
() ∀f, g ∈ C (x ∈ dom(f ) ∩ dom(g) → f (x) = g(x)).
() ∀x ∈ A ∃f ∈ C (dom(f ) = ClR (x) ∪ {x}).
Tomar F =
S
C.
¥
Corolario IV.3.7 (Teorema de ∈recursión (ZF∗ )). Sean A una clase transitiva y G : V × V −→ V. Entonces existe una única F : A −→ V tal que para
todo x ∈ A, F(x) = G(x, F|x ).
Sean R una relación bien fundamentada y adecuada sobre A
y x ∈ A. Denimos rankR (x) = sup({rankR (y) + 1 : hy, xi ∈ R}).
Definición IV.3.8.
Lema IV.3.9.
Si A es transitiva y ∈ está bien fundamentada sobre A, entonces
(a) A ⊆ WF.
(b) ∀x ∈ A (rank∈ (x) = rank(x)).
IV.4. Ejercicios
Ejercicio IV.4.1
(ZF, IV.1.5). A transitivo ∧ A 6= ∅ =⇒ ∅ ∈ A.
Ejercicio IV.4.2
(IV.1.7-(e)).
x ∈ WF, x transitivo =⇒ ∀β < rank(x) ∃y ∈ x [rank(y) = β].
Ejercicio IV.4.3
sobre A.
(IV.2.3-(a)). Si A ∈ WF, entonces ∈ está bien fundamentada
92
IV.4. Ejercicios
Ejercicio IV.4.4 (IV.2.5).
(a) TC(x) es el menor conjunto transitivo que contiene a x; es decir,
(a.1) x ⊆ TC(x).
(a.2) TC(x) es transitivo.
(a.3) x ⊆ y ∧ y transitivo =⇒ TC(x) ⊆ y .
(b) x transitivo =⇒ TC(x) = x.
(c) y ∈ x =⇒ TC(y) ⊆ TC(x).
S
(d) TC(x) = x ∪ {TC(y) : y ∈ x}.
¥
Ejercicio IV.4.5 (ZF, IV.2.8). Son equivalentes:
(a) x ∈ Ord.
(b) Trans(x) ∧ hx, ∈i orden total.
(c) Trans(x) ∧ ∀y ∈ x (Trans(y)).
Ejercicio IV.4.6 (ZF, IV.3.4). En el teorema anterior la condición de que R
es adecuada sobre A puede omitirse.
Ejercicio IV.4.7
(IV.3.6.1).
() ∀f, g ∈ C (x ∈ dom(f ) ∩ dom(g) → f (x) = g(x)).
() ∀x ∈ A ∃f ∈ C (dom(f ) = ClR (x) ∪ {x}).
Capítulo V
El Axioma de Elección
V.1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC
V.1.A. El Axioma de Elección
Definición V.1.1
(El Axioma de Elección).
∀A ∃f FE(f, A).
(AC)
Donde
FE(f, A)
Teorema V.1.2
⇐⇒

 f aplicación ∧
A = dom(f ) ∧

∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f (y) ∈ y).
(Russell). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) Para todo I 6= ∅ y toda familia {Aj : j ∈ I}
∀j ∈ I (Aj 6= ∅)
=⇒
×j∈I Aj 6= ∅.
S ((a) =⇒ (b)): Sea g una función de elección sobre {Aj : j ∈ I}.
j∈I Aj la función denida por
f (j) = g(Aj ).
Demostración:
Sea f : I −→
Entonces para todo j ∈ I , f (j) ∈ Aj . Por tanto, f ∈ ×j∈I Aj .
((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que ∅ ∈
/ A. El conjunto A es una familia de conjuntos sobre A. Para ello
basta considerar la aplicación identidad: IdA : A −→ AS
, IdA (B) = S
B . Por (b),
×B∈A B 6= ∅. Sea f ∈ ×B∈A B . Entonces f : A −→ B∈A B(= A) y para
todo B ∈ A, f (B) ∈ B . Por tanto, f es una función de elección sobre A.
¥
94
V.1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC
Teorema V.1.3
(del Buen Orden (Zermelo)). (Ver II.3.4). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) Todo conjunto puede ser bien ordenado.
Demostración:
Ver II.3.4.
¥
V.1.B. Principios maximales
Teorema V.1.4
(Hausdor-Zorn). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) Lema de Zorn. Para todo orden parcial hA, <i, si
(∗) ∀B ⊆ A [hB, <i totalmente ordenado =⇒ B tiene cota superior],
entonces A tiene un elemento maximal.
((a) =⇒ (b)): Sea < un orden parcial sobre A vericando (∗).
Veamos que A tiene elementos maximales. Probaremos algo más:
Demostración:
() ∀y ∈ A ∃z ∈ A [y ≤ z ∧ z es maximal].
Sea <0 un buen orden sobre A. Sea a ∈ A. Supongamos que ∃x ∈ A (a < x). Por
recursión denimos F : Ord −→ A como sigue:
½
inf<0 ({x > a : ∀δ < α (F(δ) < x)}), si {x > a : ∀δ < α (F(δ) < x)} 6= ∅;
F(α) =
a,
en caso contrario.
Observemos que para todo α, < es un orden total sobre F[α]. Se tiene que
Aserto V.1.4.1. ∃α > 0 (F(α) = a).
Prueba del aserto: En caso contrario, F : Ord −→ A es inyectiva. Lo cual
está en contradicción con Ord clase propia.
2
Sea β = inf({α > 0 : F(α) = a}). Es evidente que F(β) = a. Además,
Aserto V.1.4.2. β es sucesor.
Prueba del aserto: Si β es límite, entonces F[β] es una cadena en A sin cota
superior. Lo cual está en contradicción con (∗).
2
Sea δ tal que β = δ + 1. Entonces F(δ) es un elemento maximal de A.
((b) =⇒ (a)): Sea X un conjunto. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer
que ∅ ∈
/ X . Sea
A = {f : ∃Y ⊆ X [FE(f, Y )]}.
Entonces ⊆ es un orden
parcial sobre A. Sea B ⊆ A tal que ⊆ es un orden total
S
sobre B . Entonces B ∈ A y es una cota superior de B . Por tanto, de (b) se
sigue que existe f ∈ A maximal. Se tiene que
Capítulo V. El Axioma de Elección
95
Aserto V.1.4.3. FE(f, X).
Prueba del aserto: De la denición de A lo único que hay que probar es
que dom(f ) = X . Supongamos lo contrario. Sea B ∈ X − dom(f ). Puesto que
B 6= ∅, existe b ∈ B . Sea
g = f ∪ {hB, bi}.
Entonces g ∈ A y f ⊂ g . Lo cual está en contradicción con que f es maximal
(respecto de ⊆).
2
Del aserto se sigue (a).
Definición V.1.5.
¥
Diremos que un conjunto A tiene carácter nito si
∀B [B ∈ A ⇐⇒ ∀C ⊆ B (C nito =⇒ C ∈ A)].
Teorema V.1.6
(Takeuti). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) ∀A [A tiene carácter nito =⇒ ∃B ∈ A (B ⊆maximal)].
V.2. Cardinales
Teorema V.2.1
(Hartogs). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) ∀A ∀B (|A| < |B| ∨ |B| < |A| ∨ |A| = |B|).
Lema V.2.2.
∀A ∀κ ∈ Card [|A × κ| ≤ |A ] κ| =⇒ (|A| ≤ κ ∨ κ ≤ |A|)].
Teorema V.2.3
(Tarski). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) ∀A (A innito =⇒ |A2 | = |A|).
V.3. Formas débiles del Axioma de Elección
Definición V.3.1.
(a) (ACω (Axioma de Elección Numerable)):
∀A [A numerable =⇒ ∃f [dom(f ) = A ∧ ∀x ∈ A (x 6= ∅ =⇒ f (x) ∈ x)]
(b) (DC (Principio de Elecciones Dependientes)): Para todo A y R ⊆ A×A
∀x ∈ A ∃y ∈ A (hy, xi ∈ R) =⇒ ∃f ∈ Aω ∀n ∈ ω (hf (n + 1), f (n)i ∈ R)
96
V.4. Equivalencias bajo el axioma de regularidad
Veamos una versión alternativa del Principio de Elecciones Depen0
dientes. Sea (DC) la siguiente propiedad: Para todo A y R ⊆ A × A
½
f (0) = x ∧
∀x ∈ A ∃y ∈ A (hy, xi ∈ R) =⇒ ∀x ∈ A ∃f ∈ Aω
∀n ∈ ω (hf (n + 1), f (n)i ∈ R)
Nota V.3.2.
Aserto V.3.2.1. (DC)
Lema V.3.3.
Lema V.3.4
AC
⇐⇒
=⇒
DC
0
(DC) .
=⇒
ACω .
(ACω ).
(a) Si para todo n ∈ ω , An es numerable, entonces
(b) ω1 es regular.
(c) Si A es innito, entonces A es Dinnito.
Lema V.3.5
lentes:
S
n∈ω
An es numerable.
(DC). Sean A un conjunto y < un orden total sobre A. Son equiva-
(a) Existe f : ω −→ A tal que ∀n ∈ ω (f (n + 1) < f (n)).
(b) < no es una relación de buen orden sobre A.
Demostración:
((a) =⇒ (b)): No necesita DC. Sea f : ω −→ A tal que
() ∀n ∈ ω (f (n + 1) < f (n)).
Sea B = {f (n) : n ∈ ω} ⊆ A. Entonces B 6= ∅ y no tiene ínmo. Por tanto, < no
es un buen orden.
((b) =⇒ (a)): Supongamos que < no es un buen orden sobre A. Sea B ⊆ A no
vacío tal que B no tiene ínmo; es decir,
() ∀x ∈ B ∃y ∈ B (y < x).
Consideremos la restricción de < a B ,
() <|B = B 2 ∩ < = {hx, yi ∈ B 2 : x < y}.
Por (DC), existe f : ω −→ B tal que
() ∀n ∈ ω (f (n + 1) < f (n)).
Puesto que f : ω −→ A, de lo anterior se sigue el resultado.
V.4. Equivalencias bajo el axioma de regularidad
Lema V.4.1
(ZF). Son equivalentes:
¥
Capítulo V. El Axioma de Elección
97
(a) Axioma de elección.
(b) Para todo α ∈ Ord, V(α) es bien ordenable.
Demostración:
((a) =⇒ (b)): Se sigue del teorema del buen orden.
((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Veamos que A es bien ordenable. Por el axioma
de Regularidad, existe α ∈ Ord tal que A ⊆ V(α). Por (b) existe < buen orden
sobre V(α). Es evidente que <|A es un buen orden sobre A.
¥
Supongamos que existe f : α −→ V tal que para todo β < α,
f (β) = <β es un buen orden de Rβ = {x : rank(x) = β}. Entonces V(α) es bien
ordenable.
Lema V.4.2.
Demostración: Consideremos la relación <f sobre V(α) denida como sigue
(recordemos que V(α) = {x ∈ WF : rank(x) < α}). Sean x, y ∈ V(α)
(
rank(x) < rank(y) ∨
x <f y ⇐⇒
(rank(x) = rank(y) = β < α ∧ x <β y).
Es evidente que <f es un buen orden sobre V(α).
Teorema V.4.3
¥
(ZF). Son equivalentes:
(a) El axioma de elección.
(b) Para todo conjunto A, P(A) es bien ordenable.
(c) Para todo conjunto A, si A es bien ordenable, entonces P(A) es bien ordenable.
(d) ∀α ∈ Ord (P(α) bien ordenable).
Demostración:
((a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d)): Trivial.
((d) =⇒ (c)): Sea A un conjunto bien ordenable. Entonces existe α ∈ Ord tal
que |α| = |A|. Entonces |P(α)| = |P(A)|. Por hipótesis, P(α) es bien ordenable.
Por tanto, también lo es P(A).
((d) =⇒ (a)): Esta parte de la prueba usa el axioma de regularidad.
Por V.4.1 es suciente probar que para todo α, V(α) es bien ordenable.
Para ello, por V.4.2, es suciente demostrar que existe f : α −→ V tal que para
todo β < α, f (β) = <β es un buen orden de Rβ = {x : rank(x) = β}.
La denición de f es por recursión sobre β . Supongamos que f ha sido denida
para todo δ < β de tal forma que f (δ) = <δ es un buen orden de Rδ . Entonces,
ver V.4.2, V(β) es bien ordenable. Un buen orden, <f|β , viene dado como sigue:
Sean x, y ∈ V(β).
½
rank(x) < rank(y) ∨
x <f|β y ⇐⇒
(rank(x) = rank(y) = γ < β ∧ x <γ y).
Sea λ = V(α)+ (el cardinal de Hartogs de V(α); es decir, el menor cardinal bien
ordenable tal que no existe ninguna aplicación inyectiva de λ en V(α)). Por (d),
P(λ) es bien ordenable. Sea <∗ un buen orden sobre P(λ).
98
V.5. Espacios compactos
Puesto que card(V(β)) < λ, existen ρβ < λ y gβ únicos tales que
gβ : hV(β), <f i ∼
= ρβ .
|β
Ahora denimos f (β) = <β , buen orden sobre Rβ , como sigue: Sean x, y ∈ Rβ .
x <β y
⇐⇒
gβ [x] <∗ gβ [y].
Es evidente que <β bien ordena al conjunto Rβ .
Puesto que <∗ es un buen orden de P(λ), <β es un buen orden de Rβ .
Esto completa la prueba del teorema.
¥
V.5. Espacios compactos
Definición V.5.1.
Sea X un conjunto.
(a) Diremos que F ⊆ P(X) es un ltro sobre X si
(a.1) X ∈ F , ∅ ∈/ F .
(a.2) A, B ∈ F =⇒ A ∩ B ∈ F .
(a.3) A ∈ F ∧ A ⊆ B =⇒ B ∈ F .
(b) Diremos que U ⊆ P(X) es un ultraltro sobre X si
(b.1) U es un ltro sobre X .
(b.2) Para todo A ⊆ X , A ∈ U ó Ac ∈ U .
(c) Diremos que A ⊆ P(X) tiene la propiedad de la intersección nita si para
cualesquiera A1 , . . . , An ∈ A, A1 ∩ · · · ∩ An 6= ∅.
Lema V.5.2. Sea A ⊆ P(X) con la propiedad de la intersección nita. Entonces
existe un ltro sobre X , F , tal que A ⊆ F .
Lema V.5.3.
Sea U un ltro sobre X . Son equivalentes.
(a) U es un ultraltro.
(b) U es un ltro maximal.
Lema V.5.4
que F ⊆ U .
(AC). Sea F un ltro sobre X . Existe un ultraltro U sobre X tal
Capítulo V. El Axioma de Elección
Teorema V.5.5.
99
Son equivalentes:
(a) El axioma de elección.
Q
(b) Para toda familia {Xi : i ∈ I} de espacios topológicos compactos, i∈I Xi es
un espacio compacto.1
((a) =⇒Q(b)): Sean {Xi : i ∈ I} una familia de espacios topológicos compactos y X = Xi . Sea A ⊆ F(X) una familia de conjuntos cerrados
con la propiedad de la intersección nita. Veamos que
Demostración:
(∗) ∩A 6= ∅.
Por V.5.2 y V.5.4 existe un ultraltro, U , sobre X tal que A ⊆ U .
Para cada i ∈ I sea Di = {cl(Πi (A)) : A ∈ U}.
Aserto V.5.5.1. Di tiene la propiedad de la intersección nita.
Prueba del aserto: Sean E1 , . . . , En ∈ Di . Entonces existen A1 , . . . , An ∈ U
tales que Ej = cl(Πi (Aj )), 1 ≤ j ≤ n. Puesto que U es un ultraltro, entonces
A1 ∩ · · · ∩ An 6= ∅. Sea x ∈ A1 ∩ · · · ∩ An . Se tiene que para todo j , 1 ≤ j ≤ n,
x ∈ Aj =⇒ Πi (x) ∈ Πi (Aj ) =⇒ Πi (x) ∈ cl(Πi (Aj )) = Ej .
Por tanto, Πi (x) ∈ E1 ∩ · · · ∩ En .
T
2
Puesto que Xi es compacto, del asertoTse sigue que Di 6= ∅. Por el axioma de
elección, para cada i ∈ I existe xi ∈ Di . Sea x ∈ X tal que para todo i ∈ I ,
Πi (x) = xi .
T
Aserto V.5.5.2. x ∈ A.
T
Prueba del aserto: Supongamos que x ∈/ A. Entonces existe F ∈ A tal
que x ∈
/ F . Puesto que F es cerrado, existe G ∈ G(X) tal que
Q
() Existe J = {j1 , . . . , jm } ⊆ I nito tal que G = i∈I Gi , donde Gi ∈ G(Xi )
y para todo i ∈
/ J , Gi = Xi .
() x ∈ G y G ∩ F = ∅.
Entonces
() Para todo i ∈ I , Πi (x) ∈ Πi (G).
() G ∩ F = Πj−1
(Gj1 ) ∩ · · · ∩ Πj−1
(Gjm ) ∩ F = ∅.
1
m
Puesto que F ∈ U , de lo anterior se sigue que
Πj−1
(Gj1 ) ∩ · · · ∩ Πj−1
(Gjm ) ∈
/ U.
1
m
Por tanto, existe k ∈ {j1 , . . . , jm }, tal que Πk−1 (Gk ) ∈
/ U . Puesto que
U es un ultraltro, (Πk−1 (Gk ))c ∈ U . Luego, Πk−1 (Gck ) ∈ U . Por tanto,
cl(Πk (Πk−1 (Gck ))) ∈ Dk . Puesto que GkT∈ G(Xk ) y Πk (Πk−1 (Gck )) = Gck ,
/ Dk . Lo cual está en contradicción
Gck ∈ Dk . Además, xk ∈ Gk ; luego, xk ∈
con la elección de x.
2
1 Las nociones y resultados de topología utilizados pueden consultarse en el capítulo
VII.
100
V.5. Espacios compactos
Del aserto se sigue (∗). Por tanto, X es compacto.
((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Veamos que existe una función de elección
S sobre
A. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que ∅ ∈
/ A. Sea a ∈
/ A. Para
cada B ∈ A sea OB una topología sobre B ∪ {a} tal que
() OB es compacto,
() B es cerrado en OB .
Por ejemplo, podemos tomar OB = {∅, {a}, B, B ∪ {a}}. Consideremos el espacio
topológico producto X = ×B∈A (B ∪ {a}). Por hipótesis, X es compacto.
T
Aserto V.5.5.3. B∈A ΠB−1 (B) 6= ∅.
T
Prueba del aserto: Supongamos lo contrario; es decir, B∈A ΠB−1 (B) = ∅.
Entonces
S
−1
X = B∈A (ΠB
(B))c .
−1
Puesto que B es cerrado en OB , entonces ΠB
(B) es cerrado en X ; por tanto,
−1
c
ΠB (B) es abierto en X . Puesto que X es compacto, existen B1 , . . . , Bn ∈ A
tales que
−1
−1
X = ΠB
(B1 )c ∪ · · · ∪ ΠB
(Bn )c .
1
n
Por tanto,
−1
f ∈ X ⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f ∈ ΠB
(Bi )c )
i
−1
⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f ∈
/ ΠB
(Bi ))
i
⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (ΠBi (f ) ∈
/ Bi )
⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f (Bi ) = a).
Sean b1 ∈ B1 , . . . , bn ∈ Bn y g ∈ X la aplicación denida por:
(
a, si (∀i)1≤i≤n (B 6= Bi );
g(B) =
bi , si B = Bi .
De lo anterior se sigue que: g ∈
/ X . Contradicción.
T
T
−1
−1
(B) =
(B). Puesto que B∈A ΠB
Por el aserto, existe f ∈ B∈A ΠB
entonces f es una función de elección sobre A.
2
×B∈A B ,
¥
Esta nota contiene comentarios sobre el uso del Axioma de Elección
en la prueba del teorema anterior. Primero veamos que no es necesario el uso del
Axioma de Elección para productos nitos.
Notas V.5.6.
Aserto V.5.6.1. Sean X1 y X2 espacios topológicos compactos, entonces el espacio producto X1 × X2 es compacto.
Prueba del aserto: Sea Q un recubrimiento abierto de X1 × X2 . Sea
P = {H ∈ G(X1 ) : existen G1 , . . . , Gk ∈ Q tales que H × X2 ⊆
Se tiene que:
S
1≤j≤k
Gj }.
Capítulo V. El Axioma de Elección
101
S
(i) X1 = P .
Prueba de (i): Para cada x ∈ X1 , sea
Qx = {G ∈ Q : x ∈ Π1 (G)}.
S
Es evidente que: {x} × X2 ⊆ Qx . Sea R2 = {Π2 (G) : G ∈ Qx }. Entonces
S
S
X2 = R2 = G∈Qx Π2 (G).
Puesto queSX2 es compacto, de lo anterior se sigue que existe R02 ⊆ R2 nito tal
que X2 = R02 . Sean G1 , . . . , Gn ∈ Qx tales que R02 = {Π2 (G1 ), . . . , Π2 (Gn )}.
Sea
Hx = Π1 (G1 ) ∩ · · · ∩ Π1 (Gn ).
Entonces
() Hx ∈ G(X1 ),
() Hx × X2 ⊆ G1 ∪ · · · ∪ Gn .
Por tanto, Hx ∈ P . Puesto que x ∈ Hx , entonces x ∈
S
P . Lo que prueba (i).
Puesto que X1 es compacto, por (i), existen H1 , . . . , Hm ∈ P tales que
X1 = H1 ∪ · · · ∪ Hm .
Para cada j , 1 ≤ j ≤ m, sean Gj,1 , . . . , Gj,rj ∈ Q tales que
Hj × X2 ⊆ Gj,1 ∪ · · · ∪ Gj,rj .
Entonces
X1 × X2 = (H1 ∪ · · · ∪ Hk ) × X2
= (H1 × X2 ) ∪ · · · ∪ (Hk × X2 )
= (G1,1 ∪ · · · ∪ G1,r1 ) ∪ · · · ∪ (Gk,1 ∪ · · · ∪ Gk,rk ).
Por tanto, {Gi,j : 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ ri } ⊆ Q es un recubrimiento nito del
espacio X1 × X2 .
2
En la prueba del teorema V.5.5 usamos dos veces el Axioma de Elección:
() Para obtener un ultraltro U tal que A ⊆ U . Para ello es suciente usar V.5.4.
Esta propiedad no es equivalente al Axioma de Elección.
() Para obtener x ∈ X tal que para todo i ∈ I , Πi (x) = xi .
Ahora veremos que el segundo uso del Axioma de Elección no es necesario para
espacios de Hausdor.
Supongamos que para todo i ∈ I , Xi es de Hausdor. Como en la prueba de V.5.5,
para cada i ∈ I , sea Di = {cl(Πi (A)) : A ∈ U}. Recordemos que
T
() para todo i ∈ I , Di 6= ∅.
Se tiene que
Aserto V.5.6.2.
T
Di es unitario.
Ahora denimos x ∈ X como sigue: para todo i ∈ I ,
102
V.6. Ejercicios
xi = z ⇐⇒ z ∈
T
Di .
Tampoco es necesario usar el axioma de elección para probar que el espacio de
Cantor, C = 2ω , es compacto.
V.6. Ejercicios
Ejercicio V.6.1 (Takeuti, V.1.6). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) ∀A [A tiene carácter nito =⇒ ∃B ∈ A (B ⊆maximal)].
Ejercicio V.6.2 (Hartogs, V.2.1). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) ∀A ∀B (|A| < |B| ∨ |B| < |A| ∨ |A| = |B|).
Ejercicio V.6.3
(V.2.2).
∀A ∀κ ∈ Card [|A × κ| ≤ |A ] κ| =⇒ (|A| ≤ κ ∨ κ ≤ |A|)].
Ejercicio V.6.4 (Tarski, V.2.3). Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elección.
(b) ∀A (A innito =⇒ |A2 | = |A|).
Ejercicio V.6.5
(V.3.2.1). (DC)
Ejercicio V.6.6
(V.3.3).
AC
⇐⇒
=⇒
0
(DC) .
DC
=⇒
ACω .
Ejercicio V.6.7 ((ACω ), V.3.4).
S
(a) Si para todo n ∈ ω , An es numerable, entonces n∈ω An es numerable.
(b) ω1 es regular.
(c) Si A es innito, entonces A es Dinnito.
Ejercicio V.6.8.
Sea ERC la siguiente propiedad:
() Para todo conjunto A y toda relación de equivalencia R sobre A, existe una
aplicación f : A −→ A tal que:
(ERC1) ∀a ∈ A [(a, f (a)) ∈ R],
(ERC2) ∀a, b ∈ A [(a, b) ∈ R → f (a) = f (b)].
Probar que las condiciones siguientes son equivalentes:
(a) El axioma de elección.
(b) ERC.
Ejercicio V.6.9
(V.5.6.2).
Ejercicio V.6.10.
T
Di es unitario.
C es compacto.
Capítulo VI
Espacios Polacos
VI.1. Espacios Polacos
Sea X un espacio topológico. Diremos que X es un espacio
Polaco si X es separable y completamente metrizable.2
Definición VI.1.1.
Nota VI.1.2.
Presentamos algunos procedimientos para obtener espacios Polacos.
(a) Sea X un espacio métrico separable. Entonces la completación de X , X̂ , es un
espacio Polaco.
(b) Sea {Xn :Q n ∈ ω} una sucesión de espacios
Polacos. Entonces el espacio
L
producto,
n∈ω
Xn , y el espacio suma,
n∈ω
Xn , son espacios Polacos.
(c) Sea A un conjunto no vacío equipado con la topología discreta. Son equivalentes:
(i) Aω es un espacio Polaco.
(ii) A es numerable.
Ejemplos de espacios Polacos:
() ω con la topología discreta.
() S0 = {1/n : 1 ≤ n} ∪ {0} con la topología inducida por R.
() R, Rn , I = [0, 1] = {r ∈ R : 0 ≤ r ≤ 1}.
() H = Iω (cubo de Hilbert), Rω .
() C = 2ω (espacio de Cantor) y N = ω ω (espacio de Baire).
La siguiente tabla resume las propiedades topológicas y de numerabilidad de estos
espacios:
2 En este capítulo se hace un uso intensivo de resultados básicos sobre espacios to-
pológicos y métricos. Las notaciones empleadas, así como las deniciones y resultados
utilizados, se recogen en el capítulo VII, junto con algunos resultados de carácter complementario (sección VII.4).
104
VI.1. Espacios Polacos
Numerables No numerables
Compactos
S0
I, H, C
No compactos ω
R, Rn , Rω , N
0dimensionales ω, S0
C, N
VI.1.A. Conjuntos Gδ
Teorema VI.1.3.
espacio Polaco.
Sean X un espacio Polaco y F ∈ F(X). Entonces F es un
Sea {xn : n ∈ ω} ⊆ F una sucesión de Cauchy (en F ). Entonces
{xn : n ∈ ω} es de Cauchy en X . Puesto que X es completo, {xn : n ∈ ω} es
convergente. Entonces, puesto que F es cerrado, limn∈ω xn ∈ F .
¥
Demostración:
Definición VI.1.4.
Sean X un espacio topológico y A ⊆ X .
T
(a) A ∈ Gδ (X) si existe una sucesión {Gn : n ∈ ω} ⊆ G(X) tal que A = n∈ω Gn .
S
(b) A ∈ Fσ (X) si existe una sucesión {Fn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que A = n∈ω Fn .
S
/ Gδ (R), ver VI.3.6. Sea
Puesto que Q = q∈Q {q}, Q ∈ Fσ (R). Sin embargo, Q ∈
J = R − Q. De lo anterior se sigue que J ∈ Gδ (R).
Lema VI.1.5.
Sea X un espacio topológico. Entonces
(a) G(X) ⊆ Gδ (X), F(X) ⊆ Fσ (X).
(b) A ∈ Gδ (X) ⇐⇒ Ac ∈ Fσ (X).
(c) ((AC)ω ). Gδ (X) es cerrado bajo intersecciones numerables y uniones nitas.
(d) Sean A ⊆ Y y f : X −→ Y continua. Si A ∈ Gδ (Y ), entonces f −1 (A) ∈ Gδ (X).
Proposición VI.1.6.
Sea X un espacio métrico.
(a) F(X) ⊆ Gδ (X).
(b) G(X) ⊆ Fσ (X).
Para cada q > 0, sea B(F, q) = {x ∈ X : Td(x, F ) < q}. Es
evidente que B(F, q) ∈ G(X) y, puesto que F es cerrado, F = q∈Q B(F, q). ¥
Demostración:
Sean X un espacio Polaco y A ⊆ X .
A ∈ Gδ (X) ⇐⇒ A es un espacio Polaco.
Teorema VI.1.7.
Es evidente que A es separable. Por tanto, el resultado se sigue
¥
de VII.4.1 y VII.4.2.
Demostración:
Corolario VI.1.8.
Capítulo VI. Espacios Polacos
105
(a) Sean a < b ∈ R. Entonces (a, b) es completamente metrizable. [[Sin embargo,
la métrica usual no es completa]].
(b) J = R − Q es completamente metrizable.
(c) Q no es completamente metrizable.
Demostración:
Observemos que: (a, b) ∈ Gδ (R); J ∈ Gδ (R) y Q ∈
/ Gδ (R), ver
¥
VI.3.6. Por tanto, todos los resultados se siguen de VI.1.7.
VI.1.B. Árboles [[ZF∗ ]]
Definición VI.1.9.
Sea A un conjunto no vacío.
(a) An es el conjunto de las sucesiones de elementos de A de longitud n; es decir,
la colección de las aplicaciones de n en A. Si s ∈ An , escribiremos
() s = hs(0), . . . , s(n − 1)i = hs0 , . . . , sn−1 i, y
() lg(s) = n.
S
(b) A<ω = n∈ω An .
(c) Sean s, t ∈ A<ω .
(c.1) La concatenación de las sucesiones s y t la notaremos por s ∗ t. Es decir,
si s ∈ An y t ∈ Am , entonces s ∗ t ∈ An+m es la sucesión denida por
½
s(j),
si j < n;
(s ∗ t)(j) =
t(j − n), si n ≤ j < n + m.
(c.2) Diremos que s, t son compatibles si s ⊆ t ∨ t ⊆ s; es decir, si s ∪ t ∈ A<ω .
En caso contrario diremos que son incompatibles y lo notaremos s ⊥ t. Es
decir, existe i < lg(s), lg(t) tal que s(i) 6= t(i).
(c.3) Sea k < lg(s). Denotaremos por s|k a la restricción de s a k; es decir,
s|k = hs0 , . . . , sk−1 i.
(d) Aω es la colección de las aplicaciones de ω en A. Usaremos σ, τ para denotar
elementos de Aω . Si σ ∈ Aω , denotaremos por σ|n a la restricción de σ a n.
Definición VI.1.10.
Sea T ⊆ A<ω .
(a) Diremos que T es un árbol sobre A, T ∈ Tr(A), si es cerrado bajo restricciones;
es decir, si para todo s ∈ T y para todo n ∈ ω , s|n ∈ T .
(b) Diremos que σ ∈ Aω es una rama (innita) de T si para todo n < lg(s),
σ|n ∈ T . Notaremos [T ] = {σ ∈ Aω : σ rama innita de T }.
(c) T es un árbol podado sobre A, T ∈ PTr(A), si ∀s ∈ T ∃t ∈ T [s ⊂ t].
(d) Diremos que T es de ramicación nita si para todo s ∈ T ,
{t ∈ T : s ⊆ t ∧ lg(t) = lg(s) + 1} es nito.
Lema VI.1.11
[T ] 6= ∅.
(König). Si T ∈ Tr(A) es innito y de ramicación nita, entonces
106
VI.1. Espacios Polacos
Por recursión sobre n ∈ ω denimos {sn : n ∈ ω} ⊆ T tal que
para todo n ∈ ω , lg(sn ) = n y {t ∈ T : sn ⊂ t} es innito.
Demostración:
(n = 0): Sea s0 = ∅.
(n =⇒ n + 1): Sea sn+1 ∈ T tal que sn ⊂ sn+1 , lg(sn+1 ) = n + 1 y
{t ∈ T : sn+1 ⊂ t} es innito.
Un tal elemento existe, ya que T es de ramicación nita y, por construcción,
{t ∈ T : sn ⊂ t} es innito.
S
Es evidente que σ = n∈ω sn es rama de T innita.
¥
VI.1.C. El espacio métrico Aω
Sea A un conjunto. Sobre A consideremos la topología discreta.
Puesto que A es metrizable, Aω es un espacio métrico. Por ejemplo, la siguiente
aplicación es una métrica sobre Aω . Sean σ, τ ∈ Aω tales que σ 6= τ , sea
n = inf({k ∈ ω : σ(k) 6= τ (k)}).
Notas VI.1.12.
Denimos d(σ, τ ) = 2−(n+1) .
Para cada s ∈ A<ω , sea Ns = {σ ∈ Aω : s ⊆ σ}. Se verican las siguientes
propiedades:
(a) La familia {Ns : s ∈ A<ω } es una base de Aω .
(b) s ⊆ t ⇐⇒ Ns ⊇ Nt .
(c) s ⊥ t ⇐⇒ Ns ∩ Nt = ∅.
S
(d) G ⊆ Aω abierto =⇒ ∃S ⊆ A<ω [(s, t ∈ S =⇒ s ⊥ t) ∧ G = s∈S Ns ].
Prueba:
Sea G ⊆ Aω abierto. Entonces existe S1 ⊆ A<ω tal que G =
S
s∈S1 Ns . Sea S = {s ∈ S1 : ∀t ∈ S1 (t 6⊂ s)}. Es fácil comprobar que S
verica las propiedades de (d).
2
(e) ∀s ∈ A<ω [Ns cerrado].
S
2
Prueba: Sea S = {t ∈ A<ω : s ⊥ t}. Entonces Nsc = t∈S Nt .
(f) Aω es completo y 0dimensional.
Prueba: Puesto que la topología discreta sobre A es completa, Aω es completo.
Por (e), Aω es 0dimensional.
2
(g) Si A es numerable, entonces Aω es segundo numerable; y por tanto, separable.
(h) Aω ∼
= (Aω )ω y para todo n ≥ 1, Aω ∼
= (Aω )n .
Definición VI.1.13.
(a) C = 2ω es el espacio de Cantor.
(b) N = ω ω es el espacio de Baire.
Nota VI.1.14.
Capítulo VI. Espacios Polacos
107
(a) Si 2 ≤ |A| < ω , Aω ∼
= C . Si |A| = ω , Aω ∼
= N.
e N . La inclusión es una inmersión de C en N .
(b) C ⊂
e C . Sea f : N −→ C la función denida por
(c) N ⊂
f (σ) = {J(n, m) : σ(n) = m} = Gr(σ)
(donde J es la función de Cantor e identicamos Gr(σ) con su función carace C.
terística). Es evidente que f : N ⊂
Lema VI.1.15.
por
Sea R : PTr(A) −→ {F ⊆ Aω : F cerrado} la aplicación denida
R(T ) = [T ].
Entonces R es biyectiva. Por tanto, F(Aω ) = {[T ] : T ∈ PTr(A)}.
Demostración:
Se tienen los siguientes resultados:
Aserto VI.1.15.1. Sea T un árbol sobre A. Entonces [T ] es cerrado en Aω .
Prueba del aserto: Veamos que [T ]c es abierto. Sea σ ∈ [T ]c . Entonces existe
n ∈ ω tal que σ|n ∈
/ T . Puesto que T es cerrado bajo restriciones, Nσ|n ⊆ [T ]c .
2
Aserto VI.1.15.2. Sean T, T 0 ∈ PTr(A). Entonces
T = T0
⇐⇒
[T ] = [T 0 ].
Prueba del aserto: (=⇒): Trivial.
(⇐=): Supongamos que existe s ∈ T − T 0 . Puesto que T ∈ PTr(A), existe
σ ∈ [T ] tal que s ⊆ σ . Además, de s ∈
/ T 0 se sigue que σ ∈
/ [T 0 ]. Por tanto,
0
[T ] 6= [T ].
2
Aserto VI.1.15.3. Sea F ⊆ Aω cerrado. Denimos
TF = {s ∈ A<ω : ∃σ ∈ F (s ⊆ σ)}.
(i) TF ∈ PTr(A).
(ii) [TF ] = F .
Prueba del aserto: ((i)): Trivial.
((ii)): (F ⊆ [TF ]): Trivial.
([TF ] ⊆ F ): Sea σ ∈
/ F . Puesto que F c es abierto, existe s ∈ A<ω tal que s ⊆ σ
y Ns ∩ F = ∅. Por tanto, ∀τ ∈ F (s 6⊆ τ ). En consecuencia, σ|lg(s) = s ∈
/ TF .
Luego, σ ∈
/ [TF ].
2
De los asertos se sigue el lema.
¥
108
VI.2. Inmersiones entre Espacios Polacos
VI.2. Inmersiones entre Espacios Polacos
VI.2.A. El Conjunto de Cantor
Definición VI.2.1
(El conjunto de Cantor). Por recursión sobre s ∈ 2<ω ,
denimos {Fs : s ∈ 2<ω } como sigue:
() F∅ = [0, 1].
() Fs = [a, b]
(
=⇒
b−a
3 ];
2(b−a)
, b].
3
Fs∗h0i = [a, a +
Fs∗h1i = [a +
Para cada n ∈ ω , sea
S
{Fs : s ∈ 2<ω , lg(s) = n}.
T
El conjunto de Cantor, C, se dene como C = n∈ω Fn .
Fn =
C es cerrado. Puesto que el intervalo [0, 1] es compacto y C ⊆ [0, 1],
entonces C es compacto.
Lema VI.2.2.
Es suciente probar que para todo n ∈ ω , Fn es cerrado. Para
todo s ∈ 2<ω , Fs es cerrado. Por tanto, Fn es la unión de un número nito de
conjuntos cerrados. En consecuencia, Fn es cerrado.
¥
Demostración:
Lema VI.2.3.
(a) H : C ∼
= C. Por tanto, C es perfecto (ver VI.3.A).
(b) |C| = 2ℵ0 .
Demostración:
((a)): Ejercicio.
((b)): Puesto que |C| = 2ℵ0 , el resultado se sigue de (a).
¥
VI.2.B. Esquemas de Lusin
Sean (X, d) un espacio métrico completo y {Fn : n ∈ ω}
una sucesión de cerrados decreciente (respecto de ⊆) tal que
Proposición VI.2.4.
() Para todo n ∈ ω , Fn 6= ∅.
() limn∈ω dtr(Fn ) = 0.
T
Entonces Fn es un conjunto unitario.
[[Esta propiedad es equivalente a que X sea completo]]
Sean X un espacio métrico (suponemos que d(x, y) < 1) y
J un conjunto. Un J esquema sobre X es una familia de subconjuntos de X ,
{As : s ∈ J <ω }, tal que para todo s ∈ J <ω :
Definición VI.2.5.
Capítulo VI. Espacios Polacos
109
(i) ∀i ∈ J [cl(As∗hii ) ⊆ As ].
(ii) Para todo σ ∈ J ω , limn∈ω dtr(Aσ|n ) = 0.
Si J = ω , diremos que es un esquema de Lusin. Si J = {0, 1} = 2, diremos que es
un esquema de Cantor. También consideraremos las siguientes propiedades:
(iii) ∀i, j ∈ J [i 6= j =⇒ As∗hii ∩ As∗hji = ∅].
(iv) J nito ∨ ∀s ∈ J <ω (As ∈ G(X)).
(v) ∀σ ∈ J ω ∀n ∈ ω (Aσ|n 6= ∅).
S
(vi) A∅ = X ∧ ∀s ∈ J <ω (As = i∈J As∗hii ).
En los resultados que siguen X un espacio métrico completo y {As :
s ∈ J <ω } un J esquema sobre X . Sobre J consideremos la topología discreta
y sobre J ω la topología producto. Una base de esta topología está dada por:
{Ns : s ∈ J <ω }, donde Ns = {σ ∈ J ω : s ⊆ σ}. Sea
T
D = {σ ∈ J ω : n∈ω Aσ|n 6= ∅}.
Nota VI.2.6.
De VI.2.5-(ii) se sigue que para todo σ ∈ D,
T
() n∈ω Aσ|n es unitario.
Esto permite denir la función fD : D −→ X , que denominaremos función asociada
al esquema {As : s ∈ J <ω }, como sigue:
T
fD (σ) = x ⇐⇒ x ∈ n∈ω Aσ|n .
Lema VI.2.7.
Se tiene que:
(a) D = {σ ∈ J ω : ∀n ∈ ω (Aσ|n 6= ∅)}.
(b) D es cerrado.
(c) fD es continua.
Demostración:
((a)): (⊆): Trivial.
(⊇): Por VI.2.5-(i), para todo σ ∈ J ω y n ∈ ω , Aσ|n+1 ⊆ cl(Aσ|n+1 ) ⊆ Aσ|n . Por
tanto, para todo σ ∈ J ω ,
T
T
(1) n∈ω Aσ|n = n∈ω cl(Aσ|n ).
Supongamos T
que para todo n ∈ ω , Aσ|n 6= ∅. Entonces de (1), VI.2.5-(ii) y VI.2.4
se sigue que n∈ω Aσ|n 6= ∅. Lo que prueba (a).
((b)): Sea σ ∈ Dc . Entonces, por (a), existe n ∈ ω tal que Aσ|n = ∅. Por tanto,
σ ∈ Nσ|n ⊆ Dc . Luego, Dc es abierto.
((c)): Sean σ ∈ D y ε > 0. Por VI.2.5-(ii), existe n ∈ ω tal que dtr(Aσ|n ) < ε.
Entonces fD (D ∩ Nσ|n ) ⊆ B(fD (σ), ε). Por tanto, fD es continua.
¥
Lema VI.2.8.
(a) Si se tiene (iii), entonces fD es inyectiva.
110
VI.3. Espacios Polacos no numerables
(b) Si tienen (iii) y (iv), entonces fD es una inmersión.
Demostración:
((a)): Trivial.
((b)): Consideremos los siguientes casos:
Caso 1: J es nito. Entonces J ω es compacto; luego, por VI.2.7, D es compacto.
Por tanto, el resultado se sigue de VII.3.9. Además, en este caso fD (D) es cerrado.
Caso 2: Para todo s ∈ J <ω , As ∈ G(X). Observemos que {D ∩ Ns : s ∈ J <ω } es
una base de la topología inducida por J ω en D. Además, fD (D∩Ns ) = fD (D)∩As .
Puesto que As es abierto, entonces fD (D ∩ Ns ) es abierto en fD (D).
¥
Lema VI.2.9.
Sea X un espacio métrico completo. Supongamos que se verican
e X.
(iii), (iv) y (v), entonces D = J ω y fD : J ω ⊂
Demostración:
e X.
fD : J ⊂
ω
Lema VI.2.10.
Por (v) y VI.2.7, D = J ω . En consecuencia, por VI.2.8-(b),
¥
Sea X un espacio métrico completo. Supongamos que se verican
(iii), (iv), (v) y (vi). Entonces fD : J ω ∼
= X.
Es fácil comprobar que fD es suprayectiva. Por tanto, el resultado se sigue de VI.2.9.
¥
Demostración:
VI.3. Espacios Polacos no numerables
Teorema VI.3.1.
Demostración:
denida por:
Sea X un espacio métrico separable. Entonces |X| ≤ 2ℵ0 .
Sea B una base numerable de X . Sea f : X −→ P(B) la función
f (x) = {G ∈ B : x ∈ G}.
Puesto que X es de Hausdor, f es inyectiva. Por tanto, |X| ≤ |P(B)| = 2ℵ0 .
VI.3.A. Espacios Polacos perfectos
Definición VI.3.2.
Sea X un espacio topológico.
(a) Diremos que X es perfecto si no tiene puntos aislados.
(b) Sea A ⊆ X . Diremos que A es perfecto en X si
(b.1) A 6= ∅,
(b.2) A ∈ F(X), y
¥
Capítulo VI. Espacios Polacos
111
(b.3) A no tiene puntos aislados; es decir,
∀x ∈ A ∀G ∈ G(X) [A ∩ G 6= {x}].
e X.
Sea X un espacio Polaco perfecto. Entonces existe f : C ⊂
Más aún, puesto que C es compacto, f (C) ∈ F(X).
Teorema VI.3.3.
Por recursión sobre s ∈ 2<ω deniremos un esquema de Cantor,
{As : s ∈ 2<ω }, tal que para todo s ∈ 2<ω :
Demostración:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
cl(As∗h0i ), cl(As∗h1i ) ⊆ As .
dtr(As ) ≤ 2−lg(s) . Por tanto, para todo σ ∈ C , limn∈ω dtr(Aσ|n ) = 0.
As∗h0i ∩ As∗h1i = ∅.
As abierto.
∀s (As 6= ∅).
Denición de la sucesión {As : s ∈ 2<ω }.
(s = ∅): Sea A∅ cualquier abierto tal que dtr(A∅ ) ≤ 1. Por ejemplo, sea x ∈ X
basta tomar A∅ = B(x, 1/2).
(s =⇒ s ∗ h0i, s ∗ h1i): Como X es perfecto, existen x0 , x1 ∈ As tales que x0 6= x1 .
Sean
() r0 = d(Acs , x0 ), r1 = d(Acs , x1 ), [[puesto que Acs es cerrado, 0 < r0 , r1 ]],
() 0 < r < min(2−(lg(s)+1) , d(x0 , x1 )/2, r0 , r1 ).
Denimos: As∗h0i = B(x0 , r) y As∗h1i = B(x1 , r). Estos conjuntos verican las
propiedades deseadas. Por ejemplo, de r0 , r1 < r se sigue (i).
Ahora denimos f : C −→ X continua
T e inyectiva. Sea σ ∈ C . Consideremos la
familia {Aσ|n : n ∈ ω}. Puesto que n∈ω Aσ|n es unitario, denimos
T
f (σ) = x ⇐⇒ x ∈ n∈ω Aσ|n .
e X.
Por VI.2.9, f : C ⊂
Teorema VI.3.4.
Sea X un espacio Polaco perfecto. Entonces
(a) |X| = 2ℵ0 .
(b) A es perfecto en X
Demostración:
¥
=⇒
|A| = 2ℵ0 .
e X . Por tanto,
((a)): (2ℵ0 ≤ |X|): Por VI.3.3, C ⊂
ℵ0
2 = |C| ≤ |X|.
(|X| ≤ 2ℵ0 ): Puesto que X es separable, el resultado se sigue de VI.3.1.
((b)): En efecto,
A ∈ F(X) =⇒ A es un espacio Polaco
[[VI.1.3]]
=⇒ A es un espacio Polaco perfecto [[A es perfecto]]
=⇒ |A| = 2ℵ0
[[(a)]].
112
VI.3. Espacios Polacos no numerables
Lo que prueba (b).
Corolario VI.3.5.
rable. Entonces
¥
Sean X un espacio Polaco perfecto y D ⊆ X denso y nume-
(a) D ∈ Fσ (X).
(b) D ∈/ Gδ (X).
S((a)): Sea D = {an : n ∈ ω}. Para todo n ∈ ω , {an } es cerrado.
n∈ω {an } ∈ Fσ (X).
Demostración:
Por tanto, D =
((b)): Supongamos que D ∈ Gδ (X). Entonces por VI.1.7, D es un espacio Polaco.
Además, se tiene que:
Aserto VI.3.5.1. D es un espacio perfecto.
Prueba del aserto: Sean x ∈ D y G ∈ G(X) tales que x ∈ G. Puesto que
X es perfecto, x no es aislado en X ; por tanto, existe y ∈ X tal que y ∈ G y
x 6= y . Sea G1 = G ∩ B(y, d(x, y)/2). Entonces y ∈ G1 y x ∈
/ G1 . Puesto que
D es denso, existe z ∈ D ∩ G1 . Por tanto, x 6= z y z ∈ G ∩ D; luego, x no es
aislado en D.
2
De VI.3.4 y el aserto se sigue que |D| = 2ℵ0 . Contradicción, D es numerable. ¥
Corolario VI.3.6.
(a) Q ∈/ Gδ (R).
(b) Q no es completamente metrizable.
Demostración:
¥
La parte (a) se sigue de VI.3.5. (b) se sigue de (a) y VI.1.7.
VI.3.B. El teorema de CantorBendixson [[ZF∗ + ACω ]]
(ACω ). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces existen P, C ⊆ X únicos tales que
Teorema VI.3.7
(a) X = P ∪ C , P ∩ C = ∅.
(b) P es perfecto en X . (Diremos que P es el núcleo perfecto de X ).
(c) C ∈ G(X) y numerable.
Demostración:
S
Sea B = {Gn : n ∈ ω} una base de X . Sean
() C = {G ∈ B : G es numerable}.
() P = X − C .
De la denición se sigue (a). Además, C ∈ G(X), y por (AC)ω , es numerable. Por
tanto, se verica (c).
Capítulo VI. Espacios Polacos
113
Probemos (b). Es evidente que P ∈ F(X). Además, puesto que X no es numerable
y C es numerable, P 6= ∅. En consecuencia, es suciente probar que P no tiene
puntos aislados.
Aserto VI.3.7.1. Sea G ∈ G(X) numerable. Entonces G ⊆ C .
Prueba del aserto: Sea x ∈ G. Entonces existe Gn ∈ B tal que x ∈ Gn ⊆ G.
Puesto que G es numerable, de Gn ⊆ G se sigue que Gn es numerable; por
tanto, Gn ⊆ C . Luego, x ∈ C .
2
Aserto VI.3.7.2. P no tiene puntos aislados.
Prueba del aserto: Supongamos que existen x ∈ P y G ∈ G(X) tales que
P ∩ G = {x}. Entonces G − {x} ⊆ C ; luego, G − {x} es numerable. Por tanto,
G es numerable. En consecuencia, por VI.3.7.1, G ⊆ C . Luego, x ∈ C . Por
tanto, x ∈ P ∩ C . Lo cual está en contradicción con P ∩ C = ∅.
2
Una vez probada la existencia de P y C , veamos la unicidad. Sean P1 y C1 tales
que:
() X = P1 ∪ C1 , P1 ∩ C1 = ∅.
() P1 es perfecto en X .
() C1 ∈ G(X) y numerable.
Se tiene que
Aserto VI.3.7.3.
(i) C1 ⊆ C .
(ii) P1 ⊆ P .
Del aserto se sigue que C = C1 y P = P1 .
Teorema VI.3.8
¥
(ACω ). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces
e X.
(a) C ⊂
(b) |X| = 2ℵ0 .
Demostración:
Sean P y C como en VI.3.7.
((a)): Se sigue de:
P ∈ F(X) =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
P espacio Polaco
[[VI.1.3]]
P espacio Polaco perfecto [[P perfecto]]
eP
C⊂
[[VI.3.3]]
e X.
C⊂
((b)): Por (a), 2ℵ0 ≤ |X|. Por VI.3.1, |X| ≤ 2ℵ0 .
Teorema VI.3.9
(a) A ∈ Gδ (X)
(ACω ). Sean X un espacio Polaco y A ⊆ X no numerable.
=⇒
|A| = 2ℵ0 .
¥
114
VI.3. Espacios Polacos no numerables
(b) A ∈ Fσ (X)
=⇒
|A| = 2ℵ0 .
((a)): Si A ∈ Gδ (X), entonces, por VI.1.7, A es un espacio
Polaco. Por tanto, el resultado se sigue de VI.3.8.
S
((b)): Sea {Fn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que A = Fn . Puesto que A no es numerable,
existe n ∈ ω tal que Fn no es numerable. Por VI.1.3, Fn es un espacio Polaco;
luego, de (a) se sigue que |Fn | = 2ℵ0 . Por tanto, |A| = 2ℵ0 .
¥
Demostración:
(ACω ). Sean X un espacio Polaco y A ∈ Gδ (X) no numerable. Entonces existe F ∈ F(X) no numerable tal que F ⊆ A.
Corolario VI.3.10
e A.
Demostración: Por VI.1.7, A es un espacio Polaco. Por VI.3.8, existe f : C ⊂
e X . Se tiene que:
Entonces f : C ⊂
() f (C) ∈ F(X). [[C es compacto]].
() f (C) es no numerable. [[f es inyectiva]].
Lo que prueba el resultado.
¥
Lema VI.3.11.
(a) |G(C)| = 2ℵ0 . |F(C)| = 2ℵ0
(b) |{F ∈ F(C) : |F | = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 . |{G ∈ G(C) : |G| = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 .
Corolario VI.3.12
(ACω ). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces
(a) |G(X)| = 2 . |F(X)| = 2ℵ0 .
(b) |{F ∈ F(X) : |F | = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 . |{G ∈ G(X) : |G| = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 .
ℵ0
VI.3.C. La derivada de CantorBendixson [[ZF∗ ]]
Lema VI.3.13.
Sean X un espacio topológico segundo numerable y
{Fα : α < β} ⊆ F(X)
una sucesión estrictamente decreciente de conjuntos cerrados. Entonces β es numerable.
Sea {Gn : n ∈ ω} una base de X . Sea H : β −→ P(ω) la
aplicación denida por
H(α) = {n ∈ ω : Gn ∩ Fα = ∅}.
S
Puesto que Fα ∈ F(X), X − Fα = {Gn : n ∈ H(α)}. Por tanto, H es inyectiva.
Además, puesto que {Fα : α < β} es estrictamente decreciente
α < α0 =⇒ Fα0 ⊂ Fα =⇒ H(α) ⊂ H(α0 ).
Demostración:
En consecuencia, {H(α) : α < β} es una sucesión estrictamente creciente de
subconjuntos de ω . Por tanto, β es numerable.
¥
Capítulo VI. Espacios Polacos
115
Sean X un espacio topológico y A ⊆ X . Recordemos que a ∈ X
es un punto de acumulación de A si
∀G ∈ G(X) [a ∈ G =⇒ (G ∩ A) − {a} 6= ∅].
Nota VI.3.14.
El conjunto derivado de A, A0 , se dene como sigue
A0 = {x ∈ X : x punto de acumulación de A}.
Si A ∈ F(X), entonces A0 ∈ F(X) y A0 = {x ∈ A : x no aislado en A}.
Sean X un espacio topológico y A ⊆ X . Por recursión sobre
α ∈ Ord denimos Aα , la derivada de CantorBendixson de A de orden α, como
sigue:
Definición VI.3.15.
(a) A0 = A,
(b) Aα+1 = (Aα )0 ,
T
(c) Aα = β<α Aβ .
Lema VI.3.16.
Sean X un espacio topológico y A ∈ F(X). Entonces
(a) A es perfecto ⇐⇒ A0 = A.
(b) ∀α ∈ Ord [Aα ∈ F(X)].
(c) Aα+1 ⊆ Aα .
(d) Aα+1 = Aα =⇒ ∀β ≥ α (Aβ = Aα ).
(e) {Aα : α ∈ Ord} es una sucesión decreciente de conjuntos cerrados.
Demostración:
Se sigue de VI.3.14.
¥
Teorema VI.3.17. Sea X un espacio topológico segundo numerable. Entonces,
para cada A ∈ F(X), existe α < ω1 tal que
(a) ∀β ≥ α [Aα = Aβ ].
(b) A − Aα es numerable.
Además, si A no es numerable, Aα es perfecto en X .
[[Si X es un espacio Polaco no numerable y X α = X α+1 , entonces X α es el núcleo
perfecto de X]].
La parte (a) se sigue
de VI.3.13 y VI.3.16. Veamos que se
S
tiene (b). Puesto que A − Aα = β<α (Aβ − Aβ+1 ), es suciente probar que
S
β
β+1
) es numerable.
β<α (A − A
Demostración:
Sean {Gn : n ∈ ω} una base de X y
S
f : β<α (Aβ − Aβ+1 ) −→ α × ω
la función denida como sigue
f (x) = (β, k)
½
⇐⇒
x ∈ Aβ − Aβ+1
k = (µn)[Gn ∩ Aβ = {x}].
116
VI.4. Ejercicios
Aserto VI.3.17.1. f es inyectiva.
S
Prueba del aserto: Sean x, y ∈ β<α (Aβ − Aβ+1 ) tales que x 6= y . Supongamos que f (x) = (β1 , k1 ), f (y) = (β2 , k2 ) y β1 = β2 . Entonces
¾
{x} = Gk1 ∩ Aβ1
=⇒ k1 6= k2 [[x 6= y]].
y ∈ Gk2 ∩ Aβ1
Por tanto, f (x) 6= f (y). Lo que prueba el aserto.
2
Puesto queSα es numerable, α × ω es numerable. Por tanto, del aserto se sigue que
A − Aα = β<α (Aβ − Aβ+1 ) es numerable.
Además,
(1) Aα ∈ F(X), y
(2) Aα no tiene puntos aislados. [[Aα = Aα+1 = (Aα )0 ]].
Supongamos que A no es numerable. Entonces Aα 6= ∅; luego, de (1) y (2) se sigue
que Aα es perfecto.
¥
VI.4. Ejercicios
Ejercicio VI.4.1.
Sea T ∈ PTr(A). Son equivalentes:
(a) T es de ramicación nita.
(b) [T ] es compacto en Aω .
Ejercicio VI.4.2
(VI.2.3-(a)). H : C ∼
= C. Por tanto, C es perfecto.
Ejercicio VI.4.3
(VI.3.7.3).
(i) C1 ⊆ C .
(ii) P1 ⊆ P .
Ejercicio VI.4.4 (VI.3.11).
(a) |G(C)| = 2ℵ0 .
(b) |F(C)| = 2ℵ0
(c) |{F ∈ F(C) : |F | = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 .
(d) |{G ∈ G(C) : |G| = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 .
Ejercicio VI.4.5 (ACω , VI.3.12). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces:
(a) |G(X)| = 2ℵ0 .
(b) |F(X)| = 2ℵ0 .
(c) |{F ∈ F(X) : |F | = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 .
(d) |{G ∈ G(X) : |G| = 2ℵ0 }| = 2ℵ0 .
Capítulo VI. Espacios Polacos
117
Sea X un espacio métrico. Probar que si |X| < 2ℵ0 , entonces
X es 0dimensional.
Ejercicio VI.4.6.
Ejercicio VI.4.7.
Sea X un espacio Polaco no numerable.
(a) Existen P, C ⊆ X únicos tales que
(a.1) X = P ∪ C , P ∩ C = ∅.
(a.2) P es perfecto en X .
(a.3) C ∈ G(X) y numerable.
e X . Por tanto, |X| = 2ℵ0 .
(b) C ⊂
(c) Sea A ⊆ X no numerable.
(c.1) A ∈ Gδ (X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .
(c.2) A ∈ Fσ (X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .
Ejercicio VI.4.8
X y
(ACω ). Sean X un espacio topológico segundo numerable, A ⊆
D = {x ∈ X : x punto de condensación de A}.
[[Donde x ∈ X es un punto de condensación de A si para todo G ∈ G(X) tal que
x ∈ G, A ∩ G no es numerable]].
Entonces:
(a) D ⊆ cl(A).
(b) D ∈ F(X).
(c) A − D es numerable. Por tanto, si A no es numerable, A ∩ D no es numerable.
(d) A ∩ D no tiene puntos aislados.
Capítulo VII
Apéndice
VII.1. Espacios topológicos
Definición VII.1.1. Sea X un conjunto. Una familia G(X) ⊆ P(X) diremos que
es una topología sobre X si:
(a) ∅, X ∈ G(X).
S
(b) A ⊆ G(X) =⇒
A ∈ G(X).
(c) A1 , . . . , An ∈ G(X) =⇒ A1 ∩ · · · ∩ An ∈ (X).
Los elementos de G(X) se denominan abiertos de la topología. A veces diremos
que X es un espacio topológico sin mencionar explícitamente la topología.
El complementario de un conjunto abierto se denomina cerrado. Notaremos por
F(X) a la colección de los conjuntos cerrados.
Nota VII.1.2.
S
(a) ∅ = ∅.
T
(b) ∅ = X . [[Si estamos considerando ∅ ⊆ P(X)]]
Nota VII.1.3.
Sean A ⊆ P(X) e Y ⊆ X . La restricción de A a Y se dene por
A|Y = {A ∩ Y : A ∈ A}.
Definición VII.1.4.
Sean X un espacio topológico e Y ⊆ X . La topología relativa
Definición VII.1.5.
Sea X un espacio topológico. Sea A ⊆ X .
en Y es G(X)|Y .
(a) El interior de A, int(A), es el mayor conjunto abierto contenido en A. Es decir,
int(A) =
S
{G ∈ G(X) : G ⊆ A}.
120
VII.1. Espacios topológicos
(b) El cierre de A, cl(A), es el menor conjunto cerrado que contiene a A. Es decir,
cl(A) =
Definición VII.1.6.
T
{F ∈ F(X) : A ⊆ F }.
Sean X un espacio topológico, x ∈ X y A ⊆ X .
(a) Diremos que x es un punto de acumulación de A
∀G ∈ G(X) [x ∈ G =⇒ (A ∩ G) − {x} 6= ∅].
Notaremos por A0 al conjunto de los puntos de acumulación de A.
(b) Diremos que x es aislado en A si existe G ∈ G(X) tal que A ∩ G = {x}.
Lema VII.1.7.
Sean X un espacio topológico y A ⊆ X . Son equivalentes:
(a) A es cerrado.
(b) A0 ⊆ A.
((a) =⇒ (b)): Supongamos que A es cerrado. Entonces Ac es
abierto. Sea a ∈ Ac . Puesto que A ∩ Ac = ∅, entonces a ∈
/ A0 .
Demostración:
((b) =⇒ (a)): Sea a ∈ Ac . Por (b), a ∈
/ A0 . Por tanto, existe Ga abierto tal que
() a ∈ Ga ,
() A ∩ Ga = ∅.
Por tanto,
S
() Ac = a∈Ac Ga .
En consecuencia, Ac es abierto. Por tanto, A es cerrado.
¥
Sea X un espacio topológico. Diremos que X es un espacio
de Hausdor si para cualesquiera x, y ∈ X tales que x 6= y existen G1 , G2 ∈ G(X)
tales que
Definición VII.1.8.
(a) x ∈ G1 , y ∈ G2 .
(b) G1 ∩ G2 = ∅.
Lema VII.1.9.
cerrado.
Sea X un espacio de Hausdor. Entonces para todo A ⊆ X , A0 es
Por VII.1.7 es suciente probar que A00 ⊆ A0 . Supongamos lo
contrario. Entonces existe a ∈ X tal que
Demostración:
(1) a ∈ A00 , y
(2) a ∈
/ A0 .
De (2) se sigue que existe G ∈ G(X) tal que a ∈ G y
(3) (G ∩ A) − {a} = ∅.
Capítulo VII. Apéndice
121
De (1) se sigue que (A0 ∩ G) − {a} 6= ∅. Sea b ∈ A0 ∩ G tal que b 6= a. Entonces
b ∈ A0 ∩ G =⇒ (A ∩ G) − {b} 6= ∅
=⇒ A ∩ G 6= ∅
=⇒ A ∩ G = {a}
[[(3)]].
Puesto que X es de Hausdor existen G1 , G2 ∈ G(X) tales que
() a ∈ G1 , b ∈ G2 , y
() G1 ∩ G2 = ∅.
Puesto que b ∈ G ∩ G2 y b ∈ A0 , (G ∩ G2 ) ∩ A 6= ∅. Sea c ∈ (G ∩ G2 ) ∩ A. Se tiene
que
c ∈ G ∩ A =⇒ c = a
c ∈ G2 =⇒ c 6= a.
Contradicción.
Lema VII.1.10.
¥
Sean X espacio topológico y A ∈ F(X). Entonces:
(a) A ∈ F(X).
(b) A0 = {x ∈ A : x no aislado en A}.
0
Demostración:
(1) B ⊆ C
Por tanto,
=⇒
((a)): Observemos que si B, C ⊆ X , entonces
B0 ⊆ C 0.
A cerrado =⇒ A0 ⊆ A
[[VII.1.7]]
=⇒ A00 ⊆ A0 [[(1)]]
=⇒ A0 cerrado [[VII.1.7]].
Lo que prueba el resultado.
((b)): Sea x ∈ A−A0 . Entonces existe G ∈ G(X) tal que x ∈ G y (A∩G)−{x} = ∅.
Por tanto, A ∩ G = {x}. Es decir, x es aislado en A.
¥
Definición VII.1.11.
Sea X un espacio topológico. Diremos que:
(a) B ⊆ G(X) es una base de G(X) si todo abierto es la unión de elementos de B;
es decir,
∀G ∈ G(X) ∃A ⊆ B [G =
S
A].
(b) S ⊆ G(X) es una subbase de G(X) si
T
{
A : A ⊆ S, A nito}.
es una base de G(X).
Definición VII.1.12.
Sea X un espacio topológico.
(a) Diremos que X es segundo numerable si tiene una base numerable.
122
VII.1. Espacios topológicos
(b) Diremos que X es 0dimensional si
(b.1) X es de Hausdor, y
(b.2) tiene una base de conjuntos abiertos y cerrados.
Lema VII.1.13.
Sea B ⊆ P(X) tal que
S
B = X . Son equivalentes:
(a) B es una base de una topología sobre X .
S
(b) ∀A, B ∈ B ∃A ⊆ B [A ∩ B = A].
Sean S ⊆ P(X). Existe una topología sobre X , τ (S) (que denominaremos topología generada por S ), tal que
Lema VII.1.14.
(a) S ⊆ τ (S) y S es una subbase de τ (S).
(b) O topología sobre X ∧ S ⊆ O =⇒ τ (S) ⊆ O.
Definición VII.1.15. Sean X un espacio topológico y x ∈ X . Un entorno abierto
de x es un abierto G tal que x ∈ G.
Definición VII.1.16.
Sean X , Y espacios topológicos y f : X −→ Y .
(a) Diremos que f es continua si: ∀G ∈ G(Y ) (f −1 (G) ∈ G(X)).
(b) Diremos que f es abierta si: ∀G ∈ G(X) (f (G) ∈ G(Y )).
(c) Diremos que f es cerrada si: ∀F ∈ F(X) (f (F ) ∈ F(Y )).
(d) Diremos que f es un homeomorsmo, f : X ∼
= Y , si
(d.1) f es biyectiva.
(d.2) f es continua.
(d.3) f es abierta.
Es decir, f y f −1 son continuas.
e Y , si f es un homeomorsmo de X
(e) Diremos que f es una inmersión, f : X ⊂
en f (X), [[en f (X) se considera la topología relativa inducida por G(Y )]]
(f) Diremos que f es continua en x ∈ X si para todo entorno abierto de f (x), V ,
existe U entorno abierto de x tal que U ⊆ f −1 (V ).
Lema VII.1.17. Sean X, Y espacios topológicos, A ⊆ Y y f : X −→ Y tal que
rang(f ) ⊆ A. Son equivalentes
eY.
(a) f : X ⊂
e A. [[En A se considera la topología relativa]].
(b) f : X ⊂
Lema VII.1.18.
Sean X , Y espacios topológicos y f : X −→ Y . Son equivalentes:
(a) f es continua.
(b) ∀x ∈ X (f es continua en x).
Capítulo VII. Apéndice
123
Sean {Yj : j ∈ I} una familia de espacios topológicos y, para
todo j ∈ I , fj : X −→ Yj . Entonces existe una topología sobre X , τ ({fj : j ∈ I})
(que denominaremos topología generada por {fj : j ∈ I}), tal que
Lema VII.1.19.
(a) ∀j ∈ I (fj continua).
(b) Para toda topología O sobre X , si para todo j ∈ I , fj es continua respecto de
O, entonces τ ({fj : j ∈ I}) ⊆ O.
Demostración:
() S =
S
Tomar como subbase
−1
j∈I {fj (G)
: G ∈ G(Yj )}.
La topología generada por S , como subbase, verica las condiciones del lema. ¥
Definición VII.1.20. Sea {Yj : j ∈ I} una familia de espacios topológicos. La
topología
Q producto sobre Πj∈I Yj es la topología generada por las proyecciones,
Πi : j∈I Yj −→ Yi , donde
Πi (a) = a(i).
Es fácil comprobar que una base de esta topología está dada por los conjuntos de
la forma
Q
() j∈I Gj ,
donde
() ∀j ∈ I [Gj ∈ G(Yj )].
() {j : Gj 6= Yj } es nito.
Definición VII.1.21. Sea {Yj : j ∈ I} una familia de espacios topológicos disS
L
juntos. La suma, j∈I G(Yj ), es el espacio topológico sobre Y = j∈I Yj cuyos
abiertos son los subconjuntos G de Y tales que
∀j ∈ I [G ∩ Yj ∈ G(Yj )].
Sea {Xi : i ∈ I} una familia de espacios topológicos 0
dimensionales. Entonces Πi∈I Xi es 0dimensional.
Lema VII.1.22.
VII.2. Espacios métricos
Diremos que (X, d) es un espacio métrico, y d : X 2 −→ R+
[[donde R = {r ∈ R : 0 ≤ r}]] se denomina métrica, si
Definición VII.2.1.
+
(a) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y .
(b) d(x, y) = d(y, x).
(c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
124
VII.2. Espacios métricos
Si Y ⊆ X , entonces la restricción de d a Y , d|Y , es también una métrica.
Definición VII.2.2.
Sea (X, d) un espacio métrico.
(a) (Bolas abiertas) La bola abierta de centro x y radio r está denida por
B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}.
(b) (Bolas cerradas) La bola cerrada de centro x y radio r está denida por
B[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.
(c) Sean A ⊆ X y x ∈ X .
(c.1) El diametro de A, dtr(A), se dene como sigue
dtr(A) = sup({d(y, z) : y, z ∈ A}).
(c.2) La distancia de x a A, d(x, A), se dene como sigue
d(x, A) = inf({d(x, y) : y ∈ A}).
Lema VII.2.3.
Sea (X, d) un espacio métrico.
(a) La colección de las bolas abiertas de X forman una base de una topología
sobre X que se denomina la topología del espacio métrico y notaremos G(d).
(b) Si Y ⊆ X , la topología de (Y, d|Y ) es la topología inducida en Y por la topología
de (X, d).
(c) Para cada F ∈ F(X), sea dF : X −→ R la función denida por
dF (x) = d(x, F ).
Entonces dF es continua.
Un espacio topológico X se dice que es metrizable si existe
una métrica sobre X , d, tal que G(X) es la topología del espacio (X, d). En este
caso diremos que d es compatible con X .
Definición VII.2.4.
Si X es metrizable y d es una métrica compatible con G(X), entonces G(X) es también compatible con la métrica d0 : X 2 −→ R+ dada por
d(x, y)
d0 (x, y) =
.
1 + d(x, y)
Nota VII.2.5.
Además, d0 < 1.
Lema VII.2.6.
X metrizable
=⇒
X Hausdor.
Sea d una métrica compatible con X . Sean x, y ∈ X tales que
x 6= y . Sea r = d(x, y). Entonces
Demostración:
() x ∈ B(x, r/2).
() y ∈ B(y, r/2).
Capítulo VII. Apéndice
125
() B(x, r/2) ∩ B(y, r/2) = ∅.
Por tanto, X es de Hausdor.
Definición VII.2.7.
¥
Sean X un espacio topológico y D ⊆ X .
(a) Diremos que D es denso en X si para todo G, abierto en X , no vacío, G∩D 6= ∅.
(b) Diremos que X es separable si tiene un conjunto denso numerable.
Lema VII.2.8.
Sea X un espacio topológico.
(a) X segundo numerable =⇒ X separable.
(b) Si X es metrizable, entonces son equivalentes:
(b.1) X es segundo numerable.
(b.2) X es separable.
(c) Sea Y ⊆ X .
(c.1) X segundo numerable =⇒ Y segundo numerable.
(c.2) Si X es metrizable,
X separable
=⇒
Y separable.
Definición VII.2.9. Sea {(Xn , dn ) : n ∈ ω} una sucesión de espacios métricos.
Q
El espacio producto es el espacio métrico ( n∈ω Xn , d), donde d es la métrica dada
por
P
d(x, y) = n∈ω 2−(n+1) · d0n (xn , yn ).
Donde
() x = {xn : n ∈ ω}, y = {yn : n ∈ ω}.
() d0n (xn , yn ) =
dn (xn , yn )
.
1 + dn (xn , yn )
Nota VII.2.10.
Se tiene que:
(a) La topología asociada al espacio métrico producto es la topología producto.
(b) El producto de una sucesión de espacios metrizables es un espacio metrizable.
Definición VII.2.11. Sea {(Xj , dj ) : j ∈ I} una familia de espacios métricos
S
disjuntos. El espacio suma es el espacio métrico sobre X = j∈I Xj con la métrica,
d : X 2 −→ R+ dada por
½ 0
dj (x, y), si x, y ∈ Xj ;
d(x, y) =
1,
si x ∈ Xj , y ∈ Xk donde j 6= k.
Nota VII.2.12.
Se tiene que:
(a) La topología asociada al espacio métrico suma es la topología suma.
126
VII.2. Espacios métricos
(b) La suma de una familia de espacios metrizables es un espacio metrizable.
Definición VII.2.13.
Sea (X, d) un espacio métrico.
(a) Sea {xn : n ∈ ω} una sucesión de elementos de X .
(a.1) Diremos que {xn : n ∈ ω} es de Cauchy si
∀ε > 0 ∃k ∈ ω ∀n, m ≥ k (d(xn , xm ) < ε).
(a.2) Diremos que x ∈ X es un límite de {xn : n ∈ ω}, limn∈ω xn = x, si
∀ε > 0 ∃k ∈ ω ∀n ≥ k (d(xn , x) < ε).
Es decir,
∀G ∈ G(X) [x ∈ G =⇒ ∃k ∈ ω ∀n ≥ k (xn ∈ G)].
(a.3) Diremos que {xn : n ∈ ω} es convergente si tiene un límite.
(b) Diremos que (X, d) es un espacio completo si toda sucesión de Cauchy tiene
límite.
Lema VII.2.14.
Entonces
Sean X un espacio métrico y {xn : n ∈ ω} ⊆ X una sucesión.
{xn : n ∈ ω} convergente
Definición VII.2.15.
=⇒
∃!x [x = limn∈ω xn ].
Sean (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) espacios métricos y f : X1 −→ X2
(a) Diremos que f es una isometría si
(a.1) f es biyectiva.
(a.2) Para todo x, y ∈ X1 , d1 (x, y) = d2 (f (x), f (y)).
(b) Diremos que f es una inmersión isométrica si f es una isometría de X1 en
f (X1 ).
Sea (X, d) un espacio métrico. Existe un espacio métrico
ˆ , que denominaremos la completación de (X, d), tal que
(X̂, d)
Teorema VII.2.16.
ˆ es un espacio métrico completo.
(a) (X̂, d)
ˆ.
(b) (X, d) es un subespacio de (X̂, d)
(c) X es denso en X̂ .
ˆ y (Y, d1 ) son
(d) Para todo espacio métrico, (Y, d1 ), vericando (a)(c), (X̂, d)
isométricos.
Demostración: Sea S el conjunto de las sucesiones de Cauchy de X . Sobre S denimos la siguiente relación de equivalencia. Sean {xn : n ∈ ω}, {yn : n ∈ ω} ∈ S
{xn : n ∈ ω} ≡ {yn : n ∈ ω} ⇐⇒ limn∈ω d(xn , yn ) = 0.
Sea X̂ el conjunto cociente S/≡. Para obtener que X ⊆ X̂ , identicamos x ∈ X
con la clase de equivalencia de la sucesión constante igual a x. Sobre X̂ se considera
la métrica
Capítulo VII. Apéndice
127
ˆ n : n ∈ ω}/≡, {yn : n ∈ ω}/≡) = limn∈ω d(xn , yn ).
d({x
ˆ satisface las
Usando las propiedades de completitud de R se comprueba que (X̂, d)
propiedades deseadas.
¥
Definición VII.2.17. Un espacio topológico X es completamente metrizable si
existe una métrica compatible, d, tal que (X, d) es completo.
Lema VII.2.18.
Q
(a) {Xn : n ∈ ω} espacios métricos completos =⇒ n∈ω Xn esp. métrico completo.
L
(b) {Xi : i ∈ I} espacios métricos completos =⇒ i∈I Xi esp. métrico completo.
VII.3. Espacios compactos
Definición VII.3.1.
Sea X un espacio topológico.
(a) Diremos que X es compacto si para todo G ⊆ G(X) talSque X =
S
G (recubrimiento abierto) existe G 0 ⊆ G nito tal que X = G 0 . Es decir, todo
recubrimiento abierto de X tiene un subrecubrimiento nito.
(b) Diremos que A ⊆ X es compacto (en X ) si
S
S
∀G ⊆ G(X) [A ⊆ G =⇒ ∃G 0 ⊆ G (G 0 nito ∧ A ⊆ G 0 )].
Es decir, si (A, G(X)|A ) es un espacio topológico compacto.
Definición VII.3.2. Sea A ⊆ P(X). Diremos que A tiene la propiedad de la
T
intersección nita si para toda A0 ⊆ A con A0 nito, A0 6= ∅.
Lema VII.3.3.
Sea X un espacio topológico. Son equivalentes
(a) X es compacto.
(b) Toda familia de conjuntos cerrados con la propiedad de la intersección nita
tiene intersección no vacía.
Proposición VII.3.4.
Sean X de Hausdor y A ⊆ X .
A compacto =⇒ A cerrado.
Supongamos que A no es cerrado, sea a ∈ cl(A) − A. Para cada
x ∈ A sean Gx y Ux abiertos tales que
Demostración:
() x ∈ Gx , a ∈ Ux ,
() Gx ∩ Ux = ∅.
Es evidente que A ⊆
tales que
S
x∈A
Gx . Puesto que A es compacto, existen Gx1 , . . . , Gxn
128
VII.3. Espacios compactos
() A ⊆ Gx1 ∪ · · · ∪ Gxn .
Entonces
() a ∈ Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn .
() A ∩ (Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn ) = ∅.
Lo cual está en contradicción con a ∈ cl(A).
Lema VII.3.5.
¥
Sean X un espacio compacto y A ⊆ X .
A cerrado
=⇒
A compacto.
Sea G un recubrimiento abierto de A. Entonces G ∪ {Ac } es un
recubrimiento abierto de X . Puesto que X es compacto, existe G 0 ⊆ G nito tal
que G 0 ∪ {Ac } un recubrimiento de X . Entonces G 0 es un recubrimiento nito de
A; por tanto, A es compacto.
¥
Demostración:
Sean A1 , . . . , An ⊆ X .
A1 , . . . , An compactos =⇒
Lema VII.3.6.
Lema VII.3.7.
A1 ∪ · · · ∪ An compacto.
Sean f : X −→ Y continua y A ⊆ X .
A compacto
Demostración:
=⇒
f (A) compacto.
Sea G un recubrimiento abierto de f (A). Sea
() Gf −1 = {f −1 (G) : G ∈ G}.
Se tiene que
S
S
() A ⊆ f −1 (f (A)) ⊆ Gf −1 . [[f (A) ⊆ G]].
() Gf −1 es un recubrimiento abierto. [[f continua]].
Puesto que A es compacto, de la anterior se sigue que existe {G1 , . . . , Gn } ⊆ G tal
que
() A ⊆ f −1 (G1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Gn ) = f −1 (G1 ∪ · · · ∪ Gn ).
Por tanto, f (A) ⊆ G1 ∪ · · · ∪ Gn . Lo que prueba que f (A) es compacto.
¥
(AC). Sea {Xj : j ∈ I} una familia de espacios compactos.
Xj es compacto.
Teorema VII.3.8
Entonces
Q
j∈I
Demostración:
Ver V.5.5.
Proposición VII.3.9.
(a) F ∈ F(X)
=⇒
¥
Sean X compacto, Y de Hausdor y f : X −→ Y continua.
f (F ) ∈ F(Y ).
Capítulo VII. Apéndice
½
(b)
f inyectiva
f biyectiva
Demostración:
=⇒
=⇒
129
f inmersión de X en Y
f homeomorsmo de X en Y
((a)): En efecto,
F ∈ F(X) =⇒ F es compacto [[VII.3.5]]
=⇒ f (F ) compacto [[VII.3.7]]
=⇒ f (F ) ∈ F(Y ) [[VII.3.4]].
((b)): Se sigue de (a).
¥
Sean X un espacio compacto, Y un espacio métrico y f :
X −→ Y continua y biyectiva. Entonces f es una homeomeorsmo de X en Y .
Corolario VII.3.10.
Demostración:
de VII.3.9-(b).
Por VII.2.6, Y es de Hausdor. Por tanto, el resultado se sigue
¥
Corolario VII.3.11.
Sean X un conjunto y O1 , O2 ⊆ P(X) tales que
(i) O1 ⊆ O2 .
(ii) (X, O2 ) es un espacio compacto.
(iii) (X, O1 ) es metrizable.
Entonces O1 = O2 .
Demostración: Sea f : X −→ X la aplicación identidad, f (x) = x. Es evidente
que f es biyectiva. De (i) se sigue que f : (X, O2 ) −→ (X, O1 ) es continua.
Por tanto, de (ii), (iii) y VII.3.10 se sigue que f es un homeomorsmo. Luego,
O1 = O2 .
¥
VII.4. Espacios Polacos
VII.4.A.
Conjuntos Gδ
Sean X un espacio métrico separable y A ⊆ X . Si A es completamente metrizable, entonces A ∈ Gδ (X).
Lema VII.4.1.
Demostración: Sean d una métrica sobre X compatible con la topología de
X y d0 una métrica completa sobre A compatible con la topología de A . Sea
B = {Un : n ∈ ω} una base de X . Sea
T
S
B = m>0 {U ∈ B : A ∩ U 6= ∅ ∧ dtrd (U ), dtrd0 (U ∩ A) < m−1 }.
Es evidente que B ∈ Gδ . Se tiene que:
130
VII.4. Espacios Polacos
(1) A ⊆ B . Sea x ∈ A. Sea m > 0. Puesto que B es una base, existe U ∈ B
tal que x ∈ U y dtrd (U ) < m−1 . Puesto que U ∩ A es abierto en A, existe
k > 2m tal que Bd0 (x, k −1 ) ⊆ U ∩ A. Sea U 0 ∈ B tal que x ∈ U 0 ⊆ U y
U 0 ∩ A ⊆ Bd0 (x, k −1 ). Entonces dtrd (U 0 ) ≤ dtrd (U ) < m−1 y
dtrd0 (U 0 ∩ A) ≤ 2 · k −1 < m−1 .
Por tanto, x ∈ B .
(2) A es denso en B . Sea x ∈ B . Veamos que x ∈ cl(A). De la denición de
B se sigue que, para todo m > 0, existe U tal que x ∈ U , A ∩ U 6= ∅ y
dtrd (U ) < m−1 . Entonces x ∈ cl(A).
(3) B ⊆ A. Sea x ∈ B . Para cada k > 0, sea Unk ∈ B tal que x ∈ Unk y
dtrd (Unk ), dtrd0 (Unk ∩ A) < k −1 . Puesto que Un1 ∩ · · · ∩ Unk 6= ∅ y, por (2), A
es denso en B , entonces A ∩ (Un1 ∩ . . . Unk ) 6= ∅. Por tanto, para cada k > 0
existe yk ∈ A ∩ (Un1 ∩ . . . Unk ). Consideremos la sucesión {yk : k > 0}. Esta
suceción es de Cauchy con respecto a las métricas d y d0 . Por tanto, como d0
es una métrica completa existe y ∈ A tal que limk>0 yk = y . Con respecto a la
métrica d, limk>0 yk = x. Por tanto, x = y . En consecuencia, x ∈ A.
De (1) y (3) se sigue que A = B . Puesto que B es Gδ , entonces A ∈ Gδ .
¥
Sea X un espacio métrico completo. Si A ∈ Gδ (X), entonces A es
completamente metrizable.
Lema VII.4.2.
Demostración: Sea d una métrica completa sobre X . Consideremos los siguientes
casos.
Caso 1: A abierto. Entonces Ac es cerrado; por tanto, para todo x ∈ A, 0 <
d(x, Ac ). Sea f : A −→ X × R la función denida por f (x) = (x, 1/d(x, Ac )).
Es evidente que f es inyectiva. Además,
Aserto VII.4.2.1.
(i) f y f −1 son continuas.
(ii) A y f (A) son homeomorfos.
(iii) f (A) ∈ F(X × R).
Prueba del aserto: Las partes (i) y (ii) se siguen de la denición. Probaremos
(iii).
Sea {(xn , rn ) : n ∈ ω} ⊆ f (A) convergente en X × R. Sea (x, r) ∈ X × R
tal que limn∈ω (xn , rn ) = (x, r). Veamos que (x, r) ∈ f (A). Observemos que
para todo n ∈ ω : rn = 1/d(xn , Ac ), limn∈ω xn = x y limn∈ω rn = r. Por tanto,
r = 1/d(x, Ac ). Luego, f (x) = (x, r). Además, d(x, Ac ) 6= 0; en consecuencia,
x ∈ A. Por tanto, limn∈ω (xn , rn ) = (x, r) = f (x) ∈ f (A). Luego, f (A) es
cerrado.
2
Por VII.4.2.1-(iii), f (A) es completamente metrizable. Por tanto, de VII.4.2.1(ii) se sigue que A es completamente metrizable.
Capítulo VII. Apéndice
131
Caso
2: A ∈ Gδ . Sea {Gn : n ∈ ω} una sucesión de abiertos tales que A =
T
ω
n∈ω Gn . Sea f : A −→ X × R la aplicación denida por
f (x) = (x, 1/d(x, Gc0 ), 1/d(x, Gc1 ), . . . ).
Como en el caso 1 se tiene que f : A ∼
= f (A) y f (A) es cerrado en X × Rω .
Por tanto, A es completamente metrizable.
VII.4.B.
¥
Teoremas de Transferencia
Proposición VII.4.3.
Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces
e X.
(a) C ⊂
e X.
(b) N ⊂
Demostración:
((a)): Se sigue de VI.3.8.
((b)): Sea f : N −→ C la función denida por
f (σ) = {hn, mi : σ(n) = m} = Gr(σ).
e C . Por tanto, el resultado se sigue de (a).
Es evidente que f : N ⊂
Proposición VII.4.4.
(a) X
(b) X
(c) X
¥
Sea X un espacio métrico separable. Son equivalentes:
es 0dimensional.
e C.
⊂
e N.
⊂
((b), (c) =⇒ (a)): Trivial. Los espacios C y N son 0dimensionales y todo subespacio de un espacio 0dimensional también lo es.
Demostración:
((b) =⇒ (c)): Trivial. La inclusión es una inmersión de C en N .
((a) =⇒ (b)): Sea E = {Un : n ∈ ω} base numerable de X formada por conjuntos
abiertos y cerrados.
Para cada n ∈ ω , sea gn : X −→ {0, 1} la función característica de Un . Sea
GE : X −→ C la función denida por
GE (x)(n) = gn (x).
Puesto que E es una base y X es de Hausdor, GE es inyectiva. Además, para cada
s ∈ 2<ω (donde A(0) = Ac y A(1) = A)
((s) )
x ∈ G−1
⇐⇒ ∀i < lg(s) (x ∈ Ui i ).
E (Ns )
T
((s)i )
Luego, G−1
. Puesto que los conjuntos Ui son abiertos y
E (Ns ) =
i<lg(s) Ui
cerrados, GE es continua. Por otra parte, para todo n ∈ ω
GE (Un ) = {σ ∈ C : σ(n) = 1} ∩ GE (X).
Puesto que {σ ∈ C : σ(n) = 1} es abierto en C , GE (Ui ) es abierto en GE (X). En
e C.
consecuencia, GE : X ⊂
¥
132
VII.4. Espacios Polacos
Lema VII.4.5.
Sea X un espacio Polaco.
(a) Sean C, D ∈ F(X) y ε > 0. Entonces existe una sucesión {Bn : n ∈ ω} tal que
(a.1) Bn ∈ Fσ (X).
(a.2) n 6= m =⇒ Bn ∩ Bm = ∅.
S
(a.3) C − D = n∈ω Bn .
(a.4) dtr(Bn ) < ε.
(b) Sea F ∈ Fσ (X) y ε > 0. Entonces existe {Fn : n ∈ ω} ⊆ Fσ (X) tal que
S
(b.1) F = n∈ω Fn .
(b.2) n 6= m =⇒ Fn ∩ Fm = ∅.
(b.3) cl(Fn ) ⊆ F .
(b.4) dtr(Fn ) < ε.
((a)): S
Puesto que C − D es separable, existe {xn : n ∈ ω} ⊆
C − D tal que C − D ⊆ n∈ω B(xn , ε). Denimos {Bn : n ∈ ω} como sigue.
S
Bn = [B(xn , ε) ∩ (C − D)] − ( j<n B(xj , ε)).
Demostración:
Es evidente que se satisfacen (a.2), (a.3) y (a.4). Para probar (a.1) hay que tener
presente que por VI.1.6, G(X) ⊆ Fσ (X). Por tanto,
() C − D = C ∩ Dc ∈ Fσ (X).
() B(xn , ε) ∩ (C − D) ∈ Fσ (X).
Luego, Bn = [B(xn , ε)∩(C −D)]∩(
S
j<n
B(xj , ε)) ∈ Fσ (X). Lo que prueba (a.1).
((b)): Puesto que F ∈ Fσ (X)
S existe {Cn : n ∈ ω}S⊆ F(X) tal que para todo
n ∈ ω , Cn ⊆ Cn+1 y F = n∈ω Cn . Entonces F = n∈ω (Cn+1 − Cn ). Por (a),
para cada n ∈ ω existe {Bn,m : m ∈ ω} ⊆ Fσ (X) tal que
S
() Cn+1 − Cn = m∈ω Bn,m .
() m 6= m0 =⇒ Bn,m ∩ Bn,m0 = ∅.
() dtr(Bn,m ) < ε.
S
Entonces F = n,m Bn,m y cl(Bn,m ) ⊆ cl(Cn+1 − Cn ) ⊆ Cn+1 ⊆ F . Lo que
prueba el resultado.
¥
Lema VII.4.6
((AC)ω ). Sea F ∈ F(Aω ) no vacío. Existe f : Aω −→ F continua
tal que para todo σ ∈ F , f (σ) = σ .
Demostración:
Para cada s ∈ A<ω tal que F ∩ Ns 6= ∅ sea τs ∈ F ∩ Ns .
Denimos f : Aω −→ F como sigue. Sea σ ∈ Aω .
Caso 1: σ ∈ F . Entonces f (σ) = σ .
Caso 2: σ ∈
/ F . Puesto que F es cerrado, existe k ∈ ω tal que F ∩ Nσ|k = ∅. Sea
m = sup({n ∈ ω : F ∩ Nσ|n 6= ∅}).
Capítulo VII. Apéndice
133
Entonces denimos: f (σ) = τσ|m .
Veamos que f es continua. Para ello es suciente probar que para cualesquiera
s ∈ A<ω y σ ∈ f −1 (Ns ∩ F ) existe t ∈ A<ω tal que σ ∈ Nt ⊆ f −1 (Ns ∩ F ).
Para ello consideremos los siguientes casos:
Caso 1: σ ∈
/ F . Sean m = sup({n ∈ ω : Nσ|n ∩ F 6= ∅}) y t = σ|m+1 . Es evidente
que σ ∈ Nt . Además, Nt ∩ F = ∅ y para todo δ ∈ Nt
sup({n ∈ ω : Nδ|n ∩ F 6= ∅}) = m.
Sea δ ∈ Nt . Entonces δ|m = σ|m ; por tanto, f (δ) = τδ|m = τσ|m = f (σ) ∈ Ns .
Luego, Nt ⊆ f −1 (Ns ∩ F ).
Caso 2: σ ∈ F . Entonces f (σ) = σ . Por tanto, σ ∈ Ns . Sea t = s. Entonces σ ∈ Nt .
Además, f (Nt ) ⊆ Nt = Ns . Luego, Nt ⊆ f −1 (Ns ∩ F ).
¥
Teorema VII.4.7.
Sea X un espacio Polaco.
(a) Existen F ∈ F(N ) y f : F −→ X continua y biyectiva.
(b) Existe g : N −→ X continua y suprayectiva.
Demostración: ((a)): Sea d una métrica completa sobre X tal que d ≤ 1. Usando
el lema VII.4.5, por recursión sobre s ∈ ω <ω , se obtiene un esquema de Lusin
{As : s ∈ ω <ω } tal que:
(1) A∅ = X .
(2) ∀s ∈ ω <ω [As ∈ Fσ (X)].
S
S
(3) ∀s ∈ ω <ω [As = i∈ω As∗hii = i∈ω cl(As∗hii )].
(4) ∀s ∈ ω <ω [dtr(As ) ≤ 2−lg(s) ].
Consideremos el conjunto, D, y la función, fD , asociadas a dicho esquema (ver
VI.2.6). Por (3), As∗hii ⊆ cl(As∗hii ) ⊆ As . Por tanto, fD (D) = X . En consecuencia, de VI.2.8-(a) se sigue que f es una aplicación continua y biyectiva de D en
X . Además, por VI.2.7-(b), D es cerrado. Lo que prueba (a).
((b)): Sean F ∈ F(N ) y f : F −→ X continua y biyectiva. Por VII.4.6 existe
h : N −→ F continua tal que para todo σ ∈ F , h(σ) = σ .
Sea g = f ◦ h. Entonces g : N −→ X es continua. Veamos que es suprayectiva. Sea
x ∈ X . Entonces existe σ ∈ F tal que f (σ) = x. Por tanto, (en la tercera identidad
h(σ) = σ , σ ∈ F )
g(σ) = f ◦ h(σ) = f (h(σ)) = f (σ) = x.
Lo que prueba el resultado.
¥