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ÁLGEBRA
Eduardo Carpinteyro Vigil
Rubén B. Sánchez Hernández
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
México, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
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Grupo Editorial Patria®
División Bachillerato, Universitario y Profesional
Correo:
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Renacimiento 180,
Col. San Juan Tlihuaca,
Azcapotzalco, C. P. 02400,
México, D. F.
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Perla Alejandra López Romo
Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez
Fotografías: Thinkstock
e-mail:
info@editorialpatria.com.mx
ÁLGEBRA
Serie Bachiller
Fax pedidos:
Derechos reservados:
© 2014, Eduardo Carpinteyro Vigil, Rubén B. Sánchez Hernández
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
ISBN ebook: 978-607-744-055-0
(0155) 5354 9109 • 5354 9102
Sitio web:
www.editorialpatria.com.mx
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito
del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
Teléfono:
(0155) 53 54 91 00
ii
Primera edición ebook: 2014
Presentación
La misión de la ciencia consiste en sustituir las apariencias
con los hechos y las impresiones con las demostraciones.
John Ruskin
Entre las razones que hemos tenido para la elaboración de este libro están:
1. C
ompartir con otros profesores una didáctica personal acerca de la enseñanza
de las matemáticas en el nivel medio superior, en la que se involucra nuestra
experiencia como docentes en bachillerato.
2. O
frecer a nuestros estudiantes de matemáticas información sobre el desarrollo
histórico de esta ciencia, tal es el caso de la resolución de problemas de aplicación
cotidiana de los conceptos que se van estudiando, para transformar la falsa
imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemáticas
por parte de algunos docentes y la mayoría de los alumnos de secundaria y
bachillerato que pasan por nuestras aulas.
3. A
unque en forma general, el estudiante ubica las matemáticas como una de
las herramientas básicas utilizadas por cualquier ciencia, y vive en forma
cotidiana los beneficios logrados en nuestra época, sobre todo en el campo de
las comunicaciones, no es poco común escuchar en los salones de clases la
interrogante natural del estudiante sobre la utilidad práctica del estudio que
realiza, por lo que deseamos provocar la reflexión personal del mismo joven
acerca de la construcción de su conocimiento matemático.
Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarrón en el que el profesor
puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia. Al llegar a este nivel de estudios, cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos;
es por esta razón que la exposición que hemos hecho a lo largo del texto, toma en
cuenta ambos aspectos, para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren estructurados, y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos, y por lo tanto,
han caído en el olvido.
Estamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de información global
que encontrará un amplio interés de parte de los estudiantes de bachillerato, quienes serán en un futuro muy cercano, los ciudadanos que decidan y apoyen los programas ambientales y energéticos de nuestro país, y cumplamos así los compromisos
de sustentabilidad en el ambiente y la energía, que México ha firmado y debe cumplir, en
el concierto de las naciones.
Los autores
Grupo Editorial Patria
v
Álgebra
a los alumnos
A manera de reflexión queremos que pienses que ninguna persona inicia una actividad, llámese negocio, deporte o estudios, con la idea de fracasar, siempre tiene en
mente que va a lograr las metas propuestas, si se aplica con dedicación y constancia
en su esfuerzo por conseguirlas. Tú no vas a emprender tus estudios de matemáticas sintiéndote incapaz; si éste es tu caso, ya alcanzaste tu objetivo, has fracasado
desde el momento de pensarlo. ¡Vence este temor!, no te contentes con ir siguiendo
a tu profesor en el curso escolar, ¡anticípate a él! preparando la lección antes de recibirla, desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento. Tu profesor
es un medio, no la causa de que domines la asignatura, y en cambio tú eres el que
aprende, el actor principal para el cual el proceso de enseñanza tiene un fin preciso,
el que te apropies del conocimiento.
Los autores
descripción de la obra
La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripción de este texto
es darte las gracias por permitirnos acompañarte en tu esfuerzo por alcanzar un
nivel más de preparación, el cual se inicia en este primer año de bachillerato.
Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temáticas, correspondientes
a la asignatura de Matemáticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Preparatoria de la unam.
En cada una de las unidades encontrarás una reseña histórica, que tiene como finalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la
evolución de la ciencia. No queremos que consideres esta sección como la adquisición de un conocimiento enciclopédico, sino que aprendas que las matemáticas no
han sido siempre iguales, nuestro conocimiento matemático se ha enriquecido con
las aportaciones y también, por qué no decirlo, con las dudas y errores de personas
como tú, quizás hasta con mayores limitaciones, las cuales han sido producto de
sus creencias y de la época en que vivieron.
vi
Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje, la cual deseamos que intentes resolver con tus propios conocimientos. Estas actividades pueden ser resueltas
con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio, pero si no te es posible
hacerlo, no te desanimes, sigue avanzando en tu estudio y encontrarás en los temas
de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solución pedida. Como
diría un pintor “pinta y borra, pinta y borra, hasta que al fin ¡zas¡ tienes la obra
maestra que te deja la satisfacción de que es creación tuya”.
Los márgenes han sido diseñados para que tengas el espacio necesario y puedas
rehacer tus operaciones, y cuando lo creas necesario, anotar en ellos observaciones,
las cuales podrás consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes
para lograr la comprensión del tema tratado.
Un elemento más con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diálogo,
como los siguientes:
meros
¿Entre qué nú
636?
es divisible 6 ¿Cómo se inte
rpreta
el hecho de q
ue un
polinomio ten
ga un
menor número
de
raíces que el
grado
del mismo?
en los cuales te proponemos que realices una actividad o algún aspecto a investigar
y que propicia la reflexión sobre el concepto sobre el que se está trabajando, o aclara y
proporciona una indicación especial de algún algoritmo que se desarrolle.
La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades, parte de un enfoque en el que se desarrolla la intuición y poco a poco se va formalizando por medio del simbolismo matemático correspondiente, y una ejemplificación
del concepto y su demostración.
En cada unidad encontrarás el número de ejercicios necesarios para comprender
y reafirmar cada uno de los temas tratados; éstos los presentamos en forma de
problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero, la relación de columnas, los ejercicios de complementación, los enunciados verbales y, por último, las
secciones de Comprueba tu aprendizaje, una por cada unidad, y a las que les hemos
dado el valor de comprobación y puedes utilizar como una forma de poner a prueba
los conocimientos que has hecho tuyos.
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vii
Álgebra
recomendaciones de estudio
Una de las preguntas más frecuentes que los padres de los alumnos que no obtienen un buen resultado en esta asignatura, nos hacen a los profesores de matemáticas, es:
“¿Qué puedo hacer para que mi hijo tenga éxito en su curso de matemáticas?”
No es poco común una afirmación como la siguiente:
“No entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen, soy testigo de que se pasa tardes y noches completas haciendo ejercicios y aun así reprueba.”
Muchas veces nos ha tocado ver a los padres más preocupados que a los propios
muchachos, quienes ven “normal” reprobar matemáticas, y hasta llegan a competir
con sus amigos para obtener la calificación más baja.
La intención de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para
lo que te puede suceder durante este curso, sino expresar que esta preocupación
también es nuestra, y representa parte de nuestra realidad educativa.
También entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte “consejos” o “fórmulas de éxito” para tus estudios. Quizá lo que menos quieres escuchar es
lo que siempre te han dicho que debes hacer. Así que cambiaremos de estrategia y
te proponemos cuatro reglas de lo que sí es indispensable que realices para no tener
éxito en matemáticas.
viii
Cómo ser un alumno deficiente
en cualquier curso
Sigue estas cuatro reglas:
1. Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor.
2. No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto.
3. No realices las tareas.
4. Estudia un día antes del examen, la noche es larga; el estudio sin organización
y sin planes es una de las mejores técnicas; hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria.
Si tu método de estudio responde en forma afirmativa a dos o más de estas reglas,
puedes estar seguro de que reprobarás el curso.
Pero si estás dispuesto a romper con esto, realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso.
A continuación escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado.
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemáticas
1.
2.
3.
4.
Éste es tu nuevo compromiso, al cumplirlo estarás trabajando para aprender y
aprobar matemáticas. De manera que sé constante en tu esfuerzo y no olvides tu
compromiso.
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ix
Álgebra
CONTENIDO
Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
Descripción de la obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
Recomendaciones de estudio . . . . . . . . . . . . VIII
2.3
2.4
Unidad 1 Conjuntos
2
1.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Idea intuitiva de con­jun­tos . . . . . . . . . . . . . . . Con­jun­to. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6
1.3 Car­di­na­li­dad de un con­jun­to. . . . . . . . . . . . . . 9
Car­di­na­li­dad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Ti­pos de con­jun­tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Con­jun­tos fi­ni­tos e in­fi­ni­tos. . . . . . . . . . . . .
Con­jun­tos igua­les. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Con­jun­to va­cío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Con­jun­tos equi­va­len­tes. . . . . . . . . . . . . . . .
Con­jun­to uni­ver­sal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sub­con­jun­tos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Con­jun­to po­ten­cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
11
11
12
12
13
1.5 Operaciones con conjuntos. . . . . . . . . . . . . . .
Unión de con­jun­tos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
In­ter­sec­ción de con­jun­tos. . . . . . . . . . . . . .
Mí­ni­mo co­mún múl­ti­plo . . . . . . . . . . . . . . .
Má­xi­mo co­mún di­vi­sor . . . . . . . . . . . . . . . .
Com­ple­men­to de un con­jun­to . . . . . . . . . .
Di­fe­ren­cia en­tre dos con­jun­tos. . . . . . . . . .
14
14
15
16
16
18
19
1.6 Diagramas de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Pro­duc­to car­te­sia­no. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Pla­no car­te­sia­no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Localización de puntos
en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 Com­prue­ba tu apren­di­za­je. . . . . . . . . . . . . . . 37
nidad 2 Sistemas
U
de numeración
34
40
2.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2Sistemas de numeración de la Antigüedad. . . Sistema de numeración babilonio. . . . . . . . Sistema de numeración egipcio . . . . . . . . . 45
45
49
x
2.5
2.6
Sistema de numeración romano. . . . . . . . .
Sistema de numeración maya. . . . . . . . . . .
Sistema decimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notación desarrollada. . . . . . . . . . . . . . . . .
Proyecto de trabajo grupal. . . . . . . . . . . . .
Sistemas de numeración con diferentes
bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conversión de un número decimal
a otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conversión a decimal de un número
con otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con otras bases . . . . . . . . . . . . .
Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . .
50
52
54
58
59
60
62
63
65
73
nidad 3 Números
U
reales
3.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Propiedades de las operaciones binarias . . . . Operación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operación binaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres especiales de algunas
estructuras numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4Algoritmo de Euclides para la obtención
del máximo común divisor. . . . . . . . . . . . . . . . Reglas prácticas para la obtención del mcm
y del MCD de dos o más números. . . . . . . 3.5 Números enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Números racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las razones geométricas. . Decimales periódicos infinitos. . . . . . . . . . . Orden en los números racionales. . . . . . . . Operaciones con números racionales. . . . . Densidad de los números racionales. . . . . . Las proporciones y sus propiedades. . . . . . 3.7 Números irracionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de números irracionales. . . . . 3.8 Números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedad de tricotomía. . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Números imaginarios y complejos . . . . . . . . . Representación de números complejos . . . 3.10 Valor absoluto de números reales. . . . . . . . . . 3.11 Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Leyes de los exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 76
78
80
80
81
83
83
86
88
91
95
96
99
100
103
108
111
112
116
119
121
122
123
125
128
132
Dos aplicaciones usando exponentes. . . . . 138
3.13 Notación científica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.14 Logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2Leyes fundamentales de los logaritmos . .
Obtención de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas. . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con logaritmos. . . . . . . . . . . .
144
146
147
151
3.15 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 152
nidad 4 Monomios
U
y polinomios
156
4.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2 Monomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . .
Grado de un término. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clases de términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
159
161
161
4.3Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grado de un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . .
Clases de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . .
Términos semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reducción de términos semejantes . . . . . .
Signos de agrupación. . . . . . . . . . . . . . . . .
162
162
163
166
166
167
4.4 Adición de monomios y polinomios . . . . . . . . 169
Resta de monomios y polinomios. . . . . . . . 170
4.5 Multiplicación de monomios
y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Multiplicación de monomios. . . . . . . . . . . . 173
Multiplicación de monomios
por polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.6Factor común en un polinomio. . . . . . . . . . . . 178
4.7 División de monomios y polinomios. . . . . . . .
Monomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . .
Polinomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . .
Polinomio entre polinomio. . . . . . . . . . . . .
Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . .
División sintética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
180
180
181
182
184
4.8 Valor numérico de un polinomio. . . . . . . . . . . 185
4.9 Polinomios como funciones. . . . . . . . . . . . . . .
Funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . .
Evaluación de una función. . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . .
187
189
189
191
4.10 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 193
nidad 5 Productos
U
notables y factorización 196
5.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2Factor común en un polinomio. . . . . . . . . . . .
5.3Cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . .
Trinomio al cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4Factorización de trinomios cuadrados
perfectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Factorización parcial de trinomios
de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5Cubo de un binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Factorización de un cubo perfecto. . . . . . . . .
5.7Producto de binomios
con un término común. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8Factorización de trinomios
de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso en que el coeficiente del término
cuadrático es 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso en que el coeficiente del término
cuadrático es distinto de 1. . . . . . . . . . . . . . .
5.9Producto de binomios conjugados. . . . . . . . .
5.10Factorización de diferencia
de cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11Factorización por agrupación
de términos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Factorización de una suma
o diferencia de dos potencias iguales. . . . . . .
5.13Mínimo común múltiplo de dos
o más polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14 Otros tipos de factorizaciones. . . . . . . . . . . . .
5.15Binomio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Factorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.16 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . .
198
200
201
204
204
207
209
211
213
215
216
218
220
222
224
227
230
232
234
237
247
nidad 6 Operaciones
U
con fracciones y radicales252
6.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2Teoremas del residuo y del factor. . . . . . . . . .
Teorema del residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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254
256
256
259
xi
Álgebra
6.3 Operaciones con fracciones algebraicas. . . . . Simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . . Multiplicación y división de fracciones
algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de fracciones algebraicas . . . Fracciones complejas algebraicas. . . . . . . . Simplificación de fracciones complejas. . . . Conversión entre fracciones comunes
y fracciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raíz n-ésima principal. . . . . . . . . . . . . . . . . Exponente fraccionario. . . . . . . . . . . . . . . . Sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificación de un radical. . . . . . . . . . . . . Modificación del radicando para la
simplificación del radical. . . . . . . . . . . . . . . Simplificación del radical cuando
el radicando no sufre modificación. . . . . . . Suma y resta de radicales. . . . . . . . . . . . . . Multiplicación y división de radicales. . . . . Multiplicación de radicales simples. . . . . . . Multiplicación de radicales compuestos. . . División de radicales simples. . . . . . . . . . . . Racionalización del denominador
de una fracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División de radicales compuestos. . . . . . . . 6.5 Números imaginarios y complejos
(continuación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Número imaginario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de números imaginarios . . . . Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de números complejos . . . . . Multiplicación de números complejos. . . . . División de números complejos . . . . . . . . . 6.6 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . nidad 7 Ecuaciones
U
y desigualdades
7.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2Igualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de las igualdades. . . . . . . . . .
7.3 Ecuaciones de primer grado. . . . . . . . . . . . . .
xii
263
263
264
268
272
272
277
284
285
286
286
287
287
290
293
296
296
297
298
299
300
308
308
309
310
311
313
313
314
315
318
320
322
325
326
330
Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Más problemas verbales. . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones que contienen valores
absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones que contienen logaritmos . . . . 7.4Desigualdades de primer grado. . . . . . . . . . . Desigualdades racionales. . . . . . . . . . . . . . 7.5 Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . Despeje de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Completando un trinomio cuadrado
perfecto (TCP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por fórmula general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Más sobre ecuaciones de segundo grado . Ecuaciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones con radicales. . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Desigualdades de segundo grado . . . . . . . . . 7.7Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . nidad 8 Sistemas
U
de ecuaciones y
desigualdades
8.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2Sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuación lineal en dos variables. . . . . . . . .
8.3 Sistemas de ecuaciones lineales con
dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas de ecuaciones lineales
con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eliminación por suma o resta . . . . . . . . . . .
Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de igualación. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4Sistemas de ecuaciones lineales con tres
o más variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método de eliminación gaussiana . . . . . . .
Método por determinantes. . . . . . . . . . . . .
Los sistemas de ecuaciones lineales
como matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicación del método de eliminación
gaussiana en la matriz aumentada de un
sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . . . .
341
344
358
361
365
372
375
376
377
379
381
384
388
389
390
391
391
396
399
402
404
406
406
414
416
417
420
428
432
437
440
444
444
446
Cálculo de un determinante. . . . . . . . . . . .
Regla de Cramer para la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . .
Sistemas de ecuaciones lineales
con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas de ecuaciones lineales
con tres variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
449
453
454
Gráfica de una desigualdad lineal
con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas de desigualdades lineales . . . . . .
Programación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . .
478
480
484
490
ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guía de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SECCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soluciones de los ejercicios. . . . . . . . . . . . .
RESPUESTAS A LA GUíA DE ESTUDIO . . . . . . . . .
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE. .
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
495
496
503
505
533
539
547
454
8.5 Sistemas de ecuaciones no lineales. . . . . . . . . Sistema de una ecuación cuadrática
y una ecuación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de dos ecuaciones cuadráticas
sin términos lineales ni término mixto en xy.
Sistema de dos ecuaciones cuadráticas
sin términos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
463
467
471
8.6 Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . . . 477
Desigualdad lineal con dos variables . . . . . 477
Grupo Editorial Patria
1
1
unidad
Conjuntos
Descripción de la unidad
En es­ta uni­dad, es­tu­diarás los con­cep­tos fun­da­men­
ta­les de la teo­ría de con­jun­tos que se­rá uti­li­za­da co­
mo un ele­men­to fun­da­men­tal del len­gua­je ne­ce­sa­rio
pa­ra el ma­ne­jo de con­cep­­tos ma­te­má­ti­cos en la com­
pren­sión de uni­da­des de es­tu­dio pos­te­rio­res.
Pro­pó­si­tos de la uni­dad:
 Co­no­cer la no­ción de con­jun­to.
 Com­pren­der las ope­ra­cio­nes en­tre con­jun­tos.
 Re­sol­ver pro­ble­mas re­la­cio­na­dos con es­tas
ope­ra­cio­nes.
 A
d­qui­rir los co­no­ci­mien­tos del len­gua­je
ma­te­má­ti­co bá­si­cos pa­ra el de­sa­rro­llo de
con­te­­ni­do en te­mas pos­te­rio­res.
Con­te­ni­dos de es­tu­dio:
 Idea in­tui­ti­va de con­jun­to.
 Car­di­na­li­dad de un conjunto.
 T
i­pos de con­jun­tos.
 Ope­ra­cio­nes con conjuntos.
 Dia­gra­mas de Venn-Eu­ler.
 Mul­ti­pli­ca­ción de con­jun­tos o pro­duc­to car­te­sia­no.
 Pla­no car­te­sia­no.
Álgebra
1.1 Breve reseña histórica
Uno de los con­cep­tos que han lla­ma­do la aten­ción de ma­te­má­ti­cos y fi­ló­so­fos en el
trans­cur­so de las di­fe­ren­tes épo­cas en las que se ha ido con­for­man­do el co­no­ci­
mien­to, es el in­fi­ni­to. Al­gu­nos matemáticos han re­cha­za­do la idea de co­lec­cio­nes
in­fi­ni­tas de ele­men­tos, apo­yán­do­se en que la co­rres­pon­den­cia biu­ní­vo­ca en­tre dos
agru­pa­cio­nes in­fi­ni­tas con­du­ce a re­sul­ta­dos que no coin­ci­den con la ra­zón. Pa­ra
ejem­pli­fi­car es­te pun­to de vis­ta, re­fle­xio­na y tra­ta de dar una res­pues­ta a las si­
guien­tes pre­gun­tas:
Con­si­de­ra la se­rie de nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…, n, n + 1,…
Aho­ra, pien­sa en la se­rie de sus cua­dra­dos:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ,…, n2, (n + 1)2,…
Si re­la­cio­na­s los nú­me­ros de las dos se­ries responde:
1.¿Qué se­rie tie­ne más nú­me­ros?
2.¿Qué se­rie es­tá con­te­ni­da en la otra?
3.¿Una de las par­tes pue­de te­ner la mis­ma ex­ten­sión que el to­do del cual es parte
in­te­gran­te?
Preguntas co­mo las anteriores son las que crea­ron po­lé­mi­ca en­tre los ma­te­má­ti­
cos que vi­vie­ron an­tes del si­glo xix, cu­ya ac­ti­tud ge­ne­ral era ig­no­rar aque­llo que
no po­dían re­sol­ver, con­si­de­rán­do­lo só­lo co­mo pa­ra­dó­ji­co, aun­que con fre­cuen­cia lo
uti­li­za­ran en la re­so­lu­ción o en la in­ves­ti­ga­ción de otros pro­ble­mas, tal es el ca­so de
las se­ries nu­mé­ri­cas.
Georg Cantor.
4
A los ma­te­má­ti­cos del si­glo xix les in­te­re­só la dis­cu­sión de pro­ble­mas co­mo la
con­ti­nui­dad de una fun­ción en el pla­no car­te­sia­no, lo fi­ni­to y lo in­fi­ni­to, y les
pa­re­ció que las ba­ses en las que se fun­da­men­ta­ban las ma­te­má­ti­cas no eran
fir­mes e ini­cia­ron un mo­vi­mien­to des­ti­na­do a dar una cimentación más só­li­da a
ca­da una de las ra­mas de su cien­cia. Mu­chos ma­te­má­ti­cos apor­ta­ron su ta­len­to
y tra­ba­jo en es­te mo­vi­mien­to de axio­ma­ti­za­ción de las ma­te­má­ti­cas, en­tre ellos
des­ta­ca Georg Can­tor (1845-1918) crea­dor de la teo­ría de con­jun­tos, con la que in­
tro­du­ce en las ma­te­má­ti­cas con­cep­tos co­mo: cla­se, cla­se de­ri­va­da, cla­se ce­rra­da,
cla­se per­fec­ta, per­te­nen­cia a una cla­se, pun­to lí­mi­te, nú­me­ro car­di­nal, nú­me­ro
or­di­nal y ti­po de or­den, con la fi­na­li­dad de con­ge­niar una ba­se más fir­me y ló­
gi­ca al pro­ble­ma de la con­ti­nui­dad de una fun­ción en el pla­no. Las apor­ta­cio­nes
de Can­tor, co­mo ve­re­mos más ade­lan­te, pro­por­cio­na­ron a las ma­te­má­ti­cas una
he­rra­mien­ta pa­ra po­der es­tu­diar las re­la­cio­nes exis­ten­tes en­tre un to­do y sus
par­tes, al mis­mo tiem­po que sen­ta­ron las ba­ses que pos­te­rior­men­te usa­ron otros
bri­llan­tes ma­te­má­ti­cos pa­ra sim­pli­fi­car de­fi­ni­cio­nes de con­cep­tos que re­sul­ta­
ban más com­ple­jas.
UNIDAD 1
Conjuntos
Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que más se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65
personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito. Al recolectar la información
que obtuvieron encontraron lo siguiente:
1.Com­ple­ta la ta­bla
si­guien­te, para ello
dis­tri­bu­ye la in­for­ma­ción
anterior.
Nú­me­ro de
personas
Deporte que practican
35
Futbol americano
34
Futbol soccer
33
Básquetbol
13
Futbol americano y futbol soccer
18
Futbol soccer y básquetbol
15
Futbol americano y básquetbol
10
Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer
Básquetbol
13
Futbol americano
18
Futbol soccer
Soccer
15
2.Con­tes­ta las preguntas y copia la información en el diagrama.
a)¿Cuán­tos alum­nos practican futbol americano o soccer?
b)¿Cuán­tos alum­nos practican los tres deportes?
c)¿Cuán­tos alum­nos practican básquetbol, pero no practican ni futbol soccer, ni americano?
d)¿Cuán­tos alum­nos no practican ninguno de los tres deportes?
e)¿Cuán­tos alum­nos no practican futbol americano? Americano
Soccer
Básquetbol
Grupo Editorial Patria
5
Álgebra
1.2 Idea intuitiva de con­jun­tos
Ini­cia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas.
1.¿Cuál es el nom­bre de tus tres me­jo­res ami­gos? 2.¿Cuál es el nú­me­ro de alum­nos pre­sen­tes en la cla­se de ma­te­má­ticas?
3.Men­cio­na el nom­bre de cin­co alum­nos que ha­yan ob­te­ni­do una ca­li­fi­ca­ción
ma­yor que en su cur­so an­te­rior.
4.¿Cuán­tos de tus com­pa­ñe­ros es­tán dis­pues­tos a tra­ba­jar pa­ra acre­di­tar es­te
curso? Ca­da una de las pre­gun­tas an­te­rio­res se basa en la idea de agru­pa­ción o de con­jun­
to. Es un con­cep­to intuitivo, no tiene una de­fi­ni­ción for­mal, así que se acep­ta co­mo
un con­cep­to pri­mi­ti­vo de es­ta ra­ma de las ma­te­má­ti­cas. En geo­me­tría puedes ci­tar
otro ejem­plo de con­cep­to pri­mi­ti­vo, que no se de­fi­ne y es el pun­to; no obs­tan­te, es un
ele­men­to fun­da­men­tal de es­ta ra­ma.
Cita otros ejemplos de conceptos
primitivos en otras ramas
matemáticas.
Con­jun­to
Una des­crip­ción in­for­mal de la idea de agru­pa­ción o con­jun­to pue­de ser la si­guien­te:
Con­jun­to es una co­lec­ción de ob­je­tos di­fe­ren­tes don­de a los ob­je­tos que lo
con­for­man se les lla­ma ele­men­tos del con­jun­to.
Escribe y nombra dos conjuntos;
luego enumera sus elementos
utilizando el símbolo de pertenencia.
Por lo ge­ne­ral, se de­no­ta a los con­jun­tos con le­tras ma­yús­cu­las y a sus ele­men­tos
con mi­nús­cu­las, b [ B, se in­ter­pre­ta co­mo “el ele­men­to b per­te­ne­ce al con­jun­to B”;
y b  B se lee co­mo “el ele­men­to b no per­te­ne­ce al con­jun­to B”.
Un con­jun­to pue­de ser pre­sen­ta­do en for­ma ana­lí­ti­ca, lis­tan­do to­dos sus ele­men­
tos cuan­do es po­si­ble, se­pa­ra­dos ca­da uno por me­dio de una co­ma y en­ce­rrán­do­los
en­tre lla­ves { }, a es­ta for­ma se le lla­ma enu­me­ra­ción o ex­ten­sión; tam­bién pue­de
ser re­pre­sen­ta­do por me­dio de una fra­se o re­gla que des­cri­be las pro­pie­da­des que
tie­nen sus ele­men­tos, des­crip­ción por com­pren­sión; por me­dio de una for­ma grá­fi­
ca me­dian­te un di­bu­jo, dia­gra­ma de Venn-Eu­ler, una ta­bla o un dia­gra­ma de ár­bol
pa­ra re­pre­sen­tar cier­tas re­la­cio­nes en­tre dos o más con­jun­tos.
Escribe dos ejemplos de conjuntos
en cada una de las formas descritas.
En ocasiones, pa­ra lis­tar to­dos los ele­men­tos de al­gu­nos con­jun­tos se re­quie­re de
mu­cho es­pa­cio y tiem­po, o sim­ple­men­te no es po­si­ble ha­cer­lo; por ejem­plo:
“El con­jun­to A for­ma­do por los nú­me­ros en­te­ros
pa­res ma­yo­res que 20 y me­no­res que un mi­llón.”
6
¿Cuánto
s elem
entos
tiene e
l conju
nto A?
UNIDAD 1
ros
s núme
¿Cuánto ores que
s men
entero
5 hay?
Conjuntos
“El con­jun­to B for­ma­do por los en­te­ros me­no­res que 5.”
En estos ca­sos se citan al­gu­nos de los ele­men­tos del con­jun­to, ya sean los pri­me­ros
o los úl­ti­mos, se­gui­dos (o an­te­ce­di­dos) del sím­bo­lo “...”. Es­tos tres pun­tos in­di­can
que conoces la su­ce­sión de esos nú­me­ros.
Así, en estos ejem­plos, los con­jun­tos des­cri­tos por enu­me­ra­ción o ex­ten­sión pue­den
to­mar la si­guien­te for­ma:
A = {22, 24, 26, 28,…, 999 998}
B = {…, 0, 1, 2, 3, 4}
Condición más general del conjunto
Es­cri­be por ex­ten­sión los si­guien­tes con­jun­tos:
C =
Tipo de elementos del conjunto
{Nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos im­pa­res, ma­yo­res que 10}
Propiedades
específicas de los
elementos
{Nú­me­ros en­te­ros, múl­ti­plos de tres, me­no­res que –4}
Límites,
si es
que
existen
C =
D =
D =
T =
{Nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos, múl­ti­plos de 12 me­no­res que 31 401}
T =
Cuan­do se pue­de des­cri­bir un con­jun­to por com­pren­sión se si­gue un ca­mi­no en
for­ma de em­bu­do, em­pe­zan­do por la con­di­ción ge­ne­ral del con­jun­to, has­ta la pro­
pie­dad más es­pe­cí­fi­ca de los ele­men­tos del mis­mo.
Ejemplos
Límites inferior y
superior.
1. A = {x/x [ N, x es im­par, 7  x  14} … des­crip­ción por com­pren­sión
Tipo de número.
Pregunta a tu profesor el significado
de los símbolos que desconozcas en
esta expresión.
Característica
específica.
Con x se representa
cualquier elemento.
La lec­tu­ra de la ex­pre­sión an­te­rior es: “A es el con­jun­to de to­das las x, ta­les que
per­te­nez­can a los nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos, im­pa­res ma­yo­res que 7 y me­no­res
que 14.”
Grupo Editorial Patria
7
Álgebra
2. B = {12, 15, 18, 21, 24, 27}… des­crip­ción por enu­me­ra­ción o ex­ten­sión.
Ob­ser­va aten­ta­men­te los ele­men­tos del con­jun­to B y con­tes­ta las pre­gun­tas:
1.¿Qué ti­po de nú­me­ros hay en el con­jun­to B?
2.¿Cuál es la ca­rac­te­rís­ti­ca de sus ele­men­tos?
3.¿Cuá­les son sus lí­mi­tes?
Una for­ma de des­cri­bir por com­pren­sión el con­jun­to B es:
B = {x/x [ N, x es múl­ti­plo de 3, 11  x  28}
EJERCICIO 1
1.Da­dos los si­guien­tes con­jun­tos por enu­me­ra­ción, ex­pré­sa­los por com­pren­sión.
a)C = {7, 8, 9, 10,…}: • ¿Qué ti­po de nú­me­ros hay en el con­jun­to C?
• ¿Cuál es la ca­rac­te­rís­ti­ca de sus ele­men­tos? • ¿Cuá­les son sus lí­mi­tes?
b)E = {26, 28, 30, 32}
• ¿Qué ti­po de nú­me­ros hay en el con­jun­to E?
• ¿Cuál es la ca­rac­te­rís­ti­ca de sus ele­men­tos? • ¿Cuá­les son sus lí­mi­tes? c)M = {90, 99, 108, 117, 126, 135}: d)B = {…, –5, –3, –1}: {
}
1 1 1 1
e)T = 1, , , ,
3 9 27 81
2.Da­dos los si­guien­tes con­jun­tos por com­pren­sión, ex­pré­sa­los por enu­me­ración.
f )D = {x/x es un dí­gi­to del nú­me­ro 2011}
D=
g)G = {x/x [ N, x es im­par, 12 < x}
G=
h)S = {x/x [ N, x es múl­ti­plo de 5, x ≤ 13}
S=
8
UNIDAD 1
Conjuntos
i)N = {x/x [ N, x ≥ 11}
N=
j)P = {x/x [ N, x es una so­lu­ción de la ecua­ción x2 – 5x + 6 = 0}
P=
Las des­crip­cio­nes por com­pren­sión de con­jun­tos con una gran can­ti­dad de ele­men­
tos se in­di­can en for­ma ge­ne­ral, con el fin de ob­te­ner cual­quier ele­men­to del con­
jun­to da­do y su su­ce­sor.
Ejemplos
1. N = {x/x [ N, x ≥ 11}
2. N = {11, 12, 13, 14,…, n, (n + 1), …}
Recuerda que el sucesor de un
número entero es ese número
más la unidad.
3. B = {…, –5, –3, –1}
4. B = {x/x = –2n + 1, n [ ≥ N}
1.3 Car­di­na­li­dad de un con­jun­to
Cardinalidad
Es el nú­me­ro de ele­men­tos dis­tin­tos que tie­ne un con­jun­to.
Pa­ra re­pre­sen­tar la idea de car­di­na­li­dad de un con­jun­to se uti­li­za la le­tra n
(ini­cial de nú­me­ro), en­ce­rran­do en­tre pa­rén­te­sis la le­tra ma­yús­cu­la que le da
nom­bre al con­jun­to n(A) que se lee “car­di­na­li­dad del con­jun­to A”.
EJERCICIO 2
In­di­ca la car­di­na­li­dad de ca­da con­jun­to del ejercicio 1.
a) n(C) = e) n(D)= b) n(E)= f ) n(G)= c) n(M) = g) n(S) = d) n(T) = h) n(P)= Co­mo ha­brás no­ta­do, en los con­jun­tos C y G no es po­si­ble de­ter­mi­nar el nú­me­ro de
ele­men­tos que con­for­man a ca­da uno de ellos, lo que nos lle­va a nues­tro si­guien­te
te­ma.
Grupo Editorial Patria
9
Álgebra
1.4 Ti­pos de con­jun­tos
Con­jun­tos fi­ni­tos e in­fi­ni­tos
Un con­jun­to es fi­ni­to cuan­do tie­ne n ele­men­tos, sien­do n un nú­me­ro en­te­ro
po­si­ti­vo; en el ca­so con­tra­rio, al con­jun­to se le lla­ma in­fi­ni­to.
Ejemplos
1. A = {x/x es un país del con­ti­nen­te ame­ri­ca­no}
2. B = {x/x es un nú­me­ro ra­cio­nal me­nor o igual que 100}
En es­tos ejem­plos, co­mo pue­des ob­ser­var, el con­jun­to A es fi­ni­to, ya que se pue­de
con­ce­bir un nú­me­ro en­te­ro po­si­ti­vo que nos in­di­que su car­di­na­li­dad; mien­tras que
el con­jun­to B es in­fi­ni­to, ya que no puedes de­ter­mi­nar el nú­me­ro de ele­men­tos
que lo con­for­man.
Ex­pre­sa­do de otra for­ma, en un con­jun­to fi­ni­to el pro­ce­so de nu­me­rar sus ele­men­
tos siem­pre tie­ne un fin, es de­cir, es nu­me­ra­ble y siem­pre tie­ne un úl­ti­mo ele­men­to;
mien­tras que en un con­jun­to in­fi­ni­to el pro­ce­so de nu­me­rar sus ele­men­tos nun­ca se
de­tie­ne, o en otros ca­sos no es po­si­ble rea­li­zar es­te pro­ce­so, por lo que a es­tos con­jun­
tos se les nom­bra co­mo con­jun­to in­fi­ni­to nu­me­ra­ble o in­fi­ni­to no nu­me­ra­ble.
Ejemplos
1. B = {3, 6, 9, 12,…, 3n, 3(n + 1),…}
2. C = {Las rec­tas que pa­san por un pun­to da­do}
Tan­to el con­jun­to B co­mo el C son in­fi­ni­tos, la di­fe­ren­cia en­tre ellos es que los ele­
men­tos del con­jun­to B se pue­den ir nu­me­ran­do, aun­que es­te pro­ce­so nun­ca ter­mi­
ne, y los ele­men­tos del con­jun­to C no puedes nu­me­rarlos.
D = {x/x es un ser hu­ma­no}
E = {1, 3, 5,…, 2n + 1, 2(n + 1) + 1,…}
Con­jun­tos igua­les
Dos con­jun­tos A y B son igua­les si ca­da ele­men­to de A es un
ele­men­to de B y vi­ce­ver­sa Es­ta igual­dad se expresa:
A=B
10