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Olimpiada Matemáticas Nivel II (1º ‐ 2º ESO)
OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL II (1º - 2º ESO)
46. Al pobre Jacinto siempre se le olvidaba atar la vaca y su padre
inventó este acertijo para que no volviera a ocurrir. Si letras
diferentes representan números diferentes.
A M A R

R A
R E S
¿Qué número corresponde a la letra E en esta resta?
A) 1
B) 2
C) 7
D) 8
E) 9
Solución:
R E S

R A
A M A R

9 E S
9 1
1 0 1 9


A1
S8
R E S

R 1
1 M 1 R

9 E 8
9 1
1 0 1 9


M0

R E S
R 1
1 0 1 R

R9
1 0 1 9

9 1
9 2 8
E2
47. Lucía se encarga de la iluminación de la obra de teatro. Tienen tres focos
alineados y cada uno de ellos puede dar luz roja, verde o azul. Si ninguno puede estar
apagado y además, dos focos contiguos no pueden lucir el mismo color. ¿de cuántas
maneras diferentes pueden iluminar la obra?
A) 12
B) 16
C) 18
Solución:
1
D) 20
E) 27
Encendido el primer foco (rojo, verde o azul), el segundo foco puede ser de dos colores
distintos al primer foco, mientras que el tercer foco puede ser de dos colores distintos
al primer segundo foco.
De este modo, las formas diferentes de lucir serán: 3 x 2 x 2  12
48. Laura elige un número y suma los diez resultados de su tabla de multiplicar.
Patricia suma los diez resultados de la tabla de multiplicar del número siguiente al de
Laura. ¿Cuál es la diferencia entre el resultado de Patricia y el de Laura?
A) 10
B) 55
C) 100
D) Cada vez dará una resta distinta
E) No se puede saber si no conocemos el número de Laura
Solución:
Laura suma los números:
x  2 x  3x  4 x  5 x  6 x  7 x  8 x  9 x  10 x
Patricia suma los números:
(x  1)  2(x  1)  3(x  1)  4 (x  1)  5(x  1)  6(x  1)  7 (x  1)  8(x  1)  9(x  1)  10 (x  1)
Las diferencias de los números, uno a uno, son: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  55
49. En una gran caja hay 1000 garbanzos, 200 lentejas y 360 guisantes. El afamado
mago Hortalizo convierte, en cada golpe de tambor, tres garbanzos en dos lentejas y un
guisante. ¿En qué golpe de tambor conseguirá Hortalizo tener el mismo número de cada
una de las tres legumbres?
A) 150
B) 155
C) 156
D) 158
E) 160
Solución:
1560
 520
3
legumbres de cada tipo. Sabemos que los guisantes aumentan de uno en uno, como
Hay 1000  200  360  1560 tipos de legumbres, para que se igualen habrá
empiezan siendo 360 guisantes, habrá 520  360  160 golpes de tambor.
2
50. Dos hormigas caminan alrededor del reloj de la torre de la Iglesia, en sentidos
contrarios y a velocidades diferentes, cada una mantiene su ritmo constantemente. La
primera vez que se encontraron fue en la marca de las 3; y la segunda vez en la marca de
las 10. Cuando se volvieron a ver dijeron: "Paramos cuando nos hayamos cruzado 100
veces en total". ¿En qué marca se pararon?
A) 12
B) 11
C) 9
D) 6
E) 4
Solución:
La hormiga que camina en sentido de las agujas del reloj
avanza siete horas y la otra retrocediendo cinco horas.
Después de 99 encuentros, después del primero, han
pasado 99 x 7  693 horas avanzando. Dividiendo por 12
horas, dan un resto de 9 horas avanzando.
Como el primer encuentro fue a las 3, el encuentro 100
será a las 12
51.
Si A 
A) 3
1
1
1
3 y B
2 , ¿cuánto vale A  B ?
A.B
2
3
1
B)
13
6
C) 2
Solución:
A
1 31 2
3 3  3 1
2
2
2 3
1
1

AB 3

1
A.B
X
3
B
1 21 1
2  2  2  1
3
3
3 6
1
1 21
1
6  6  6  18  3
1
1
1
6
6
18
18
3
D)
1
6
E)
1
18
52. Los habitantes de Cuadripón operan los números de
cuatro en cuatro del siguiente modo:
¿Qué resultado obtuvo Cuadrupín cuando realizó la operación
de la derecha?
A) 0
B) 4
C) 8
D) 16
E) 24
Solución:
53.
Fíjate como se forma la siguiente serie:
Si continuamos colocando números, ¿en qué posición caerá el número 2012?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
Solución:
En el rectángulo inferior derecha de cada rectángulo caen siempre los múltiplos de 8
ordenados: 8, 16, 24, ...
4
Siguiendo la idea, el múltiplo de ocho más próximo a 2012 es 2008, basta con ir
colocando los números siguientes:
El número 2008 cae en la
esquina inferior derecha, la
respuesta es B
54. El equipo de ajedrez de mi barrio consta de cuatro jugadores. Como hemos ganado
la competición nacional, nos han regalado cuatro bicicletas del mismo modelo, dos rojas,
una verde y una azul. Dos niños del equipo son gemelos y quieren bicicletas de distinto
color. ¿De cuántas formas diferentes podemos hacer el reparto?.
A) 6
B) 24
C) 20
D) 10
E) 8
Solución:
1 Gemelo
2 Gemelo
3 Jugador
4 Jugador
R
A
R
V
1
R
A
V
R
2
R
V
A
R
3
R
V
R
A
4
V
A
R
R
5
V
R
R
A
6
V
R
A
R
7
A
R
R
V
8
A
R
V
R
9
Se pueden realizar 10 repartos diferentes.
55. En un triángulo equilátero ABC, hemos dibujado una punta
de lanza usando arcos con centros en los vértices A y B, y en los
puntos medios, M y N, de los lados AC y BC. Todos los arcos
tienen como radio la mitad del lado del triángulo. Si el triángulo
tiene 12 dm2 de área.
¿Cuál es, en dm2, el área de la punta de lanza?.
A) 9
B) 7,5
C) 6
Solución:
5
D) 4
E) 3
A
V
R
R
10
 y
Colocando el área de los arcos MC
 en el interior del triángulo ABC,
NC
la punta de lanza ocupa la mitad del
triángulo.
El área de la punta de lanza es 6 dm2
56. Como se ve en la figura hemos rodeado un hexágono
regular por triángulos equiláteros, y luego aprovechando sus
centros hemos dibujado una flor de seis pétalos. Si el área de
un triángulo es de 3 cm2, ¿cuál es, en cm2, el área de la flor?
A) 36
B) 42
C) 45
D) 54
E) 60
Solución:
La flor de seis pétalos esta formada por 14
triángulos equiláteros:

La parte interior de la flor es un hexágono
formado por 6 triángulos.

Los pétalos de la flor constan de 24
cuadriláteros. Cada tres cuadriláteros
forman un triángulo.
Los pétalos de la flor quedan formados por
24
 8 triángulos.
3
El área de la flor será: 14 x 3  42 cm2
6
57. Al dividir un número entre 60 obtenemos un cociente impar y 12 de resto. Si
dividimos el mismo número por 120, el resto será:
A) 12
B) 24
C) 48
D) 60
E) 72
Solución:
Dividendo = divisor x cociente + resto. Un número impar es de la forma (2 a  1)
El número será N  60 (2 a  1)  12  120 a  60  12  120 a  72
Si al número 120 a  72 se divide por 120, el resto r  72
58. Una cruz compuesta por cinco cuadrados iguales está inscrita
en un cuadrado. Si el área de la cruz es de 25 cm2.
¿Cuál es, en cm2, el área del cuadrado?
A) 30
B) 32
C) 36
D) 40
E) 48
Solución:
La cruz se descompone en 5 cuadrados iguales, cada uno de
25
 5 cm2
5
El cuadrado se compone de 8 de esos cuadrados, luego su área es 8 x 5  40 cm2
7
59.
Si x e y son números enteros positivos, lo más pequeños posibles para que 360 . x
sea un cuadrado perfecto y 360 . y sea un cubo perfecto, entonces x  y debe ser:
A) 80
B) 85
C) 115
D) 165
E) 610
Solución:
En la descomposición factorial de un cuadrado perfecto todos los exponentes son pares,
mientras que en la de un cubo perfecto todos los exponentes son múltiplos de tres.

360  23 . 32 . 5
360 . x  23 . 32 . 5 . x

con lo cual, x  2. 5  10

360  23 . 32 . 5

con lo cual, x  3. 52  75

hay que añadir un 2 y un 5
El cuadrado perfecto es 360 . x  360 . 10  3600
360 . x  23 . 32 . 5 . x



hay que añadir un 3 y dos 5
El cuadrado perfecto es 360 . y  360 . 75  27000
La suma pedida x  y  10  75  85
60.
El resto que queda al dividir 2 . 1010  1 entre 6 es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
Solución:
Se advierte fácilmente que la última cifra que hay
que dividir es 21. En consecuencia, el resto es 3
8
61. Si el hexágono grande de la figura mide 180 cm2 de área, el
área del hexágono central es, en cm2:
A) 15
B) 18
C) 20
D) 30
E) 16
Solución:
El hexágono grande está formado por 7
hexágonos pequeños y 6 rombos, donde
3 rombos equivalen a una hexágono
pequeño. En definitiva, por 9 hexágonos
pequeños.
El área del hexágono central será:
62.
180
 20 cm2
8
¿Qué fracción de la superficie del cuadrado está sombreada?
A)
1
4
3
8
D)
La región sombreada es
7
del total.
16
B)
5
16
C)
Solución:
9
7
16
E)
1
2
La figura está formada por cuatro pentágonos regulares que
ˆ ?
encierran un paralelogramo. ¿Cuánto mide el ángulo BAC
63.
A) 15º
B) 18º
C) 20º
D) 30º
E) 36º
Solución:
El ángulo central del pentágono
360
 72º
regular mide
5
Ángulo interior: 180  72  108º
ˆ miden 360º 108º 108º  144º
ˆ Y DCA
En el paralelogramo ABDC , los ángulos DBA
ˆ , cada uno, miden: 360º 144º 144º  36º
ˆ Y CDB
Los ángulos BAC
2
64. Dividimos un hexágono regular entres hexágonos regulares
iguales y tres rombos iguales, como se muestra en la figura. Si el
área del hexágono regular grande es 360 cm2, el área de cada
rombo, en cm2, es:
A) 60
B) 30
C) 75
D) 15
E) 45
Solución:
El hexágono regular pequeño se puede
descomponer en tres rombos (como los
rombos de las esquinas)
10
El hexágono regular grande se puede formar con doce de los mencionados rombos. En
360
consecuencia, el área de cada rombo es:
 30 cm2
12
65. Cada vértice de la estrella de la figura es el punto medio de
cada uno de los lados del cuadrado grande. ¿Qué fracción del área
del cuadrado cubre la estrella?
A)
1
5
B)
1
4
C)
1
3
D)
3
8
E)
2
5
Solución:
La estrella se descompone en cuatro
triángulos rectángulos, iguales dos a dos.

Los triángulos A tienen de base l / 2 y
de altura l / 4

Los triángulos B tienen de base l / 4 y de altura l / 2

El área de los cuatro triángulos es la misma. En consecuencia, la suma de los cuatro
l
l
l2
l2
x
l2 l2

triángulos rectángulos es 4 x 2 4  4 x 8  4 x 8  4 x
2
2
2
16 4
La fracción del área del cuadrado que cubre la estrella es
11
1
4