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Análisis de Potencia en estado estable
Unidad II
Análisis de Potencia en estado estable
Conferencia 1
C. R. Lindo Carrión
1
Análisis de Potencia en estado estable
Objetivos
Definir el significado de los valores promedios o eficaces, para
las variables de corriente y voltaje.
Contenido
2.1
2.2
2.3
2.4
Introducción.
Potencia Instantánea.
Potencia Promedio.
Valores Efectivos.
C. R. Lindo Carrión
2
Análisis de Potencia en estado estable
2.1 Introducción
En las sesiones anteriores hemos estado tratando principalmente de
determinar el voltaje o corriente en algún punto dado de una red.
Tiene igual importancia determinar la potencia que suministra o que
absorbe cierto elemento.
Típicamente los dispositivos eléctricos y electrónicos tienen
condiciones normales de funcionamiento de potencia instantánea
máxima o de potencia pico que no pueden excederse sin dañar los
dispositivos.
En esta sección explicaremos las diferentes ramificaciones de la
potencia en circuitos de corriente alterna. Vamos a examinar la
potencia instantánea, la potencia promedio, la máxima transferencia
de potencia y los valores efectivos o rms.
C. R. Lindo Carrión
3
Análisis de Potencia en estado estable
2.2 Potencia Instantánea
Veamos el circuito mostrado en la
Figura 1, donde
v(t) = VMcos(ωt+v)
i(t) = IMcos(ωt+i)
Entonces la potencia instantánea es:
p(t) = v(t)*i(t)= VMIM*cos(ωt+v)*cos(ωt+i)
Recordando que:
cos1cos2 = (1/2)[cos(1-2)+ cos(1+2)]
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Análisis de Potencia en estado estable
entonces:
p(t) = (VMIM/2)[cos(v-i)+ cos(2t+v+i)]
Observe que esta expresión consta de dos términos, uno es una
constante (es decir, independiente del tiempo) y el otro es una onda
coseno de dos veces la frecuencia de excitación.
Ejemplo:
Para el circuito de la Figura 1 determine la potencia instantánea,
si v(t) = 4cos(t+60º)V y Z = 2|30º Ω.
Solución:
V 460 o
o
I 

2

30
A
o
Z 230
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Análisis de Potencia en estado estable
entonces:
i(t) = 2cos(t+30o)A
Por lo tanto:
p(t) = 4[cos(30o)+ cos(2t+90o)]W
p(t) = 3.46 + 4cos(2t+90o)]W
2.3 Potencia Promedio
El valor promedio de cualquier forma de onda (por ejemplo, una
función senoidal) puede calcularse integrando la función en un
periodo completo y dividiendo este resultado entre el periodo.
1
P
T

t o T
to
p(t )dt
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Análisis de Potencia en estado estable
Donde to es arbitraria, y T = 2/ es el periodo del voltaje o la
corriente.
1
P
T

t o T
to
VM I M cos( t   v ) cos( t   i )dt
1 to T VM I M
cos( v   i )  cos(2 t   v   i )dt
P 
t
o
T
2
El segundo término es una onda coseno de frecuencia doble, se
sabe de matemáticas que el valor promedio de una onda coseno
en un periodo completo o un número entero de periodos es cero,
por lo tanto la potencia promedio es:.
1
P  VM I M cos( v   i )
2
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Análisis de Potencia en estado estable
Observe que como cos(-) = cos(), el argumento para una
función coseno puede ser v- i o i - v. Además, note que v- i
es el ángulo de la impedancia del circuito.
1
P  VM I M
2
Para un circuito puramente resistivo
Además usando la ley de Ohm, para un circuito puramente
resistivo, también podemos emplear las expresiones:
2
V
1 M
P
2 R
1 2
P  IM R
2
Para un circuito puramente reactivo
1
P  VM I M cos(90 o )  0
2
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Análisis de Potencia en estado estable
Debido a que las impedancias puramente reactivas no absorben
potencia promedio, con frecuencia reciben el nombre de
elementos sin pérdidas. La red puramente reactiva opera en una
forma en la que almacena energía en una parte del periodo y la
entrega en otro.
Ejemplo:
Para el circuito mostrado en la Figura 2
determine la potencia promedio de cada
elemento.
Solución:
V 1060 o
1060 o
o
I 


3
.
53

15
A
o
Z
2  j2
2.8345
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Análisis de Potencia en estado estable
1
1
Pf  VM I M cos( v   i )  (10)(3.53) cos(60 o  15 o )  12.5W
2
2
PL = 0, ya que la bobina no absorbe potencia promedio
VR 
2
(1060 o )  7.0715 o V
2  j2
1
1
PR  VM I M  (7.07)(3.53)  12.5W
2
2
Ejemplo:
Para el circuito mostrado en la Figura
3 determine la potencia promedio
absorbida y entregada.
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Análisis de Potencia en estado estable
1245 o
I1 
 345 o A
4
Solución:
1245o
1245o
o
I2 


5
.
37

71
.
57
A
o
2 j
2.24  26.57
I  I 1  I 2  8.1662.08o A
1
1
P4   VM I M  (12)(3)  18W
2
2
P2 
1 2
1
 I M R  (5.37) 2 (2)  28.8W
2
2
PABS  P4  P2  18  28.8  46.8W
1
1
PENT  VM I M cos( v   i )  (12)(8.16) cos( 45 o  62.08 o )  46.8W
2
2
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Análisis de Potencia en estado estable
Como podemos observar la Potencia promedio total absorbida es por
supuesto igual a la Potencia promedio total entregada.
En general no podemos aplicar la superposición a la potencia.
Debemos, no obstante, enumerar que hay un caso especial en el
que la superposición se aplica a la potencia, esto es cuando las
señales senoidales están armónicamente relacionas.
Esto es: Si la corriente es de la forma:
i(t) = I1cos(ω1t + 1 ) + I2cos(ω2t + 2)
Y si nω1= mω2, donde son enteros diferentes, entonces:
2
n1 
(T / n)
2
m 2 
(T / m)
De modo que cosω1t tiene n periodos completos en el tiempo T y
cosω2t tiene m periodos completos en el tiempo T. Esas senoidales
se dice que están armónicamente relacionas.
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Análisis de Potencia en estado estable
La potencia promedio absorbida por la Resistencia R es un intervalo
de tiempo T esta dada por:
1
P
T

T
0o
[ I 1 cos(1t  1 )  I 2 cos( 2 t   2 )] 2 Rdt
Donde 1 y 2 son periódicas en T
1
P
T

T
0o
[ I 12 cos 2 (1t  1 )  I 22 cos 2 ( 2 t   2 )  2 I 1 I 2 cos(1t  1 ) cos( 2 t   2 )]Rdt
I 12 R I 22 R 1 T
P

  {I 1 I 2 cos[(1   2 )t  1   2 )  I 1 I 2 cos[(1   2 )t  1   2 )}Rdt
2
2
T 0o
2
Como: (1   2 )  (n  m)
(T )
2
(1   2 )  (n  m)
(T )
La integral será cero.
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Análisis de Potencia en estado estable
I 12 R I 22 R
P

2
2
Por lo tanto:
La superposición se aplica si una y solo una de las fuentes es CD.
Ejemplo:
La corriente en una resistencia de 2Ω es de la forma i(t) = 4cos(377t
+ 30º) + 2cos(754t + 60º) A. Deseamos encontrar la potencia
promedio absorbida por la resistencia.
solución:
1 = 377 y 2 = 754, es decir, 2 = 21, entonces la potencia será:
P2
I 12 R I 22 R 1 2


 (4  2 2 )2  20W
2
2
2
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Análisis de Potencia en estado estable
Transferencia Máxima de Potencia Promedio
Para ello no vamos a auxiliar del
circuito mostrado en la Figura 4
La potencia promedio en la carga es:
1
PL  VL I L cos( vL   iL )
2
IL 
VTH
Z TH  Z L
VL 
ZL
VTH
Z TH  Z L
donde ZTH = RTH +jXTH y ZL = RL +jXL
La magnitud de la corriente fosorial y el voltaje fasorial están dados
por las siguientes expresiones:
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Análisis de Potencia en estado estable
IL 
[( RTH
VTH
 RL ) 2  ( X TH  X L ) 2 ]1 / 2
VL 
[( RTH
VTH [ RL2  X L2 ]1 / 2
 RL ) 2  ( X TH  X L ) 2 ]1 / 2
Los ángulos de fase para la corriente fasorial y el voltaje fasorial
están contenidos en la cantidad:
( vL   iL )
Note también que:
v  i   Z
L
L
cos  Z L 
Entonces:
L
y además
RL
( RL2  X L2 )1 / 2
VTH2 RL
1
PL 
2 [( RTH  RL ) 2  ( X TH  X L ) 2 ]
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Análisis de Potencia en estado estable
Desde el punto de vista de maximizar PL, VTH es una constante, la
cantidad (XL + XTH) no absorbe potencia y, por lo tanto, cualquier
valor diferente de cero de esta cantidad solo sirve para reducir PL.
De aquí que podemos eliminar este término seleccionando XL=-XTH.
Nuestro problema se reduce entonces a
maximizar:
1 VTH2 RL
PL 
2 ( RTH  RL ) 2
Sin embargo esta es la misma cantidad que maximizamos en el caso
puramente resistivo seleccionando RL=RTH. Por lo tanto, para una
transferencia máxima de potencia promedio que se muestra en la
Figura 4, ZL debe elegirse de forma que:
ZL = RL + jXL = RTH – jXTH = ZL*
Finalmente, si la impedancia de carga es puramente resistiva (es
decir, XL = 0), la condición para máxima transferencia de potencia
promedio puede derivarse mediante la expresión:
dPL
0
dRL
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Análisis de Potencia en estado estable
El valor de RL que maximiza PL bajo la condición XL = 0 es:
RL  R
2
TH
R
2
L
Ejemplo:
Para el circuito mostrado en la
Figura 6 encuentre la potencia
máxima transferida a al carga.
Solución:
Necesitamos encontrar la impedancia de
Thévenin
ya
que
para
máxima
transferencia de potencia promedio ZL =
ZTH. Para ello nos auxiliamos de la Figura
7.
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Análisis de Potencia en estado estable
ZTH = (2 + j)||(4) = 1.4 + j0.43 Ω
Entonces:
ZL = 1.4 - j0.43 Ω
Para encontrar la potencia máxima transferida
necesitamos el voltaje de Thévenin.
VTH 
a la carga,
2
(40 o )( 4)  5.28  9.46 o V
6 j
5.28  9.46 o V
IL 
 1.89  9.46 o A
2.8
PMTC 
1 2
1
I L RL  (1.89) 2 (1.4)  2.50W
2
2
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Análisis de Potencia en estado estable
=0
Valores efectivos o rms
Además de corriente directa y señales senoidales existen otro tipo
de fuentes de señal, la técnica mediante la cual podemos comparar
la efectividad de las diferentes fuentes de entregar potencia a una
carga es que surge la definición de valor efectivo de una forma de
onda periodica, que representa voltaje o corriente.
El valor efectivo de una corriente o voltaje es la corriente o voltaje
estable (CD) que transfiere la misma potencia promedio que la
corriente variable.
PI R
2
eff
entonces:
I eff
1
P
T

t o T
to
i (t ) 2 Rdt
1 t o T
2

i
(
t
)
dt

t
T o
De aquí el nombre rms (root mean square) raíz cuadratica media
Como la CD es constante, el valor rms de la CD es simplemente el
valor constante.
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20
Análisis de Potencia en estado estable
=0
Veamos el caso senoidal
i(t) = IMcos(ωt - ) con periodo T = 2/, entonces:
1
[
T
I rms
recordando que:
0
I M2 cos 2 (t   )dt ]1 / 2
1 1
cos ( )   cos( 2 )
2 2

 IM 
 2
entonces:
2

I rms  I M 
 2
I rms

T

T
0
T

0
1 1
 

cos(
2

t

2

)
2 2
 dt 

 
1 
dt 
2 
1/ 2

 IM 
 2
C. R. Lindo Carrión
2
t
 
20
1/ 2



1/ 2
IM

2
21
Análisis de Potencia en estado estable
=0
Al usar valores rms para el voltaje y la corriente se tiene:
P  Vrms I rms cos( vL   iL )
La potencia absorbida por una resistencia R es:
PI
2
rms
Vrms
R
R
Ejemplo:
Determine el valor efectivo de la forma de onda de corriente
mostrado en la Figura 8.
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Análisis de Potencia en estado estable
=0
Solución:
IM
i(t ) 
t
T
2
I eff
2
T I
1 T
1
  i(t ) 2 dt   M2 t 2 dt
T 0
T 0 T
I
entonces:
para 0 < t < T, entonces:
2
eff
2
M
3
I

T
T
t 
I M2
  
3
 3 0
3
I eff  I rms
IM

3
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Análisis de Potencia en estado estable
=0
Ejemplo:
Determine el valor efectivo de la forma de onda de voltaje
mostrado en la Figura 9.
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Análisis de Potencia en estado estable
=0
Solución:
T=3s
Vrms
Vrms
v(t) =
4t V
para 0 < t < 1s
0V
para 1 < t < 2s
-4t+8 V para 0 < t < 1s
2
3
1  1

2
2
    (4t ) dt   (0) dt   (4t  8) 2 dt 
1
2

3  0
 
1 16t
 
3  3
 
3 1
0


64t 2 16t 3  

  64t 

2
3  2 


3
C. R. Lindo Carrión
1/ 2
1/ 2
 1.89V
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Análisis de Potencia en estado estable
=0
Si la corriente en una resistencia R esta compuesta por una suma de
ondas senoidales de frecuencias diferentes, la potencia absorbida
por la resistencia puede ser expresada como:
P  I12,rms R  I 22,rms R    I n2,rms R
donde el valor rms de la corriente total es:
I rms  I12,rms  I 22,rms    I n2,rms
cada corriente representa una corriente de diferente frecuencia
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Análisis de Potencia en estado estable
=0
Ejemplo:
Para la corriente i(t) = 12 sen377t + 6sen(754t + 30º) A.
Determine el valor efectivo de dicha corriente.
Solución:
I rms  I
2
1, rms
I
2
2, rms
2 1/ 2
 12   6  
 
 
 
 2   2  
2
C. R. Lindo Carrión
 9.49 A
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