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Física de Plasmas en contacto con
Materiales : El Sheath
Alberto Loarte
European Fusion Development Agreement
Close Support Unit - Garching
Alberto Loarte
Curso Interacción Plasma-Pared
Universidad Carlos III de Madrid
29 - 03 – 2005
1
Tema 2 : Sheath (I)
Plasma en contacto con sólidos  formación del sheath

E
-
+
-
+
-
+
-
+
Flujos al contacto entre plasma y sólido :
Ge = ne ve & Gi = ni vi
Ge/Gi = ve/vi = (mi/me)1/2 ~ 60
Plasma
ne = ni
Establecimiento del Sheath
Flujos estacionarios de plasma a sólido
-
Ge = Gi
Sheath reduce el flujo de electrones
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2
Tema 2 : Sheath (II)
Plasma en contacto con un material : Sheath y Pre-sheath
 Los plasmas tienden a apantallar los campos eléctricos
(redistribución de la carga electrónica)
 El campo eléctrico se concentra en una zona cercana al material :
Sheath
 El campo eléctrico lejos del material es bajo pero no nulo :
Pre-sheath y contribuye a acelerar a iones y decelerar electrones
++
Pre-sheath
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+
+
+
+
+
-
Sheath
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3
Tema 2 : Sheath (III)
Dinámica de electrones en el pre-sheath  Distribución de los
electrones en el plasma
n
nse
densidad
electrónica
ne,W
x
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4
Tema 2 : Sheath (IV)
Distribución de los electrones en el plasma : relación de Boltzmann
Ecuación de continuidad :
d ne
ve 
dx

Se
Ecuación de conservación del momento :
ne
dve
me ve
 ene
dx
pe= ne Te
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E
dpe

me ve Se
dx
T en unidades de energía (kb = 1)
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5
Tema 2 : Sheath (V)
ne
dve
me ve
 ene
dx
E
E obliga a los electrones a
adaptarse al movimiento de
los iones
ne
dv e
2
me v e
n
m
v
e e
dx ~ e
~
dpe
neT
dx
dpe

me ve Se
dx
3T
v e ~ vi ~
mi
me
ne
T
mi
neT
~
me
d ne ve me ve
ne
T
2
ne me v e
mi
me ve Se
dx

~
~
dpe
dpe
neT
neT
dx
dx
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me
~
mi
1
3600
me
1
~
~
mi
3600
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6
Tema 2 : Sheath (VI)
Términos dominantes en la ecuación de conservación del
momento
dpe
 ene
dx
E
E 
 ene
dV
dx
dV
dx
dT
~ 0
dx
Plasmas son buenos conductores de calor y electricidad
(plasma isotermo)
pe  n eT
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e
dne
  ne
T
dx
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E
e
 ne
T
dV
dx
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7
Tema 2 : Sheath (VII)
Relación de Boltzmann
ne
eV
eT
 no
n
x=0
nse
densidad
electrónica
ne,W
xx
Relación de Boltzmann
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8
Tema 2 : Sheath (VIII)
Dinámica de iones en el pre-sheath  Criterio de Bohm
x=0
Conservación de la energía (iones monoenergéticos  Ti = 0):
1
2
2
mi vi,0
 eVo 
1
2
vi ( x) 
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mi vi2 ( x)  eV ( x)
vi,o & V0 ~ 0
2eV ( x)
mi
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Tema 2 : Sheath (IX)
Ecuación de continuidad :
d ni
vi 
dx

Si
+
Pre-sheath transparente a átomos reciclados  no hay
ionización  no hay fuente de iones  Si = 0
ni
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vi
 constante
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
& Ti
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Tema 2 : Sheath (X)
ni
vi
 constante
vi ( x) 
&
2eV ( x)
mi
V ( x1)
ni ( x2 )  ni ( x1)
V ( x2 )
ni depende de (V(x))1/2 y ne depende de eV(x)
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Tema 2 : Sheath (XI)
Campo eléctrico en el Sheath y pre-sheath y Criterio de Bohm
ne ( x2 )
 ne ( x1) e
eV ( x2 )
 V ( x1) 
T
ni ( x2 )  ni ( x1)
V ( x1)
V ( x2 )
En el sheath ne << ni  Campo E de gran intensidad
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Tema 2 : Sheath (XII)
Campo eléctrico en el Sheath y pre-sheath
x=0
Pre-sheath
Ecuación de Poisson :
en el plasma :
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
E 

o
  eni
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x=xse
x=xw
Sheath
 V
 ne 
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Tema 2 : Sheath (XIII)
x=xse
x=0
Pre-sheath
dE

dx
e
o
x1=xse, x2 =x > xse
2
d V
dx 2
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 nse
ni
Sheath
- ne  
eV(x)

e
e
o 

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x=xw
- Vse
T
2
d V
 2
dx

-
Vse 
V(x) 

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Tema 2 : Sheath (XIV)
Multiplicando por dV/dx a ambos lados de la ecuación
2
d V
dx 2
 nse
2
dVd V
dx dx 2
1 d d V

2 dx  dx
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eV(x)

e
e
o 





 nse
2
 nse
- Vse

T
-
eV(x)

e d V
e
 o dx 

eV(x)


e T d 
e


 o e dx


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Vse 
V(x) 

T
- Vse

T
Vse
Vse 
V(x) 





-2
d
dx
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
Vse V(x) 


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Tema 2 : Sheath (XV)
1 d d V

2 dx  dx




2
 nse
eV(x)


e T d 
e

 o e dx 


E
2
E ( x)
eV(x)

2ense  T
e
o  e

-
-
Vse
T
dV
 
dx
Vse

T
-
2




-2

Vse V(x) 


d
dx

Vse V(x) 



C
C se obtiene de considerar que le plasma es cuasineutro para x < x se
 ne(x) = ni(x) para x<xse  dE/dx~ 0 para x<xse & E(x=0) =0
Ese
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 0
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Tema 2 : Sheath (XVI)
2
E ( x) 
eV(x)


2ense  T 
e

o e 
 
T
Vse


 1


-
2Vse
 V(x)
 



1
 V

se


La ecuación se lineariza en torno a x ~ xse
V ( x)
 Vse   V
V
 1
Vse
eV
T
Se considera un rango de x tal que :
Vse 
V V
eV eV

V V
 1 1  1 1
Vse Vse
T
T
Solución física de V(x) satisface ambas condiciones (justificación más tarde)
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Tema 2 : Sheath (XVII)
2
E ( x) 
eV(x)


2ense  T 
e

o e 
 

e V(x)
T
e
V ( x)
Vse
Vse
-
Vse


 1


T

 1 
 1 
eV
T
1

2

V
Vse
-


2Vse
1
2
1
8
 V(x)
 



1
 V

se


 eV 


T


2
2
 V  


 Vse  
La ecuación linearizada es :
E
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2 ( x) 
ense  e

o  T

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1 

2Vse 
V 
2
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Tema 2 : Sheath (XVIII)
E
ense  e

o  T
2 ( x) 
e

T

Criterio de
Bohm
iones
supersónicos
a la entrada
del sheath
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1 

2Vse 


vi ( x) 
vi,se

1 

2Vse 
V 
2
Vse
0
Solución
física
estacionaria
0


T
2e
2eV ( x)
mi
T
mi
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 cs
Velocidad
del sonido
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Tema 2 : Sheath (XIX)
Potencial y velocidad iónica en el pre-sheath y Sheath
Vse
vi,se
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


T
mi
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T
2e
 cs
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20
Tema 2 : Sheath (XX)
Ti
 0
f seion (v)dv

2
v
 mi 
 
 Te 
Sheath con

0
fionse (v) = d (v-v0se)  v0se > (Te/mi)1/2
2ci
fionse (v)
1/(2ci)
vse
vse > ci = (3Ti/mi)1/2
(sheath acelera iones)
v
1
2 ion



m
v
v
f se (v)dv 

se
2
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Criterio de
Bohm
generalizado
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2
m
m
c
2
ci
v
dv  i 
c
i 4c
6
i
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T
2
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Tema 2 : Sheath (XXI)
ci = (3Ti/mi)1/2
2ci

0
1/(2ci)
vse
v
1 v  c -2
v se c i v dv 
2ci se i
vi,se
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 mi 
 
 Te 
f seion (v)dv

2
v

v se
2
Te 3Ti
mi
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1

ci
2

mi
Te
 cs
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Tema 2 : Sheath (XXII)
fe,i(v) con

0
f seion (v)dv

2
v
Ti
 0
 mi 
 
 Te 
vi,se

Te  Ti
mi

cs
 = 1 (flujo isotérmico),  = 5/3 (flujo adiabático con presión isotrópica)
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Tema 2 : Sheath (XXIII)
Propiedades del Sheath : Extensión espacial
2
E
xs 
2
~
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 V 
 x  
 s
2 ( x) ~ 
 oT
2
e nse

ense  e

o  T

1 

2Vse 
Debye 2 Debye 1019 m3
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V 2
, 100eV
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

23m
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24
Tema 2 : Sheath (XXIV)
Propiedades del Sheath : Caida de Potencial en el Sheath

E
se
ni 
Vse
Vw
Gion
pared
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se
ne

ion 
 Gse
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Vse
se
ni
cs
Ec. continuidad
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Tema 2 : Sheath (XXV)
Flujos de electrones sobre material si los electrones son Maxwellianos

f electron (v)
v x 0

ne
2 
m v


e
3/ 2 

 2Te 


 e 
 me


 2Te 
integrando para vx > 0
electron
Gpared
 v x
0
Gelectron 
pared
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f
electron

(v) v x dv x
1 pared
ne
4
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dv y
ce
dv z 
ce
1 pared
ne
4

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 8Te 


 me 

 8Te

 m
e

3/ 2
1/ 2





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26
Tema 2 : Sheath (XXVI)
Relación entre nepared y nse

E
nise 
Vse
Vw
ne
Gelectron 
pared
nese

 no
ce
Vse
e
eV
Te
Gelectron 
pared
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
1 pared
ne
4

 8Te

 m
e

ce
1/ 2






e Vw
pared
ne
1
4
se
 ne
e

e Vw
ce
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nese
e
 Vse
Te
 Vse
Te
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

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27
Tema 2 : Sheath (XXVII)
Gion
pared
como
cs 
se
ni
1
4

electron
G
pared

e Vw
ce
se
ne
e
 Vse
Te

Cuasi-neutralidad del plasma a la entrada del sheath  nise=nese
Vw
Vw
 Vse  
 Vse  
Alberto Loarte
Te
2e
 2me 

ln 
 mi 
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Te
e
 4cs 

ln
 ce 

1 

Ti 
 
Te  D
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 2.8
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Te
e
28
Tema 2 : Sheath (XXVIII)
Sheath con emisión de electrones secundarios
Gelectron 
pared
1 pared
ne
4
Vw
ce 1  d e 
 Vse  
Te
2e

nise
cs 
 2m 
e
ln 

 mi 
de = coeficiente
de emisión de
electrones
secundarios
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1
4
e Vw
ce 1  d e  nese

1 

Ti  1 


Te  1d e 2 
e
 Vse
Te
D
|Vw-Vse|
disminuye con de
porque el plasma
pierde netamente
menos electrones
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29

Tema 2 : Sheath (XXIX)
Densidad del plasma a la entrada del Sheath
Voltaje del pre-sheath

Vse
T
2e

Relación de Boltzmann
ne ( x2 )
 ne ( x1) e
eV ( x2 )
 V ( x1) 
T
La presencia de un sheath
disminuye la densidad del
plasma en su proximidad
nse
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 n0
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e
0.5
 0.61 n0
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30
Tema 2 : Sheath (XXX)
Estimación del campo eléctrico en el sheath y pre-sheath

E
Vse
Vw
Vse
Vw
Esheath
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
Vse

Vw
~
 Vse 
sheath
 V0  
 Ve  
E pre  seath

Vw
~
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~


2.8Te
e
Vse
 Vse 
Debye
Te
2e
(Te 100eV )  50V
(Te 100eV )  280V
 V0 
L
~50 V / m
~1.2 107
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V /m
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31
Tema 2 : Sheath (XXXI)
1a consecuencia del Sheath  cuasineutralidad del plasma
d 2V

2
dx
ne
- ni
ne
~
e
o
ni
- ne  
 oVse
2
ene L
~
 oT
ene
o
ne
- ni
ne
Vse
~ 2
L
2
 10 m 
 Debye 
10




~
~
~
10
 L 
 1m 
e 2 ne L2




2
5
Los plasmas son siempre cuasineutros  ne = ni
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32
Tema 2 : Sheath (XXXII)
Consecuencias del Sheath  transmisión de energía a traves del Sheath

f (v) 
qE
 v x
qE
0 f

electron
1
n
4
n
 2 
3 / 2  mv 

 2T 

 e 
 m

 2T 


 m
(v) 
2
 8T

 m

 
v 2 v x dv x





dv y
dv z
3/ 2
2T 
Gv
x 0
2T
Factor transmisión del sheath para iones : energía que pierde el plasma por ión
se
qi

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se
Gi
2T i
i
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se
qi
 se
Gi Ti
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
2
29 - 03 – 2005
33
Tema 2 : Sheath (XXXIII)
se
Gtot
Vse
Vw

E
qese

se
Gtot
d e

se
Gtot
Vse
Gsec  d e
se
Gtot
2Te

eVw
eVw
 Vse 
 Vse 
electrones secundarios
Gese 
Gise 
1d e 
se
Gtot
Factor transmisión del sheath para electrones : energía que pierde el plasma
por electrón
e
qese
 se
Ge Te
Alberto Loarte
 2Te
 
 1d e 
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
eVw

 Ve 

Universidad Carlos III de Madrid
d e 0
 4.8
29 - 03 – 2005
34
Tema 2 : Sheath (XXXIV)
Consecuencias del Sheath  Ti > Te en el presheath
qese

se 
Ge Te 
2
 1d e 
qise 
Gise
qise  qese
Ti
 1
 Te 
 1d e 
Ti
Te d
Alberto Loarte

eVw


eVw
 Ve  

Te

2T i
JT-60U
 Ve  

2Te

2. 4
e 0
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35
Tema 2 : Sheath (XXXV)
Consecuencias del Sheath  cambios en flujos de energía respecto a un gas
e(Vw Vse )
qese
qeMaxwell
qise
qiMaxwell
qeMaxwell
qiMaxwell

2Te nee
Te
2Te ne
ce
4
ce
4
2Ti e(Vw Vse )ni ci
4

c
2Ti ni i
4

ce
4
c
2Te nse i
4
2Te nse
Te
e
qeMaxwell
d e 0, Ti Te
 e(Vw Vse ) 
 1

2Ti


mi

me
59.3
qise  qese
qiMaxwell  qiMaxwell
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qese
e(Vw Vse )

qise
qiMaxwell
d e 0, Ti Te

0.06
2.4
El sheath disminuye ~ 10 veces las
pérdidas de energía del plasma
(a traves de los electrones)

0.1
d e 0 , Te Ti
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Tema 2 : Sheath (XXXVI)
Consecuencias del Sheath  Energía de iones/electrones sobre sólido

E
Vse
Vw

El sheath aumenta la energía
de los iones y con ellos el
sputtering físico
(en particular cerca del umbral)
Vse
Eew  Eese eVw Vse 
Eiw  Eise eVw Vse 

2Te

2Ti  eVw Vse d
Eew,maxwellian
e 0,Ti Te
2Ti  2.8Ti 4.8Ti
w
w
Ei 2.4E i,maxwellian
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Tema 2 : Sheath (XXXVII)
Sheath con campo magnético oblícuo
El campo magnético hace que iones y electrones lleguen al material
siguiendo órbitas de Larmor  importante si B | material
Iones
~
Debye
~
electrones
1mm ~
10m
10m
aparece el pre-sheath magnético (MPS) (~ i) además del Debye
sheath (DBS) (~ D)
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Tema 2 : Sheath (XXXVIII)
Propiedades del sheath con campo magnético oblícuo
Los electrones no se desvían de II B en el
MPS

Gew||

1
ne, w
4
1 DBS
n e
4
ce 

Gew

1 DBS
n e
4
Giw
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
 VDBS
Te
 VDBS
Te
e Vw
n DBS
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e Vw

ce

ce cos
cs
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Tema 2 : Sheath (XXXIX)
El DBS se establece para que el plasma no
pierda carga neta
Giw

Gew
La caida de potencial en el sheath
electrostático depende de 
Vw VDBS
Giw

neDBS
cs 

e VDBS
neDBS

neMPS e

La caida de potencial en el presheath magnético de 
Alberto Loarte



cos
neMPS cs
 VMPS
Te

Te  4cs
ln
e  ce cos
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VDBS VMPS

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Te
ln cos 
e
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Tema 2 : Sheath (XXXX)
Vw VDBS

VDBS VMPS
Vw VMPS

Te  4cs 

ln
e  ce 
Te  4cs
ln
e  ce cos




Te
ln cos 
e
cosY cambia el balance entre
sheath magnético y eléctrico pero
no el cambio de Vw-Vse total
Dimensiones del pre-sheath magnético
evMPS B ~ eEMPS
en MPS
ecs B ~ Te
Alberto Loarte
L MPS
LMPS 
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1
eB



1 
miTe 
~
T
1 i 
Te 

i
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Tema 2 : Sheath (XXXXI)
Aplicaciones del Sheath  Sondas de Langmuir
La sonda de Langmuir es un diagnóstico que permite medir densidad
y temperatura del plasma por medio de un electrodo en contacto
con el plasma  flujo de corriente eléctrica localizada
 Variando V se modifica la
Plasma
V
j(V)
Alberto Loarte
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corriente eléctrica
(flujo de iones y
electrones que llega a la
sonda)
 j(V) (característica) depende de
la densidad y temperatura
del plasma
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Tema 2 : Sheath (XXXXII)
El flujo de iones a la sonda está
determinado por el sheath E > 0

E
se
Gi

n
se
cs
El flujo de electrones depende de V
Vse
Vw

eV

Vse
Gese
1
4

ce
n se
e
 Vse
Te
V
je= ji  V = Vw
n se
cs 
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1
4
ce

e Vw
n se
e
 Vse
Te
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
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
Tema 2 : Sheath (XXXXIII)
En general el flujo neto de corriente electrónica la sonda es :

eV
je

e
1
4
ce
n se
e
 Vse
Te

en se
cs
Del ajuste de je(V)
se puede deduce Te
y nse (si Te=Ti)
jion,sat
dje
dV
jelectron, sat
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(V  ) 
1 se
en
4
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(V )

V V f
ce
en se
cs
e 2 n se cs
Te
= todos los electrones llegan a
la sonda  flujo Maxwelliano
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Conclusiones
 La existencia del sheath determina las condiciones de contorno de un
plasma en contacto con un medio material  campo del presheath y criterio de Bohm
 El sheath hace que el plasma sea cuasineutro y que el campo
eléctrico este confinado principalmente cerca del material
 El sheath reduce el flujo de energía que el plasma pierde (electrones)
pero aumenta la energía de los iones incidentes sobre el
material (sputtering)
 El ángulo entre el campo magnético y el material introduce el preseahth magnético pero no afecta al cambio global de
magnitudes (MPS+DBS) entre el pre-sheath y el material
 La sonda de Langmuir es un diagnóstico que permite medir densidad
y temperatura del plasma por medio de un electrodo en contacto
con el plasma que se basa en la existencia del sheath
Alberto Loarte
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