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ARITMÉTICA
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IDEPUNP/ REGULAR/ENERO-MARZO 2017
SEMANA Nº 03
TEMA: CUATRO OPERACIONES
COORDINADOR: INGº JOSE FRANCISCO ALVARADO JUAREZ
Científico, que fácil que es sumar, restar, multiplicar y
dividir. ¿Verdad?, el presente capítulo es justo eso, para que
desarrolle un problema de cuatro operaciones solo debe
saber sumar, restar multiplicar y dividir bien.
Además de las cuatro operaciones básicas, también
abordaremos un punto muy importante considerado en los
problemas de examen de admisión denominado
“Complemento aritmético de un número”.
1.
ADICIÓN
Es una operación aritmética que tiene por objeto reunir
varias cantidades en una sola. Sus términos son:
Sumandos y suma total.
Es decir:
a1
2.

a2 
n sumandos
an
 S
Suma
Es una operación inversa a la suma, que tiene por
objeto, dadas dos cantidades Minuendo y Sustraendo,
hallar otra denominada Diferencia, que determina la
cantidad de unidades que el Minuendo excede al
Sustraendo.
M S  D
Donde: M: Minuendo, S: Sustraendo, D: Diferencia
3.
El siguiente esquema pertenece a una división
normal (residuo por defecto)
MULTIPLICACIÓN
Es una suma, donde todos los sumandos son iguales,
tal como la siguiente:
PM M M 
rd
q
Del esquema se tiene que:
rd : Residuo por defecto
58
(4)
6
D
d
re
q+1
En este caso :
M: Multiplicando, m: Multiplicador, P: Producto
Es la operación aritmética inversa a la multiplicación,
que tiene por objeto: Dados dos números Dividendo y
Divisor: hallar un tercero llamado Cociente, tal que al
multiplicar este Cociente por el Divisor reproduzca el
Dividendo.
Así pues
Donde:
d
58
D: Dividendo
q: Cociente
d: Divisor
r: Residuo
Ejemplo: Dividir 40 entre 8 y comprobar que es
exacta.
Solución
40
0
5
8
(5)
Entonces
 40  8  5  0  40
División Inexacta (r  0). Existen dos tipos de
división inexacta, la que normalmente estudiamos
en las clases del colegio (residuo por defecto) y una
9
6+1=7
58  (6  1)  9  5
Luego:
Cociente por exceso = 7
Residuo por exceso = 5
q
D  d  q  0 , es decir D  d  q
D  (q  1)d  re
Donde: q + 1: Cociente por exceso y
re: Residuo por exceso
Ejemplo.
Del ejemplo anterior encontrar el cociente y el
residuo por exceso.
4.1 Clases de División. Se distinguen los siguientes
casos.
División exacta. Es aquella en la que el resto o
residuo (r) es cero
9
Así pues: Cociente por defecto = 6 y
Residuo por defecto = 4

Cuando se quiera trabajar con un resto por
exceso lo que se debe hacer es simplemente
aumentar una unidad al cociente y en este
caso en vez de sumar el residuo se le debe
restar. Esto es:
M
DIVISIÓN

Solución
58
9
Esto se puede resumir como: P  M .m
A esta operación se le llama multiplicación. Donde:
D
0
D  q  d  rd
Donde D: Dividendo, q: cociente por defecto y
" m " veces
4.
d
D
Ejemplo: Encontrar el cociente y el residuo por
defecto en la siguiente división.
SUSTRACCIÓN
Es decir:
nueva que introduciremos en la presente sección
aquella en donde hay un residuo por defecto.
4.2. Propiedades de la división.
En Toda división entera se cumple que:
i)
rd  re  d
De los dos ejemplos anteriores tenemos que
el residuo por defecto “ rd ” y por exceso “ re ”
son 4 y 5 respectivamente.
Luego: 4 + 5 = 9 (divisor)
ii)
iii)
0  r  d , que puede ser el residuo por
defecto “ rd ” o el residuo por exceso “ re ”
el máximo valor que puede tomar el residuo
es una unidad menos que el divisor, es decir
rmax  d  1
5.
ARITMÉTICA
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IDEPUNP/ REGULAR/ ENERO-MARZO 2017
COMPLEMENTO ARITMÉTICO
El complemento aritmético (CA) de un número, es lo
que le falta a dicho número para ser igual a la unidad
de orden inmediato superior a su cifra de mayor orden.
Matemáticamente se puede formalizar de la siguiente
forma
Sea N, un número de “n” cifras
C. A( N )  10n  N
tercera “29”, sin embargo en las tres operaciones el último
digito es “9”. Entonces cuando se tenga problemas que
involucren sumas se debe tener mucho cuidado al sumar los
dígitos de la primera columna puesto que puede ser “9”, “19”,
“29” o talvez “39”, en caso de que usted coloque mal el
resultado entonces no se preocupe porque a medida que
avance en el desarrollo del ejercicio, habrá un mensaje de error
como por ejemplo en el siguiente problema.
Ejemplo. Hallar “ x ”, si:
Así pues:
abc  b0a  ac  cb  1x17
Para solucionarlo dispongamos normalmente los números
en forma vertical. Esto es:
abc 
C. A(7)  101  7  10  7  3
C. A(15)  102  15  100  15  85
b0a
C. A(589)  103  589  1000  589  411
ac
C. A(4891)  104  4891  10000  4891  5109
cb
Aunque parezca algo irrisorio pero dispongamos las
diferencias y usted se dará cuenta de algo muy práctico
para encontrar el complemento de un número
10 7
3
100 15
85
1000 589
411
10000 4891
5109
1 x17
En este caso hay “tres” posibilidades en la suma de los
dígitos de la primera columna “7”, “17” o “27”, pero
pensemos un poquito, como son cuatro sumandos entonces
al sumar puede que sea “17”. Veamos:
Primera columna.
Como usted podrá apreciar en cada una de las
operaciones a la última cifra la restamos de “10” y a
todas las demás de “9” y en forma general a la última
cifra se le resta de la “base” y a todas las restantes de
una unidad menos que la base.
c  a  c  b  17 , escritos el “7” y llevo “1”
Segunda columna.
b  0  a  c 1  11, recuerde que llevaba “1” y como en
la segunda columna hay “1” como resultado entonces
escribimos “11” y decimos escribimos el “1” y llevamos “1”
Ejemplo. Hallar el complemento aritmético de 5848.
Tercera columna.
Solución
a  b  1  1x , recuerde que llevábamos “1”
Por esta regla práctica, empezando por la cifra de las
unidades. Tenemos:
9 – 5 = 4, 9 – 8 = 1, 9 – 4 = 5, 10 – 8 = 2
 C A (5848) = 4152
De las dos primeras relaciones se tiene:
Ejemplo.
Reemplazando
Hallar
el
complemento
aritmético
de
5848(9)
a  b  2c
 17
a  b  c  1  11
Y restando miembro a miembro se tendrá que
c  7y
a b  3
a  b  7 en la última relación se tiene que:
a  b  1  1x
En este caso la base es 8 entonces se tendrá
3  1  1x
8 – 5 = 3, 8 – 8 = 0, 8 – 4 = 4, 9 – 8 = 1
Así pues C. A 5848(9)   3041(8)


Entonces no se olvide, a la última cifra de la base y
todas las demás de una unidad menos que la base.
¿Y que pasaría si se trabaja con letras?; no se
alarme el truquito es fácil, veamos
C. A(ab)  100  ab  (9  a)(10  b)
C. A(abc)  1000  abc  (9  a)(9  b)(10  c)
C. A(abcd )  10000  abcd  (9  a)(9  b)(9  c)(10  d )
¿Y en una base diferente de 10?, muy fácil
C. A  ab ( n )   (n  1  a )(n  b) ( n )
C. A  abc ( n )   (n  1  a )( n  1  b)( n  c) ( n )
C. A  abcd ( n )   ( n  1  a )( n  1  b)( n  1  c )( n  d )
6. TRUQUITOS IDEPUNP
Para que se entienda lo que pretendemos explicar
analicemos algunas sumitas.
22+
17
39
1487+
48
44
1579
455+
258
346
23
97
1179
En la primera operación al sumar las cifras de la primera
columna se obtiene “9”, en la segunda suma “19” y en la
4  1x
Lo cual es algo absurdo, pues no puede ser que un número
de dos cifras sea igual a uno de una cifra.
Esto significa que no debemos igualarle a “17”, intentemos
con 27.
Primera columna.
c  a  c  b  27 , escritos el “7” y llevo “2”
Segunda columna.
b  0  a  c  2  21 , recuerde que llevaba “2” y como
en la segunda columna hay “1” como resultado entonces
escribimos “21” y decimos escribimos el “1” y llevamos “2”
Tercera columna.
a  b  2  1x , recuerde que llevábamos “2”. De las dos
a  b  2c
 27
primeras relaciones se tiene:
a  b  c  2  21
Y restando miembro a miembro se tendrá que c  8 y
a  b  11. Reemplazando a  b  11en la última
relación se tiene que:
a  b  2  1x
11  2  1x
13  1x
Con lo cual al comparar digito con digito
x3