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Siempre se sostuvo que los babilonios (400 a.C.) fueron los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas, lo cual es una simplificación de la realidad, ya que los babilonios no tenían el concepto de ecuación. En el 300 a.C., Euclides desarrolló una aproximación geométrica que le sirvió para encontrar una de las raíces de las ecuaciones cuadráticas. Matemáticos hindúes tomaron los métodos de los babilonios, pero fueron más allá, tanto que Brahmagupta (598-665 d.C.) dio un nuevo método que admitía números negativos. También usó abreviaturas para las incógnitas, usualmente la inicial de un color y, a veces, había más de una incógnita en un problema. A la incógnita de una ecuación se la denominaba a menudo «cosa». El así llamado «arte cósico» se desarrolló con rapidez en Alemania a principios del siglo XVI. Solución a la ecuación cúbica tal como se la dio Tartaglia a Cardano en 1546: «[…] cuando el cubo está junto con las cosas y se iguala a un número discreto, debes encontrar otros dos números que difieran en éste. Después haz lo siguiente como una norma: su producto debe ser siempre igual al tercio del cubo de la cosa exactamente. Entonces el resultado de sus raíces cúbicas restadas te dará la cosa principal. En el segundo de estos casos, cuando el cubo está aislado, debes seguir los siguientes pasos: harás dos partes del número, de modo que una en la otra produzca el tercio del cubo de la cosa exactamente. Después de estas dos partes, como una regla general suma sus raíces cúbicas y esta suma será lo que buscas. El tercero de nuestros casos se resuelve con el segundo si te esmeras, ya que por naturaleza son casi iguales. Esto encontré, y no con pasos lentos en el mil quinientos treinta y cuatro con fundamentos bien claros y robustos en la ciudad rodeada por el mar […]» Extraído de: Mankiewicz, R. (2000). Historia de las matemáticas. Barcelona, Paidós. La transición total desde el álgebra retórica hasta un álgebra simbólica estandarizada y no ambigua tardó más de cien años. Por ejemplo: una de las mayores preocupaciones fueron las potencias mayores de tres. Como los métodos algebraicos se basaban en pruebas geométricas y no existían dimensiones físicas más allá de tres, no parecía razonable que tuviera sentido una cuarta potencia o potencias aún mayores. En la actualidad, el uso de la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado pasó a la historia. Muchos modelos de calculadoras científicas de bajo costo (24 dólares), traen implementada la fórmula como una función más. 260 GUSTAVO A. DUFFOUR 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO BICUADRADA, BICÚBICA, SIMÉTRICA, HEMISIMÉTRICA 1 – ECUACIONES 1.1. ¿QUÉ ENTENDEMOS POR ECUACIÓN? Sean A(x) y B(x) dos expresiones algebraicas dependientes de una incógnita x, x e \ . La forma tipo de una ecuación es: A(x) = B(x) Y se define como una igualdad que se satisface para algunos valores de la incógnita. Esos valores reciben la denominación de raíces o soluciones de la ecuación. Resolver la ecuación es hallar estas raíces. En este capítulo, una ecuación presentará como un polinomio igual a cero. se En matemática es básico sustituir los números por letras, para que las conclusiones a que se lleguen sean generales. Dentro de las letras del abecedario es posible encontrar una gran diferencia entre: – los denominados parámetros, (generalmente las primeras letras del abecedario: a, b, c… ), que representan a algún número en particular. – las variables (las últimas letras del abecedario, x, y, z, …) que representan a cualquiera de los números de un conjunto determinado. A(x) = B(x) A( x ) − B( x ) = 0 = P( x ) P(x) = 0 En todo el capítulo se trabaja con números reales. En todos los casos: ae\ be\ ce\ xe\ ze\ MATEMÁTICA DE QUINTO Es común usar la x para representar a los números reales, y la n para representar a los números naturales. En algunos temas también es común usar otras letra del abecedario. Por ejemplo, con el signo de sumatoria es habitual usar la i. i =n ∑ (3i - 2) i =1 261 1.2. EQUIVALENCIA DE ECUACIONES, DEFINICIÓN Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando se satisfacen para los mismos valores de la incógnita. Para probar la equivalencia de dos ecuaciones es necesario demostrar que toda solución de la primera ecuación es solución de la segunda, y recíprocamente. O sea que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Cuando se consideran las soluciones con su orden de multiplicidad, este también debe coincidir. Si Se multiplica por x x2 – 1 = x – 1 Se resta 1 Se factorea Los teoremas siguientes tienen la finalidad de demostrar si al aplicar la transposición de términos o de factores y divisores, o sea, al efectuar cualquier clase de operaciones racionales a los miembros de una igualdad, se obtiene o no una ecuación equivalente a la primera. x=1 2 x =x (x – 1)(x + 1) = (x – 1) Se simplifica (x – 1) x+ 1= 1 Pero si x = 1 resulta que 2=1 Véase el resultado en la página 483. 1.3. TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES, TEOREMAS TEOREMA Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión entera en la incógnita, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Sea A(x) = B(x). Si α es una solución de la ecuación, se cumple que A(α) = B(α). Si se suma a ambos miembros la expresión entera E(x), la cual tiene un valor numérico para cualquier valor de la x por ser una expresión entera en x, resulta que: A(x) + E(x) = B(x) + E(x), y para el valor de x = α se tiene que: A(α) + E(α) = B(α) + E(α), lo que demuestra que α es solución de la nueva ecuación, ya que la transforma en una igualdad numérica. Sea β la solución de A(x) + E(x) = B(x) + E(x) ⇒ A(β) + E(β) = B(β) + E(β) Al restar en ambos miembros el número E(β), se obtiene la igualdad: A(β) = B(β), con lo cual es cierto también el recíproco. O sea que toda solución de la ecuación transformada es solución de la original. 262 GUSTAVO A. DUFFOUR TEOREMA Si se multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por una expresión dependiente de la incógnita, se obtiene una ecuación NO equivalente a la original. Sea A(x) = B(x) una ecuación en x. Multiplicando a ambos miembros de esta ecuación por E(x), se tendrá que: A(x) E(x) = B(x) E(x). Transponiendo términos y sacando a E(x) como factor común se obtiene: (A(x) – B(x)) E(x) = 0. Responder «verdadero» o «falso», y justificar la respuesta. ¿Las siguientes ecuaciones son equivalentes? 1) Sea α solución de la ecuación original. Se cumple que: (A(α) – B(α)) E(α) = 0. Ya que uno de los factores vale cero A(α) – B(α) = 0, por lo cual α es también solución de la transformada. Pero el recíproco no siempre se cumple, pues pueden existir valores de x, sea β, que anulen a E(x), o sea que: E(β) = 0 y que son, por lo tanto, soluciones de la ecuación transformada, pero no tienen por qué ser soluciones de la ecuación original, A(x) = B(x). 2) a) (x + 1)2 = (2x – 3)2 b) x + 1 = 2x – 3 a) x – 3 = 2x + 4 b) 3x(x – 3) = 3x(2x + 4) Véanse los resultados en la página 483. El caso particular numérico de este teorema conserva la equivalencia: Si se multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente. EJEMPLO: Solución de A(x) = x2– 3x + 2 (A(x) = B(x)) = {1} B(x) = x2– 2x + 1 Solución de E(x) = x – 4 (A(x) E(x) = B(x) E(x)) = {1, 4} NOTA Con estos teoremas no se cubren todas las posibilidades de equivalencia de ecuaciones, sino que se da una idea sobre las situaciones más comunes, como la suma/resta y la multiplicación/división. En el ejemplo siguiente, la elevación al cuadrado, puede verse como un caso particular del teorema anterior, porque al elevar al cuadrado estamos multiplicando por una expresión que depende de x. MATEMÁTICA DE QUINTO 263