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La matemática
entre los árabes
Centros de desarrollo de la ciencia árabe
Mahoma y
primeros Califas
(siglo VII)
Observatorio
de Damasco
Califas
Omeyas
( VII y VIII)
Califato Fatimí
del Cairo
Casa del Saber del Cairo
Omeyas de
Córdoba
Califas
Abassíes
(VIII-XIII)
Biblioteca y academia
Casa del Saber
de Bagdad
Turcos
Selyucidas
(siglo XI)
Dominio
mongol
(XIII-XV)
Se forma en Asia Menor
el sultanato otomano
En 1453 los turcos otomanos
toman Constantinopla
Observatorio
de Azerbaijan
Observatorio
de Samarcanda
Traducción al árabe de los
Elementos de Euclides
(libro I, proposición 47)
Centros de transmisión de la
ciencia árabe a Occidente
Escuela de Traductores
Obispo Raimundo
Alfonso VI conquista
Toledo en el año 1085
Los normandos toman conquistan
Sicilia en el año 1021.
El emperador Federco II de Alemania
Se convierte en rey de Sicilia
El Salón Dorado
José Corral Lafuente
(Narrativas Edhasa)
El hombre de Apulia
Horn Stern
(Seix Barral)
La aritmética y
la teoría de
números
Tabla de multiplicar procedente de un manuscrito del siglo XIII
(Biblioteca del Escorial)
Indio 300 (a. de C.9
Indio 870
Persia 900
Hispano-árabe 970
Indio 1100
Árabe occidental 1100
Árabe oriental 1575
Europeo 1500
Contemporánea
La Aritmética de Abu Abdala
Muhamad Al-Jwarizmi
Manuscrito de Cambridge,
traducción latina del siglo XIII
por Roberto de Chester (?)
Fuentes para conocer la
Aritmética de al-Jwarizmi
(De número indorum)
Liber Algorismi de
practica arismetrice, de
Juan de Sevilla
Liber Ysagorarum Alchorismi in
artem astronomicam a
magistro A. compositum,
Adelardo de Baht (?)
Al-muqni-fi al-hisab al indi,
de Ahmad an Nasawi (siglo XI)
1 180 703 051 492 863:
Un mil de mil de mil de mil de mil
y un ciento de mil de mil de mil de mil
y ochenta de mil de mil de mil de mil
y setecientos de mil de mil de mil
y tres mil de mil de mil
y cincuenta y uno de mil de mil
y cuatrocientas mil y noventa y dos mil
y ochocientos sesenta y tres
Las raíces cuadradas en la Aritmética de
Al-Jwarizmi (según Ibn Tahir al-Bagdadi)
N n r
r
N  n
2n
2
1
10  3  1  3   3.1666...
6
2
f x   n  x
2
f 0
f r   f 0 
r
1!
'
Las raíces cuadradas en la Aritmética de
Al-Jwarizmi (según Juan de Sevilla)
a 
2n
10 a
n
10
2000000 1414

 1´414
1000
1000
2
p
1
N  k
10
p
10
pk
N
Al-Jwarizmi
Las fracciones entre los árabes
1. Expresables
1 1 1 1 1 1 1 1 1 
fundamentales :  , , , , , , , , 
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
3 2 4 
repetición de fundamentales :  , , ...
4 5 7 
1 1 1 
producto de fundamentales :  , , ...
 56 70 12 
17 13 19 
suma de fundamentales :  , , ...
 72 42 90 
2. Inexpresables ó mudas
Transformación aproximada de fracciones
mudas en expresables
4
 0.21052...
19
4
4 1
5 1


  0.25
19 19  1 20 4
4 1 4 4  11 2 1 1
           0.211...
19 2  20 18  2  5 9  10 9
Los números amigos
Dos números son amigos si cada uno es igual a
la suma de los divisores del otro: 220 y 284
 divisores de 220 
1 2  4  5 10 11 20  22  44  55 110  284
 divisores de 284  1  2  4  71  144  220
Una aportación de Tabit ben Qurra
Consideramos los números:
p  3  2 1
q  3 2
n
a  2 pq
n
n 1
1
r  3 2
2
2 n 1
1
b2 r
n
Si p, q y r son números primos,
entonces a y b son números amigos
n
2
3
4
5
6
p q
11 5
23 11
47 23
95 191 95
r
71
287
1151
-
a
220
17296
-
b
284
18416
-
7 383 191 73727 9363584 9437056
Tabit ben Qurra
Un problema de teoría de números:
el problema de Alhacén
Hallar un número múltiplo de 7, y que de
resto 1 al ser dividido por 2, 3, 4, 5 y 6.
N  2  3  4  5  6  1  721
Teorema de Wilson (XVIII):

N  2  3  ...   p  1  1  p
Otra solución del problema de Alhacén
n  60 y  1
n  56 y  4 y  1
4 y  1  7x
7x  4 y  1
x
y
n
3
5
301
7
12
721
11
15
19
26
1141
1561
19
23
27
33
40
47
1981
2401
2821
Alhacén
¿Qué es el
álgebra?
35  8
3 x  8
x?
7  4  28
7  x  28
7 x  28
x?
6  6  6  36
2
x  36
2
x?
¿Cual es el número que elevado al
cuadrado y sumado con quince es igual a
dicho número multiplicado por ocho?
x  15  8 x
2
5  15  8  5  40
2
3  15  8  3  24
2
¿Cuál es número que elevado al cubo y
sumado con catorce veces ese número de
igual a siete veces su cuadrado más ocho?
3
2
x  14 x  7 x  8
1  14  1  7  1  8  15
3
2
2  14 1  7  2  8  36
3
2
4  14  4  7  4  8  120
3
2
El álgebra geométrica
de los griegos
2
1
1
diagonal  1  1 
2
x 2
2
2
2
p
2
q
ax  b
b
x 
a
a
1

b
x
1
a
b
x
x
2
x
a
a
1
x

x
a
x
1
a
El problema de Delos: la primera ecuación cúbica
1
V 1
2
V 8
3
2
V 2
La duplicación del cubo equivale a dos medias proporcionales
x 2
x  2x
y  2x
x y
x
y

y 2
1 x

x y
3
2
4
2
1
x
y


x
y
2
Menecmo resuelve la primera ecuación cúbica
y  x  1 x 
  
2
x
y
y
x
 x y
y  2 x   
 y 2
2
¿Pero cómo se trazan las parábolas?
El Álgebra de Al-Jwarizmi
Manuscrito de Oxford,
copia árabe del siglo XIV
Fuentes para conocer el
Álgebra de al-Jwarizmi
Traducción al latín de
Roberto de Chester (siglo XII)
Traducción al latín de
Gerardo de Cremona (siglo XII)
Resolución de ecuaciones
Partes del Álgebra
Geometría
Cuestiones testamentarias
Al-kitab fi-hisab al-jabr wa-l-muqabala
x  10  x   58
2
2
2 x  100  20 x  58
2
Al-jabr
2 x  100  58  20 x
2
Al-muqabala
x  21  10 x
2
2 x  42  20 x
2
Clasificación de las ecuaciones de segundo grado
Cuadrado de la cosa igual a la cosa
x 2  bx
Cuadrado de la cosa igual a número
x c
Cosa igual a número
bx  c
2
Cuadrado de la cosa más cosa igual a número
x  bx  c
Cuadrado de la cosa más número igual a cosa
x  c  bx
Cuadrado de la cosa igual a cosa más número
x 2  bx  c
2
2
Cuadrado de la cosa más cosa igual a número:
x  bx  c
2
2
b2
b
Cuadrados de las esquinas  4  
4
4
b4
b
Cuadrado central  retángulos  x  4 x  c
4
2
2
b
b

Cuadrado total   x   
c
2
4

x
b
x 
2
b2
c
4
2
Un problema testamentario
Un hombre muere y deja cuatro hijos, y
lega a un hombre tanto como lo que
recibe uno de los hijos, y a otro la cuarta
parte de lo que queda de un tercio
después de la primera deducción.
Si x es el total de la herencia y z lo que recibe un hijo:
Entonces el primer amigo recibe z
11

Y el segundo amigo recibe  x  z 
43

El total x menos los legados de los amigos es igual 4z:
11

11
3
x  z   x  z   4z
x  4z  z
43

12
4
al-muqabala
al-jabr
11
3
x  z  4z
12
4
11
3
x  4z  z
12
4
1  11  1 
3 
 x    4z  z 
11  12  11 
4 
2
 x  5z  z
11
z  11
x  57
Si la herencia se divide en 57 partes iguales
cada hijo recibe 11 partes
entonces
el 1º amigo recibe 11 partes
el 2º amigo recibe (57/3-11)/4=2 partes
Alhacen resuelve una ecuación de tercer grado
3

x 
2

V    Rx 
3 

4 3
x
2
V    R  Rx 
3
3
3
*
x
V
m

*
V
n
x?
3



4mR
2
x 
 3Rx
mn
3
La ecuación del heptágono
cos 3  4 cos   3 cos 
3
cos 4  8 cos 4   8 cos 2   1
  2 7
4  3
cos 4  cos 3
8 cos 4   4 cos 3   8 cos 2   cos   1  0
.
x  2 cos
x  x  2x  1
3
2
El problema de Alhacén
Tesoros de la óptica: el problema de Alhacén
A
a


P
b
B
a cos   r b cos   r

a sen
b sen
La construcción del polígono de 9 lados por
Al-Biruni
cos 3  4 cos   3 cos 
3
  20 cos  x 2 cos 3  1 2
3
x/2
1
x
 x
 4   3
2
2
2
x  3x  1
3
Al-Biruni
El álgebra de
Omar Jayyam
Omar Jayyam: un matemático persa
Álgebra
Samarcanda
Amin Malouf
(Alianza Editorial)
Omar Jayyam
(Nishapur, siglo XI)
Omar Jayyam
Harold Lamb
(Ediciones Apóstrofe)
Comentarios sobre
aspectos dudosos en los
postulados del libro de
Euclides
Sobre la división de
un cuarto de círculo
Robaiyyat
(Editorial Hiperión)
Sobre la división de un cuarto de círculo
PC
BC

AC
1  BC
1
sen

cos  1  sen
P
B

1
C
A
x  2x  2x  2
3
2
Cubo de la cosa igual a número
x3  c
Cubo de la cosa más cosa igual a número
x 3  bx  c
Cubo de la cosa más número igual a cosa
x 3  c  bx
Cubo de la cosa igual a cosa más número
Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa igual a número
Cubo de la cosa más número igual a cuadrado de la cosa
Cubo de la cosa igual a cuadrado de la cosa más número
Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa más cosa igual a número
Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa más número igual a la cosa
Cubo de la cosa más cosa más número igual a cuadrado de la cosa
x 3  bx  c
x 3  ax 2  c
x  c  ax
x 3  ax 2  c
3
2
x 3  ax 2  bx  c
3
2
x  ax  c  bx
x 3  bx  c  ax 2
Cubo de la cosa igual a cuadrado de la cosa más cosa más número
x 3  ax 2  bx  c
Cubo de la cosa más cuadrado de la cosa igual a cosa más número
x 3  ax 2  bx  c
Cubo de la cosa más cosa igual a cuadrado de la cosa más número
Cubo de la cosa más número igual a cuadrado de la cosa más cosa
x 3  bx  ax 2  c
x 3  c  ax 2  bx
Las Cónicas de Apolonio
x
3
 bx  c
yx
2
b
x  y  xc b
2
x
2
Si te has emborrachado de vino, Jayyam , goza,
si estás como una hermosa como el tulipán, goza,
si todo en este mundo dejará de existir,
tú, supón que no existes, y ya que existes, goza.
Cuando muera, esparcid mis cenizas por tierra,
que le sirva a la gente mi estado de lección,
empapad esta tierra de mis restos con vino,
y haced con ese barro la tapa de una cántara.
Omar Jayyam
Los métodos
infinitesimales
Alhacén: el volumen de la esfera
4
3
V  R
3
Alhacén: el volumen del paraboloide
a
a
b
b
1
2
V1  ba
2
8
2
V2  ab
15
Sobre el quinto postulado de Euclides
1. Por dos puntos siempre se puede trazar una recta
2. Toda línea recta se puede prolongar indefinidamente
3. Siempre se puede trazar un círculo de centro y radio dados
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí
5. Si dos rectas cortan a una tercera formando ángulos
interiores hacia un mismo semiplano que suman menos de dos
rectos, entonces se cortan en un punto de dicho semiplano
    180


Al-Yawrabi demuestra el quinto postulado
Pero supone lo siguiente: si una recta corta a otras dos
formando ángulos internos iguales, a cualquier otra recta
que corte a esas dos le sucede lo mismo




 


  
Alhacén demuestra el quinto postulado
Pero define la paralela de este modo: si un segmento
perpendicular a una recta se mueve paralelamente a sí mismo,
el extremo superior genera una recta paralela a la recta dada.
Omar Jayyam demuestra el quinto postulado
Pero parte del principio de Aristóteles: dos rectas concurrentes se
encuentran, y es imposible que se alejen en la dirección en la que
convergen o se acerquen en la dirección hacia la que divergen.
d