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ÁLGEBRA
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Esenciales de... Álgebra
D.R.© 2008 Lápiz Tinta Editores, S.A. de C.V.
Cda. de Seminario No. 53 México 01780, D.F.
Teoría y problemas de: Prof. Alma Nora Arana Hernández.
D.R.© de esta edición, Editorial Santillana, S.A. de C.V.
Av. Universidad #767, 03100, México, D.F.
ISBN: 978-970-29-2150-9
Primera edición: Marzo de 2008.
Dirección Editorial: Clemente Merodio López.
Editora en Jefe de Bachillerato: Laura Milena Valencia Escobar.
Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar.
Coordinación de Arte y Diseño: Francisco Ibarra Meza.
Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco y Benito Sayago Luna.
La presentación y disposición en conjunto y de cada página del libro Esenciales de... Álgebra, son propiedad del editor.
Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico,
incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. Núm.802
Impreso en México.
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Capítulos
Unidad
1
CONJUNTOS
1
Unidad
2
SISTEMAS NUMÉRICOS
9
Unidad
3
EL CONJUNTO DE
LOS NÚMEROS REALES
25
4
OPERACIONES CON MONOMIOS
Y POLINOMIOS
101
Unidad
5
PRODUCTOS NOTABLES
Y FACTORIZACIÓN
129
Unidad
6
OPERACIONES CON FRACCIONES
ALGEBRAICAS Y RADICALES
157
Unidad
7
ECUACIONES Y DESIGUALDADES
167
Unidad
8
SISTEMAS DE ECUACIONES
195
Unidad
iii
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Álgebra
1. CONJUNTOS
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
Idea intuitiva
Notación
Extensión
Comprensión
Pertenencia
Conjuntos universal y vacio
Diagramas de Venn
Igualdad de conjuntos
Operaciones con conjuntos
1.9.1.
Unión
1.9.2.
Intersección
1.9.3.
Diferencia
1.9.4.
Complemento
Cardinalidad de un conjunto
Conjunto potencia
Producto cartesiano
Igualdad de conjuntos
Subconjuntos
Propiedades de las operaciones de conjuntos
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5
5
6
8
8
8
2. SISTEMAS NUMÉRICOS
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
El concepto de base
Sistemas de numeración aditivos
Numeración decimal
Cualquier otra base
2.4.1.
Pasar de decimal a otra base
2.4.2.
Pasar de base 7 a decimal
Bases mayores que 10
2.5.1.
Base 11
Sistema binario
2.6.1.
Pasar de decimal a binario
2.6.2.
Pasar de binario a decimal
Operaciones en el sistema binario
2.7.1.
Adición
2.7.2.
Resta o diferencia
2.7.3.
Multiplicación
2.7.4.
División
9
10
10
11
11
12
17
17
19
19
19
19
19
21
22
23
3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
3.1.
El conjunto de los números naturales
3.1.1.
Un poco de historia
3.1.2.
Operación binaria
3.1.3.
Los naturales
3.1.3.1.
Propiedades de orden
25
25
25
26
26
iv
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Contenido
3.2.
3.3.
3.1.3.2.
Propiedades binarias
3.1.3.2.1. Conmutativa
3.1.3.2.2. Asociativa
3.1.3.2.3. Distributiva
3.1.3.2.4. Divisibilidad
3.1.3.3.
Factor o divisor
3.1.3.4.
Múltiplo
3.1.3.5.
Números pares e impares
3.1.3.6.
Divisibilidad
3.1.3.7.
Exponentes
3.1.3.8.
Número primo
3.1.3.9.
Número compuesto
3.1.3.10. Factorización prima
3.1.3.11. Máximo común divisor
3.1.3.11.2. Forma rápida de calcular el máximo común divisor (m.c.d.)
3.1.3.11.3. Algoritmo de Euclides (m.c.d.)
3.1.3.12. Mínimo común múltiplo
3.1.3.13. Forma rápida de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.d.)
3.1.3.14. Orden de las operaciones
3.1.3.15 . Ejemplo de problemas que no tienen solución en N
El conjunto de los números enteros
3.2.1.
Subconjuntos de Z
3.2.2.
Orden en los enteros en la recta numérica
3.2.3.
El opuesto de un número
3.2.4.
Valor absoluto de un número
3.2.5.
Suma de enteros
3.2.6.
Resta de enteros
3.2.7.
Multiplicación de enteros
3.2.8.
División de enteros
3.2.9.
Prioridad de operaciones
3.2.10.
Propiedades binarias de los enteros
El conjunto de los números racionales
3.3.1.
Fracciones propias, impropias y homogéneas
3.3.2.
Igualdad de fracciones
3.3.3.
Fracciones equivalentes
3.3.4.
Simplificación de fracciones
3.3.5.
Ordenación (de menor a mayor o de mayor a menor)
3.3.6.
Representación gráfica de los números racionales
3.3.7.
Operaciones
3.3.7.1.
Suma y resta
3.3.7.1.1. Conmutatividad
3.3.7.1.2. Propiedad asociativa
3.3.7.1.3. Neutro aditivo
3.3.7.1.4. Opuesto aditivo
3.3.7.2.
Multiplicación
3.3.7.2.1. Conmutatividad
3.3.7.2.2. Propiedad asociativa
3.3.7.2.3. Neutro multiplicativo
27
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28
28
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29
29
29
29
30
30
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55
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Álgebra
3.4.
3.5.
3.6.
3.3.7.2.4. Inverso multiplicativo
3.3.7.3.
División
3.3.7.4.
Q es un conjunto denso
3.3.7.5.
Fracciones y decimales.
3.3.7.5.1. Expresión decimal de los racionales
3.3.7.5.2. Expresión fraccionaria de los números decimales periódicos
3.3.7.6.
Propiedades de los números racionales
3.3.7.7.
Proporciones
3.3.7.7.1. Propiedad fundamental de las proporciones
3.3.7.7.2. Regla de tres
3.3.7.8.
Proporcionalidad directa
3.3.7.9.
Proporcionalidad inversa
El conjunto de los números irracionales
3.4.1.
Los números irracionales
3.4.2.
El numero áureo, el primer numero irracional
3.4.2.1.
Construcción del número de oro
3.4.3.
Raíz de 2
3.4.4.
Los números reales
3.4.5.
Números algebraicos y no algebraicos
3.4.6.
Algo sobre el número pi
Números reales
3.5.1.
Propiedades de los números reales
3.5.2.
Mas allá de los números reales
3.5.3.
Números complejos
3.5.4.
Valor absoluto de un número real
3.5.5.
Intervalos
3.5.5.1.
Intervalos abiertos y cerrados
3.5.5.2.
Intervalos semiabiertos o semicerrados
3.5.5.3.
Operaciones con intervalos
3.5.6.
Exponentes
3.5.6.2.
Potencia entera positiva
3.5.6.1.
Potencia entera negativa
3.5.7.
Leyes de los exponentes
3.5.8.
Potencia fraccionaria
3.5.8.1.
Raíz cuadrada
3.5.8.2.
Raíz cúbica
3.5.8.3.
Raíz de cualquier índice n
3.5.8.4.
Potencias de exponente fraccionario
3.5.8.5.
Multiplicación o división de radicales
3.5.8.6.
Suma y simplificación de radicales
3.5.8.7.
Notación científica
Logaritmos
3.6.1.
Base 10
3.6.2.
Característica y mantisa
3.6.4.
Propiedades
3.6.5.
Cambio de base
3.6.6.
Ecuaciones
3.6.7.
Logaritmo neperiano o natural, base e
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97
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Contenido
4. OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS
4.1.
4.2.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
Operaciones con monomios y polinomios en una variable
4.1.1.
Expresión algebraica, literales, coeficientes y términos
4.1.1.1.
Del lenguaje común, al lenguaje algebraico
4.1.2.
Monomios
4.1.3.
Binomios, trinomios, polinomios
4.1.4.
Grado de un polinomio
Polinomios con diferentes variables
4.2.1.
Operaciones de polinomios
4.2.1.1.
Adición y sustracción de polinomios
4.2.2.
Términos semejantes
4.2.3.
Sumas verticales
4.2.4.
Diferencia vertical
4.2.5.
Resta o diferencia horizontal
Multiplicación de monomios y polinomios
4.6.1.
Definición y notación
Multiplicación de monomios
Multiplicación de un polinomio por un monomio
Signos de agrupación
Multiplicación de polinomios
Multiplicacion vertical
División de monomios y polinomios
4.12.1.
Monomio entre monomio
Polinomio entre monomio
Polinomio entre polinomio
101
101
101
102
102
102
103
104
104
104
105
107
108
109
109
111
114
116
117
117
119
119
123
124
5. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
Cuadrado de un binomio
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto (TCP)
Completar un trinomio cuadrado perfecto
Cubo de un binomio
Factorización de un cubo perfecto
Producto de dos binomios con un término común
Factorización de un trinomio de segundo grado de la forma x2 + px + q
Producto de dos binomios conjugados
Descomposición en factores de una diferencia de cuadrados
Factorización por agrupación de términos
Descomposición en factores de la suma o diferencia de dos potencias iguales
Fórmula del Binomio de Newton
Triángulo de Pascal
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141
143
144
145
147
149
152
6. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES
6.1.
6.2.
6.3.
Fracciones algebraicas
Simplificación de fracciones
Racionalización
157
157
158
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Álgebra
6.4.
6.5.
6.6.
Adición y sustracción de fracciones
Multiplicación de fracciones
División de fracciones
160
163
164
7. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11
Ecuaciones
Ecuaciones de primer grado en una variable
Ecuaciones con variables en ambos miembros
Ecuaciones con signos de agrupación
Ecuaciones fraccionarias
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas en una variable
Factorización
Completando trinomios cuadrados perfectos
Por fórmula general
Desigualdades
7.10.1
Desigualdades de primer grado en una variable
Desigualdades de segundo grado
167
171
174
175
176
177
178
181
183
186
186
190
8. SISTEMAS DE ECUACIONES
8.1.
8.2.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
8.1.1.
Eliminación por adición o sustracción
8.1.2.
Por sustitución
8.1.3
Por igualación
8.1.4.
Método gráfico
8.1.5.
Por determinantes
8.1.5.1.
Determinante
8.1.5.2.
Regla de Cramer
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables
8.2.1.
Solución por método algebraico
8.2.2.
Por determinantes
8.2.2.1.
Determinantes de 3 × 3
8.2.2.2. Regla de Cramer
RESPUESTAS
195
195
197
199
201
203
203
204
207
207
210
210
212
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Capítulo 1
1
Conjuntos
1.1. Idea intuitiva
De manera intuitiva, un conjunto es cualquier colección de objetos. Esta colección debe estar
bien definida, es decir, se tiene que establecer con claridad qué tipo de objetos van a estar en
el conjunto.
1.2. Notación
Los conjuntos se representan con letras mayúsculas A, B, X, Y, ... y los objetos que forman el
conjunto se llaman elementos y se denotan con letras minúsculas a, b, x, y,...
1.3. Extensión
Hay dos maneras de especificar un conjunto. Una de ellas es enumerar sus elementos:
A = { a, b, c, d }
Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión.
1.4. Comprensión
La segunda manera de especificar un conjunto es enunciar aquellas propiedades que
caracterizan los elementos del conjunto por comprensión:
A = {x⏐x es una de las 4 primeras letras del alfabeto}
1.5. Pertenencia
La pertenencia se representa de la siguiente manera:
a ∈ A, b ∈ A, c ∈ A, d ∈ A
La no pertenencia se representa de la siguiente manera:
f∉A
1. CONJUNTOS
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Álgebra
1.6. Conjuntos universal y vacío
El conjunto universal que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el
contiene todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros,
entonces U es el conjunto de los números enteros, pero si hablamos de ciudades, U es el
conjunto de todas las ciudades. Este conjunto universal puede mencionarse explícitamente y
en las mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando aunque
siempre es necesario mostrar previamente la existencia de dicho conjunto.
Existe además un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto
vacío y que se denota por ∅, es decir:
∅={ }
1.7. Diagramas de Venn
Los conjuntos comúnmente se representan gráficamente con un círculo que contiene a los
elementos del conjunto, dentro del marco de un rectángulo que a su vez representa al universo
U. Tal representación es llamada Diagrama de Venn.
Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, la teoría de los conjuntos nos dice que A es
subconjunto de B o A está incluido en B (A ⊆ B), si y sólo si todo elemento de A es también
un elemento de B; es decir, cuando se verifique que x d A & x d B
B
A
Por ejemplo, si A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} entonces A es subconjunto de B,
es decir, A ⊂ B porque se verifica que para todo x ∈ A ⇒ x ∈ B:
2 ∈ A ⇒ 2 ∈ B, 4 ∈ A ⇒ 4 ∈ B y 6 ∈ A ⇒ 6 ∈ B
1.8. Igualdad de conjuntos
A es igual a B (A = B) si y sólo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A
A⊆ByB⊆A
Lo cual equivale a decir que dos conjuntos son iguales si están formados por los
mismos elementos.
2
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Capítulo 1
Si A = {x ⏐ x es un número par menor que 7} y B = {2, 4, 6} entonces A = B porque
todo elemento de A es elemento de B, es decir, A ⊆ B y todo elemento de B es un número par
menor que 7, entonces B ⊆ A. Por lo que:
A=B
Cabe señalar que no se excluye la posibilidad de que si A ⊆ B, se cumpla A = B.
Si sucede que todo elemento de A es elemento de B, pero B tiene al menos un elemento
que no pertenezca al conjunto A, entonces decimos que A es un subconjunto propio de B.
Esto se representa como:
A⊂B
∅ ⊆ A porque no hay nada en ∅ que no esté en A.
1.9. Operaciones con conjuntos
1.9.1. Unión
La unión de dos conjuntos A y B se define así:
A ∪ B= {x⏐x ∈ A o x ∈ B}
A U B
Sean A y B los siguientes conjuntos:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
1.9.2. Intersección
La intersección de dos conjuntos A y B se define como:
A ∩ B= # x ; x d A y x d B 1. CONJUNTOS
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Álgebra
A
U
B
La intersección de dos conjuntos la forman los elementos que tienen éstos en común.
Sean A y B los mismos conjuntos del ejemplo anterior, entonces tenemos que:
A ∩ B= {2, 4, 6}
1.9.3. Diferencia
La diferencia entre dos conjuntos se define como:
A - B = # x ; x d A y x z B-
A
B
B-A
Utilizando los conjuntos anteriores A y B, quitamos al conjunto A todo elemento de B y
al conjunto B los elementos de A. Así tenemos que:
A – B = {8, 10}
B – A = {1, 3, 5}
1.9.4. Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún
conjunto U pero que no pertenecen a A. Esto lo representaremos por AC, es decir:
AC = U A
4
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Capítulo 1
Ac
A
Utilizando los conjuntos de los ejemplos anteriores y especificando U:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tenemos que el complemento del conjunto A, que son números pares, son los números
impares que se encuentran en el conjunto universal.
AC = {1, 3, 5, 7, 9}
Para el conjunto B, tenemos que el complemento es:
BC = {7, 8 , 9, 10}
Por lo tanto: (A ∩ B) C = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}
El conjunto complemento siempre se define respecto al conjunto universal que estamos
tratando.
1.10. Cardinalidad de un conjunto
Escribimos número A para denotar el número de elementos de A. Al número de elementos
de un conjunto se le denomina, cardinalidad del conjunto.
1.11. Conjunto potencia
El conjunto potencia de un conjunto A, que se denota por P(A) es el conjunto de todos los
subconjuntos de A. Así, si A es cualquier conjunto, se tiene en particular que:
A ∈ P (A) y ∅ ∈ P (A)
Si la cardinalidad de A es n, entonces el número de elementos de P(A) es 2n donde n
denota un número natural. Se puede demostrar que si A tiene n elementos, entonces P(A)
tiene 2n elementos (y como n < 2n para cualquier número natural n, P(A) siempre tiene más
elementos que A).
1. CONJUNTOS
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5
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Álgebra
Por ejemplo, para el conjunto A = {a,b}
P(A) = {A, ∅, {a} {b}},
P(A) tiene 22 = 4 elementos.
Si ahora A = {a, b, c}, P(A) tendrá 23 = 8 elementos, es decir que le agregaremos {c} y
las combinaciones de 3 elementos tomados de dos en dos, son:
{a, b}, {a, c} y {b, c}, nótese que {b, a } = {a, b}
P(A) = {A, ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}.
1.12. Producto cartesiano
Para cualesquiera dos conjuntos A y B el producto cartesiano denotado por A × B, es el
conjunto de todos los pares ordenados (a,b), tales que el primer elemento de cada par es un
elemento de A, y el segundo elemento es de B:
A # B = " ^ a, b h /a d A, b d B ,
A × B no es igual a B × A por ejemplo,
si A = {a, b, c}
B = {1, 2}
A × B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}
B × A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
1.12.1.
Escribir las afirmaciones siguientes en notación de conjuntos:
1.
x no pertenece a A.
2.
d es elemento de E.
3.
F no es subconjunto de G.
4.
H no incluye a D.
1.12.2. Sean
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
Encontrar:
1. A ∪ B =
2. A ∩ B =
3. (A ∩ B) C =
4. (A ∪ B) C =
6
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Capítulo 1
1.12.3. Sean
U = {enteros positivos}
A = {2, 4, 8, 16}
B = {6, 8, 10, 12, 14, 16}
Encontrar:
1. A ∪ B
2. A ∩ B
3. (A ∩ B) C
4. ¿A ⊂ B?
1.12.4. Sean
U = {10, 20, 30, 40, 50, 60}
A = {10}
B = {10, 40, 60}
Encontrar:
1. A ∪ B
2. A ∩ B
3. (A ∩ B) C
4. (A ∪ B) C
5. ¿(A ⊂ B)?
1.12.5. Sean
V = {d},
W = {c, d},
X = {a, b, c},
Y = {a, b} y
Z = {a, b, d}.
Establecer la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Y ⊂ X
Y V
2. W 2
3. W ≠ Z
4. Z ⊃ V
5. V ⊄ Y
Y X
6. Z 2
7. V ⊂ X
8. Y ⊄ Z
9. X = W
10. W ⊂ Y
1. CONJUNTOS
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Álgebra
1.13. Igualdad de conjuntos
1.13.1.
¿Cuáles de estos conjuntos son iguales: {r, t, s, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}?
1.14. Subconjuntos
1.14.1.
Dado A = {x, y, z}, ¿cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son?
1.15. Propiedades de las operaciones de conjuntos
1.15.1.
Determina si las siguientes ecuaciones son ciertas o falsas
1. A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ C
2. A ∩ (B ∪ C)
3. A ∩ (B ∪ C)
4. (A ∩ B) ∪ C
1.15.2.
Comprueba con diagramas de Venn la siguiente propiedad distributiva de la
intersección sobre la unión:
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
1.15.3.
Comprueba con diagramas de Venn la siguiente propiedad distributiva de la unión
sobre la intersección:
A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
1.15.4.
Comprueba con diagramas de Venn la siguiente ley llamada de D´Morgan de
complementos sobre la Intersección:
(A ∩ B)C= AC ∪ BC
1.15.5.
Comprueba con diagramas de Venn la siguiente ley llamada de D´Morgan de
complementos sobre la Unión.
(A ∪ B)C= AC ∩ BC
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ÁLGEBRA
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