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Espacios compactos. La compacidad Heine-Borel-Lebesgue y el teorema de Tijonov
Carlos S. CHINEA
ESPACIOS COMPACTOS
LA COMPACIDAD HEINE-BOREL-LEBESGUE Y EL
TEOREMA DE TIJONOV
0. INTRODUCCIÓN
El teorema de Tijonov fue probado por vez
primera en 1935 por el matemático ruso
Andréi Nikoláyevich Tijonov (1906-1993),
y dos años más tarde por Eduard Cech
(1893-1960). Se trata de uno de los
resultados clave de la topología general y
establece la compacidad del producto de
espacios compactos con respecto a la
topologia
producto,
una
topología
generada por la base construida con el
producto cartesiano de los abiertos de
cada uno los espacios.
Es uno de los teoremas de la matemática
que han resultado ser equivalentes al
Axioma de Elección. Aunque Tijonov hizo
la primera demostración mediante la idea
de punto de acumulación, hoy se puede
probar el teorema desde diferentes concepciones de la compacidad. La prueba
que damos aquí es la clásica desde el
concepto de compacidad como la posibilidad de extracción de un recubrimiento
finito desde cualquier recubrimiento del
Andréi Nikoláyevich Tijonov
(Imagen de Wikipedia)
espacio, que denominamos compacidad
de Heine-Borel-Lebesgue, apareciendo el
teorema como una simple consecuencia
del Lema de Alexander para recubrimientos del espacio por elementos de una
subbase.
Como veremos, la prueba del Lema de Alexander exige la utilización del Lema de
Zorn, uno de los resultados equivalentes al Axioma de Elección, por lo que
podemos considerar al Lema de Alexander, y por consiguiente, al Teorema de
Tijonov, como una consecuencia del Axioma de Elección. En el año 1950, John L.
Kelley (1916-1999) probó que el Teorema de Tijonov implica al Axioma de Elección,
por lo que desde entonces podemos considerar establecida la equivalencia entre
estos dos grandes resultados de la matemática.
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Espacios compactos. La compacidad Heine-Borel-Lebesgue y el teorema de Tijonov
Carlos S. CHINEA
01. GENERALIDADES
01.1 Espacio topológico y topología engendrada
Un conjunto E se dice que es un espacio topológico si existe una familia T de partes
de E tal que verifica las tres condiciones siguientes:
1) El conjunto E y el conjunto vacío Φ son elementos de T:
E, Φ ∈ T
2) La intersección de un número finito de elementos de T es también un
elemento de T:
n
∀E1 ,..., E n ∈ E , I E k ∈ T
k =1
3) La unión de un número cualquiera de elementos de T es también
elemento de T:
La familia T se dice, entonces, que es una topología en el espacio E.
Si el conjunto E es espacio topológico con respecto a la topología T, los elementos
de T se dicen abiertos de E con respecto a la topología T. Sus complementarios en
E se denominan cerrados con respecto a dicha topología.
Representamos el espacio topológico E con respecto a la topología T por (E,T).
Un conjunto puede, en general, tener definidas diferentes topologías. En particular,
siempre admite la topología trivial o indiscreta (el mismo conjunto y el vacío), o la
topología discreta (conjunto de las partes).
Topología trivial: Los abiertos son el mismo conjunto E, sustrato de la topología, y
el conjunto vacío Φ (Topología trivial:
T = {Φ, E}).
Topología discreta: Los abiertos son las partes del conjunto E: (T=P(E)).
Si consideramos el conjunto cuyos elementos son todas las topologías admisibles
por un conjunto E: Φ E = {T1 ,..., Tn } podemos definir en él un orden parcial mediante
el concepto de “topología más fina” como una inclusión conjuntista:
Ti mas fina que T j ⇔ T j ⊆ Ti
En esta relación de orden existe un elemento mínimo, la topología trivial, y un
elemento máximo, la topología discreta.
Teorema 001: Si es W una familia cualquiera de partes de E, existe siempre una
topología mínima, T(W), que contiene a W. Diremos que T(W) es la topología
engendrada por W.
Demostración:
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Si es
ϕ = {Ti / i ∈ I }
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la familia de todas las topologías en E que contienen a W,
ϕ ≠ φ , pues al menos la topología discreta, P (E ) ∈ ϕ . Llamemos:
T (W ) = I {Ti / Ti ∈ ϕ }
i∈I
Trivialmente, T(W) es topología en E tal que W ⊆ T (W ) , siendo la mínima con esta
propiedad, pues para cualquier otra topología T que contenga a W,
cumple que T ∈ ϕ y T (W ) = I {Ti / Ti ∈ ϕ } ⊆ T .
W ⊆ T , se
i∈I
01.2 Aplicación continua y topología inicial
Si son ( A, TA ) y (B, TB ) espacios topológicos, la aplicación
f : A → B se dice
continua sii la imagen inversa de todo abierto de B es un abierto de A.
f : A → B continua ↔ ∀G ∈ TB , f −1 (G ) ∈ TA
Teorema 002: Si es E un conjunto,
{ fi }i∈I
{(Ei , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y
una familia de aplicaciones f i : E → Ei , i ∈ I , existe siempre una topología
mínima en E tal que cada aplicación f i es continua.
Demostración:
{
−1
Sea S = f i (Gi ) / Gi ∈ Ti , i ∈ I
}
una familia de partes de E. Por el teorema 001
sabemos que existe una topología mínima, T(S), que contiene a S (topología
engendrada por S). Veremos a continuación que T(S) es también la topología
mínima en la que cada fi es continua.
- Comprobemos que la imagen inversa de un abierto es una abierto de T(S):
∀Gi ∈ Ti → f i −1 (Gi ) ∈ S ⊆ T ( S ) → f i continua
- Comprobemos que es mínima, es decir, que si T’ es otra topología tal que cada fi
es continua, entonces T ( S ) ⊆ T ' :
−1
Si cada fi es continua respecto a T’ → f i (Gi ) ∈ T ' → S ⊆ T ' → T ( S ) ⊆ T '
En definitiva, T(S) es la mínima topología en la que cada cada fi es continua, y se
denominará en lo que sigue, topología inicial en E para las familias
{(Ei , Ti )}i∈I , { fi }i∈I .
Invariante topológico:
Una propiedad del espacio topológico (E,T) es un invariante topológico, si se
conserva en los homeomorfismos, esto es, si todo espacio (E’,T’) homeomorfo a
(E,T) también posee la propiedad.
01.3 Bases y subbases de una topología
En el espacio topológico (E,T) se dice que el conjunto B es base de su topología
engendrada T si todo elemento de T, es decir, todo abierto, es unión de elementos
de B:
{ }
B = {bi }i∈I base de T = {G j }j∈J ↔ ∀G j ∈ T , ∃ b j k
k ∈K
, K ⊆ I / U b jk = G j
k ∈K
El recíproco se verifica siempre: toda unión de elementos de B es un abierto, por
definición de topología.
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También por definición de topología puede afirmarse que para toda topología T
siempre existe una base, ya que la misma T es base (cualquier abierto es unión de
elementos de T).
Teorema 003: Si la familia B cumple las dos condiciones:
a) E es unión de elementos de B.
b) ∀bi , b j ∈ B → bi I b j es unión de elementos de B.
Entonces B es base de T(B).
Demostración:
Sea B = {bi }i∈I y consideremos la familia T’ de partes de E cuyos elementos son
unión de elementos de B:
T ' = G ⊆ E / G = U b j , J ⊆ I 
j∈ J


Veremos que se trata de una topología y que, además, coincide con la topología
engendrada por B, por lo cual B es base de T(B).
1) Veamos que T’ es topología:
1.1) φ ∈ T ' , pues φ = b j / j ∈ J = φ .
{
}
E ∈ T ' , pues, por hipótesis, E es unión de elementos de B.

 

1.2) ∀G1 , G2 ∈ T ' , G1 = U b1 p , G2 = U b1q → G1 I G2 =  U b1 p  I  U b1q  =
p∈ P
q∈Q
p
∈
P
q
∈
Q


 
(
)
= U b1 p I b2 q
p,q
(
)
Como por hipótesis es b1 p I b2 q = U bh ∈ T ' , es G1 I G2 = U b1 p I b2 q ∈ T '
pq
h∈H
p,q
1.3) Sea {Gk , k ∈ K } una subfamilia de T’, es decir Gk = U b j , J ⊆ I , con lo que
k
j∈ J
U Gk = U b kj ∈ T '
j∈ J
Se cumplen, en definitiva, las tres condiciones de definición de topología para T’.
Veamos ahora que T(B), la mínima topología que contiene a B, coincide con T’:
Siempre es T ( B ) ⊆ T ' , y además ∀G ∈ T ' , G = U b j , j ∈ J ⊆ I ∧ b j ∈ B ⊆ T ( B ) →
j∈ J
→ G ∈ T ( B) → T ' ⊆ T ( B)
Por tanto:
T ( B ) ⊆ T '
 → T ' = T ( B)
T ' ⊆ T ( B) 
Como B es base de T’ por construcción, B es base de su topología engendrada
T(B). Esto prueba el teorema.
La familia S = {Si / i ∈ I } de partes del espacio E, se dice que es subbase de su
topología engendrada, T (S ), si la familia


B ( S ) = U ⊆ E / U = I S k , S k ∈ S , K ⊆ I , K finito 
k ∈K


k ∈K
es base de T (S ) .
Teorema 004: S subbase de T ( S ) ⇔ E es unión de elementos de S.
Demostración:
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Veamos que si S es subbase de T(S), entonces E es unión de elementos de
S:
S ⊆ B(S ) , pues bastaría tomar k=1 en la definición anterior.
∀U j ∈ B ( S ), ∃S j ∈ S / U j ⊆ S j
E = U{U j / U j ∈ B( S ) ∧ j ∈ J } ⊆ U{S j / S j ∈ S ∧ j ∈ J } ⊆ E
-
Veamos que si E es unión de elementos de S, entonces S es subbase de
T(S):
{
Por definición, S es subbase de T(S) si la familia
B ( S ) = U ⊆ E / U = I S k , S k ∈ S , K ⊆ I finito
k ∈K
}
es base de T(S). Para ver que efectivamente lo es, comprobemos que se
verifican las condiciones a) y b) del teorema 003:
- Se verifica a) E es unión de elementos de B(S):
Por hipótesis, E es unión de elementos de S y S ⊆ B (S ) → E es unión de
elementos de B(S).
- Se verifica b) ∀U1 ,U 2 ∈ B ( S ), U1 I U 2 es unión de elementos de B(S):
Si U1 = I S j , J ⊆ I , y U 2 = I S k , K ⊆ I , se tiene que
k ∈K
j∈ J
U1 I U 2 = I S h , J U K ⊆ I
h∈ J U K
por lo que U1 I U 2 ∈ B ( S ) → U1 I U 2 es unión de elementos de B(S).
Por tanto, B(S) es base de T(B(S)).
Como S ⊆ B ( S ) ⊆ T ( B ( S )) → T ( S ) ⊆ T ( B ( S )) , por lo que si B(S) es base
de T(B(S)), también lo es de T(S).
01.4
Topología producto
(E , T ),..., (E , T ), y sea Π E = E × ... × E el
espacio producto cartesiano de los conjuntos {E } , se llama topología producto,
n
Sean los espacios topológicos
1
E1
n
En
j
j =1
1
n
j n
n
Tprod, en el espacio Π E j a la topología engendrada por la base
j =1
{
B prod = G1 × ... × Gn / Gk ∈ TE k , Gk ≠ φ
}
Es decir, Tprod = T ( B prod )
n
 j =1
) (
(


)
El par  Π E j , Tprod  se llama producto topológico de los espacios E1 , TE1 ,..., En , TEn .
n
n
j =1
j =1
Se llama proyección i-ésima de Π E j en Ei a la aplicación Π i : Π E j → Ei definida
por la condición:
n
∀( x1 ,..., xn ) ∈ Π E j , Π i ( x1 ,..., xn ) = xi ∈ Ei
j =1
Teorema 005: El conjunto
{
}
S = Π i−1 (U i ) / U i ∈ TEi , 1 ≤ i ≤ n
es subbase de su
topología engendrada T (S ).
Demostración:
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n
Basta aplicar el teorema 004, pues el espacio Π E j es unión de elementos de S, ya
j =1
n
−1
que Π E j = Π k ( Ek ), k = 1,..., n
j =1
{
}
−1
Teorema 006: Si es S = Π i (U i ) / U i ∈ TX i , 1 ≤ i ≤ n , la topología producto, Tprod es
precisamente la topología engendrada, T (S ).
Demostración:
Como es B prod = {G1 x...xGn / Gk ∈ Tk , Gk ≠ φ } .
n
n
k =1
k =1
∀G1 x...xGn ∈ B prod , G1 x...xGn = I Π −k 1 (Gk ) ∧ Π −k 1 (Gk ) ∈ S → I Π −k 1 (Gk ) ∈ B( S )
por tanto B prod ⊆ B(S )
n
−1
Asimismo ∀b ∈ B ( S ), b = I S k , S k ∈ S , K ⊆ I → b = I Π k ( S k ) → b ∈ B prod
k =1
k ∈K
por lo que B( S ) ⊆ B prod
En definitiva, B ( S ) = B prod o bien T ( S ) = Tprod
Teorema 007: La proyección i-ésima, Π i : E1 × ... × En → Ei , es aplicación continua.
Demostración:
∀Gk ∈ Tk , Π −k 1 (Gk ) = E1 x...xGk x...xEn ∈ S → Π −k 1 (Gk ) ∈ B( S ) → Π k−1 (Gk ) ∈ T ( S )
Teorema 008: La topología Tprod es la topología inicial en E1 × ... × En , respecto a las
familias
{(E ,T )}, {Π }, 1 ≤ i ≤ n
i
Ei
i
Demostración:
Bastará probar que Tprod es la topología menos fina tal que las Π k , k = 1,..., n son
continuas.
Sea T’ otra topología en E1 × ... × En tal que Π k , k = 1,..., n son continuas. Se tiene
entonces que
n
∀(U1 ,...,U n ) ∈ B prod , U1 × ... × U n = I Π −k 1 (U k )
k =1
por lo que U1 ,...,U n ∈ T ' , es decir, B prod ⊆ T ' → T ( B prod ) ⊆ T ' → Tprod ⊆ T '
01.5 Recubrimientos
Sea (E,T) un espacio topológico y sea A una parte de E. Se define como Trecubrimiento de A a una familia cualquiera de abiertos, U = {Gi }i∈I , Gi ∈ T , tal que
A está contenida en su unión, A ⊆ U Gi .
i∈ I
Dados dos T-recubrimientos de A, U y U’, tales que uno de ellos está contenido en
el otro, U ' ⊆ U , se dice que el primero U’ es un T-subrecubrimiento de A con
relación al segundo, U.
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02. COMPACIDAD
02.1. Sobre la definición
Compacidad Heine-Borel-Lebesgue:
Se dice que un conjunto A del espacio topológico (E, T) es compacto HBL con
relación a la topología T, si de todo T-recubrimiento de A puede extraerse un Tsubrecubrimiento finito. Se dice que A es T-compacto.
Este es el concepto de compacidad corriente, aunque existen proposiciones
equivalentes, como la llamada propiedad de intersección finita, o compacidad de
Riesz.
Compacidad de Riesz:
Se dice que una parte A del espacio topológico (E, T) cumple la condición de Riesz,
o que tiene la propiedad de intersección finita, si para toda familia, {H i }, i ∈ I , de
cerrados de E, tales que
A I  I H i  = φ
 i∈ I 
{
}
siempre puede encontrarse una subfamilia finita, H i1 ,..., H in ⊆ {H i }, i ∈ I , tal que
A I H i1 I ... I H in = φ
Equivalencia:
Es fácil probar la equivalencia entre la compacidad de Riesz y la compacidad de
Heine-Borel-Lebesgue.
-
Veamos que la compacidad HBL implica la compacidad Riesz:
Sea A un conjunto compacto HBL, y sea el T-recubrimiento {Gi }i∈I , Gi ∈ T , i ∈ I , es
decir, tal que A ⊆ U Gi . Llamemos H i = cGi , i ∈ I . Se tiene:
i∈ I
A ⊆ U Gi → A I  c U Gi   = φ → A I  I (c Gi )  = φ → A I  I H i  = φ
i∈ I
 i∈ I 
  i∈I  
 i∈ I

Si A es compacto HBL, existe un T-subrecubrimiento finito Gik
⊆ {Gi }i∈I tal que
1≤ k ≤ n
{ }
n
  n
  k =1


 n
 k =1


es A ⊆ U Gik → A I  c U Gik   = φ → A I  I H ik  = φ → comp Riesz
k =1
-
Veamos que la compacidad Riesz implica la compacidad HBL:
Si A es compacto Riesz, sea {H i }i∈I una familia de cerrados tal que A I  I H i  = φ .
 i∈ I 


Existe una subfamilia finita de cerrados, H i k
, tal que A I  I H i k  = φ →
1≤ k ≤ n
 k =1

n
  n
 n


→ A I  I (cGik )  = φ → A I  c U Gik   = φ → A ⊆ U Gik → Gik 1≤ k ≤ n recub. finito
k =1
 k =1

  k =1  
de A → comp HBL
{ }
n
{ }
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02.2. Propiedades
Teorema 02.1:
Sea ( X , TX ) un espacio topológico y sea A ⊆ X . Si es TA = {A I Gi }i∈I , Gi ∈ Tx , se
tiene que
A TX − compacto ↔ A TA − compacto
Demostración:
- Veamos que A TX − compacto → A TA − compacto
A TX − compacto → Si es ϕ = {Gi }i∈I un TX-recubrimiento de A, entonces también
la familia
ϕ ' = {A I Gi }i∈I es un TA-recubrimiento de A.
ϕ f = {Gi
Puesto que A es TX-compacto existe un TX-subrecubrimiento finito
lo que implica que
ϕ ' = {A I Gi
f
k
k
} de A,
n
} es también un TA-subrecubrimiento finito de A →
n
→ A T A − compacto
-
Veamos que A TA − compacto → A TX − compacto
A T A − compacto → Si es ϕ ' = {A I Gi }i∈I un TA-recubrimiento de A, será también
ϕ = {Gi }i∈I un TX-recubrimiento de A.
Como A es TA-compacto existe un TA-subrecubrimiento finito
lo que nos indica que también
ϕ = {Gi
f
k
ϕ ' f = {A I Gi
k
} de A,
n
} es un TX-subrecubrimiento finito de A y es
n
A T X − compacto .
Teorema 02.2:
Dados los espacios topológicos ( X , TX ) , (Y , TY ) y A ⊆ X , para la aplicación continua
f : X → Y se verifica que
A TX − compacto → f ( A) TY − compacto
Demostración:
Sea {U i }i∈I un TY-recubrimiento abierto de f ( A) ⊆ Y , o sea, f ( A) ⊆ U U i .
i∈I
Por ser f : X → Y continua, la imagen inversa de un abierto de Y es un abierto de X
f −1 (U i ) = Vi ∈ TX , U i ∈ TY , ∀i ∈ I
Como A ⊆ f
−1
f ( A) ⊆ f −1  U U i  = U f −1 (U i ) = U Vi , es
i∈I
 i∈I  i∈I
{Vi }i∈I un
abierto de A.
Por ser A TX-compacto, existe un TX-subrecubrimiento finito Vi k
TX-recubrimiento
{ } ⊆ {V }
n
i i∈ I
tal que
n
n
 n
 n
A ⊆ U Vik , con lo que f ( A) ⊆ f  U Vik  = U f (Vik ) → f ( A) ⊆ U U ik , de donde se
k =1
k =1
 k =1  k =1
infiere que U ik es un TY-subrecubrimiento finito de f ( A) .
n
{ }
f ( A) es, por tanto, TY − compacto .
Teorema 02.3:
Sea ( X , TX ) un
espacio
topológico
y
sean
Ai ⊆ X , 1 ≤ i ≤ n
n espacios
TX − compactos. Se verifica que la unión A1 U ... U An es un espacio compacto.
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Demostración:
Sea {Gi }i∈I , Gi ∈ TX , ∀i ∈ I una TX-recubrimiento abierto de A1 U A2 , es decir:
A1 U A2 ∈ U Gi , y, por tanto, A1 ∈ U Gi y A2 ∈ U Gi . Como son ambos compactos:
i∈I
i∈I
{ }
{ }
i∈ I
n
∃ Gik n ⊆ {Gi }i∈I / A1 ⊆ U Gik
 A1 ∈ U Gi
 n
i∈I
k =1
A
U
A
→
⊆
→
 U Gik
A ∈ U G
1
2
m
 k =1
 2 i∈I i
∃ G j h m ⊆ {G j }j∈J / A2 ⊆ U G j h
 m

 U  U G jh 
h
=
1
 

h =1
Por tanto A1 U A2 es TX − compacto.
Actuando inductivamente, si es A1 U ... U An −1 compacto, también es compacto
( A1 U ... U An −1 ) U An = A1 U ... U An
Teorema 02.4:
Sea ( X , TX ) un espacio topológico y A ⊆ X subespacio TX − compacto. Si H ⊆ A
es cerrado en X, entonces H es compacto.
Demostración:
Sea U = {Gi }i∈I ,Gi ∈ TX , ∀i ∈ I un TX − recubrimiento abierto de H. Como H es
cerrado, su complementario X-H es abierto → X − H ∈ TX .
Sea
la
familia
V = U U ( X − H ) = {Gi }i∈I U ( X − H ).
Veamos
que
es
un
TX − recubrimiento de A, pues:
A ⊆ X = H U ( X − H ) ⊆  U Gi  U ( X − H )
 i∈I 
Como A es compacto, existe un TX − subrecubrimiento finito, V ' = Gi k
{ } U (X − H) ,
n
y como H ⊆ A , es también V’ un TX − subrecubrimiento finito de H, que, por
consiguiente, es TX-compacto.
Teorema 02.5:
Sea ( X , TX ) un espacio topológico compacto y H ⊆ X
cerrado. Entonces H es
compacto.
Demostración:
Si X es compacto y H ⊆ X es cerrado, estamos en el caso del teorema anterior,
donde el espacio A es ahora el mismo X. Por consiguiente, H es compacto.
Teorema 02.6:
Sea ( X , TX ) un espacio topológico y sean
{H i }i∈I
subconjuntos cerrados y
TX − compactos, entonces se verifica que la intersección I H i es un espacio
i∈I
compacto.
Demostración:
Sean Gi = cH i ∈ Tx , ∀i ∈ I
Por definición de topología, si Gi ∈ TX , ∀i ∈ I , entonces:
U Gi ∈ TX → U cH i ∈ TX → c I H i  ∈ TX → I H i cerrado
i∈I
i∈ I
 i∈ I 
Como I H i ⊆ H i , ∀i ∈ I , y siendo H i TX − compacto → I H i es TX − compacto (por
i∈ I
i∈ I
i∈ I
teorema 02.4).
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Espacios compactos. La compacidad Heine-Borel-Lebesgue y el teorema de Tijonov
03.
Carlos S. CHINEA
EL LEMA DE ALEXANDER
Dado un espacio topológico
( X , TX ) ,
una parte A ⊆ X y una subbase Ζ de la
topología TX , se cumple que la condición necesaria y suficiente para que A sea
compacto es que de todo recubrimiento de A por elementos de Ζ pueda ser
extraído un subrecubrimiento finito.
Demostración:
- Veamos la necesidad:
Si A es TX − compacto entonces esto implica, por definición, que de todo
TX − recubrimiento abierto puede extraerse un TX − subrecubrimiento finito. Si Z es
una subbase de TX , sus elementos son también elementos de TX , por lo que se
puede, obviamente, extraer un TX -subrecubrimiento finito.
Por consiguiente, la necesidad de la condición es inmediata.
- Veamos la suficiencia:
Se trata de probar que si de todo Tx-recubrimiento de A por abiertos de Z puede
extraerse un Tx-subrecubrimiento finito, entonces A es compacto.
Para que A no fuera compacto tendría que ocurrir que existiera algún Txrecubrimiento de A del que no se pudiera extraer un Tx-subrecubrimiento finito.
Llamemos ϕ a la familia de todos los Tx-recubrimientos de A de los que no pueda
extraerse un Tx-subrecubrimiento finito. Familia que no será vacía si,
efectivamente, A no fuera compacto.
Si al suponer a tal familia no vacía se produjera una contradicción, habría que
concluir que, es efectivamente vacia, ϕ = φ , con lo que no existe Tx-recubrimiento
alguno del que no pueda extraerse un Tx-subrecubrimiento finito, y el conjunto A
será compacto.
Para ver que existe esta contradicción hemos de probar que ϕ es inductivo, es
decir, que toda cadena c tiene mayorante, y que, por consiguiente, se le puede
aplicar a ϕ el Lema de Zorn, concluyendo que existe un elemento maximal H para
ϕ.
El paso siguiente es probar que si dos abiertos, G y G’ no pertenecen a dicho
elemento maximal H, tampoco pertenece su intersección, y que si un elemento G
no pertenece a H tampoco pertenece a H cualquier otro elemento G’ en el que esté
contenido G.
A continuacion veremos que la intersección de Ζ y H es un Tx-recubrimiento de A,
del que puede extraerse un Tx-subrecubrimiento finito, queriendo esto decir al estar
dicha intersección contenida en H, que de H puede extraerse un Txsubrecubrimiento finito. Apareciendo aquí la contradicción buscada, pues resulta
contradictorio con el hecho de que H pertenece a la familia ϕ , familia de todos los
Tx-recubrimientos de los que no pueda extraerse uno finito. Luego, la familia ϕ
sería vacía: no existe Tx-recubrimiento de A del que no pueda extraerse un Txsubrecubrimiento finito: A es compacto.
Veamos los detalles:
Sea ϕ la clase de los TX − recubrimientos que no admiten TX − subrecubrimientos
finitos. Obviamente está parcialmente ordenada.
Sea c = {U i }i∈I una cadena de TX − recubrimientos contenida en la familia ϕ , es
decir, un conjunto de TX − recubrimientos totalmente ordenado.
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Espacios compactos. La compacidad Heine-Borel-Lebesgue y el teorema de Tijonov
Carlos S. CHINEA
Sea U la unión de los elementos de dicha cadena c, U = U U i , de donde es U ∈ ϕ ,
i∈ I
= {G1 ,..., Gn } ,
donde cada uno de los abiertos Gk , k = 1,..., n pertenece a alguno de los U i de la
pues de lo contrario existiría un TX − subrecubrimiento finito de A: U
f
cadena, y como ésta está totalmente ordenada mediante la inclusión, habrá alguno
de ellos que contenga a todos los U i a los que pertenezcan los Gk , k = 1,..., n , y, por
consiguiente, contendría un TX − subrecubrimiento finito, contra la hipótesis de que
todos los U i pertenecen a la clase
ϕ.
Así, pues, U ∈ ϕ y la cadena c = {U i }i∈I está mayorada por U. Esto quiere decir que
{ϕ , ⊆}
es inductivo y, por consiguiente, se puede aplicar el Lema de Zorn, que
establece que todo conjunto inductivo admite un elemento maximal.
Sea H un elemento maximal de ϕ . H es también un TX − recubrimiento de A del
que no puede extraerse un TX − subrecubrimiento finito.
Si H = {H i }i∈I es elemento maximal para la inclusión, se verifica:
a) G , G '∉ H → G I G '∉ H
b) G ∉ H ∧ G ⊆ G ' → G '∉ H
En efecto:
a) Llamemos U = H U G , U ' = H U G ' , U " = H U (G I G ')
Si G ∉ H → H ⊆ H U {G} ∧ H ≠ H U {G} ∧ H max imal de ϕ → H U {G}∉ ϕ
Entonces, como H U {G} es TX − recubrimiento de A, puede extraerse un
TX − subrecubrimiento finito: ∃{H1 ,..., H n , G} ⊆ H U {G} .
Lo mismo para H U {G '} → ∃{H '1 ,..., H 'm , G '} ⊆ H U {G '}
O sea:
A ⊆ H1 U ... U H n U G
A ⊆ H '1 U... U H 'm UG '
De lo cual: A ⊆ H1 U ... U H n U H '1 U... U H 'm U(G I G ')
Es decir, existe un TX − subrecubrimiento finito de A:
{H1 ,..., H n , H '1 ,..., H 'm , G I G '} ⊆ H U {G I G '}, lo que implica que
H ∪ {G I G '}∉ ϕ → G I G '∉ H
b) Si G ∉ H → H ⊆ H U {G} ∧ H ≠ H U {G}. Entonces:
G ⊆ G ' → H ⊆ H U {G '} ∧ H ≠ H U {G '} → G '∉ H
Si Z = {wk }k ∈K es subbase de TX y H = {H i }i∈I elemento maximal de ϕ , se tiene
que Z I H ⊆ Z .
Si H es TX − recubrimiento de A → ∀x ∈ A, ∃Gr ∈ H / x ∈ Gr .
n
Si Z es subbase de
TX → ∀Gr ∈ TX , ∃w1 ,..., wn ∈ Z / x ∈ I wi ⊆ Gr .
i =1
n
Como Gr ∈ H → I wi ∈ H . O sea, se tiene que ∀x ∈ A, x ∈ Z I H → Z I H es un
i =1
TX − recubrimiento de A.
Se dan, en definitiva, dos situaciones contradictorias:
1) Z I H ⊆ Z , lo que implica que de Z I H puede extraerse un TX − subrecubrimiento finito de A (por la hipótesis del Lema).
2) Z I H ⊆ H , lo que implica que de Z I H no puede extraerse un TX − subrecubrimiento finito de A (pues H ∈ ϕ ).
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Espacios compactos. La compacidad Heine-Borel-Lebesgue y el teorema de Tijonov
Carlos S. CHINEA
En consecuencia, si suponemos que existe algún TX − recubrimiento de A del que no
puede extraerse un TX − subrecubrimiento finito (si suponemos que la clase ϕ es no
vacía) llegamos a una contradicción.
Luego, ha de ser ϕ = φ , es decir, de todo TX − recubrimiento de A puede extraerse
un TX − subrecubrimiento finito. A, por tanto, es TX − compacto.
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Espacios compactos. La compacidad Heine-Borel-Lebesgue y el teorema de Tijonov
04.
Carlos S. CHINEA
EL TEOREMA DE TIJONOV
Para toda familia de espacios topológicos no vacíos y compactos,
(
verifica que el espacio topológico producto Π Ei , Tprod
i∈ I
) es compacto.
{( E ,T )}
i
Ei
se
Demostración:
- Para probar el teorema tengamos en cuenta los resultados obtenidos antes:
1) Por el teorema 008, sabemos que la topología Tprod es la topología inicial
{
}
para las familias ( Ei , TEi ) , {Π i }, es decir, la mínima topología para la cual
las proyecciones {Π i } son continuas.
{
−1
2) Sabemos también que S = Π i (Gi ) / Gi ∈ Ti , i ∈ I
} es subbase de
Tprod , por
los teoremas 005 y 006.
3) Asimismo, hemos visto el lema de Alexander, que afirma que es condición
necesaria y suficiente para que un espacio sea compacto, que de todo
recubrimiento por elementos de una subbase S pueda extraerse un
subbrecubrimiento finito.
Por tanto, si es U un S-recubrimiento del espacio producto Π Ei , consideremos la
{
i∈ I
}
−1
familia de abiertos U i = Gi ∈ TEi / Π (Gi ) ∈ U , i ∈ I . Puede suceder que para algun
índice i ∈ I sea U i un recubrimiento de Ei . Veamos las dos posibilidades:
a) Que exista algún i ∈ I tal que Ui sea un S-recubrimiento del espacio
Ei.
En este caso, por ser, por hipótesis, compacto cada uno de los espacios Ei, existe
n
un S-subrecubrimiento finito de Ei, U i1 ,..., U in , tal que Ei ⊆ U U i k , y como se
k =1
−1
verifica que Π E j = Π i ( Ei ) , se tendrá que
j∈J
( ( ))
( )
( )
 n
 n
Π E j = Π i−1 ( Ei ) ⊆ Π i−1  U U ik  = U Π i−1 U ik = Π i−1 U i1 U ... U Π i−1 U in →
j∈J
 k =1  k =1
→ Π E j ⊆ Π i−1 U i1 U ... U Π i−1 U in
( )
j∈J
( )
−1
( )
−1
( )
y como los U i1 ,..., U in ∈ U i se tiene que los Π i U i1 ,..., Π i U in ∈ U .
Es decir, se ha extraido desde el S-recubrimiento
−1
i
( )
−1
i
( )
U
un S-subrecubrimiento finito,
Π U i1 ,..., Π U in , por lo que, aplicando el Lema de Alexander,
Π E j es
j∈J
compacto.
b) Que ∀i ∈ I no sea Ui un recubrimiento del espacio Ei.
En este caso en cada uno de los espacios Ei existe algún xi ∈ Ei que no está en
ninguno de los Gi ∈ Ti .
−1
Si G ∈ U , como U ⊆ S → G ∈ S → G = Π i (Gi ) para algún i ∈ I → Gi ∈ U i
Si
x ∈ Π Ei / Π i ( x) = xi ∉ Gi → x ∉ Π i−1 (Gi ) = G → x ∉ G → U no es S-recubrimiento
i∈I
de Π Ei , contra la hipótesis.
i∈I
Por tanto, esta segunda posibilidad no podría darse.
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Espacios compactos. La compacidad Heine-Borel-Lebesgue y el teorema de Tijonov
Carlos S. CHINEA
BIBLIOGRAFÍA
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