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Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
Departamento de Enseñanza de la Matemática
PROGRAMA DEL CURSO
Curso: MA-0205 Álgebra y Análisis I
Nivel: II año / I ciclo. Requisitos: MA-0123
Tipo de Curso: Teórico. Co-requisitos: No tiene.
Créditos: 4. Horas semanales: 5.
I. DESCRIPCIÓN
Este es el segundo curso de Matemática a nivel universitario, para estudiantes de Enseñanza
de la Matemática. En el curso anterior se hizo un repaso de la mayor parte de los tópicos que
son cubiertos en secundaria. En este curso y en el siguiente se hará una revisión de dichos
temas desde un punto de vista más riguroso, profundizando en cuestiones relacionadas con la
existencia de los conjuntos numéricos y sus principales propiedades.
II. OBJETIVOS
Durante este curso se espera que el estudiante sea capaz de:
1. Estudiar los conceptos elementales de la teoría de conjuntos y ser capaz de realizar
demostraciones sencillas.
2. Trabajar con funciones y relaciones binarias, identificando los diferentes tipos existentes.
3. Entender la relación entre inducción y buen orden en el conjunto de los números
naturales, y realizar demostraciones sencillas con estos principios.
4. Entender la necesidad de una definición rigurosa, a la hora de hablar de conjuntos
numéricos.
5. Deducir las propiedades algebraicas de los números enteros, a partir de los números
naturales.
6. Deducir y estudiar las propiedades de los números racionales, a partir de los números
enteros.
7. Entender la diferencia entre conjunto infinito y numerable, por medio del estudio de estos
conceptos. Estudiar desde un punto de vista crítico sobre la bibliografía existente sobre
estos conceptos a nivel de enseñanza media.
Edición 2016
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III. CONTENIDOS
Tema 1: Conjuntos, Relaciones y Funciones.
Concepto elemental de conjunto. Relaciones de pertenencia e inclusión. Operaciones
booleanas. Conjunto de partes. Producto cartesiano. Familias de conjuntos. Relaciones
binarias. Composición de relaciones. Relación inversa. Clases de equivalencia. Relaciones de
orden y de equivalencia. Conjunto cociente. Aplicaciones y ejemplos. Funciones. Dominio,
codominio y gráfico de una función.
Tema 2: Los números naturales.
Diferentes puntos de vista a la hora de estudiar los números naturales, escogencia de una
axiomática para ℕ. Axiomas de Peano. Operaciones en ℕ, principio de Inducción Matemática y
Axioma del Buen Orden en ℕ. Sistemas de Numeración en ℕ, bases, cambios de base.
Conjuntos finitos e infinitos.
Tema 3: El anillo de los números enteros.
La estructura (, +, ·, 0, 1, ) como dominio de integridad ordenado. Operaciones en ℤ y sus
propiedades. Relación de orden en ℤ. Discusión sobre una construcción de ℤ. Leyes de signos.
Números positivos y negativos (ℤ*,ℤ,ℤ). Valor absoluto y distancia en ℤ. ℕ como subconjunto de
ℤ. Algoritmo de la división en ℤ. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo. Factores de
un número entero. Números primos y compuestos. Números primos relativos, descomposición
primaria. Congruencias módulo n, el anillo ℤ.
Tema 4: Los números racionales.
Fracciones enteras y sus propiedades. Suma, resta, producto y cociente de fracciones.
Comparación de fracciones. Fracciones equivalentes. Números racionales como clases de
equivalencia de fracciones. (ℚ, +, ·, ) como campo totalmente ordenado. ℕ y ℤ como
subconjuntos de ℚ. Densidad del orden en ℚ. Representación decimal de un número racional.
Potenciación en ℚ. Potencias enteras de un número racional. Leyes de potencias.
IV. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Eves, H. (1961). An Introduction to the History of Mathematics, 3ra. Edición, New York.
Courant, R. & Robbins, H. (1941). What is Mathematics? New York.
Halmos, P. (1974) Naive Set Theory. New York. Springer-Verlag,
Hutton, R. (1971) Number Systems. An Intuitive Approach. Entex Educ. Publishers.
Yakutia, M. (1974). El Inf. Ed. CAEM.
Edición 2016
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