Download Definición de funciones circulares

DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 157
LECCIÓN
CONDENSADA
10.1
Definición de funciones circulares
En esta lección
●
●
●
Aprenderás cómo se definen las funciones circulares x cos t y y sin t
Encontrarás el dominio, el rango, y el período de x cos t y y sin t
Encontrarás unos valores de seno y de coseno usando los ángulos de
referencia
Muchos fenómenos, incluyendo las mareas y el movimiento de un caballo en un
carrusel, siguen patrones repetitivos, o cíclicos. Puedes usar las funciones seno y
coseno para modelar estos fenómenos.
Investigación: Rueda de paletas
Trabaja la investigación de tu libro, y después compara tus resultados con los
siguientes.
Paso 1 Una rotación es 360°, de modo que la rana gira 360° en 6 minutos,
ó 60° por minuto. Esto es 1° por segundo.
Puedes encontrar los valores x y y de cualquier punto al rastrear la
gráfica o al sustituir los valores de t en las ecuaciones para x y y.
Paso 2
[2.35, 2.35, 1, 1.55, 1.55, 1]
Paso 3
t
x
y
t
x
1
0
180
1
15
0.966
0.259
195
0.966
30
0.866
0.5
210
45
0.707
0.707
60
0.5
75
90
0
y
0
t
x
y
360
1
0
0.259
375
0.966
0.259
0.866
0.5
390
0.866
0.5
225
0.707
0.707
405
0.707
0.707
0.866
240
0.5
0.866
420
0.5
0.866
0.259
0.966
255
0.259
0.966
435
0.259
0.966
0
1
270
0
1
450
0
1
105
0.259
0.966
285
0.259
0.966
465
0.259
0.966
120
0.5
0.866
300
0.5
0.866
480
0.5
0.866
135
0.707
0.707
315
0.707
0.707
495
0.707
0.707
150
0.866
0.5
330
0.866
0.5
510
0.866
0.5
165
0.966
0.259
345
0.966
0.259
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
157
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 158
Lección 10.1 • Definición de funciones circulares (continuación)
He aquí algunas cosas que puedes observar en la tabla: Los valores x y y se
repiten después de 360°. Los valores x y y son cíclicos. Los valores en grados
de x y y en el Cuadrante I son positivos. En el Cuadrante II, los valores x son
negativos y los valores y son positivos. En el Cuadrante III, los valores x y y son
negativos. En el Cuadrante IV, los valores x son positivos y los valores y son
negativos. A medida que los valores x aumentan, los valores y disminuyen, y
viceversa. El apareamiento de los valores x y y es siempre lo mismo: esto es,
0.866 siempre acompaña 0.5, y así sucesivamente.
Paso 4
a. El patrón se repite cada 360° (ó 360 s). Debido a que 1215° 3(360°) 135°, la ubicación de la rana en 1215 s es la misma que su ubicación en
135 s, la cual es (0.707, 0.707). La rana también se encuentra en esta
ubicación en 360 135, ó 495 s, y en 2(360) 135, ó 855 s.
b. La tabla muestra que la rana está a una altura de 0.5 m a los 210 s y a
los 330 s. Debido al patrón cíclico, la rana se encuentra igualmente a esta
altura en los tiempos indicados, más los múltiplos de 360 s. Para las
primeras tres rotaciones, estos tiempos son 210 s, 330 s, 570 s, 690 s, 930 s,
y 1050 s.
c. 1 x 1, 1 y 1
La primera gráfica siguiente corresponde a x cos t. La gráfica que le
sigue corresponde a y sin t. Ambas gráficas muestran el mismo patrón cíclico, a
pesar de que cos t empieza en 1 y sin t empieza en 0. Ambas completan un ciclo
entero y regresan a la ubicación inicial después de 360°. Para hallar la posición de
la rana al tiempo t, encuentra el valor x correspondiente en la primera gráfica y el
correspondiente valor y en la segunda.
Paso 5
x
1
90
180
270
360
t
–1
y
1
180
90
270
360
t
–1
(continúa)
158
CHAPTER 10
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 159
Lección 10.1 • Definición de funciones circulares (continuación)
Un círculo con un radio de 1 unidad, centrado en el origen, se llama un círculo
unitario. Usando el círculo unitario en la investigación, descubriste que los valores
de las funciones seno y coseno se repiten en un patrón regular. Cuando los
valores de salida de una función se repiten en un patrón regular, la función es
periódica. El período de una función es la distancia mínima entre los valores de
la variable independiente, antes de que el ciclo empiece a repetirse.
Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra que la función coseno tiene un periodo
de 360°. Después lee el texto entre los Ejemplos A y B, que muestra que la función
seno también tiene un período de 360°. Observa el diagrama atentamente. Asegúrate
de que entiendes el significado de posición estandar, lado terminal, y ángulo de
referencia. Lee el Ejemplo B atentamente, y después lee el ejemplo siguiente.
EJEMPLO
Encuentra el valor del coseno o seno para cada ángulo.
a. cos 225°
b. sin 290°
Solución
Para cada ángulo en las partes a y b, gira el lado terminal en sentido opuesto
a las manecillas del reloj, desde el lado positivo del eje x, y traza un triángulo
rectángulo dibujando una línea perpendicular al eje x. Después identifica el
ángulo de referencia.
y
a. Para 225°, el ángulo de referencia mide 45°. Los
valores x en el Cuadrante III son negativos, de
modo que 225° cos 45°. Usando lo que sabes
de la razón entre las longitudes laterales en un
triángulo de ángulos 45°-45°-90°, o utilizando una
2
calculadora, se obtiene cos 225° 0.707.
2
225°
x
45°
y
x
1
b. Debido a que la medida del ángulo 290° es
negativa, rota el lado terminal 290° en el sentido
de las manecillas del reloj. El ángulo de referencia
mide 70°. Ya que las coordenadas y de los puntos
del Cuadrante I son positivas, entonces
sin 290° sin 70° 0.940.
y
y
70°
x
x
–290°
Los ángulos en posición estándar son coterminales si comparten el mismo
lado terminal. Por ejemplo, los ángulos que miden 70°, 290°, y 430° son
coterminales. A menudo las letras griegas como (theta) y (alfa) se usan
para representar las medidas de ángulos.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
159
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 160
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 161
LECCIÓN
CONDENSADA
10.2
Medición en radianes y
longitudes de arcos
En esta lección
●
●
●
●
Calcularás unas longitudes de arcos
Convertirás las mediciones angulares de grados a radianes
Encontrarás el área de un sector de un círculo
Calcularás la velocidad angular de un objeto que sigue una trayectoria circular
Hasta este momento, has trabajado con ángulos medidos en grados. En esta
lección aprenderás sobre una medición de ángulo diferente.
Investigación: Un círculo de radianes
De tus estudios de geometría, recuerda que la medida de un arco no es
lo mismo que la longitud de un arco. Por ejemplo, los arcos marcados en
la ilustración a la derecha tienen la misma medida, pero sus longitudes
aumentan a medida que el círculo se hace más grande.
45°
Puedes encontrar la longitud de un arco usando la siguiente relación.
medida del ángulo intersecado
longitud del arco
s
A
, ó 2r 360°
circunferencia del círculo
360°
r
Los ángulos pueden medirse en una unidad que
se llama radián. Un círculo completo, o una
revolución, mide 2 radianes, así que medio
círculo, o media revolución, mide radianes,
un cuarto de revolución mide 2 radianes, y así
sucesivamente.
Puedes usar cualquiera de estas relaciones
equivalentes para convertir grados a radianes,
o viceversa.
ángulo en grados ángulo en radianes
360
2
ángulo en grados ángulo en radianes
180
A (grados)
r (cm)
90
3
90
6
180
2
180
4
45
4
45
8
60
4
s
A
Encuentra la longitud, s, de cada arco ilustrado en el Paso 1 en tu libro.
Registra tus resultados en una tabla y después compáralos con los de esta
tabla. (Por ahora, ignora los valores de la última columna.)
s (cm)
(radianes)
6 3
4
2
12
3
4
4
2
2
8
4
2
8
8
16
2
8
8
4
6
3
12
2
6
2
2
4
4
3
3
Convierte los ángulos de tu tabla de grados a
60
6
radianes. Compara tus resultados con los de
la columna de la tabla presentada aquí.
(Observación: Usando la relaciones de conversión, puedes escribir la fórmula
180 A, donde es la medida del ángulo en radianes y A es la medida
en grados.)
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
161
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 162
Lección 10.2 • Medición en radianes y longitudes de arcos (continuación)
La razón entre la longitud del arco y la circunferencia es igual a la razón entre
la medida del ángulo intersecado y la medida de una revolución completa,
independientemente de las unidades de medición del ángulo: grados o radianes.
Así que
s
, ó s r
2r 2
(Asegúrate de hacer el álgebra para verificar la equivalencia.) De este modo
puedes encontrar la longitud de un arco simplemente multiplicando el radio por
la medida del ángulo en radianes. Y, debido a que s r es equivalente a rs,
puedes encontrar la medida de un ángulo intersecado al dividir la longitud del
arco entre el radio.
Observa que no es necesario rotular las medidas en radianes con unidades. Para
practicar la conversión entre grados y radianes, completa las partes a–d del
Ejemplo A en tu libro. Después compara tus resultados con las soluciones.
El texto en la página 576 de tu libro muestra cómo puedes usar el análisis
dimensional para convertir grados a radianes. Lee este texto atentamente.
Después, lee el Ejemplo B, que muestra cómo encontrar el área de un sector
de un círculo. He aquí otro ejemplo.
EJEMPLO
Solución
El círculo P tiene un radio de 12 cm, y la medida del
ángulo central DPE es 23 radianes. ¿Cuánto mide s, la
? ¿Cuánto mide el área
longitud del arco intersecado DE
del sector sombreado?
Para hallar s, sustituye r 12 cm y 23 radianes en
la fórmula de la longitud de arco.
P
12 cm
D
E
2
s r 12 3 8 cm
s
Para hallar el área del sector, usa el hecho de que
Asector
medida del arco intersecado
Acírculo 2
El área del círculo es r 2, ó 144. Así que
2
Asector
1
3
144
2 3
1
Asector 3 144 48
Entonces, el área del sector es 48 cm2.
Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de entender la definición de
velocidad angular.
162
CHAPTER 10
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 163
LECCIÓN
Graficación de funciones
trigonométricas
CONDENSADA
10.3
En esta lección
●
●
●
●
Encontrarás las ecuaciones para sinusoides
Identificarás la amplitud, el período, y la desviación de fase de un sinusoide
Modelarás datos reales con una función sinusoidal
Encontrarás ecuaciones para transformaciones de la función tangente
Las gráficas de y sin x y y cos x, y a sus transformaciones se llaman ondas
sinusoidales o sinusoides. En el Ejemplo A en tu libro, se ve que trasformar
y sin x es muy parecido a transformar cualquier otra función. Lee ese ejemplo
atentamente.
La amplitud de un sinusoide es la mitad de la diferencia de los valores máximo y
mínimo de la función. Esto es igual al valor absoluto del factor de escala, o b.
La traslación horizontal de una gráfica de seno o coseno se llama la desviación
de fase (phase shift). En el Ejemplo A, la función y 3 2 sin(x ) tiene una
amplitud de 2 y una desviación de fase de .
Para practicar las transformaciones de la gráfica coseno, trabaja el ejemplo
siguiente.
EJEMPLO
La gráfica de un ciclo (0 x 2) de y cos x se muestra a continuación.
Dibuja la gráfica de un ciclo de y 1 3 cosx 2. Da la amplitud, el
período, y la desviación de fase de la función transformada.
y
2
–2
Solución
_
2
3__
2
2
x
El coeficiente 3 significa que la gráfica de y cos x está estirada verticalmente por
un factor de 3. La gráfica también está trasladada 2 unidades hacia la izquierda y
1 unidad hacia abajo.
y
2
_
–
2
–2
_
2
3__
2
x
–4
El período de la función transformada es 2, la amplitud es 3, y la desviación de
fase es 2.
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
163
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 164
Lección 10.3 • Graficación de funciones trigonométricas (continuación)
Investigación: El péndulo II
Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne tus propios
datos y ajusta una función seno y una función coseno. Si no, puedes usar estos
datos.
Tiempo (s)
Distancia (m)
Tiempo (s)
Distancia (m)
Tiempo (s)
Distancia (m)
0.05
0.900
0.75
0.698
1.45
0.894
0.10
0.903
0.80
0.697
1.50
0.894
0.15
0.899
0.85
0.702
1.55
0.889
0.20
0.888
0.90
0.712
1.60
0.879
0.25
0.873
0.95
0.727
1.65
0.863
0.30
0.855
1.00
0.745
1.70
0.844
0.35
0.836
1.05
0.766
1.75
0.824
0.40
0.814
1.10
0.786
1.80
0.802
0.45
0.791
1.15
0.809
1.85
0.779
0.50
0.768
1.20
0.830
1.90
0.760
0.55
0.749
1.25
0.850
1.95
0.740
0.60
0.730
1.30
0.867
2.00
0.724
0.65
0.714
1.35
0.881
0.70
0.704
1.40
0.891
He aquí una gráfica de los datos:
[0, 2, 0.1, 0, 1, 0.1]
Primero ajusta una función coseno. El máximo valor de la distancia es 0.903 y el
mínimo es 0.697, de modo que la amplitud de la función es 12(0.903 0.697), ó
0.103. Éste es el factor de estiramiento vertical.
Un ciclo completo, de un punto máximo al siguiente, va de 0.10 a 1.475, así que
1.375
el período es 1.375. El factor de escala horizontal que estira 2 a 1.375 es 2 .
La función y cos x tiene un punto máximo en x 0. Esta curva tiene un punto
máximo en 0.10. Así pues, la desviación de fase es 0.10.
Para y cos x, el valor y que se encuentra a la mitad entre los valores mínimo y
máximo es 0. Para esta curva, este valor es 12(0.903 0.697), ó 0.8. Por tanto, la
traslación vertical es 0.8.
Reuniendo toda esta información, se obtiene la función
2
(x
y 0.103 cos 1.375 0.1) 0.8
164
CHAPTER 10
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 165
Lección 10.3 • Graficación de funciones trigonométricas (continuación)
Una transformación de la función seno tiene los mismos factores de escala y
desviación vertical, pero la desviación de fase es 2 0.1, de modo que la función
seno es
0.8
2
y 0.103 sin 1.375 x 2 0.1
En estas ecuaciones, 0.8 representa la distancia promedio desde el sensor de
movimiento hasta la arandela, 0.103 es la distancia desde esta distancia promedio
a la distancia mínima o máxima, 0.10 es el número de segundos antes de que la
arandela llegue por primera vez a la distancia máxima, y 1.375 es el número de
segundos que le lleva completar un ciclo.
El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que puede modelarse con una
función sinusoidal. Intenta resolver el problema planteado en ese ejemplo, antes
de leer la solución.
Hasta ahora, en este capítulo, has trabajado solamente con
senos y cosenos. La tangente del ángulo A es la razón entre
la coordenada y y la coordenada x de un punto girado A°
(o A radianes) en sentido opuesto a las manecillas del reloj
a partir de la parte positiva del eje x.
y
(x, y)
coordenada y
A
coordenada y
tan A coordenada x
x
coordenada x
He aquí la gráfica de la función y tan x.
y
6
4
2
–
–2
2
_ 3__
2
2
x
–4
–6
Observa que tan A es indefinida para los puntos del círculo cuya coordenada
x es cero. En la gráfica, esto se muestra mediante las asíntotas verticales en
2, 2, 32, y así sucesivamente.
En el Ejemplo C en tu libro se encuentra la ecuación de una transformación
de y tan x. Lee ese ejemplo atentamente.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
165
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 166
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:35 PM
Page 167
LECCIÓN
Inversos de las funciones
trigonométricas
CONDENSADA
10.4
En esta lección
●
●
●
Trazarás y examinarás las gráficas de los inversos de y sin x y de y cos x
Definirás las funciones y sin1 x y y cos1 x mediante la restricción de
los rangos de x sin y y de x cos y
Resolverás unas ecuaciones que implican funciones trigonométricas
Las funciones seno, coseno, y tangente tienen valores que se repiten. Así que,
por ejemplo, si quieres encontrar un ángulo cuyo coseno es 0.75, habrá muchas
respuestas. Por esta razón, usar una función inversa en tu calculadora no siempre
te dará el ángulo que buscas. Esto se ilustra en el Ejemplo A en tu libro. Lee ese
ejemplo atentamente.
En capítulos anteriores viste que se encuentra el inverso de una relación al
intercambiar las coordenadas x y y para todos los puntos. Una gráfica y su inverso
son reflexiones una de otra con respecto a la recta y x. En la página 595 de
tu libro se muestran las gráficas de la función exponencial y b x y su inverso,
x b y ó y logb x, y de la ecuación y x 2 y su inverso, x y 2. En el caso
de y b x, el inverso es una función. En el caso de y x 2, no lo es. En la
investigación, explorarás los inversos de las funciones trigonométricas.
Investigación: Exploración de los inversos
Completa la investigación en tu libro y después compara tus resultados con los
siguientes.
Pasos 1–4
A continuación se muestran las gráficas de y sin x y de x sin y.
y
10
5
–3
–2
–
2
3
x
–5
–10
La gráfica de x sin y no es una función porque existe más de un valor y para
cada valor x. Se ha sombreado la parte de la gráfica entre y 2 y y 2. Esta
porción de la gráfica es una función porque hay exactamente un valor y para cada
valor x.
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
167
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 168
Lección 10.4 • Inversos de las funciones trigonométricas (continuación)
A continuación se muestran las gráficas de y cos x y x cos y.
Cualquier intervalo y de la forma n y (n 1), donde n es un entero,
contiene una parte de la gráfica que es una función. Una posibilidad es
0 y .
Paso 5
y
10
5
–
–3
–2
3
2
x
–5
–10
La función y sin1 x es la parte de la gráfica de x sin y correspondiente al
intervalo 2 y 2. (Ésta es la parte sombreada en la investigación). Del
mismo modo, la función y cos1 x es la porción de la gráfica de x cos y
correspondiente al intervalo 0 y . Al restringir el intervalo, se garantiza
que haya un valor y para cada valor x. Así que, por ejemplo, aunque la ecuación
sin x 0.5 tiene un número infinito de soluciones, la ecuación x sin1(0.5)
tiene una sola solución: 6. El valor 6 se llama el valor principal de sin1(0.5).
En el Ejemplo B en tu libro se muestra cómo resolver una ecuación que implica una
función trigonométrica. Trabaja el ejemplo con papel y lápiz. Después prueba tu
entendimiento de las ideas, intentando resolver el problema del ejemplo siguiente.
EJEMPLO
Encuentra los primeros cuatro valores positivos de x para los
x
cuales 1 4 sin2 3.
Solución
Gráficamente, esto es equivalente a encontrar las primeras cuatro intersecciones
x
positivas de y 1 4 sin2 y y 3. Puedes encontrar las intersecciones
aproximadas que se muestran a continuación al rastrear la gráfica.
y
4 (4.189, 3)
(8.378, 3) (16.755, 3)
(20.944, 3)
2
2
3
4
5
6
7
x
–2
–4
(continúa)
168
CHAPTER 10
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 169
Lección 10.4 • Inversos de las funciones trigonométricas (continuación)
Al resolver la ecuación de manera simbólica, encontrarás una solución.
x
4 sin2 2
x
1
sin2 2
x
1 4 sin 2 3
1
x 2 sin 2 x
1
sin1 2
2
1
El círculo unitario muestra que sin112 6. Recuerda, la función
y sin1 x tiene un rango de 2 y 2.
y
– __
6
x
–0.5
1
Así que, una solución es x 26 43. Sin embargo, estás buscando
x
soluciones positivas. Debido a que el período de y 1 4 sin
2 es 4,
4
8
3 4, ó 3 , es una solución. Esto es aproximadamente 8.378,
que corresponde a la segunda solución positiva en la gráfica.
Puedes usar la simetría de la gráfica para encontrar la primera solución positiva.
La primera solución positiva está a la misma distancia de 2 que la segunda
solución, 83. Esta distancia es 23. Por tanto, 2 23, ó 43, es una solución
también. Esto es aproximadamente 4.189. Usando el hecho de que el período
es 4, las siguientes dos soluciones son
4
16
x 3 4 3 16.755
8
20
x 3 4 3 20.944
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
169
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 170
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 171
LECCIÓN
Modelación con ecuaciones
trigonométricas
CONDENSADA
10.5
En esta lección
●
●
●
Interpretarás unas ecuaciones trigonométricas que modelan situaciones
reales
Escribirás unas ecuaciones trigonométricas para modelar situaciones reales
Encontrarás unas frecuencias de funciones periódicas
El Ejemplo A en tu libro muestra cómo la altura del agua en la boca de un río
puede ser modelada con una ecuación trigonométrica. Trabaja el ejemplo
meticulosamente. Asegúrate de entender cómo los números en la ecuación
corresponden a la situación real.
Cuando la variable independiente es el tiempo, el período de una función es el
tiempo que le lleva a la función completar un ciclo. La frecuencia de una función
es el recíproco del período. Es el número de ciclos completados en una unidad de
tiempo. Por ejemplo, si una onda tiene un período de 0.1 segundos, entonces
tiene una frecuencia de 10 ciclos por segundo.
Investigación: Un muelle en movimiento
Lee la investigación en tu libro. Si tienes el equipo necesario, reúne los datos y
completa los pasos de la investigación. Si no lo tienes, completa los pasos usando
esta muestra de datos. Los resultados siguientes se basan en la muestra de datos.
Tiempo
(s)
Altura
(m)
Tiempo
(s)
Altura
(m)
Tiempo
(s)
Altura
(m)
Tiempo
(s)
Altura
(m)
0
0.561397
0.86016
0.587071
1.72032
0.607665
2.52672
0.609038
0.05376
0.563182
0.91392
0.597093
1.77408
0.630044
2.58048
0.632104
0.10752
0.578284
0.96768
0.640204
1.82784
0.665192
2.63424
0.657778
0.16128
0.604919
1.02144
0.668624
1.8816
0.699241
2.688
0.682628
0.21504
0.639792
1.0752
0.705831
1.93536
0.720659
2.74176
0.702261
0.2688
0.673841
1.12896
0.729308
1.98912
0.731917
2.79552
0.713794
0.32256
0.699653
1.18272
0.741253
2.04288
0.728622
2.84928
0.714206
0.37632
0.71805
1.23648
0.738919
2.09664
0.715167
2.90304
0.705419
0.43008
0.724229
1.29024
0.724366
2.1504
0.687845
2.9568
0.690454
0.48384
0.719698
1.344
0.695946
2.20416
0.664505
3.01056
0.667938
0.5376
0.729446
1.39776
0.656954
2.25792
0.631417
3.06432
0.64144
0.59136
0.701163
1.45152
0.620983
2.31168
0.607391
3.11808
0.618374
0.64512
0.632653
1.50528
0.587895
2.36544
0.592975
3.17184
0.60588
0.69888
0.603409
1.55904
0.567712
2.4192
0.586934
3.2256
0.597505
0.75264
0.576362
1.6128
0.5673
2.47296
0.592837
3.27936
0.597917
0.8064
0.564005
1.66656
0.581991
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
171
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 172
Lección 10.5 • Modelación con ecuaciones trigonométricas (continuación)
Paso 2
He aquí una gráfica de los datos:
El máximo promedio es 0.728, y el mínimo promedio es 0.575, de
0.728 0.575
0.077. El valor promedio,
modo que la amplitud es 2
que es la traslación vertical, es 0.652. Los períodos correspondientes
a los cuatro ciclos son 0.808, 0.805, 0.806, y 0.860; por tanto 0.807
1
puede ser una buena opción. La frecuencia es, entonces, 0.807 , ó
1.239 ciclos por segundo. El primer máximo se presenta en t 0.43,
así pues, si escoges una función coseno, deberá tener una desviación
de fase de 0.43.
Paso 3
[0, 3.3, 1, 0.1, 0.9, 1]
2(t 0.43)
h 0.652 0.077 cos
0.807
Una gráfica de la curva con los datos muestra un buen ajuste.
[0, 3.3, 1, 0.1, 0.9, 1]
Paso 4
a. 0.652 m es la altura promedio del muelle. 0.077 m es la distancia hacia
arriba y hacia abajo que el muelle se desplaza desde la altura promedio.
0.807 s es el tiempo que le lleva completar un ciclo. 0.43 s es el tiempo
en que se presenta el primer máximo.
b. Si alejas el sensor 1 m, la traslación vertical aumenta en 1. Todos los
demás valores permanecen iguales.
c. Si jalas el muelle más abajo, la amplitud aumenta. El período podría
cambiar también.
El Ejemplo B en tu libro presenta otra situación que se puede modelar mediante
una función periódica. Trabaja el ejemplo con papel y lápiz. El ejemplo siguiente
corresponde al Ejercicio 8a en tu libro. Intenta escribir la ecuación sin mirar la
solución.
EJEMPLO
El tiempo entre la marea alta y la baja en el puerto de un río es aproximadamente
7 h. La profundidad de la marea alta—de 16 pies—se presenta a mediodía y la
profundidad promedio del puerto es de 11 pies. Escribe una ecuación que modele
esta relación.
Solución
La marea completa medio ciclo en 7 h, así que el período es de 14 h. El factor
de escala horizontal que estira 2 a 14 es 7. La profundidad promedio, 11,
es la traslación vertical. La amplitud es 5, consistente en la diferencia entre la
profundidad de la marea alta y la profundidad promedio. Si supones que t 0
corresponde al mediodía, entonces la función empieza en un punto máximo. Por
tanto, si utilizas la función coseno, no hay desviación de fase. La ecuación es
t
d 11 5 cos 7
172
CHAPTER 10
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 173
LECCIÓN
Identidades trigonométricas
fundamentales
CONDENSADA
10.6
En esta lección
●
●
●
Definirás las funciones cotangente, secante, y cosecante
Aplicarás las identidades recíprocas y las usarás para probar otras
identidades trigonométricas
Derivarás y demostrarás tres identidades pitagóricas
Una identidad es una ecuación que es cierta para todos los valores para los cuales
las expresiones se definan. Por ejemplo, sin A cos A 2 es una identidad
porque es cierta independientemente del valor que le des a A. Lee la introducción
sin A
de la lección en tu libro, donde se muestra que tan A cos A es una identidad.
Los recíprocos de las funciones tangente, coseno, y seno también son funciones
trigonométricas. El recíproco de la tangente es la cotangente, abreviada como cot.
El recíproco del coseno es la secante, abreviada como sec. El recíproco del seno
es la cosecante, abreviada como csc. Estas definiciones conducen a las seis
identidades recíprocas siguientes.
1
cot A tan A
1
sec A cos A
1
csc A sin A
1
tan A cot A
1
cos A sec A
1
sin A csc A
Tu calculadora no tiene teclas especiales para cotangente, secante, y cotangente.
1
Así que, por ejemplo, para graficar y cot x, debes usar la expresión y tan x .
Para que te familiarices con las nuevas funciones, grafica cada par de funciones
recíprocas, un par a la vez, en tu calculadora (es decir, grafica la cotangente y
la tangente, después el secante y el coseno, luego la cosecante y el seno).
Un método para probar una identidad implica escribir expresiones equivalentes
para un lado de la ecuación, hasta que es igual al otro lado. Puedes usar cualquier
identidad que ya hayas probado. Esto se muestra en el ejemplo en tu libro.
Trabaja dicho ejemplo con papel y lápiz.
Investigación: Identidades pitagóricas
Intenta completar la investigación por tu cuenta. A continuación se dan las
respuestas, por si las necesitas.
La gráfica de y sin2 x cos2 x es la recta horizontal y 1. Basándote
en esta gráfica, puedes escribir la identidad sin2 x cos2 x 1.
Paso 1
[0, 2, 2, 3, 3, 1]
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
173
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 174
Lección 10.6 • Identidades trigonométricas fundamentales (continuación)
Paso 2 Las longitudes de los catetos del triángulo mostrado son sin A y cos A,
y la hipotenusa tiene una longitud de 1. Por el Teorema de Pitágoras,
sin2 A cos2 A 1.
La ecuación sin2 x cos2 x 1 se llama una identidad pitagórica, porque
se deriva utilizando el Teorema de Pitágoras. (En un círculo unitario con un
triángulo de referencia, sin x y cos x son las longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo y 1 es la longitud de la hipotenusa. Entonces, según el Teorema de
Pitágoras, sin2 x cos2 x 1.)
Paso 3
Paso 4
cos2 x 1 sin2 x
sin2 x 1 cos2 x
La identidad es tan2 x 1 sec2 x. La derivación siguiente sirve como
prueba, pero te convendría practicar el método del ejemplo, manipulando el lado
izquierdo de la identidad, tan2 x 1, hasta que sea igual al lado derecho, sec2 x.
Paso 5
sin2 x cos2 x 1
cos2 x
1
sin2 x
cos2 x cos2 x cos2 x
Identidad original.
Divide ambos lados entre cos2 x.
(sin x)2
(cos x)2
1
2 2 2
(cos x)
(cos x)
(cos x)
1
sin x
cos x
cos x cos x cos x 2
2
2
tan2 x 1 sec2 x
sin2 x significa (sin x)2 y cos2 x significa (cos x)2.
a2
a
2 b
b
2
Usa las identidades
sin x
cos x
tan x y
1
cos x
sec x.
y tan2 x 1 y y sec2 x tienen la misma gráfica, lo cual
verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando cos x 0,
ó cuando x 2 n ó x 90° 180°n, donde n es un entero.
Paso 6
La identidad es 1 cot2 x csc2 x. La derivación siguiente
sirve como prueba:
Paso 7
sin2 x cos2 x 1
cos2 x
1
sin2 x
sin2 x sin2 x sin2 x
Divide ambos lados entre sin2 x.
(sin x)2
(cos x)2
1
2 2 2
(sin x)
(sin x)
(sin x)
sin x
sin x
2
cos x
sin x
2
1
sin x
1 cot2 x csc2 x
[0, 2, 2, 3, 3, 1]
Identidad original.
2
sin2 x significa (sin x)2 y cos2 x significa (cos x)2.
a2
a
2 b
b
2
Usa las identidades
cos x
sin x
cot x y
1
sin x
csc x.
y 1 cot2 x y y csc2 x tienen la misma gráfica, lo cual
verifica la identidad. La identidad es indefinida cuando sin x 0, ó
cuando x n ó x 180°n, donde n es un entero.
Paso 8
Las identidades pitagóricas que probaste en la investigación se resumen en la
página 611 de tu libro.
174
CHAPTER 10
[0, 2, 2, 3, 3, 1]
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 175
LECCIÓN
Combinación de funciones
trigonométricas
CONDENSADA
10.7
En esta lección
●
●
●
Modelarás un sonido con una suma de dos ecuaciones sinusoidales
Desarrollarás o probarás varias identidades trigonométricas
Usarás unas identidades trigonométricas para encontrar los senos y cosenos
de ángulos
El sonido de una nota tocada por un instrumento musical puede modelarse con
la combinación de más de una función trigonométrica. Lee el texto que precede
la investigación en tu libro, para aprender más sobre este asunto.
Investigación: Onda de sonido
La investigación te pide tocar un diapasón y después registrar los datos, usando
una sonda de micrófono. A continuación se presentan las ecuaciones y las gráficas
de los datos producidos por los diapasones G-392 Hz y C-256 Hz.
2
(x
G: y 0.116 sin 0.0025 0.0027) 2.681
[0, 0.02, 1, 2.2, 3, 1]
2
(x
C: y 0.0828 sin 0.0038 0.0012) 2.6815
[0, 0.02, 1, 2.2, 3, 1]
Sólo tienes que sumar las ecuaciones de las notas C y G individuales,
para obtener una buena aproximación de la onda que se forma al tocar
las dos notas juntas, excepto que la curva se corre hacia arriba porque se
combinan las dos desviaciones horizontales.
Restar 2.6815 de la suma de las ecuaciones hará que la nueva ecuación
se ajuste a la desviación horizontal de los nuevos datos.
[0, 0.02, 1, 2.2, 6, 1]
2
2
(x
(x
y 0.116 sin 0.0025 0.0027) 2.681 0.0828 sin 0.0038 0.0012)
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
CHAPTER 10
175
DAACLS_678_10.qxd
4/15/04
3:36 PM
Page 176
Lección 10.7 • Combinación de funciones trigonométricas (continuación)
Un sinusoide trasladado de manera horizontal puede escribirse como la suma de
dos curvas no trasladadas. Por ejemplo, puedes usar tu calculadora para verificar
que y cos(x 0.6435) es equivalente a y 0.8 cos x 0.6 sin x. En el texto en
la página 617 de tu libro se prueba la identidad
cos(A B) cos A cos B sin A sin B
Sigue los pasos usando papel y lápiz.
El Ejemplo A de tu libro muestra cómo puedes usar la identidad anterior para
hallar los valores exactos del coseno para algunos ángulos más, usando valores
que ya conoces. He aquí otro ejemplo.
EJEMPLO A
Solución
Encuentra el valor exacto de cos 712 .
5 cos6 4
7
10 3
cos 1
2 cos 12 12
Reescribe
7
12
como la diferencia de dos fracciones.
Reduce.
5
5
cos 6 cos 4 sin 6 sin 4
cos(A B) cos A cos B sin A sin B.
2
3 2
1 2 2 2 2
Sustituye los valores exactos del seno y del coseno,
5
6 y 4, respectivamente.
6 2
4
Combina los términos.
El Ejemplo B en tu libro utiliza la identidad cos(A B) cos A cos B sin A sin B
para desarrollar la identidad
cos(A B) cos A cos B sin A sin B
Lee dicho ejemplo atentamente. En el ejemplo siguiente se desarrolla la identidad
sin(A B) sin A cos B cos A sin B
EJEMPLO B
Solución
Usa la identidad del cos(A B) y las identidades sin A cos2 A y
cos A sin2 A para desarrollar una identidad para sin(A B).
cos2 A B
cos2 A cos B sin2 A sin B
sin(A B) cos 2 (A B)
sin A cos B cos A sin B
sin A cos 2 A .
Reescribe
2
(A B) como 2 A B.
Usa la identidad del cos(A B).
sin A cos2 A.
cos A sin 2 A y
Se dan más identidades en el recuadro en la página 619 de tu libro. Probarás tales
identidades en los ejercicios.
176
CHAPTER 10
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press