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UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
EMPÍRICA EN EL MÉTODO DE VALORACIÓN DE LAS
DOS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN.
Rafael Herrerías Pleguezuelo
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
Universidad de Granada
Correo electrónico: rherreri@ugr.es
Federico Palacios González
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
Universidad de Granada
Correo electrónico: fpalacio@ugr.es
José Manuel Herrerías Velasco
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
Universidad de Granada
Correo electrónico: jmherrer@ugr.es
Resumen
El presente trabajo se encuadra en el método de valoración de las Dos Funciones de
Distribución (MVDFD), empleándose la distribución triangular para la variable valor de
mercado del bien y, como novedad, la función de distribución empírica para el índice de
calidad del mismo. Posteriormente se aplica a un caso práctico, típico de la literatura de
Tasación y Valoración, referente al valor de una finca plantada de almendros en el
término municipal de Villajoyosa (Alicante).
Palabras clave: Método de Valoración de las Dos Funciones de Distribución, Ambiente
de Incertidumbre, Estimaciones Subjetivas, Distribución Triangular, Función de
Distribución Empírica.
1.- Introducción
Es corriente en la práctica valorativa encontrarse con indicadores de la calidad de un
bien o índices de un activo que pueden resumirse en una distribución de frecuencias
para la muestra que los datos existentes proporcionan. Así por ejemplo ocurre cuando se
tiene la antigüedad de un grupo de viviendas, Lozano, J. J. (1996), o la distancia de un
conjunto de fincas a un determinado centro urbano, Alonso, R y Lozano, J. (1985).
Además es frecuente que estas distribuciones no sean fácilmente ajustables a una
distribución de las utilizadas en esta metodología (uniformes, triangulares,
trapezoidales, betas Caballer o triparamétricas, etc...) al presentar unas gráficas muy
alejadas de las representaciones de las funciones de densidad de las cuatro
distribuciones citadas anteriormente.
2.- El método de valoración de las Dos Funciones de Distribución (MVDFD)
El principio básico que rige el Método de las Dos Funciones de Distribución (MVDFD),
introducido por Ballestero, E. (1973), extendido por Romero, C. (1977) y estudiado con
más detalle por Ballestero, E. y Caballer, V. (1982), establece que si el índice de calidad
de un activo i, Ii , no supera al de otro activo j, I j , el valor de mercado correspondiente
al primer activo i, Vi , no superará al valor de mercado del activo j, Vj . A partir de este
principio y supuesto conocida la función de distribución de probabilidad del valor de
mercado del activo, G, y la función de distribución de probabilidad del índice de
calidad, F; el valor de mercado Vk correspondiente a un índice de calidad de un activo
k, I k , se obtiene igualando las dos funciones de distribución de probabilidad:
G (Vk ) = F(I k ) ⇔ Vk = φ (I k )
La dificultad del método radica en conocer la forma de la función φ = G −1o F . Por ello,
la forma que adopten F y G va a determinar la mayor o menor dificultad que supone
especificar φ , ya sea mediante tablas específicas de una distribución beta triparamétrica
realizadas por Caballer, V. (1998), ó analíticamente, si se suponen otras distribuciones
de tipo geométrico. Este último caso, utilizando una distribución triangular para el valor
2
y la función de distribución empírica para el índice de calidad es el que se considera a
continuación.
3.- La función de distribución empírica de una muestra
r
Sea X = (X1 , X 2 , ... , X n ) una muestra de tamaño n, se denomina función de
distribución empírica de dicha muestra, a la función, Fn(x), definida, Ríos, S. (1974),
por:
Fn ( x ) = P(X i ≤ x )
i = 1,2, ... ,n
(1)
si se denota por N(x) al número de observaciones de la muestra que son menores o
iguales que x, resulta, Casas, J. M. (1996), que:
Fn ( x ) =
N( x )
n
(2)
Aplicando la conocida ley de estabilidad de las frecuencias relativas, se tiene que el
segundo miembro de (1) ó (2) tiende a unos valores fijos, que pueden considerarse las
alturas (en el caso de igualdad de amplitud de intervalos) de un histograma acumulativo
creciente empírico, que constituye una representación aproximada de la función de
distribución, F(x), de la población básica X. Más aún, bajo condiciones de continuidad,
Arnáiz, G. (1978) de la función F(x) se demuestra que si
lim Fn ( x ) = F( x )
n →∞
∀ x ∈ CF
(3)
se cumple que Fn(x) converge en distribución o en ley a F(x).
4.- La función de distribución del índice de calidad del bien
Supuesto que se ha determinado Fn(x), es harto frecuente que el indicador del bien, x0,
no sea exactamente uno de los valores xi de Fn(x), sino que se encuentra entre dos
valores xi y xi+1, por esta razón se supondrá que Fn(x) en el intervalo (xi , xi+1) es
aproximadamente lineal. Bajo este supuesto se verifica la relación siguiente:
Fn ( x 0 ) − Fn ( x i ) Fn ( x i +1 ) − Fn ( x i )
=
x0 − xi
x i +1 − x i
∀x 0 ∈ ( x i , x i +1 )
(4)
por tanto:
F ( x ) − Fn ( x i )
Fn ( x 0 ) = Fn ( x i ) + n i +1
(x 0 − x i )
x i +1 − x i
∀x 0 ∈ ( x i , x i +1 )
(5)
Nótese que el segundo sumando de (5) es siempre no negativo ya que x i < x 0 < x i +1 y
Fn ( x i +1 ) ≥ Fn ( x i )
3
5.- Problemática de los indicadores de calidad de un bien
El MVDFD requiere que la relación entre el valor y el índice de calidad del mismo sea
directa, pero en la práctica valorativa es corriente disponer de indicadores que
mantienen una relación inversa con el valor del bien, por ejemplo, antigüedad de una
vivienda, distancia del piso al centro urbano, distancia de una finca agrícola a una
población, distancia de una parcela al mar, distancia de un apartamento de la sierra a los
remontes, etc...
En tales casos interesa transformar los indicadores mencionados en otros que si guardan
relación directa con el valor. Dos maneras sencillas de lograrlo son:
i) considerar el inverso del índice original como un nuevo índice
ii) establecer una cota en la que el índice original no intervenga en el valor del
bien y utilizar como nuevo indicador el complementario del índice original a la
mencionada cota
esto es, supuesto que se dispone de las distancias, d, de los bienes testigo y del bien a
valorar se pueden transformar en los índices d −1 ó c – d, donde c es la cota a partir de la
cual la distancia no interviene o no tiene importancia para la valoración del bien.
Está claro que la elección del nuevo indicador afecta al proceso de valoración por el
MVDFD, si es preciso hacer interpolación del tipo (4). Seguidamente se va a comprobar
que la valoración con el índice c – d es superior a la obtenida con el índice d −1 y que
esta diferencia depende solamente del cociente
d i +1
.
d
A partir de (5) se tiene para los índices d −1 y c – d :
F (d −1 ) − Fn (d i−1 ) −1 −1
Fn (d −1 ) = Fn (d i−1 ) + n i +1
(d − d i )
d i−+11 − d i−1
(6)
F (c − d i +1 ) − Fn (c − d i )
[c − d − (c − d i )]
Fn (c − d) = Fn (c − d i ) + n
c − d i +1 − (c − d i )
(7)
Como las Fn (d i−1 ) = Fn (c − d i ) , salvo en las d tales que d i < d < d i+1, igualando (6) y
(7) se tiene:
1 1
−
d di
d −d
= i
1
1 d i − d i +1
−
d i +1 d i
4
(8)
di − d
1 1
−
d di
d di
d
d −d
luego, operando con el primer miembro de (8):
=
,
= i +1 i
1
1
d i − d i +1
d
d
−
d
i
i
+
1
−
d i +1 d i
d i +1 d i
que se diferencia del segundo miembro de (8) en
d i+1
, c.q.c.
d
6.- Distribución triangular para el valor de mercado
Cuando se disponen de escasos datos de los valores que en el mercado han alcanzado
uno pocos bienes testigo de la misma naturaleza que el bien que se pretende valorar,
puede modelizarse su función de distribución a partir de la obtención de los tres valores
típicos (mínimo, máximo y más probable) y con ellos determinar la función de
distribución. En este trabajo se realizará el ajuste con la distribución triangular que tiene
una inversión muy simple por ser algebraica la expresión de la función de distribución y
no presentar ningún problema de estimación sus tres parámetros, cuando se han
estimado subjetivamente o determinado, Herrerías, R.; Palacios, F. y Herrerías, J. M.
(2003), los valores a, b y m.
Siguiendo el trabajo de Palacios, F.; Pérez, E.; Herrerías, R. y Callejón, J. (1999) se
tienen los siguientes casos cuando se invierte una distribución triangular:

a + α (b − a )(m − a )

xα = 

 b − (1 − α )(b − a )(b − m)

si 0 < α ≤
si
m−a
b−a
m−a
<α <1
b−a
(9)
7.- Caso práctico
Para poder realizar comparaciones entre el método de la función de distribución
empírica, con otros métodos tradicionales empleados en valoración, se ha seleccionado
un caso, el número 13, del excelente manual de la profesora Guadalajara, N. (1996)
dedicado a 28 casos prácticos de valoración agraria de muy diversa índole. El
referenciado con el número 13 trata de valorar una finca plantada de almendros,
situados en tres bancales de 50 × 35 metros, por lo que la superficie total de la misma
es de 5.250 m2. La finca se encuentra ubicada en el término municipal de Villajoyosa
(Alicante) y dista al mar 1.800 metros.
5
En el cuadro siguiente aparecen los precios pagados por m2 en las 7 transacciones
ocurridas en el periodo de un año para las fincas rústicas del mismo término municipal y
de parecidas características de la referenciada.
Es conocido que en el municipio de Villajoyosa existe una relación inversa entre el
valor unitario de la tierra y la distancia al mar, debido a las expectativas de
transformación en solares para el sector turístico, por ello, y para respetar el principio
básico del método de valoración DFD, se introducen unos coeficientes de proximidad al
mar, transformando el de distancia mediante
S = d −1 ó
S' = 2.000 − d , que
evidentemente mantienen una relación directa entre el valor unitario de la tierra y la
proximidad al mar. En el caso de S’ se considera que el efecto de la proximidad al mar
deja de afectar a partir de distancias iguales o superiores a 2.000 metros.
Precio Venta
Parcela
2
Distancia al mar
S = d −1
S' = 2000 − d
1
1.550
450
(Ptas/m )
(d en metros)
1
550
1.550
2
2.000
60
1
3
600
850
1
4
550
5
60
1.940
850
1.150
1.000
1
1.000
1.000
550
1.500
1
1.500
500
6
500
1.750
1
1.750
250
7
100
1.000
1
1.000
1.000
Utilizando la función de distribución empírica de la muestra para S, se tiene:
S
1
2.000
1
1.750
1
1.550
1
1.500
1
1.000
1
1
2
3
5
ni
0
1
Fn
0
1
7
2
7
6
7
7
1
850
1
6
7
1
60
1
1
Aplicando la expresión (6) se tiene:
(
) (
)(
Fn 1
− Fn 1
)
1.750
2.000 1
Fn 1
= Fn 1
+
−1
= 0,1
1.800
2.000
1.800
2.000
1
−1
1.750
2.000
(
)
(
)
)
(10)
Si se usa la función de distribución empírica de la muestra para S' , se tiene:
S'
0
250
450
500
1.000
1.150
1.940
ni
0
1
1
1
2
1
1
Fn
0
1
3
5
7
2
7
7
7
6
7
1
Como la finca a valorar dista 1.800 metros al mar, tiene un valor S' = 200 , al aplicar la
expresión (7) queda:
F (250) − Fn (0)
Fn (200) = Fn (0) + n
(200 − 0) = 0,1142857
250 − 0
(11)
Obsérvese que (10) es ligeramente inferior a (11), por ello dará una valoración menor.
Está claro que la v.a. precio, V, puede modelizarse por una distribución triangular T(a =
100, m = 550, b = 2.000) y se comprueba a partir de (9) que tanto (10) como (11) se
encuentran en la primera rama de la función de distribución de T.
Utilizando la expresión que iguala G(V) con Fn(S), resulta:
)
V = a + α (b − a )(m − a ) = 100 + 0,1 ×1.900 × 450 = 408,22 Ptas/m2
(12)
por lo que la finca se valora en 2.143.155 Ptas.
Si se utiliza la Fn( S' ) el resultado será:
V = 100 + 0,1142857 ×1.900 × 450 = 412,59282 Ptas/m2
(13)
por lo que la finca se valora en 2.166.112 Ptas.
8.- Conclusiones
A modo de comentarios señalar lo siguiente:
1º) Los valores que se obtienen para el m2 partiendo de S o S' como indicadores de
calidad, son prácticamente idénticos ya que hay una diferencia de sólo 4,37 Ptas.
7
2º) Los valores dados por (12) y (13) están por debajo del valor modal y del valor que
alcanza la parcela 6 que es la más parecida, por su distancia al mar, a la que se está
valorando.
3º) Los valores (12) y (13) aún estando por debajo de todas las parcelas, salvo una, no
están muy alejados de los precios pagados. Por el contrario, si se compara con los
valores determinados por Guadalajara, N. (1996) si que existen grandes diferencias. Así,
según el método sintético el valor de la parcela es 1.009.100 Ptas., por lo que el m2 sale
a 192,20952 ≈ 192,21 Ptas. Aún es mayor la diferencia si se compara con el método
estadístico que valora la parcela en 796.163 Ptas., por lo que el m2 vale 157,65 Ptas. y si
la comparación se realiza con el valor que es asignado finalmente a la finca como media
de los valores del método sintético y estadístico que es de 902.632 Ptas., resultando el
m2 a 177,9299 ≈ 172,93 Ptas.; valor que está muy alejado de los valores (12) y (13).
4º) ¿Qué hubiera ocurrido si la distancia al mar de la finca fuera de 800 metros?
La interpolación para el índice S se haría entre 1
( 800)
Fn 1
( 850) +
= Fn 1
850
y 1
( 60) − Fn (1850) (1
60
Fn 1
1
−1
60
850
800
resultando:
−1
850
) ≈ 0,8578209
(14)
Por el contrario, si la interpolación se realiza con el índice S' se tiene:
F (1.940) − Fn (1.150)
Fn (1.200) = Fn (1.150) + n
(1.200 − 1.150) ≈ 0,8661843
1.940 − 1.150
(15)
En este caso se comprueba a partir de (9) que tanto (14) como (15) se encuentran en la
segunda rama de la función de distribución de la variable valor de mercado.
Igualando a la segunda rama de la función de distribución de la Triangular que modeliza
el valor se tienen para (14) y (15) respectivamente las valoraciones por m2 siguientes:
V = b − (1 − α )(b − a )(b − m) = 2.000 − 0,1421791× 1.900 × 1.450 = 1.374,1378 Ptas/m2
por lo que la finca se valora en 7.214.224 Ptas.
V = 2.000 − 0,1338157) ×1.900 × 1.450 = 1.392,8243 Ptas/m2
por lo que la finca se valora en 7.312.328 Ptas.
Valores que corroboran la importancia del índice”proximidad al mar” utilizado en el
caso práctico mediante el MVDFD.
8
Referencias bibliográficas
1. Alonso, R. y Lozano, J. (1985): “El método de las dos funciones de distribución:
una aplicación a la valoración de fincas agrícolas en las comarcas Centro y Tierra de
Campos de Valladolid”. Anales de INIA, Economía, 9, 295-325.
2. Arnaiz Vellando, G. (1978): Introducción a la estadística teórica. Lex-Nova.
Valladolid.
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de Estudios Agrosociales, 85, 75-78.
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5. Caballer, V. (1998): (4ª Edición) Valoración agraria, teoría y práctica. Ediciones
Mundi-Prensa. Madrid.
6. Casas, J. M. (1996): Inferencia Estadística para Economía y Administración de
empresas. Editorial Ceura, S.A.
7. Guadalajara, N. (1996): (2ª Edición) Valoración Agraria. Casos Prácticos. Ed.
Mundi-Prensa. Madrid.
8. Herrerías, J. M. (2002): Avances en la Teoría General de Valoración en Ambiente
de Incertidumbre. Tesis Doctoral. Universidad de Granada.
9. Herrerías, R.;Palacios, F. y Herrerías, J. M. (2003): ”Una variante práctica del
Método de Valoración de las Dos Funciones de Distribución”. IV Seminario
ASEPELT: Programación, selección, control y valoración de proyectos. (Actas
Pendientes de publicar).
10. Lozano, J. J. (1996): Tasación urbana: una metodología para informes de tasación
masiva. Tesis Doctoral. Universidad Politécnica Madrid.
11. Palacios, F.; Pérez, E.; Herrerías, R. Y Callejón, J. (1999): ”Estimación no
paramétrica de la distribución del VAN en proyectos de inversión con tasas de
descuento aleatorias”. XIII Reunión anual de la Asociación Científico Europea de
Economía Aplicada ASEPELT-ESPAÑA, celebrada por la Universidad de Burgos.
12. Ríos, S. (1974): (6ª Edición) Métodos Estadísticos. Ediciones del Castillo S.A.
13. Romero, C. (1977) “Valoración por el método de las dos distribuciones Beta: una
extensión”. Revista de Economía Política, 75, 47-62. Madrid.
9