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Encuentro de Topología
Simposio de Topología Carlos Javier Ruiz
Salguero
Topos geométricos a partir de espacios A−compactos
José Reinaldo Montañez Puentes
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departmento de Matemáticas
Bogotá, Enero 25 de 2012
Reinaldo Montañez
Topos geométricos a partir de espacios A−compactos
Encuentro de Topología
Sea M un monoide topológico. Olvidando la topología sobre M
pero reteniendo su estructura algebraica se determina un topos
de m−conjuntos que notamos EM .
Definición
Un topos geométrico es un topos equivalente a uno de la forma
EM .
Reinaldo Montañez
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Encuentro de Topología
Haciendo uso de topologías finales se determina el funtor
T : EM −→ Top
definido por T (X ) = X y T (f ) = f
Nota
En particular, si M es un monoide topológico conmutativo las
acciones quedan continuas con respecto a la topología del
producto tensorial.
Reinaldo Montañez
Topos geométricos a partir de espacios A−compactos
Encuentro de Topología
Topos geométricos a partir de espacios A-Compactos
Definición
Un espacio topológico W se dice A-Compacto si sus
subespacios abiertos son compactos.
Proposición
Sea W un espacio A-Compacto. Si [W , W ]Top tiene la topología
compacta abierta α, entonces ([W , W ]Top , ◦, α) es un monoide
topológico.
Corolario
Sea W un espacio A-Compacto. Entonces, EW (Top) es un
topos-topológico y un topos geométrico.
Reinaldo Montañez
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Encuentro de Topología
Topos geométricos a partir de espacios A-Compactos
Definición
Un espacio topológico W se dice A-Compacto si sus
subespacios abiertos son compactos.
Proposición
Sea W un espacio A-Compacto. Si [W , W ]Top tiene la topología
compacta abierta α, entonces ([W , W ]Top , ◦, α) es un monoide
topológico.
Corolario
Sea W un espacio A-Compacto. Entonces, EW (Top) es un
topos-topológico y un topos geométrico.
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Encuentro de Topología
Topos geométricos a partir de espacios A-Compactos
Definición
Un espacio topológico W se dice A-Compacto si sus
subespacios abiertos son compactos.
Proposición
Sea W un espacio A-Compacto. Si [W , W ]Top tiene la topología
compacta abierta α, entonces ([W , W ]Top , ◦, α) es un monoide
topológico.
Corolario
Sea W un espacio A-Compacto. Entonces, EW (Top) es un
topos-topológico y un topos geométrico.
Reinaldo Montañez
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Encuentro de Topología
Ejemplo
Ejemplo
Sea W un espacio topológico, con la topología de los complementarios finitos. Entonces W es A-Compacto. Por lo tanto
si [W , W ]Top tiene la topología compacta abierta α, entonces
([W , W ]Top , ◦, α) es un monoide topológico.
Reinaldo Montañez
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Encuentro de Topología
Topos geométricos asociados a espacios métricos
compactos
Sea (W , d) un espacio métrico compacto.
consideremos la métrica definida por
En [W , W ]Top
D(f , g) := sup{d(f (x), g(x)) | x ∈ W }
No necesariamente el monoide de endomorfismos de W resulta
topológico con respecto a la topología inducida por D. Sin embargo una restricción sobre dichos endomorfismos produce el
resultado deseado.
Recordemos que una función f : W → W es una contracción
si existe un número real α con 0 ≤ α ≤ 1 tal que para todos
x, y ∈ W se tiene que
d(f (x), f (y )) ≤ α(d(x, y ))
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Topos geométricos asociados a espacios métricos
compactos
Puesto que la función identidad es una contracción y la compuesta de contracciones es una contracción, se determina el
monoide de los endomorfismos de W que son contracciones, el
que notamos [W , W ]c .
Proposición
Sea W un espacio métrico compacto, [W , W ]c es un monoide
topológico con respecto a la topología inducida por la métrica
D.
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Topos geométricos asociados a espacios métricos
compactos
Puesto que la función identidad es una contracción y la compuesta de contracciones es una contracción, se determina el
monoide de los endomorfismos de W que son contracciones, el
que notamos [W , W ]c .
Proposición
Sea W un espacio métrico compacto, [W , W ]c es un monoide
topológico con respecto a la topología inducida por la métrica
D.
Reinaldo Montañez
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Encuentro de Topología
Observación
Notemos con EW (Top)c el topos geométrico determinado por el
monoide [W , W ]c .
De nuevo, se determina un funtor de la categoría Top en
EW (Top)c . Un espacio topológico X se interpreta en el topos
EW (Top)c como el m-conjunto [W , X ]Top con la acción dada por
composición y una función continua en Top da lugar, por
composición, a una m-aplicación en EW (Top)c . Puesto que
[W , W ]c contiene a las funciones constantes, también, en este
caso EW (Top)c contiene como subcategoría reflexiva a la
categoría EW (Top).
Reinaldo Montañez
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Encuentro de Topología
Bibliografía
J. Adámeck, H. Herrlich, G. Strecker.
Abstract and Concrete Categories.
John Wiley and Sons Inc, New York, 1990.
J. Montañez, C. Ruiz.
Elevadores y Coelevadores de estructura.
Boletin de Matemáticas, Nueva serie. 2004.
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