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I NTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA DE CAMINOS .
S ERGIO D AVID D ÍAZ V ERÚ
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá D.C.
2016
A mi familia y amigos
Agradecimientos
Agradezco a la profesora Verónica Cifuentes que con su dedicación, esfuerzo y constancia hizo posible la culminación de este trabajo de grado y aporto grandes enseñanzas
para mi vida.
También agradezco a mi madre por apoyarme en este camino y a los buenos amigos
que conocí durante mi formación.
Quiero agradecer a la universidad Francisco José de Caldas y al proyecto curricular de
Matemáticas, por brindar las herramientas necesarias para nuestra formación profesional.
Finalmente, extiendo un agradecimiento muy especial a Camila Sarmiento, quien con
su confianza y apoyo no me dejo desfallecer.
I
Índice general
Agradecimientos
I
Introducción
IV
1. K-Álgebras
1
1.1. K-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Homomorfismos de K-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. El radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Módulos
23
2.1. Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Homomorfismos de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Módulos simples y semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Descomposición en suma directa
32
3.1. Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Álgebras locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Álgebras básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Quivers y Álgebras
38
4.1. Quivers y Álgebras de Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. Conclusiones
54
II
Apéndices
54
Referecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III
Introducción
En el presente trabajo se introducirá el concepto de álgebra de caminos, con el objetivo
de dar una caracterización de dicha estructura. Para ello se seguirá el orden de presentación de [5].
Empezaremos definiendo K-álgebras y daremos las propiedades de estas como estructura algebraica, seguido de algunos ejemplos y culminando con el radical de Jacobson.
En este mismo sentido seguirá la presentación de los módulos y algunas de sus propiedades, teniendo en cuenta que nuestro objetivo es ver el álgebra de caminos como
sumas directas de módulos indescomponibles. Se verán a continuación la noción de
idempotentes y sus implicaciones seguidas de la definición de algebras locales y básicas.
En la última parte de este trabajo se verá la introducción al álgebra de caminos partiendo
de los quiver como grafos dirigidos y sus propiedades, con lo cual se mostrará que
el álgebra de caminos de un quiver con ciertas características se puede ver como un
álgebra de matrices triangulares.
IV
Capítulo 1
K-Álgebras
En este capítulo se darán los conceptos básicos de K-álgebras, homomorfismos de Kálgebras y el radical de Jacobson. Este capítulo estará basado en [3], [7] para los conceptos básicos y resultados de la teoría de grupos y anillos y en [5], [2] para los resultados
de las K-álgebras.
1.1.
K-álgebras
Se debe acordar que por grupo abeliano ( A, +), se entiende el conjunto A, con una operación binaria +, llamada suma dada por + : A × A → A, ( a, b) 7→ a + b, la cual cumple
que es cerrada, asociativa, posee elemento nulo notado como 0, para un elemento dado
a ∈ A existe su inverso − a, tal que a + (− a) = 0 y es conmutativa. Además si se tiene la
operación ·, llamada producto dada por · : A × A → A, ( a, b) 7→ ab, motiva la siguiente
definición:
Definición 1.1.1. Un anillo ( A, +, ·) es un conjunto A con dos operaciones binarias + y ·.
llamadas suma y multiplicación, definidas en A tales que se satisfacen los siguientes axiomas:
i) ( A, +) es un grupo abeliano.
ii) La multiplicación es asociativa.
iii) Para todas a, b, c ∈ A, se cumple la ley distributiva izquierda a(b + c) = ( ab) + ( ac)
y la ley distributiva derecha ( a + b)c = ( ac) + (bc).
1
De ahora en adelante se omitirá el punto ·. Ahora bien si en el anillo A, se satisface que
ab = ba para todo a, b ∈ A, se dice que el anillo A es conmutativo.
Definición 1.1.2 ([3], pp. 211). Un anillo A con identidad multiplicativa 1 tal que 1a = a1 =
a para todo a inA es un anillo con unitario. Una identidad multiplicativa en un anillo es un
elemento unitario.
En este caso se nombra a dicho elemento como la identidad del anillo A y el anillo será
la cuádrupla ( A, +, ·, 1).
Definición 1.1.3. Un anillo K es un anillo de división si cada elemento a ∈ K con a 6= 0 es
invertible, esto es, existe b ∈ K tal que ab = 1 y ba = 1. Un anillo de división K se dice que es
un campo si K es conmutativo.
Definición 1.1.4. Si A y B son anillos, una aplicación f : A → B recibe el nombre de homomorfismo de anillos si:
i) f ( a + b) = f ( a) + f (b)
ii) f ( ab) = f ( a) f (b).
Además si A y B son anillos con elemento identidad entonces el homomorfismo f preserva la
identidad, es decir:
iii) f (1) = 1.
La noción de K-álgebra va a ser motivada por la estructura que brinda la de espacio
vectorial.
Sea K un campo. un espacio vectorial sobre K (o K-espacio vectorial). Consta de un
grupo abeliano A bajo la suma, junto con una operación de multiplicación por un escalar
por la izquierda, de cada elemento de A por cada elemento de K, tal que para todas las
a, b ∈ K y α, β ∈ A se satisfacen las siguientes condiciones:
i) aα ∈ A
ii) a(bα) = ( ab)α
iii) ( a + b)α = ( aα) + (bα)
iv) a(α + β) = ( aα) + ( aβ)
2
v) 1α = α
A continuación se enuncia la definicion de K-álgebra, con base en las definiciones anteriores
Definición 1.1.5 (K-álgebra). Sea K un campo. Una K-álgebra es un anillo A con elemento
identidad (denotado por 1) tal que A tiene una estructura de K − espacio vectorial compatible
con la multiplicación del anillo, esto es tal que
λ( ab) = ( aλ)b = a(λb) = ( ab)λ
para todo λ ∈ K y todo a, b ∈ A. Una K-álgebra se dice que es de dimensión finita si la dimensión
dimK A del K-espacio vectorial A es finita.
Además se dice que A es una K-álgebra asociativa si
( ab)c = a(bc)
para todo a, b, c ∈ A.
Definición 1.1.6. Un K-subespacio vectorial B de una K-álgebra A es una K-subálgebra de A
si la identidad de A está en B y además bb0 ∈ B para todos b.b0 ∈ B
Definición 1.1.7. Un K-subespacio vectorial I de una K-álgebra A es un ideal a derecha de A
si xa ∈ I para todo x ∈ I y todo a ∈ A, de manera similar se define un ideal a izquierda. Un
ideal a ambos lados de A, o simplemente un ideal de A es un K-subespacio vectorial I de A tanto
ideal a derecha como ideal a izquierda de A.
1.2.
Homomorfismos de K-álgebras
Definición 1.2.1 (Homomorfismo de K-álgebras). Si A y B son K-álgebras, entonces el
homomorfismo de anillos f : A → B recibe el nombre de homomorfismo de K-álgebras si f
es una aplicación K-lineal. Dos K-álgebras son isomorfas si existe un isomorfismo de K-álgebras
f : A → B, esto es, un homomorfismo de K-álgebras biyectivo. En este caso se escribe A ∼
= B.
Proposición 1.2.1. Si I es un ideal de una K-álgebra A, entonces el K-espacio vectorial cociente
A/I tiene una única estructura de K-álgebra tal que la aplicación lineal canónica π : A → A/I,
dada por a 7→ ā = a + I, es un homomorfismo de K-álgebras.
3
Demostración. Se tiene que A/I tiene estructura de anillo con identidad y además se
comporta como espacio vectorial sobre K, así solo resta mostrar que cumple la condición
para ser K-álgebra
λ( ab) = λ[( a0 + I )(b0 + I )]
= λ( a0 b0 + I )
= λa0 b0 + I
= a0 λb0 + I
= a0 b0 λ + I
= ( a0 b0 + I )λ
= [( a0 + I )(b0 + I )]λ
= ( ab)λ.
Además se sabe que el homomorfismo canónico es un homomorfismo de anillos, así
resta mostrar que π es lineal. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K entonces
π ( a + b) = a + b
= ā + b̄
= π ( a) + π (b)
π (λa) = λa
= λ ā
= λπ ( a).
Teorema 1.2.1. [[2] pp. 12] Sea ϕ : A −→ B un homomorfismo de K-álgebras. Entonces existe
un único homomorfismo ϕ̄ : A/Kerϕ −→ Imϕ que hace conmutativo al diagrama
A
ϕ
/
i
π
A/kerϕ
BO
ϕ̄
/
Imϕ
es decir, ϕ = i ϕ̄π, donde i : Imϕ −→ B designa la inclusión canónica y π : A −→ A/kerϕ es
la proyección canónica. En otras palabras, ϕ̄ es un isomorfismo.
4
Demostración. Sea I = kerϕ. Un elemento de A/I es de la forma a + I = π ( a), a ∈ A.
Entonces
ϕ̄( a + I ) = ϕ̄(π ( a))
= i ( ϕ̄(π ( a)))
= ϕ ( a ).
Se asume que existe ϕ̂ tal que ϕ̂ : A/kerϕ −→ Imϕ y ϕ = i ϕ̂π. Entonces
ϕ̂( a + I ) = ϕ̂(π ( a))
= i ( ϕ̂(π ( a)))
= ϕ ( a ),
luego ϕ̂( a + I ) = ϕ̄( a + I ). Por lo tanto ϕ̄ es única.
Se puede ver que ϕ̄ existe probando que está bien definida. Sean a, b ∈ A tales que
a + I = b + I,así ( a − b) + I = 0, luego a − b ∈ I y por lo tanto ϕ( a) = ϕ(b).
Ahora se prueba que ϕ̄ es un homomorfismo de K-álgebras. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K.
Entonces
ϕ̄(( a + I ) + (b + I )) =
=
=
=
=
=
ϕ̄(( a + I )(b + I )) =
=
=
=
=
=
5
ϕ̄( a + b + I )
ϕ̄(π ( a + b))
ϕ( a + b)
ϕ( a) + ϕ( a)
ϕ̄(π ( a)) + ϕ̄(π (b))
ϕ̄( a + I ) + ϕ̄(b + I ),
ϕ̄( ab + I )
ϕ̄(π ( ab))
ϕ( ab)
ϕ( a) ϕ(b)
ϕ̄(π ( a)) ϕ̄(π (b))
ϕ̄( a) ϕ̄(b),
ϕ̄(1 + I ) = ϕ̄(π (1))
= ϕ (1)
= 1.
ϕ̄(λ( a + I ) + (b + I )) =
=
=
=
=
=
ϕ̄(λ( a + I )) + ϕ̄((b + I ))
ϕ̄(λπ ( a)) + ϕ̄(b + I )
ϕ̄(π (λa)) + ϕ̄(b + I )
ϕ(λa) + ϕ̄(b + I )
λϕ( a) + ϕ̄(b + I )
λ ϕ̄( a + I ) + ϕ̄(b + I ).
Por lo tanto ϕ̄ es un homomorfismo de K-álgebras.
Por último se prueba que ϕ̄ es inyectiva y sobreyectiva. En efecto, sea b ∈ Imϕ así existe
a ∈ A tal que ϕ( a) = b, luego b = ϕ̄( a + I ). Por lo tanto ϕ̄ es sobreyectiva.
Sea a + I ∈ ker ϕ̄, entonces ϕ̄( a + I ) = 0, luego ϕ( a) = 0, es decir a ∈ I y por lo tanto
a + I = I, así ϕ̄ es inyectiva.
Corolario 1.2.1. Sea ϕ : A −→ B un homomorfimo sobreyectivo de K-álgebras. Entonces existe
un único isomorfismo de K-álgebras ϕ̄ : Kerϕ −→ B tal que
ϕ
A
π
/
;
B
ϕ̄
A/kerϕ
donde ϕ = ϕ̄π.
Demostración. Como ϕ es un homomorfismo sobreyectivo, se tendrá que B = Imϕ y la
inclusión canónica es la identidad. Así por el Teorema 1.2.1 se tiene el resultado esperado.
Si I es un ideal de A y m ≥ 1 es un entero, se nota a I m el ideal de A generado por
elementos x1 x2 · · · xm , donde x1 , x2 , . . . , xm ∈ I, esto es, I m consiste de todas las sumas
finitas de elementos de la forma x1 x2 · · · xm . Se asume que I 0 = A. El ideal I se dice
nilpotente si I m = 0 para algún m ≥ 1.
6
Ejemplo 1. El anillo K [t] de todos los polinomios en variable indeterminada t con coeficientes en K y el anillo K [t1 , . . . , tn ] de todos los polinomios en indeterminadas conmutativas t1 , . . . , tn con coeficientes en K, son K-álgebras de dimensión infinita. En efecto,
sabemos que son K [t] y K [t1 , . . . , tn ] son anillos con elemento identidad dado por 1, veamos que cumplen la condición para ser K-álgebras. Así sean a ∈ K, y p(t), q(t) ∈ K [t]
!
!!
a( p(t)q(t)) = a
∑ ci ti
i
∑ dj tj
j
= ( p(t)q(t)) a
Se prueba que es de dimensión infinita, es decir el cardinal de una base para K [t] es
infinito. Asúmase que la base es finita, así sea 1, t, t2 , . . . , tn una base para K [t], si se
considera el polinomio de grado n dado por
n
p(t) =
∑ ci ti
i =0
y se toma q(t) = t, haciendo el producto, se tiene
n +1
p(t)q(t) =
∑ c i −1 t i
i =1
el cual no puede ser generado por los elementos de la base, sin embargo está en K [t],
luego la base debe ser infinita y por lo tanto la dimensión de K [t] es infinita. De manera
similar se prueba para K [t1 , . . . , tn ], con lo cual se tiene el resultado esperado.
Ejemplo 2. Si A es una K-álgebra y n ∈ N, entonces el conjunto Mn ( A) de todas las
matrices cuadradas de tamaño n × n con coeficientes en A es una K-álgebra con respecto
a la suma y la multiplicación usual de matrices. La identidad esta dada por


1 0 ··· 0
0 1 · · · 0


E =  .. .. . .
..  .
. .
. .
0 0 ··· 1
Se tiene que en efecto Mn ( A) es una K-álgebra. Sean a ∈ K, B, C ∈ Mn ( A), así B = [bij ]
7
y C = [cij ], BC = [dij ], con dij = ∑rn=1 bir crj entonces
a( BC ) = a[dij ]
= [ adij ]
"
n
= a ∑ bir crj
#
r =1
"
=
n
∑ (bir crj )a
#
r =1
= [dij ] a
= ( BC ) a.
Además la dimensión de Mn ( A) es n2 , pues una base para Mn ( A) es el conjunto de
matrices de tamaño n × n, eij = [bk,l ], en las cuales bk,l = 1 cuando k = i y l = j y
bk,l = 0, en los otros casos, con i, j ∈ {1, . . . , n}. Por lo tanto hay tantas matrices como el
número de entradas de una matriz de tamaño n × n, es decir, n2 .
Ejemplo 3. El subconjunto de Mn ( A), dado por

K 0 ···
K K · · ·

Tn (K ) =  .. .. . .
. .
.
K K ···

0
0

.. 
.
K
Es una K-subálgebra de Mn ( A). En efecto, sean A, B ∈ Tn (K ) así




a11 0 · · · 0
b11 0 · · · 0
 a21 a22 · · · 0 
 b21 b22 · · · 0 




A =  ..
..
..  y B =  ..
..
.. 
 .
 .
.
. 
.
. 
an1 an2 · · · ann
bn1 bn2 · · · bnn
haciendo el producto

a11 b11
 a21 b11 + a22 b21

AB = 
..

.
∑rn=1 anr br1
0
a22 b22
..
.
···
···
∑rn=1 anr br2 · · ·
0
0
..
.



,

ann bnn
así AB ∈ Tn (K ), es decir Tn (K ) es clausurativo bajo el producto, además como todas las
posiciones debajo de la diagonal admiten todo los elementos del campo, en particular
8
admiten el 0 y 1 en la diagonal, es decir la identidad de Mn ( A) está en Tn (K ) y por lo
tanto es una K-subálgebra de Mn ( A).
Ejemplo 4. El subconjunto de M3 (K ), dado por


K 0 0
A = 0 K 0
K K K
todas las matrices triangulares inferiores λ = [λij ] ∈ T3 (K ) con λ21 = 0 es una Ksubálgebra de M3 (K ) y de T3 (K ).
La identidad de M3 (K ) pertenece a A.
Sean C, B ∈ A. Entonces



b11 0
0
c11 0
0
C =  0 c22 0  y B =  0 b22 0 
bn1 bn2 bnn
cn1 cn2 cnn

donde los cij , bij ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ 3. Luego


c11 b11
0
0
0
c22 b22
0 ,
CB = 
c31 b11 + c33 b31 c32 b22 + c33 b32 c33 b33
así CB ∈ A.
Ejemplo 5. Suponga que ( I; ) es un poset finito, donde I = { a1 , . . . , an } y es una
relación de orden parcial en I. El subconjunto de Mn (K ) dado por
KI = {λ = [λij ] ∈ Mn (K ); λst = 0 si as at con as , bt ∈ I }
es una K-subálgebra de Mn (K ). Como ai ai entonces la posición λii admite cualquier
elemento del campo, en particular el 1. Por otra parte en las posiciones λij , con i 6= j, se
tendrá que que ai a j o ai a j , si ai a j , λij admite todo el campo, en particular al 0
y si ai a j entonces λij = 0, Luego la identidad de Mn (K ) está en KI. Veamos que el
producto en KI es clausurativo. Sean A = [αij ], B = [ β ij ] ∈ KI, supongamos que ak al
para 1 ≤ k, l ≤ n, así αkl = 0 y β kl = 0, haciendo el producto de A y B se tiene
"
#
n
∑ αir βrj
AB = [αij ][ β ij ] =
r =1
9
= δij .
Se tiene que δkl = 0. En efecto, si se supone que δkl 6= 0 entonces
n
δkl =
∑ αkr βrl
r =1
= αk1 β 1l + αk2 β 2l + · · · + αkn β nl ,
así, al menos αkr β rl 6= 0, es decir, αkr 6= 0 y β rl 6= 0, luego ak ar y ar al , por ser
un orden parcial la relación es transitiva y por lo tanto ak al , lo cual es contradictorio, luego δkl = 0. Así se concluye que KI es una K-subálgebra de Mn (K ). A KI se le
denomina el álgebra de incidencia del poset ( I; ) con coeficientes en K.
Ejemplo 6. Si ( I; ) es el poset {1 3 ≺ 2}, entonces el álgebra de incidencia KI es
isomorfo a


K 0 0
A = 0 K 0
K K K
Sea B ∈ M3 (K ) entonces


b11 b12 b13
B = b21 b22 b23 
b31 b32 b33
Como 1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2, 2 3, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2 y 3 3, entonces un
elemento de KI es de la forma


b11 0
0
 0 b22 0 
b31 b32 b33
Como en toda posición diferente de 0 admite cualquier elemento del campo se tiene que
KI ∼
= A.
Ejemplo 7. El anillo asociativo K ht1 , t2 i de todos los polinomios en dos indeterminadas
no conmutativas t1 y t2 con coeficientes en K es una K-álgebra de dimensión infinita.
Como el conjunto generado por el elemento t1 t2 − t2 t1 es un ideal I en K ht1 , t2 i , entonces
la K-álgebra K ht1 , t2 i/I es isomorfa a K [t1 , t2 ].
Ejemplo 8. Sea ( G, ·) un grupo finito con elemento identidad e y sea A una K-álgebra. El
grupo de álgebra de G con coeficientes en A es el K-espacio vectorial AG que consiste
de todas las sumas formales ∑ g∈G gλ g , donde λ g ∈ A, con la multiplicación definida
por la fórmula
!
!
∑
g∈ G
gλ g
·
∑ hµh
h∈ G
10
:=
∑
f = gh∈ G
f λ g µh .
Entonces AG es una K-álgebra de dimensión | G |dimk A y el elemento e = e1 es la identidad de AG.
En efecto AG es una K-álgebra, pues
1. AG es un K-espacio vectorial. Sean α, β ∈ K
i. α ∑ g∈G gλ g = ∑ g∈G g(αλ g ), luego α ∑ g∈G gλ g ∈ AG.
ii.
α
β
∑
!
=α
gλ g
g∈ G
∑
g( βλ g )
g∈ G
=
∑
gα( βλ g )
∑
g(αβ)λ g
g∈ G
=
g∈ G
= (αβ)
∑
gλ g .
g∈ G
iii.
(α + β)
∑
gλ g =
g∈ G
∑
g(α + β)λ g
∑
g(αλ g + βλ g )
g∈ G
=
g∈ G
=
∑ [ gαλg + gβλg ]
g∈ G
=
∑
gαλ g +
g∈ G
=α
∑
g∈ G
11
∑
gβλ g
g∈ G
gλ g + β
∑
g∈ G
gλ g .
iv.
α
∑
gλ g +
g∈ G
∑ hµh
!
∑
=α
f γf
f ∈G
h∈ G
=
∑
f αγ f
∑
gαλ g +
f ∈G
=
g∈ G
∑
=α
∑ hαµh
h∈ G
gλ g + α
g∈ G
∑ hµh .
h∈ G
v. 1 ∑ g∈G gλ g = ∑ g∈G g1λ g = ∑ g∈G gλ g .
2. AG es un anillo
i.
∑
gλ g +
g∈ G
∑ hµh = g1 λg1 + · · · + gn λgn + h1 µh1 + · · · + hm µhm
h∈ G
=
∑
f γ f ∈ AG.
f ∈G
ii.
∑
f ∈G
f γf +
∑
gλ g +
g∈ G
∑ hµh
!
=
h∈ G
∑
f γ f + ( g 1 λ g1 + · · · + g n λ g n
f ∈G
+ h 1 µ h1 + · · · + h m µ h m )
= f 1 γ f 1 + · · · f k γ f k + ( g 1 λ g1 + · · ·
+ gn λ gn + h 1 µ h1 + · · · + h m µ h m )
= ( f 1 γ f 1 + · · · f k γ f k + g 1 λ g1 + · · ·
+ gn λ gn ) + h 1 µ h1 + · · · + h m µ h m
!
=
∑
f γf +
f ∈G
iii. 0 + ∑ g∈G gλ g = ∑ g∈G gλ g .
iv. ∑ g∈G gλ g − ∑ g∈G gλ g = 0.
v. ∑ g∈G gλ g + ∑h∈G hµh = ∑h∈G hµh + ∑ g∈G gλ g .
12
∑
g∈ G
gλ g
+
∑ hµh .
h∈ G
vi.
∑
!
gλ g
·
g∈ G
∑ hµh
!!
∑
·
h∈ G
!
∑
ghλ g µh
∑
( gh) f (λ g µh )γ f
∑
g(h f )λ g (µh γ f )
=
f γf
f ∈G
!
∑
·
gh∈ G
=
!
f γf
f ∈G
( gh) f ∈ G
=
g(h f )∈ G
!
∑
=
·
gλ g
g∈ G
h f µh γ f
h f ∈G
!
∑
=
∑
!
∑ hµh
·
gλ g
g∈ G
!
∑
·
h∈ G
!!
f γf
.
f ∈G
vii.
∑
g∈ G
gλ g ·
∑ hµh + ∑
h∈ G
!
f γf
!
∑
=
=
∑ kδk
·
gλ g
g∈ G
f ∈G
!
k∈G
∑
gkλ g δk
∑
ghλ g µh +
gk∈ G
=
gh∈ G
∑
=
∑
!
gλ g
g∈ G
·
∑ hµh
h∈ G
viii.
e·
∑
gλ g =
g∈ G
∑ egλg
g∈ G
=
∑
g∈ G
13
g f λg γ f
g f ∈G
gλ g .
!
+
∑
g∈ G
!
gλ g
·
∑
f ∈G
!
f γf
.
3. Sea λ ∈ K, entonces
λ
∑
g∈ G
gλ g ·
∑ hµh
!
=λ
h∈ G
∑
ghλ g µh
gh∈ G
=
∑
ghλλ g µh
∑
ghλ g µh λ
gh∈ G
=
gh∈ G
∑
=
gλ g ·
g∈ G
∑ hµh
!
λ.
h∈ G
Por lo tanto AG es una K-álgebra.
Por otro lado, se tiene que una base para AG es { gi λi }i∈ I , donde g1 ∈ G y λi están en
una base para A. Luego el cardinal de { gi λi }i∈ I es | G |dimk A.
Si G es un grupo cíclico de orden m, entonces KG ∼
= K [ t ] / ( t m − 1).
Se prueba tomando un ϕ adecuado, haciendo que en el siguiente diagrama ϕ̄ sea un
isomorfismo.
ϕ
K [t]
/
8 KG
ϕ̄
π
K [ t ] / ( t m − 1)
se define a ϕ por
ϕ : K [t] −→ KG
∑ ai ti 7−→ ∑ ai gi
i
i
donde h gi = G, ademas ϕ(t) = g. Se muestra que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo
14
de K-álgebra. Sea λ ∈ K. Entonces
ϕ
∑ a i t i + ∑ bi t i
i
!
=ϕ
i
∑ ( a i + bi ) t i
!
i
= ∑ ( a i + bi ) g i
i
= ∑ ( a i g i + bi g i )
i
= ∑ a i g i + ∑ bi g i
i
i
!
=ϕ
∑ ai ti
+ϕ
i
ϕ
∑ ai ti ∗ ∑ b j t j
i
!
=ϕ
j
.
i
∑ ∑ ai b j ti + j
i
∑ bi t i
!
!
j
= ∑ ∑ ai b j gi + j
i
j
= ∑ ai gi · ∑ b j g j
i
=ϕ
j
∑ ai ti
i
ϕ(1) = ϕ(1t0 )
= 1g0
= e.
15
!
·ϕ
∑ bj t j
j
!
.
ϕ
λ ∑ ai ti + ∑ b j t j
i
!
j
= ϕ λ ∑ ai ti
!
∑ bj t j
+ϕ
i
∑ ai λti
=ϕ
j
!
∑ bj t j
+ϕ
i
∑ bj t j
i
!
j
= λ ∑ ai gi + ϕ
∑ bj t j
!
j
i
∑ ai ti
!
j
= ∑ ai λgi + ϕ
= λϕ
!
!
∑ bj t j
+ϕ
i
!
.
j
También se tiene que ϕ es sobreyectiva. En efecto, sea ∑i ai gi ∈ KG así ϕ ∑i ai ti =
∑i ai gi .
Además htm − 1i = I = kerϕ. Sea p(t) ∈ I entonces p(t) = q(t)(tm − 1) = ∑i ai tm+i −
∑i ai ti . Luego
!
!
!
ϕ
∑ ai t m +i − ∑ ai ti
i
=ϕ
i
∑ ai t m +i
−ϕ
i
i
= ∑ ai g g − ∑ ai g
m i
i
∑ ai ti
i
i
= ∑ ai eg − ∑ ai gi
i
i
i
=0
Luego I ⊆ Kerϕ.
Sea p(t) ∈ Kerϕ. Por el algoritmo de la división se tiene que p(t) = q(t)(tm − 1) + r (t),
donde gr (r ) < m. Luego
ϕ( p(t)) = ϕ(q(t)(tm − 1) + r (t))
= ϕ(q(t)(tm − 1)) + ϕ(r (t))
= ϕ(r (t))
Como p(t) ∈ kerϕ entonces ϕ( p(t)) = ϕ(r (t)) = 0, pero gr (r ) < m. Luego r (t) = 0. Así
p(t) = q(t)(tm − 1), es decir, kerϕ ⊆ I.
Luego I = Kerϕ. Por lo tanto KG ∼
= K [ t ] / h t m − 1i.
16
Ejemplo 9. Sean A1 y A2 K-álgebras. El producto de álgebras A1 y A2 es el álgebra A =
A1 × A2 con la adición y multiplicación dadas por ( a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) := ( a1 + b1 , a2 + b2 )
y ( a1 , a2 )(b1 , b2 ) := ( a1 b1 , a2 b2 ), donde a1 , b1 ∈ A1 y a2 , b2 ∈ A2 . La identidad de A es el
elemento 1 = (1, 1) = e1 + e2 ∈ A1 × A2 , donde e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1).
Ejemplo 10. Para cualquier K-álgebra A se puede definir el álgebra opuesta Aop de A,
la cual es una K-álgebra cuyo conjunto y estructura de espacio vectorial subyacentes son
justo los de A, pero la multiplicación ∗ en Aop está definida por la fórmula a ∗ b = ba.
1.3.
El radical de Jacobson
Sobre los ideales tenemos que un ideal M de un anillo A es maximal si este es diferente
de A y no existe ningún ideal propio N de A que contenga propiamente a M.
Definición 1.3.1. El radical de Jacobson radA de una K-álgebra A, es la intersección de todos
los ideales maximales a derecha de A
Lema 1.3.1. Sea A una K-álgebra y sea a ∈ A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) a ∈ radA.
a’) a pertenece a la intersección de todos los ideales maximales a izquierda de A.
b) Para todo b ∈ A, el elemento 1 − ab tiene un inverso a ambos lados.
b’) Para todo b ∈ A, el elemento 1 − ab tiene un inverso a derecha.
c) Para todo b ∈ A, el elemento 1 − ba tiene un inverso a ambos lados.
c’) Para todo b ∈ A, el elemento 1 − ba tiene un inverso a izquierda.
Demostración. a) implica b0 ). Sea b ∈ A. Supóngase que 1 − ab no tiene inverso a derecha. Entonces existe un ideal I maximal a derecha tal que 1 − ab ∈ I. Como a ∈ radA ⊆ I
se tiene que ab ∈ I y 1 ∈ I lo cual es una contradicción. Luego 1 − ab tiene inverso a
derecha.
La otra implicación, b0 ) implica a). Supóngase que a ∈
/ radA entonces existe un ideal I
maximal a derecha en A tal que a ∈
/ radA. Luego A = I + aA. Asi existe x ∈ I y un
b ∈ A tales que 1 = x + ab. Esto es x = 1 − ab ∈ I no tiene inverso a derecha lo cual es
una contradicción. Por lo tanto a ∈ radA.
17
De forma similar se tiene que a0 ) implica c0 ). Sea b ∈ A y asúmase que 1 − ba no tiene
inverso a izquierda. Luego existe un ideal I maximal a izquierda de A tal que 1 − ba ∈ I.
Como a ∈ B ⊆ I entonces ba ∈ I y 1 ∈ I, lo cual es una contradicción. Luego 1 − ba
tiene inverso a izquierda.
La otra implicación, c0 ) implica a0 ). Supóngase que a ∈
/ B. Sea I el ideal maximal a
izquierda de A tal que a ∈
/ I. Entonces A = I + Aa. Así existe un x ∈ I y b ∈ A tales que
1 = x + ba.Luego x = 1 − ba ∈ I, es decir x no tiene inverso a izquierda, lo cual es una
contradicción. Por lo tanto a ∈ B.
Ahora se prueba la equivalencia entre b) y c). Como 1 − ab tiene inverso a dos lados
entonces existe x ∈ A tal que (1 − ab) x = 1. Entonces
x − abx = 1,
luego
b( x + abx ) a
bxa − babxa − ba
1 + bxa − babxa − ba
1 + bxa − ba(1 + bxa)
(1 − ba)(1 + bxa)
= ba
=0
=1
=1
= 1.
Así 1 − ba tiene inverso a derecha.
Además 1 − ba tiene inverso a izquierda. Se tiene que existe y ∈ A tal que y(1 − ab) = 1.
Entonces
y − yab
b(y − yab) a
bya − byaba − ba
1 + bya − byaba − ba
1 + bya − (bya + 1)ba
(1 + bya)(1 − ba)
=1
= ba
=0
=1
=1
= 1,
luego 1 − ba tiene inverso a izquierda.
De manera similar, como 1 − ba tiene inverso a ambos lados entonces existe x ∈ A tal
que (1 − ba) x = 1. Entonces
x − bax = 1,
18
luego
a( x + bax )b
axb − abaxb − ab
1 + axb − abaxb − ab
1 + axb − ab(1 + axb)
(1 − ab)(1 + axb)
= ab
=0
=1
=1
= 1.
Así 1 − ab tiene inverso a derecha.
Se prueba que 1 − ab tiene inverso a izquierda. Se tiene que que existe y ∈ A tal que
y(1 − ba) = 1. Entonces,
y − yba
a(y − yba)b
ayb − aybab − ab
1 + ayb − aybab − ab
1 + ayb − ( ayb + 1) ab
(1 + ayb)(1 − ab)
=1
= ab
=0
=1
=1
= 1.
Luego 1 − ab tiene inverso a izquierda.
b0 ) implica b). Fíjese b ∈ A. Como 1 − ab tiene inverso a derecha, entonces existe x ∈ A
tal que (1 − ab) x = 1. Luego x = 1 − a(−bx ). Así existe y ∈ A tal que
1 = xy = (1 + abx )y
= y + abxy
= y + ab.
Luego y = 1 − ab, es decir x es un inverso a izquierda de y y por lo tanto 1 − ab tiene
inverso a ambos lados.
Por último, se prueba que c0 ) implica c). Fijemos b ∈ A. Como 1 − ba tiene inverso a
derecha, entonces existe y ∈ A tal que y(1 − ba) = 1. Luego y = 1 − (−yb) a. Así, existe
x ∈ A tal que
1 = xy = x (1 + yba)
= x + xyba
= x + ba.
19
Luego x = 1 − ba, es decir y es un inverso a derecha de x y por lo tanto 1 − ba tiene
inverso a ambos lados.
Con las anteriores implicaciones se tiene que c) implica c0 ) y b0 ) implica b). Así el lema
queda demostrado.
Corolario 1.3.1. Sea radA el radical de un álgebra A, entonces
1. radA es la intersección de todos los ideales maximales a izquierda.
2. radA es in ideal bilátero y rad( A/radA) = 0.
3. Si I es un ideal bilátero nilpotente de A, entonces I ⊆ radA. Si, además, el álgebra A/I
es isomorfo al producto K × · · · × K de copias de K, entonces I = radA.
Demostración.
1. La equivalencia entre a) y a0 ) del lema anterior justifica este hecho.
2. La primera parte es consecuencia inmediata del lema anterior. Para la segunda
parte sea ā ∈ rad( A/radA), b̄ ∈ A/radA. Por el lema anterior existe c̄ ∈ A/radA
tal que
(1 − āb̄)c̄ = 1.
Así (1 − ab)c = 1 − x, para a, b ∈ A, algún c ∈ A y x ∈ radA. Luego existe un
d ∈ A tal que (1 − x )d = 1, es decir (1 − ab)cd = 1. Luego 1 − ab tiene inverso a
derecha. Así a ∈ radA y por lo tanto ā = 0 ∈ A/radA. Luego rad( A/radA) = 0.
3. Sea m > 0 un entero tal que I m = 0. Sean x ∈ I y a ∈ A. Entonces ax ∈ I. Luego
( ax )r = 0, para algún r > 0. Se sigue que la igualdad
(1 + ax + ( ax )2 + · · · + ( ax )r−1 )(1 − ax ) = 1
se mantiene para cualquier a ∈ A. Por el lema anterior se tiene que x ∈ radA. Por
lo tanto I ⊆ radA.
Suponga que el álgebra A/I es isomorfo al producto de copias de K. En particular
rad( A/I ) = 0. El homomorfismo canónico π : A −→ A/I envía radA al rad( A/I ).
En efecto, si a ∈ radA y π (b) = b + I, b ∈ A, es cualquier elemento de A/I
entonces 1 − ab es invertible en A y luego el elemento
π (1 − ab) = 1 − π (b)π ( a)
es invertible en A/I. Luego π ( a) ∈ rad( A/I ) = 0. Así radA ⊆ kerπ = I. Por lo
tanto radA = I.
20
Ejemplo 11. Sea I un poset finito y KI la K-álgebra de incidencia vista como una subálgebra de el álgebra de matrices Mn (K ). Entonces el radKI es el conjunto
U = {λ = [λij ]|λii = 0 para i = 1, . . . , n}
y el álgebra KI/U es isomorfo al producto K × · · · × K de n copias de K.
Se tiene que U es un ideal bilátero de KI. En efecto, Sea B = [ β ij ] ∈ U y A = [αij ] ∈ KI,
entonces BC = [δij ] donde δij = ∑rn=1 β ir αrj . Asúmase que ak al , para 1 ≤ k, l ≤ n,
así αkl = 0 y β kl = 0. Se tiene que δkk = ∑rn=1 β kr αrk = 0. Como ak al entonces no se
puede tener que ak am y am al , para m 6= k. Así ak am , es decir β km = 0 para
m 6= k. Luego δkk = β kk αkk , como β kk = 0 entonces δkk = 0. Luego BA ∈ U y por lo tanto
U es un ideal a derecha de KI. De igual manera se prueba que U es un ideal a izquierda
de KI y por lo tanto U es un idea bilátero de KI.
Sea A ∈ U entonces el polinomio característico de A es p(λ) = (−1)n λn . Por el teorema
de Cayley-Hamilton se tiene que p( A) = 0. Así An = 0, luego U es un ideal nilpotente
de KI. Se prueba que KI/U es isomorfo al producto de n copias de K. Así
KI
ϕ
/
ϕ̄
π
K ×7 · · · × K
KI/U
Defínase ϕ por
ϕ : KI −→ K × · · · × K
A 7−→ ( a11 , . . . , ann ).
Así definido ϕ es un homomorfismo sobreyectivo de K-álgebras. Sean A = [ aij ] y B =
[bij ] matrices de KI, entonces
1.
ϕ( A + B) = ϕ([ aij ] + [bij ])
= ϕ([ ai j + bij ])
= ( a11 + b11 , . . . , ann + bnn )
= ( a11 , . . . , ann ) + (b11 , . . . , bnn )
= ϕ( A) + ϕ( B)
21
2.
ϕ( AB) = ϕ([ aij ][bij ])
= ( a11 b11 , . . . , ann bnn )
= ( a1 1, . . . , an n)(b11 , . . . , bnn )
= ϕ ( A ) ϕ ( B ).
3.
ϕ(1) = (1, . . . , 1).
4. Sea λ ∈ K
ϕ(λA) = ϕ(λ[ aij ])
= ϕ([λaij ])
= (λa11 , . . . , λann )
= λ( a11 , . . . λ, ann )
= λϕ( A).
ϕ es sobreyectiva, en efecto, sea ( a11 , . . . , ann ) ∈ K × · · · × K así ϕ( A) = ( a11 , . . . , ann ).
Por último se tiene que U = kerϕ.
Sea A ∈ Kerϕ entonces ϕ( A) = (0, . . . , 0) esto implica que aii = 0 luego A ∈ U. Sea
A ∈ U, así aii = 0 luego ϕ( A) = (0, . . . , 0), por lo tanto A ∈ kerϕ.
Usando el teorema 1.2.1 se tiene que KI/U ∼
= K × · · · × K. Luego por el corolario 1.2.1
se concluye que U = radKI.
22
Capítulo 2
Módulos
En este capítulo se presenta la noción de módulos como estructura algebraica a partir
de la de K-álgebra, además se mencionan las definiciones de módulos simples y semisimples y la definición de bimódulo, se ha seguido el orden de presentación para estos
temas de [4] y los conceptos de [5].
2.1.
Módulos
Definición 2.1.1. Sea A una K-álgebra. Un A- módulo a derecha es un par ( M, ·), donde M
es un K-espacio vectorial y
· :M × A −→ M
(m, a) 7−→ ma
Es una operación binaria que satisface las siguientes condiciones
i) ( x + y) a = xa + ya
ii) x ( a + b) = xa + xb
iii) x ( ab) = ( xa)b
iv) x1 = x
v) ( xλ) a = x ( aλ) = ( xa)λ,
23
para todo x, y ∈ M, a, b ∈ A y λ ∈ K.
Un módulo M se dice de dimensión finita si la dimensión de dimk M del K-espacio vectorial
subyacente de M es finito.
La definición de A-módulo a izquierda es análoga. Además se denota A A y A A cada
vez que se ve al álgebra A como un módulo a derecha o izquierda respectivamente.
Definición 2.1.2. Un K-subespacio M0 de un A-módulo a derecha M se dice que es un Asubmódulo de M si ma ∈ M0 para todo m ∈ M0 y a ∈ A.
Ejemplo 12. Sea A una K-álgebra y sea Mn ( A) el conjunto de todas las matrices de
tamaño n × n con entradas en A.El producto
Ba = [bij ] a = [bij a]
donde B = [bij ] ∈ Mn ( A) y a ∈ A da a Mn ( A) estructura de A-módulo. En efecto, sea
C = [cij ] ∈ Mn ( A), d ∈ A y λ ∈ K. Entonces
i.
( B + C ) a = ([bij ] + [cij ]) a
= [bij + cij ] a
= [(bij + cij ) a]
= [bij a + cij a]
= [bij a] + [cij a]
= [bij ] a + [cij ] a
= Ba + Ca.
ii.
B( a + d) = [bij ]( a + d)
= [bij ( a + d)]
= [bij a + bij d]
= [bij a] + [bij d]
= [bij ] a + [bij ]d
= Ba + Bd.
24
iii.
B( ad) = [bij ]( ad)
= [bij ( ad)]
= [(bij a)d]
= [bij a]d
= ([bij ] a)d
= ( Ba)d.
iv.
B1 = [bij ]1
= [bij 1]
= [bij ]
= B.
v.
( Bλ) a = ([bij λ]) a
= [bij λ] a
= [(bij λ) a]
= [bij ( aλ)]
= [(bij a)λ]
= [bij a]λ
= ([bij ] a)λ
= ( Ba)λ.
Así Mn ( A) es un A-módulo. El subconjunto
efecto, sean A ∈ Tn (K ) y α ∈ K, entonces

a11 0
 a21 a22

A =  ..
..
 .
.
an1 an2
25
Tn (K ) es un submódulo de Mn (K ). En
···
···
0
0
..
.
· · · ann







a11 0 · · · 0
 a21 a22 · · · 0 


Aα =  ..
..
..  α
 .
.
. 
an1 an2 · · · ann


a11 α
0
···
0
 a21 α a22 α · · ·
0 


=  ..
..
..  ,
 .
.
. 
an1 α an2 α · · · ann α
luego Aα ∈ Tn (K ). Y por lo tanto Tn (K ) es un submódulo de Mn (k ).
Definición 2.1.3. Sean A y B dos K-álgebras. Un A-B-bimódulo es una tripla A MB = ( M, ∗, ·),
donde A M = ( M, ∗) es un A-módulo a izquierda, MB = ( M, ·) es un B-módulo a derecha, y
( a ∗ m) · b = a ∗ (m · b) para todo m ∈ M, a ∈ A, b ∈ B.
Un homomorfismo de A-B-bimódulo es un A-homomorfismo a izquierda de A-módulo
y un B-homomorfismo a derecha de B-módulo.
Definición 2.1.4. Un A-módulo a derecha M se dice que es generado por los elementos m1 , . . . , ms
de M si cualquier elemento m ∈ M es de la forma m = m1 a1 + · · · + ms as para algunos
a1 , . . . , as ∈ A. Se escribe M = m1 A + · · · + ms A. Un módulo M se dice que es finitamente
generado si es generado por un subconjunto finito de elementos de M.
Definición 2.1.5. Sean M1 , . . . , Ms submódulos de un A-módulo a derecha M. Se define M1 +
· · · + Ms como el submódulo de M que consiste de todas las sumas m1 + · · · + ms , donde
m1 ∈ M1 , . . . , ms ∈ Ms y es llamado el submódulo generado por M1 , . . . , Ms .
2.2.
Homomorfismos de módulos
Definición 2.2.1. Sean M y N A-módulos a derecha, donde A es una K-álgebra. Una aplicación
K-lineal f : M −→ N es un homormofismo de A-módulos si f ( aλ) = f ( a)λ, para todo
a ∈ M y λ ∈ A. Se dice que f es un monomorfismo si es inyectiva. f es un epimorfismo si es
sobreyectiva. Si f es biyectivo se dice que es un isomorfismo. Los A-módulos M y N a derecha
se dicen que son isomorfos si existe un isomorfismo de A-módulos h : M −→ N y se nota por
M∼
= N. Un homomorfismo de A-módulo h : M −→ M se dice que es un endomorfismo.
Definición 2.2.2. Sea h : M −→ N un homomorfismo de A-módulos. Se define:
1. El Kernel de h como Kerh = {m ∈ M |h(m) = 0}.
26
2. La imagen de h como Imh = {h(m)|m ∈ M}.
3. El cokernel de h como Cokerh = N/Imh.
Proposición 2.2.1. El kernel, la imagen y el cokernel de h son submódulos.
Demostración.
i. Sea m ∈ Kerh y a ∈ A. Así se tiene que
h(ma) = h(m) a = 0a = 0,
luego ma ∈ Kerh. Por lo tanto Kerh es un submódulo de M.
ii. Sean n ∈ Imh, entonces existe m ∈ M tal que h(m) = n. Luego para a ∈ A se tiene
na = h(m) a = h(ma),
así na ∈ Imh. por lo tanto Imh es un submódulo de N.
iii. Como Imh es un submódulo de N, entonces Cokerh = N/Imh es un submódulo
de N.
Definición 2.2.3. La suma directa de M1 , . . . , Ms de A-módulos a derecha es definida como
el K-espacio vectorial de suma directa M1 ⊕ · · · ⊕ Ms equipado con estructura de A-módulo
definida por (m1 , . . . , ms ) a = (m1 a, . . . , ms a) para m1 ∈ M1 , . . . , ms ∈ Ms y a ∈ A.
Ms = M ⊕ · · · ⊕ M (s copias)
Definición 2.2.4. UnA-módulo M a derecha se dice indescomponible si M es diferente de cero
y no tiene descomposición en suma directa M ∼
= N ⊕ L, donde L y N son A-módulos diferentes
de cero.
Ejemplo 13. Sea A una K-álgebra y sea Mn ( A) el conjunto de todas las matrices de
tamaño n × n con entradas en A. El producto
Ba = [bij ] a = [bij a]
donde B = [bij ] ∈ Mn ( A) y a ∈ A da a Mn ( A) estructura de A-módulo. En efecto, sea
C = [cij ] ∈ Mn ( A), d ∈ A y λ ∈ K. Entonces
27
1.
( B + C ) a = ([bij ] + [cij ]) a
= [bij + cij ] a
= [(bij + cij ) a]
= [bij a + cij a]
= [bij a] + [cij a]
= [bij ] a + [cij ] a
= Ba + Ca.
2.
B( a + d) = [bij ]( a + d)
= [bij ( a + d)]
= [bij a + bij d]
= [bij a] + [bij d]
= [bij ] a + [bij ]d
= Ba + Bd.
3.
B( ad) = [bij ]( ad)
= [bij ( ad)]
= [(bij a)d]
= [bij a]d
= ([bij ] a)d
= ( Ba)d.
4.
B1 = [bij ]1
= [bij 1]
= [bij ]
= B.
28
5.
( Bλ) a = ([bij λ]) a
= [bij λ] a
= [(bij λ) a]
= [bij ( aλ)]
= [(bij a)λ]
= [bij a]λ
= ([bij ] a)λ
= ( Ba)λ.
Así Mn ( A) es un A-módulo. El subconjunto
efecto, sean A ∈ Tn (K ) y α ∈ K, entonces

a11 0
 a21 a22

A =  ..
..
 .
.
an1 an2
Tn (K ) es un submódulo de Mn (K ). En
···
···
0
0
..
.
· · · ann







a11 0 · · · 0
 a21 a22 · · · 0 


Aα =  ..
..
..  α
 .
.
. 
an1 an2 · · · ann


a11 α
0
···
0
 a21 α a22 α · · ·
0 


=  ..
..
..  .
 .
.
. 
an1 α an2 α · · · ann α
Luego Aα ∈ Tn (K ). Y por lo tanto Tn (K ) es un submódulo de Mn (k).
Ejemplo 14. Z visto como módulo es indescomponible. En efecto, Sean hmi y hni submódulos de Z tales que Z = hmi ⊕ hni. Como mn ∈ hmi ∩ hni = 0 entonces mn = 0.
Luego m = 0 o n = 0. Por lo tanto Z es indescomponible.
29
2.3.
Módulos simples y semisimples
Definición 2.3.1. Un A-módulo a derecha S es simple si S es diferente de cero y cualquier
submódulo de S es cero o S
Definición 2.3.2. Un módulo M es semisimple si M es una suma directa de módulos simples
Lema 2.3.1 (Schur). Sea S y S0 módulos a derecha, y f : S → S0 un homomorfismo diferente de
cero.
a) Si S es simple, entonces f es un monomorfismo.
b) Si S0 es simple, entonces f es un epimorfismo.
c) Si S y S0 son simples, entonces f es un isomorfismo.
Demostración. Como f : S → S0 es un homomorfismo de A-módulos, entonces Ker f e
Im f son A-submódulos de S y S0 . Así
a) Si S es simple, por ser f 6= 0 se tiene que Ker f = 0. Luego f es un monomorfismo.
b) Si S0 es simple, por ser f 6== 0 se tiene que Im f = S0 . Luego f es un epimorfismo.
c) Por a) y b), f es biyectivo, es decir, es un isomorfismo.
Corolario 2.3.1. Si S es un A-módulo simple, entonces existe un isomorfismo de K-álgebra
EndS ∼
=K
Demostración. Se sigue del lema de Schur que cualquier elemento no cero en EndS es
invertible y por lo tanto EndS son un anillo de división. Como S es simple, entonces
S es cíclico y por consiguiente dimK S es finita, Lo cual implica que dimK EndS también
es finita. Como K es algebraicamente cerrado, para f ∈ EndS, f tiene una valor propio
λ ∈ K. Luego f − λidS ∈ EndS, como f − λidS es no invertible entonces f − λidS = 0.
Así f = λidS . Luego el homomorfismo de K-álgebra definido por
ϕ : K −→ EndS
λ 7−→ λids
es un isomorfismo. Por lo tanto K ∼
= EndS.
30
Lema 2.3.2.
a) Un A-módulo M a derecha de dimensión finita es semisimple si y sólo si para
cualquier A-submódulo N de M existe un submódulo L de M tal que L ⊕ N = M.
b) Un submódulo de un módulo semisimple es semisimple.
L
Demostración.
a) Sea M un módulo semisimple, es decir M = i∈ I Si , donde I es un
conjunto finito de índices y Si son módulos simples.
Sea N un submódulo de M y J un subconjunto de I tal que para j ∈ J, N ∩ S j = 0.
Entonces para t ∈
/ J se tiene que N ∩ St 6= 0. Como N ∩ St es un submódulo de St
L
se tiene que N ∩ St = St . Así St ⊆ N. Defina a M∗ = N + j∈ J S j , esta suma es
L
directa ya que N ∩ j∈ J S j = 0. Se prueba que M∗ = M, para esto se debe probar
que Si ⊆ M∗ para todo i ∈ I.
Sea i ∈ I, si Si ∩ N = 0 entonces i ∈ J y Si ⊆ M ∗. Si Si ∩ N 6= 0 se tiene que
Si = Si ∩ N lo cual implica que Si ⊆ N. Luego Si ⊆ M ∗.
L
Si L = j∈ J S j entonces M = N ⊕ L.
Recíprocamente, asúmase que para cualquier A-submódulo n de M existe un submódulo L de M tal que M = N ⊕ L. Sea N la suma de todos los módulos semisimples de M. Si L 6= 0 entonces L contiene un submódulo simple V. Así V esta en N,
luego V ⊆ N ∩ L = 0. Lo cual es una contradicción. Por lo tanto L = 0 y M = N.
b) Sea N un submódulo de M y P un submódulo de N. Así existen submódulos P0 y
N 0 de M tales que
M = N ⊕ N 0 = P ⊕ P0
Sea Q = P0 ∩ N un submódulo de N. Veamos que N = P + Q y P ∩ Q = 0. En
efecto
i) Sea n ∈ N, luego n ∈ M. Así n = a + b para a ∈ P y b ∈ P0 . Como P ⊆ N,
a ∈ N. Luego b = n − a ∈ N. Así b ∈ N ∩ P0 = Q. Por lo tanto n ∈ P + Q y
así N = P + Q.
ii) Sea n ∈ P ∩ Q, luego n ∈ Q. Así n ∈ P0 y n ∈ P, es decir, n ∈ P ∩ P0 = 0.
Luego n = 0 y por lo tanto P ∪ Q = 0.
Luego N = P ⊕ Q, es decir, N es un módulo semisimple por parte ( a).
Ejemplo 15. Dado un campo K, si se considera como K-módulo, se tiene que es simple.
Ejemplo 16. Si se considera Z como un Z-módulo, tenemos que es simple como vimos
en el ejemplo 14.
31
Capítulo 3
Descomposición en suma directa
En este capítulo se presentan las definiciones de idempotentes y algunas de sus implicaciones, ademas se da el concepto de álgebra local y álgebra básica. Este capítulo se ha
basado en [5] y [6].
3.1.
Idempotentes
Definición 3.1.1. Sea A una K-álgebra. Un elemento e ∈ A recibe el nombre de idempotente
si e2 = e. El idempotente e se dice central si ae = ea para todo a ∈ A.
Definición 3.1.2. Sea A una K-álgebra y e1 , e2 idempotentes de A. e1 , e2 se dicen ortogonales
si e1 e2 = e2 e1 = 0.
Definición 3.1.3. Sea A una K-álgebra y e un idempotente de A. e se dice primitivo si e no
puede ser escrito como una suma e = e1 + e2 , donde e1 y e2 son idempotentes ortogonales de A
diferentes de 0.
Cada K-álgebra A tiene dos idempotentes triviales, a saber, 0 y 1.
Proposición 3.1.1. Si el idempotente e de una K-álgebra A es no trivial, entonces también lo es
1 − e. Además e y 1 − e son idempotentes ortogonales.
Demostración. Para la primera parte se tiene que (1 − e)2 = 1 − 2e + e = 1 − e, como
e 6= 0 y e 6= 1, entonces 1 − e 6= 0 y 1 − e 6= 1, es decir 1 − e es un idempotente no trivial
de A. Para la segunda parte se tiene que (1 − e)e = e(1 − e) = e − e2 = e − e = 0.
32
También se tiene que si e y 1 − e son idempotentes no triviales eA y (1 − e) A son Asubmodulos de A A y por ende existe una descomposición no trivial de A-módulos a
derecha
A A = eA ⊕ (1 − e) A.
Proposición 3.1.2. Si A A = M1 ⊕ M2 es una descomposición no trivial de A-módulos y
1 = e1 + e2 , e1 ∈ M1 y e2 ∈ M2 , entonces:
i) e1 y e2 son una pareja de idempotentes ortogonales de A.
ii) Mi = ei A es indescomponible si y sólo si ei es primitivo para i ∈ {1, 2}.
Demostración.
i) Se tiene que:
1 = (e1 + e2 )2 = e12 + 2e1 e2 + e22
de donde e1 e2 = e2 e1 = 0, es decir, e1 y e2 son ortogonales. Por otra parte
e12 = e1 e1 = e1 (1 − e2 ) = e1 − e1 e2 = e1
los cual indica que e1 es un idempotente, de forma similar se prueba para e2 .
ii) Sea Mi = ei A indescomponible. Supóngase que ei no es primitivo, es decir, ei =
n1 + n2 con n1 y n2 idempotentes ortogonales de A. Así ei A = n1 (ei A) ⊕ n2 (ei A) es
una descomposición no trivial de A-módulos, lo cual es contradictorio. Ahora sea
ei primitivo y asúmase que Mi = ei A no es indescomponible, es decir, Mi = N1 ⊕
N2 , de donde, ei = n1 + n2 con n1 ∈ N1 y n2 ∈ N2 así por i ) esto es contradictorio.
Si e es un idempotente central de A, también lo será 1 − e. Además eA y (1 − e) A son
ideales y estos tienen estructura de K-álgebra con elemento identidad e y 1 − e, respectivamente. En este caso la descomposición A A = eA ⊕ (1 − e) A es una descomposición
en producto directo del álgebra A.
Se tiene además que en un álgebra A de dimensión finita, y siguiendo los resultados anteriores. El módulo A A admite una descomposición en suma directa A A = P1 ⊕ · · · ⊕ Pn ,
donde P1 , . . . , Pn son ideales a derecha indescomponibles de A, además se tiene que
P1 = e1 A, . . . , Pn = en A, donde e1 , . . . , en son idempotentes primitivos ortogonales dos
a dos de A tal que 1 = e1 + · · · + en . De igual manera cada conjunto {e1 , . . . , en } de idempotentes primitivos ortogonales de A tal que 1 = e1 + · · · + en induce una descomposición A A = P1 ⊕ · · · ⊕ Pn de ideales a derecha indescomponibles P1 = e1 A, . . . , Pn = en A.
Tal descomposición recibe el nombre de una descomposición indescomponible de A.
33
Definición 3.1.4. El conjunto {e1 , . . . , en } tomado como se hizo previamente se llama un conjunto completo de idempotentes primitivos ortogonales de A.
Definición 3.1.5. Se dice que un álgebra A es conexa (o indescomponible) si A no es producto
directo de dos álgebras, o equivalentemente, si 0 y 1 son los únicos idempotentes centrales de A.
Ejemplo 17. Considere la K-subálgebra


K 0 0
A = 0 K 0
K K K
de M3 (K ) dada en el ejemplo 4. Esta K-subálgebra es conexa, pues sus únicos idempotentes centrales son




1 0 0
0 0 0
1 A = 0 1 0 y 0 = 0 0 0
0 0 1
0 0 0
También se tiene que dimk A = 5 y además A A
nible A A = e1 A ⊕ e2 A ⊕ e3 A, donde



1 0 0
0 0



e1 = 0 0 0 , e2 = 0 1
0 0 0
0 0
tiene una descomposición indescompo


0
0 0 0
0  y e3 =  0 0 0 
0
0 0 1
son idempotentes primitivos ortogonales de A tal que 1 A = e1 + e2 + e3 .
Lema 3.1.1. Sea A una K-álgebra, e ∈ A un idempotente, y eA un A-módulo a derecha. La
aplicación K-lineal
θeA : End eA −→ eAe
φ 7−→ φ(e) = φ(e)e
para φ ∈ End eA, es un isomorfismo de eAe-módulos a derecha e induce un isomorfismo de
K-álgebras.
Demostración. Se tiene que θeA es un homomorfismo de eAe-módulos, en efecto, sea
m = eae ∈ eAe, con a ∈ A y φ ∈ End eA así
34
θeA (φm) =
=
=
=
=
(φm)(e)
φ(e)m
φ(e)(eae)
φ(e)e(eae)
θeA (φ)m.
También es un isomorfismo de eAe-módulos, sea
0
θeA
: eAe −→ End eA
0
m −→ θeA
(me)(eb) = meb
0 es inversa de θ , pues
con b ∈ A, así se tiene que θeA
eA
0
0
θeA
◦ θeA (φ) = θeA
(θeA (φ))
0
= θeA
(φ(e)e)
= φ(e)e
= φ,
0
0
θeA ◦ θeA
(m) = θeA (θeA
(eae))
0
= θeA
(eae)(e)
= (eae)e
= m.
Resta ver que θeA es un homomorfismo de K-álgebras, es decir, θeA es un homomorfismo
de anillos, así
θeA (φ + ψ) = (φ + ψ)(e)
= φ(e) + ψ(e)
= θeA (φ) + θeA (ψ),
35
θeA (φψ) = (φψ)(e)
= φ(e)ψ(e)
= θeA (φ)θeA (ψ),
θeA (id) = id(e) = id(e)e = e.
Luego se tiene el resultado esperado.
3.2.
Álgebras locales
Definición 3.2.1. Un álgebra A se dice que es local si A tiene un único ideal maximal a derecha,
o equivalentemente, si tiene un único ideal maximal a izquierda.
Lema 3.2.1. Sea A una K-álgebra de dimensión finita. A es local, entonces A tiene solo dos
idempotentes, 0 y 1.
Demostración. Supóngase que existe un idempotente e de A tal que e no es 0 ni 1. Así
existe una descomposición no trivial A = eA ⊕ (1 − e) A. Como eA y (1 − e) A son
ideales de A, deben estar contenidos en I, el ideal maximal de A. Como es único I =
radA. Asi e ∈ radA. Luego 1 − e tiene inverso a derecha b, por el lema 1.3.1. Luego
0=
0b =
0=
0=
e (1 − e )
[e(1 − e)]b
e[(1 − e)b]
e,
lo cual es una contradicción.
Un ejemplo de un álgebra de dimensión infinita, la cuale solo tiene dos idempotentes, 0
y 1 y aún así no es local, es el álgebra de polinomios K [t].
Corolario 3.2.1. Un idempotente e ∈ A es primitivo si y solo si el álgebra eAe ∼
= End eA tiene
sólo dos idempotentes 0 y e.
36
Demostración. ⇒ Sea e un idempotente primitivo. Sea e0 un idempotente en eAe, así
e0 = eae, para a ∈ A. Entonces (e − e0 ) es un idempotente también, y e0 (e − e0 ) = 0.
Más aún, e = e0 + (e − e0 ), y como e es primitivo, se debe tener e0 = 0 o e − e0 = 0.
Luego e0 es un ideal idempotente. Por lo tanto todos los idempotentes de eAe son
triviales.
⇐ Suponga que e = e0 + e00 , donde e0 y e00 son idempotentes ortogonales en A. Entonces
(ee0 e)(ee0 e) = ee0 ee0 e = ee0 (e0 + e00 )e0 e = ee0 e + ee0 e00 e0 e = ee0 e
de la última ecuación se sigue que e0 e00 = 0. Así (ee0 e) es un idempotente de A y
de eAe. Luego ee0 e = 0 o ee0 e = e. En el primer caso, se tiene que
0 = ee0 e = (e0 + e00 )e0 (e0 + e00 ) = e0
por ser e0 y e00 ortogonales.
En el segundo caso, se tiene que
e0 + e00 = e = ee0 e = (e0 + e00 )e0 (e0 + e00 ) = e0
Así e00 = 0. Por lo tanto e no puede ser escrito como la suma de dos idempotentes
ortogonales no triviales. Luego e es primitivo.
3.3.
Álgebras básicas
Definición 3.3.1. Sea A una K-álgebra con un conjunto completo de idempotentes primitivos
ortogonales {e1 , . . . , en }. El álgebra A se llama básica si ei A e j A, para todo i 6= j.
Definición 3.3.2. Sea A una K-álgebra con un conjunto completo de idempotentes primitivos
ortogonales {e1 , . . . , en }. Un álgebra básica asociada a A es la álgebra
Ab = e A Ae A
donde e A = e j1 + · · · + e ja , y e j1 , . . . , e ja son escogidos tales que e ji A e jt A para i 6= t y cada
módulo es A es isomorfo a uno de los módulos e j1 A, . . . , e ja A
37
Capítulo 4
Quivers y Álgebras
En este capítulo se introduce la noción de quiver y sus propiedades, además se ve la
definición de el álgebra de caminos siguiendo el orden de [5] y algunos detalles de [1].
Para concluir con el teorema que relaciona el álgebra de caminos con las álgebras de
matrices triangulares.
4.1.
Quivers y Álgebras de Caminos
Definición 4.1.1 (Quiver). Un quiver Q = ( Q0 , Q1 , s, t) es una cuádrupla que consiste de
dos conjuntos: Q0 , cuyos elementos se llaman puntos o vértices y Q1 , cuyos elementos son
llamados flechas; y dos aplicaciones s, t : Q1 → Q0 las cuales asocian a cada flecha α ∈ Q1 su
origen s(α) ∈ Q0 y su llegada t(α) ∈ Q0 , respectivamente.
Una flecha α ∈ Q1 de origen a = s(α) y llegada b = t(α) es usualmente denotada por
α : a → b. Un quiver Q = ( Q0 , Q1 , s, t) es usualmente denotado por Q( Q0 , Q1 ) o de
forma más simple, solamente por Q.
La manera usual de representarlos es por medio de un dibujo, en el cual, los puntos son
representados por un círculo abierto y cada flecha está apuntando hacía su objetivo. Así
los siguientes son ejemplos de quivers.
38
◦_
?
/
◦
/
◦
◦
◦
/
◦
/
◦o
/
◦o
9
◦
◦e
◦e
Definición 4.1.2 (Subquiver). [[5], pp. 42] Un subquiver de un quiver Q = ( Q0 , Q1 , s, t)
es un quiver Q0 = ( Q00 , Q10 , s0 , t0 ) tal que Q00 ⊆ Q0 , Q10 ⊆ Q1 y las restricciones s|Q0 , t|Q0 de
1
1
s, t a Q10 son respectivamente iguales a s0 y t0 , es decir, si α : a → b es una flecha en Q1 tal que
α ∈ Q10 y a, b ∈ Q00 , entonces s0 (α) = a y t0 (α) = b.
Un subquiver se dice pleno si Q10 es igual al conjunto de todas las flechas en Q1 cuyo
origen y llegada pertenecen a Q00 , esto es
Q10 = {α ∈ Q1 |s(α) ∈ Q00 y t(α) ∈ Q00 }
En particular un subquiver pleno esta unicamente determinado por su conjunto de puntos.
39
Un quiver Q se dice que es finito si Q0 y Q1 son conjuntos finitos. El grafo subyacente
Q̄ de un quiver Q es obtenido de Q olvidando la orientación delas flechas. El quiver Q
se dice que es conexo si Q̄ es un grafo conexo.
Definición 4.1.3. Sea Q = ( Q0 , Q1 , s, t) un quiver y a, b ∈ Q0 . Un camino de longitud
l ≥ 1 con origen a y llegada b es una sucesión
( a | α1 , α2 , . . . , α l | b )
donde αk ∈ Q1 para 1 ≤ k ≤ l, donde además s(α1 ) = a, t(αk ) = s(αk+1 ) para cada 1 ≤ k ≤ l
y t(αl ) = b. Estos caminos son notados como α1 α2 . . . αl o de manera visual como
a = a0
α1
/
a1
α2
/
a2
/
···
αl
/
al = b.
Se nota Ql el conjunto de todos los caminos en Q de longitud l. También asociamos a cada punto
a ∈ Q0 un camino de longitud l = 0, el cual se llama camino trivial o camino estacionario
en a y se nota mediante
ε a = ( a|| a)
De acuerdo a la definición anterior, se puede ver que por cada punto de Q0 existe un
camino de longitud l = 0, es decir existe una correspondencia biunívoca entre los caminos de longitud 0 y Q1 . Además si se consideran los caminos de longitud l = 1, se ve
que cada camino se corresponde con exactamente una flecha de Q1 .
Definición 4.1.4. Un camino de longitud l ≥ 1 es llamado un ciclo siempre que su origen y
destino coincidan. Un ciclo de longitud 1 es llamado un lazo. Un quiver es llamado acíclico si
no contiene ciclos.
También es necesaria una noción de un camino no orientado, o una caminata. A cada
flecha α : a → b en un quiver Q, se le asocia un inverso formal dado por α−1 : b → a,
con origen s(α−1 ) = b y llegada t(α−1 ) = a.
Definición 4.1.5. Una caminata de longitud l ≥ 1 de a a b en Q es una sucesión ω =
εj
ε j +1
ε
ε
α1ε 1 α2ε 2 . . . αl l con ε j = {−1, 1}, s(α1ε 1 ) = a, t(αl l ) = b y t(α j ) = s(α j+1 ), para todo j tal que
1 ≥ j ≥ l.
Si existe en Q un camino de a a b, entonces a suele llamarse el predecesor de b, y b
el sucesor de a. En particular, si existe una flecha α : a → b, entonces a se llama el
predecesor directo (o inmediato) de b y b el sucesor directo (o inmediato) de a.
40
Definición 4.1.6. Para a ∈ Q0 , se asigna como a− el conjunto de todos los predecesores directos
de a y como a+ el conjunto de todos los sucesores directos. Los elementos de a+ ∪ a− se llaman
los vecinos de a.
Definición 4.1.7 (Álgebra de caminos). Sea Q un quiver. El álgebra de caminos KQ de Q
es la K-álgebra cuyo K-espacio vectorial subyacente tiene como su base el conjunto de todos los
caminos ( a|α1 , α2 , . . . , αl |b) de longitud l ≥ 0 en Q y tal que el producto de dos vectores de la
base ( a|α1 , α2 , . . . , αl |b) y (c| β 1 , β 2 , . . . , β k |d) de KQ está definido por
( a|α1 , α2 , . . . , αl |b)(c| β 1 , β 2 , . . . , β k |d) = δbc ( a|α1 , α2 , . . . , αl , β 1 , β 2 , . . . , β k |d)
donde δbc denota el delta de Kronecker. En otras palabras, el producto de dos caminos α1 , α2 , . . . , αl
y β 1 , β 2 , . . . , β k es igual a cero si t(αl ) 6= s( β 1 ) y es igual a la composición de caminos α1 , α2 , . . . ,
αl , β 1 , β 2 , . . . , β k si t(αl ) = s( β 1 ). El producto de elementos de la base es entonces extendido a
elementos arbitrarios de KQ por distributividad.
Además KQ se puede ver como una descomposición en suma directa, es decir
KQ = KQ0 ⊕ KQ1 ⊕ KQ2 ⊕ · · · ⊕ KQl ⊕ · · ·
donde KQl es el subespacio vectorial de KQ generado por el conjunto Ql de todos los
caminos de longitud l. Se puede ver que (KQn ) · (KQm ) ⊆ KQn+m para todo n, m ≥ 0,
debido a que el producto en KQ de un camino de longitud n por un camino de longitud
m es cero o es un camino de longitud n + m. Esto se expresa algunas veces diciendo que
la descomposición define un grado en KQ o que KQ es una K-álgebra graduada.
Ejemplo 18. Sea Q el quiver
1◦ g
α
Consistente de de un punto y un lazo. La base definida por el álgebra de caminos KQ
es {ε 1 , α, α2 , . . . , αl , . . . } y la multiplicación de los vectores de la base está dada por
ε 1 αl = αl ε 1 = αl
αl αk = αl +k
para todo l ≥ 0, y
para todo l, k ≥ 0
Donde α0 = ε 1 . Así KQ es isomorfo al álgebra de polinomios K [t] en una indeterminada
t, el isomorfismo ϕ es inducido por la aplicación K-lineal tal que
ε 1 7→ 1 y α 7→ t
41
. ϕ es biyectivo. En efecto
i Sean γ, β ∈ KQ, así γ = k0 ε 1 + ∑i=1 k i αi y β = k00 ε 1 + ∑i=1 k0i αi y ϕ(γ) = ϕ( β), así
ϕ(γ) = ϕ( β)
ϕ(k0 ε 1 + ∑ k i αi ) = ϕ(k00 ε 1 + ∑ k0i αi )
i =1
k0 1 + ∑ ki t =
i
k00 1 +
i =1
∑
i =1
k0i ti ,
i =1
como ambos son polinomios en K [t], se tiene que Ki = k0i para cada i ≥ 0, luego
γ = β.
ii Sea p(t) ∈ K [t], así p(t) = ∑i=0 k i ti = k0 + ∑i=1 k i ti , luego si tomamos β = k0 ε +
∑ i =1 k i α i , ϕ ( β ) = p ( t ).
Ejemplo 19. Sea Q el quiver
α
6 ◦1 h
β
que consiste de un único punto y dos lazos α y β. Por definición la base de KQ es el
conjunto de todas las concatenaciones de α, β, con el camino estacionario ε 1 , el cual es
la identidad del álgebra de caminos KQ. Así KQ es isomorfo al álgebra libre asociativa
en dos indeterminadas no conmutativas K < t1 , t2 >, el isomorfismo está dado por la
aplicación K-lineal tal que
ε 1 7−→ 1, α 7−→ t1 y β 7−→ t2 .
Más generalmente, sea Q = ( Q0 , Q1 ) un quiver tal que Q0 tiene sólo un elemento, entonces cada β ∈ Q1 es un lazo y se tiene de manera similar que KQ es isomorfo al
álgebra libre asociativa en las indeterminadas ( X β ) β∈Q1 .
Lema 4.1.1. Sea Q un quiver y KQ su álgebra de caminos. Entonces
i. KQ es un álgebra asociativa.
ii. KQ tiene un elemento identidad si y sólo si Q0 es finito.
iii. KQ es de dimensión finita si y sólo si Q es finito y acíclico.
42
Demostración.
i. Se tiene de la definición de multiplicación, pues el producto de los
elementos de la base es la concatenación de caminos, la cual es asociativa.
ii. Cada camino estacionario ε a = ( a|| a) es un idempotente de KQ, en efecto, εna =
( a|| a)...( a|| a) = ( a|| a) = ε a . Así, si Q0 es finito, ∑ a∈Q0 ε a es un elemento identidad
para KQ; sea α = ∑i k i wi ∈ KQ, con wi caminos de Q, así
!
!
!
∑
a ∈ Q0
εa
α=
∑
∑ k i wi
εa
a ∈ Q0
i
=
∑ ∑ k i ε a wi
a ∈ Q0 i
como para cada wi existe un único a ∈ Q0 que es el inicio del camino, se tiene que
ε a wi = wi y ε b wi = 0 para b 6= a, así
!
∑
εa
α=
a ∈ Q0
∑ ki wi = α.
i
Para la otra implicación, sea Q0 es infinito y supóngase que 1 = ∑im=1 λi wi es una
identidad de KQ donde λi son escalares diferentes de cero y wi caminos en Q. Sea
Q00 el conjunto de los orígenes de los wi , así Q00 tiene a lo sumo m elementos y es
finito, si tomamos a ∈ Q0 − Q00 , se tendría que ε a 1 = 0, lo cual es contradictorio.
iii. Si Q es infinito, entonces también lo es la base de KQ, la cual es por lo tanto de
dimensión infinita. Si w = α1 α2 ...αl es un ciclo en Q entonces, para cada t ≥ 0
se tiene un elemento de la base wt = (α1 α2 ...αl )t , así que KQ es de nuevo de
dimensión infinita. Inversamente, si Q es finito y acíclico, este contiene sólo un
número finito de caminos y así KQ es de dimensión finita.
Corolario 4.1.1. Sea Q un quiver finito. El elemento 1 = ∑ a∈Q0 ea es la identidad de KQ y el
conjunto {ε a | a ∈ Q0 } de todos los caminos estacionarios ε a = ( a|| a) es un conjunto completo
de idempotentes primitivos ortogonales para KQ
Demostración. Claramente se sigue de la definición de multiplicación que los elementos
ea son idempotentes ortogonales para KQ. Como Q0 es finito, el elemento 1 = ∑ a∈Q0 ε a
es la identidad de KQ. Resta mostrar que los ε a son primitivos, o que el álgebra ε a (KQ)ε a
tiene solo dos idempotentes los cuales son 0 y ε a (Corolario 3.2.1). En efecto, cualquier
idempotente ε de ε a (KQ)ε a puede ser escrito de la forma ε = λε a + ω, donde λ ∈ K y ω
es una combinación lineal de ciclos a través de a de longitud ≥ 1. Así se tiene
0 = ε2 − ε = (λ2 − λ)ε a + (2λε a − 1)ω + ω 2
43
de la anterior igualdad se tiene que ω = 0 y λ2 = λ, así λ = 0, en cuyo caso ε = 0 o
λ = 1, en cuyo caso ε = ε a .
Lema 4.1.2. Sea A un álgebra asociativa con identidad y asuma que {e, . . . , en } es un conjunto
finito completo de idempotentes primitivos ortogonales. Entonces A es un álgebra conexa si y
sólo si no existe una partición no trivial I ∪˙ J de el conjunto {1, 2, . . . , n} tal que i ∈ I y j ∈ J
implica ei Ae j = 0 = e j Aei
Demostración. Sea A un álgebra asociativa conexa. Supóngase que existe una partición
no trivial I ∪˙ J.
Sea c = ∑ j∈ J e j . Como la partición es no trivial c 6= 0 y c 6= 1. Como los e j son idempotentes ortogonales entonces c es idempotente. Además ce1 = ec = 0 para cada i ∈ I y
ce j = e j c = e j , para j ∈ J. Ahora sea a ∈ A arbitrario, por hipótesis
ei ae j = 0 = e j ae j
para cualquier i ∈ I y j ∈ J. Así
ca =
∑ ej
!
a
j∈ J
=
∑ ej a
!
1
j∈ J
=
∑ ej a
!
j∈ J
=
∑
∑ ei + ∑ e k
i∈ I
!
k∈ J
e j aek
j,k∈ J
=
∑ ej
j∈ J
=
a ∑ ek
!
∑ e j + ∑ ei
j∈ J
+ ∑ ei
i∈ I
k∈ J
!
i∈ I
a
∑ ek
a ∑ ek
!
k∈ J
!
k∈ J
= ac.
Así c es un idempotente central y A = cA ⊕ (1 − c) A es una descomposición no trivial
en producto directo de A, lo cual es contradictorio.
44
Por otra parte, si A es no conexa, contiene un idempotente central c 6= 0 y c 6= 1. Se tiene
que
!
!
n
c = 1c1 =
∑ ei
i =1
n
c
∑ ej
n
=
j =1
∑
n
ei ce j =
i,j=1
∑ ei cei
i =1
ya que c es central. Sea ci = ei cei ∈ ei Aei entonces
c2 = (ei cei )(ei cei ) = ei c2 ei = ci ;
así ci es un idempotente de ei Aei . Como ei es primitivo, ci = 0 o ci = ei . Sea I = {i |ci =
0} y J = { j|c j = e j }, como c 6= 0 y c 6= 1 esto induce una partición no trivial del
conjunto {1, 2, . . . , n}. Más aún, si i ∈ I, se tiene que ei c = cei = 0 y si j ∈ J, se tiene que
e j c = ce j = e j . Luego si i ∈ I y j ∈ J, entonces
ei Ae j = ei Ace j = ei cAe j = 0.
De manera similar se tiene e j Aei = 0.
Lema 4.1.3. Sea Q un quiver finito. El álgebra de caminos KQ es conexa si y solo si Q es un
quiver conexo.
Demostración. Supóngase que Q no es conexo y sea Q0 una componente conexa de Q.
Sea Q00 el subquiver pleno de Q que tiene el conjunto de puntos Q000 = Q0 − Q00 . Por
hipótesis, ni Q0 ni Q00 son vacíos. Sean a ∈ Q00 y b ∈ Q000 . Como Q no es conexo, un
camino arbitrario ω en Q esta enteramente contenido en Q0 o en una componente conexa
de Q00 . En el primer caso se tiene que ωε b = 0 y por tanto ε a ωε b = 0. Esto muestra que
ε a (KQ)ε b = 0, de forma análoga ε b (KQ)ε a = 0. Así por 4.1.2 KQ es no conexa.
Ahora asuma que Q es conexo pero KQ no lo es. Por 4.1.2 existe una partición Q0 =
Q0 ∪˙ Q000 tal que si x ∈ Q00 y y ∈ Q000 , entonces ε x (KQ)ε y = 0 = ε y (KQ)ε x . Como Q es
conexo, existe a ∈ Q00 y b ∈ Q000 que son vecinos. Sin perdida de generalidad podemos
suponer que existe una flecha α : a −→ b, pero se tiene que
α = ε a αε b ∈ ε a (KQ)ε b = 0
Lo cual es contradictorio, con lo cual se completa la demostración.
Definición 4.1.8. Sea Q un quiver finito y conexo, el ideal del álgebra de caminos KQ generado por las flechas de Q recibe el nombre de el ideal flecha de KQ y es denotado por RQ o
simplemente R.
45
Se puede ver que existe una descomposición en suma directa
RQ = KQ1 ⊕ KQ2 ⊕ · · · ⊕ KQl · · ·
de K-espacios vectoriales RQ , donde KQl es el subespacio de KQ generado por Ql de
todos los caminos de longitud l. En particular, el K-espacio vectorial subyacente de RQ
es generado por todos los caminos en Q de longitud l ≥ 1. Esto implica que para l ≥ 1
RlQ =
M
KQm .
m≥l
Además RlQ es un ideal de KQ generado por el conjunto de caminos de longitud mayor
o igual a l. También se tiene que
RlQ /RlQ+1 =
M
KQm /
m≥l
M
KQm = KQl
m ≥ l +1
luego RlQ /RlQ+1 ∼
= KQl .
Proposición 4.1.1. Sea Q un quiver finito conexo, R el ideal flecha de KQ y ε a = ( a|| a) para
a ∈ Q0 . El conjunto {ε̄ a = ε a + R| a ∈ Q0 } es un conjunto completo de idempotentes primitivos
ortogonales para KQ/R, y KQ/R ∼
= K × · · · × K. Si adicionalmente, Q es acíclico, entonces
radKQ = R y KQ es un álgebra básica de dimensión finita.
Demostración. Se muestra que el conjunto {ε̄ a = ε a + R| a ∈ Q0 } es un conjunto completo
de idempotentes primitivos ortogonales.
i. Los ε̄ a son idempotentes, en efecto
(ε̄ a )2 = (ε̄ a )(ε̄ a )
= (ε a + R)(ε a + R)
= ε2a + R
= εa + R
= ε̄ a .
ii. Son ortogonales
(ε̄ a )(ε̄ b ) = (ε a + R)(ε b + R)
= εaεb + R
= ε̄ a .
46
iii. Son primitivos. Por el corolario 3.2.1, se muestra que ε̄ a (KQ/R) ε̄ a solo tiene dos
idempotentes, R y ε̄ a . Así, supongamos que ε̄ a ω̄ ε̄ a es idempotente. Luego
(ε̄ a ω̄ ε̄ a )2 = ε a ω 2 ε a + R = ε a ωε a + R
de donde (ε a wε a )2 = ε a wε a , pero se sabe que en ε a (KQ)ε a solo hay dos idempotentes, ε a y 0 así ω = ε a u ω = 0 con lo cual ε̄ a ω̄ ε̄ a = ε̄ a o ε̄ a ω̄ ε̄ a = R. Luego los ε̄ a
son primitivos.
Se tiene que existe la descomposición en suma directa
KQ/R =
M
ε̄ a (KQ)ε̄ b
a,b∈ Q0
como K-espacio vectorial. Como R consiste de todos los caminos de longitud l ≥ 1, se
tiene
M
KQ/R =
ε̄ a (KQ)ε̄ a
a ∈ Q0
Entonces KQ/R es generado por las clases residuales de los caminos de longitud cero,
es decir, es generado por el conjunto {ε̄ a = ε + R| a ∈ Q0 }. Además, para cada a ∈ Q0 , el
álgebra ε̄ a (KQ/R)ε̄ a es generada por ε̄ a y por lo tanto, vista como K-espacio vectorial,
es isomorfa a K. Por lo tanto KQ/R es isomorfo a | Q0 | copias de K.
Si Q es acíclico, entonces KQ es un álgebra de dimensión finita. Además, existe l ≥ 1, el
cual es el más grande tal que Q contiene un camino de longitud l, pero esto implica que
cualquier producto de l + 1 flechas es cero, esto es
R l +1 =
M
KQm = 0
m ≥ l +1
es decir R es nilpotente y por el corolario 1.3.1 R ⊆ radKQ, como KQ/R ∼
= K × · · · × K,
| Q0 | copias de K se sigue que radKQ = R y KQ es un álgebra básica.
Ejemplo 20. No siempre se cumple que radKQ = RQ , si Q no es acíclico. Para ello se
considera el quiver
1◦ g α
Como se vio KQ ∼
= K [t], así radKQ = 0, pues como el campo K es algebraicamente cerrado y además infinito, el conjunto {t − λ|λ ∈ K } es un conjunto infinito de polinomios
irreducibles, el cual genera un conjunto infinito de ideales maximales cuya intersección
es cero. Por otra parte, se tiene que
RQ =
M
Kαl
l >0
como un K-espacio vectorial y por tanto es diferente de cero.
47
Corolario 4.1.2. Sea Q un quiver finito, conexo y acíclico. El álgebra de caminos KQ es una Kálgebra asociativa,básica y conexa de dimensión finita con una identidad que tiene el ideal flecha
como radical y el conjunto {ε a = ( a|| a)| a ∈ Q0 } como un conjunto completo de idempotentes
primitivos ortogonales.
Demostración. Los resultado del corolarios se tienen del lema 4.1.1, el corolario 4.1.1, el
lema 4.1.3 y la proposición 4.1.1.
Un álgebra como la del corolario 4.1.2 puede ser vista como el álgebra de matrices triangulares inferiores. Para ello, se da la construcción para el álgebra generalizada de matrices.
Sea ( Ai )1≤i≤n una familia de K-álgebras y ( Mij )1≤i,j≤n una familia de Ai − A j -bimódulos
tal que Mii = Ai para cada i. Además, asuma que se tiene para cada tripla (i, j, k ) un
homomorfismo de Ai − Ak -bimódulos
j
ϕik : Mij ⊗ M jk −→ Mik
que satisface, para cada cuádrupla (i, j, k, l ), la condición de asociatividad
j
j
ϕilk ( ϕik ⊗ 1) = ϕil (1 ⊗ ϕkjl )
esto es, el siguiente cuadrado es conmutativo:
1⊗ ϕkjl
Mij ⊗ M jk ⊗ Mkl
/
Mij ⊗ M jl
j
j
ϕik ⊗1
ϕil
ϕilk
Mik ⊗ Mkl
/
Mil
Luego el K-espacio vectorial Mn ( Mi,j ) de matrices de tamaño n × n


M11 M12 · · · M1n
 M21 M22 · · · M2n 


xij | xij ∈ Mij para todo 1 ≤ i, j ≤ n}
A =  ..
=
{

..
.
.
..
.. 
 .
.
Mn1 Mn2 · · · Mnn
tiene estructura de K-álgebra si se define su multiplicación por la fórmula
i
h n
k
xij yij = ∑k=1 ϕij ( xik ⊗ ykj ) .
48
En efecto, se sabe que (Mn ( Mij ), +) es un grupo abeliano con la suma + usual de matrices, esto debido a que componente a componente son elementos del mismo bimódulo.
Se muestra a continuación que Mn ( Mij ) es un anillo con el producto anteriormente
definido.
Sean A, B, C ∈ M( Mij ) de manera que A = [αij ], B = [ β ij ] y C = [γij ], entonces
( AB)C = ([αij ][ β ij ])[γij ]
"
n
∑
=
ϕijk (αik
#!
⊗ β kj )
[γij ]
k =1
"
=
"
=
n
n
k =1
r =1
n
n
∑ ϕijk ∑ ϕrik (αir ⊗ βrj )
=
#
⊗ γkj
∑ ϕijk ∑ ϕrik (αir ⊗ βrj ) ⊗ γkj
n
!#
r =1
k =1
"
!
n
∑ ∑ ϕijk
#
ϕrik (αir ⊗ β rj ) ⊗ γkj
k =1 r =1
"
=
n
n
∑ ∑ ϕrij
k
αir ⊗ ϕrj
( β rk ⊗ γkj )
k
αir ⊗ ϕrj
( β rk ⊗ γkj )
k
αir ⊗ ϕrj
( β rk ⊗ γkj )
#
k =1 r =1
"
=
n
n
∑ ∑ ϕrij
#
r =1 k =1
"
=
"
=
n
n
r =1
k =1
∑ ϕrij ∑
n
∑ ϕrij
n
αir ⊗
r =1
∑ ϕrjk ( βrk ⊗ γkj )
k =1
= [αij ]([ β ij ][γij ])
= A( BC );
49
#
!#
A( B + C ) = [αij ][ β ij + γij ]
"
n
∑ ϕijk (αik ⊗ ( βkj + γkj ))
=
#
k =1
"
=
n
∑ ϕijk (αik ⊗ βkj + αik ⊗ γkj )
#
k =1
"
=
n
n
∑ ϕijk (αik ⊗ βkj ) + ∑ ϕijk (αik ⊗ γkj )
k =1
"
=
#
k =1
n
∑ ϕijk (αik ⊗ βkj )
k =1
#
"
+
n
∑ ϕijk (αik ⊗ γkj )
k =1
= AB + AC.
Por último, se muestra que es una K-álgebra. Sea λ ∈ K
"
n
∑ ϕijk (αik ⊗ βkj )
λ( AB) = λ
#
k =1
"
n
= λ
∑ ϕijk (αik ⊗ βkj )
#
k =1
"
=
n
∑ λϕijk (αik ⊗ βkj )
#
k =1
"
=
n
∑ ϕijk (λαik ⊗ βkj )
#
k =1
"
=
n
∑ ϕijk (αik ⊗ λβkj )
#
k =1
"
=
n
∑ ϕijk (αik ⊗ βkj )λ
#
k =1
"
=
n
∑ ϕijk (αik ⊗ βkj )
k =1
= ( AB)λ.
50
#
λ
#
Se tiene que en un quiver Q, finito y acíclico con n = | Q0 |, se puede asignar un orden
a los puntos de Q numerándolos de 1 a n tal que, si existe un camino de i a j entonces
j ≤ i.
Teorema 4.1.1. Sea Q un quiver conexo, finito y acíclico con Q0 = {1, 2, . . . , n} tal que, para
cada i, j ∈ Q0 , j ≤ i, Siempre que exista un camino de i a j en Q. Entonces el álgebra de caminos
KQ es isomorfo al álgebra de matrices triangulares


ε 1 (KQ)ε 1
0
···
0
 ε 2 (KQ)ε 1 ε 2 (KQ)ε 2 · · ·

0


A=

..
..
..


.
.
.
ε n (KQ)ε 1 ε n (KQ)ε 2 · · · ε n (KQ)ε n
donde ε a = ( a|| a) para cada a ∈ Q0 . La adición es la usual y la multiplicación es inducida desde
la multiplicación de KQ.
Demostración. Se tiene que {ε a = ( a|| a) : a ∈ Q0 } es un conjunto completo de idempotentes de ortogonales para KQ, así se tiene una descomposición del K-espacio vectorial
KQ
M
KQ =
ε a (KQ)ε b .
a,b∈ Q0
Se sigue que si ε i (KQ)ε j 6= 0, entonces j ≤ i. Para cada punto i ∈ Q0 la ausencia de ciclos
en i implica que el álgebra ε i (KQ)ε i es isomorfa a K. La definición de multiplicación en
KQ implica que, para cada pareja (i, j) tal que i ≤ j, ε i (KQ)ε j es un ε i (KQ)ε i -ε j (KQ)ε j bimódulo, y para cada tripla (k, j, i ) tal que k ≤ j ≤ i existe una aplicación K-lineal
j
ϕik : ε i (KQ)ε j ⊗ ε j (KQ)ε k −→ ε i (KQ)ε k
j
donde el producto tensorial es tomado sobre ε j (KQ)ε j . Así ϕik cumple la condición de
asociatividad
ε i (KQ)ε j ⊗ ε j (KQ)ε k ⊗ ε k (KQ)ε l
1⊗ ϕkjl
/
ε i (KQ)ε j ⊗ e j (KQ)el
j
j
ϕik ⊗1
ϕil
ϕilk
ε i (KQ)ε k ⊗ ε k (KQ)ε l
51
/
ε i (KQ)ε l
sea ωij ⊗ ω jk ⊗ ωkl ∈ ε i (KQ)ε j ⊗ ε j (KQ)ε k ⊗ ε k (KQ)ε l , entonces
j
j
ϕil (1 ⊗ ϕ jl )(ωij ⊗ ω jk ⊗ ωkl ) = ϕil ((1 ⊗ ϕ jl )(ωij ⊗ ω jk ⊗ ωkl ))
j
= ϕil (ωij ⊗ ω jl )
= ωil
y
j
j
ϕilk ( ϕik ⊗ 1)(ωij ⊗ ω jk ⊗ ωkl ) = ϕilk ( ϕik ⊗ 1ωij ⊗ ω jk ⊗ ωkl )
= ϕilk (ωik ⊗ ωkl )
= ωil
j
j
Luego ϕilk ( ϕik ⊗ 1) = ϕil (1 ⊗ ϕ jl ).
Así se puede construir el álgebra generalizada de matrices como se hizo anteriormente.
Además si se asocia a cada camino de i a j en KQ el elemento correspondiente en A,
esto es, a elementos de la base del bimódulo ε i (KQ)ε j , se tiene un isomorfismo de Kálgebras, así KQ ∼
= A. En efecto, las álgebras A y KQ son isomorfas como K-espacios
vectoriales y la biyección entre sus bases es compatible con la multiplicación del álgebra
j
por definición de ϕik , así el isomorfismo de espacios vectoriales es un isomorfismo de
K-álgebras.
Ejemplo 21. Sea Q el quiver
◦o
◦o
◦o
1
2
3
··· o
◦o
◦
n−1
n
se tiene que {ε a = ( a|| a) : a ∈ Q0 } está numerado de manera tal que si existe un camino
de i a j, j ≤ i para i, j ∈ Q. Así como entre cada i, j existe a lo sumo un solo camino, se
tiene que dimK (ei (KQ)e j ) ≤ 1, aplicando el teorema 4.1.1 tenemos que


K 0 ··· 0
K K · · · 0 


A =  .. ..
.. 
. .
.
K K ··· K
así A ∼
= Tn ( K ) ∼
= KQ.
52
Ejemplo 22. Sea Q el quiver de Kronecker
◦o
o
α
◦
β
1
2
Así ε 1 , ε 2 definen una base del álgebra de caminos KQ y la tabla de multiplicación de
los elementos de la base es
ε1
ε2
α
β
ε1
ε1
0
α
β
ε2
0
ε2
0
0
α
0
α
0
0
β
0
β
0
0
se tiene que ε 1 (KQ)ε 2 ∼
=K∼
= ε 2 (KQ)ε 2 además ε 1 (KQ)ε 2 = 0. Vemos que ε 2 (KQ)ε 1 =
∼
hε 2 αε 1 , ε 2 βε 1 i así ε 2 (KQ)ε 1 = K × K, luego se tiene que
K 0
A=
K2 K
es decir KQ ∼
= A y el isomorfismo de K-álgebras esta dado por
f : KQ −→ A
entre elementos de la base dado por
1
0
f ( e1 ) =
, f ( e2 )
(0, 0) 0
0
0
f (α) =
, y f ( β)
(1, 0) 0
53
0
=
(0, 0)
0
=
(0, 1)
0
,
1
0
0
Capítulo 5
Conclusiones
Mediante las propiedades de los quivers, se pueden concluir propiedades del álgebra de caminos, lo cual nos induce a ver esas mismas propiedades vía isomorfismos, en otras álgebras.
Dado un quiver con determinadas características, se puede caracterizar el álgebra
de caminos asociada al quiver con álgebras de matrices triangulares. Además estas
álgebras se pueden ver como sumas de módulos indescomponibles.
En los dos casos anteriores se da una caracterización de determinadas álgebras vía
quivers, en este sentido la herramienta brindada por estos grafos dirigidos ayuda
a concluir propiedades en las álgebras, las cuales no serían de fácil comprobación
por otros medios.
54
Bibliografía
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[2] Ibrahim Assem. Algèbres et modules, course et exercices. Masson S.A., 1997.
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Associative Algebras. Cambridge University Press, 2006.
[6] Ralf Schiffler. Quiver Representations. Springer, 2014.
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Iberoamericana, 1996.
55