Download Números irracionales.

NÚMEROS REALES
U. D. 1
@ Angel Prieto Benito
*
4º ESO E. AP.
Matemáticas 4º ESO E. AP.
1
NÚMEROS
IRRACIONALES
U. D. 1.1
@ Angel Prieto Benito
*
4º ESO E. AP.
Matemáticas 4º ESO E. AP.
2
Números RACIONALES
•
FRACCIONES EQUIVALENTES
•
•
•
Son fracciones equivalentes las que representan la misma cantidad o
medida.
Sus expresiones decimales son idénticas.
Todas las fracciones equivalentes representan un mismo número racional.
•
Ejemplo
•
•
•
•
3
6
9
--- = ---- = ---- = …
5
10 15
Que en su expresión decimal sería 0,6
•
El conjunto de todos los números racionales se designa por la letra Q
•
Todo número decimal exacto o periódico representa un número racional.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
3
Números IRRACIONALES
•
Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números
IRRACIONALES ( I).
•
Ejemplo: 21,303003000…
•
No se pueden escribir en forma de fracción.
•
Junto con los números racionales forman el conjunto de los números
REALES ( R )
•
Los más importantes y característicos son:
•
•
El número √2 = 1,4142… Diagonal de un cuadrado de lado la unidad.
El número π = 3,1415 … Cociente entre la longitud de la circunferencia y
el diámetro.
El número e = 2,7182… Base de los logaritmos neperianos, de enorme
importancia en el Bachillerato y estudios superiores.
•
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
4
El número √2
•
•
El primer radical irracional conocido fue
√2 . Se trata de la diagonal de un
cuadrado cuyo lado vale la unidad.
Fue descubierto por Pitágoras, pero se
dice que prohibió a sus alumnos
difundirlo, pues uno de sus dogmas era
que todo número se podía expresar
como división o razón de otros dos; y
claro, al ser √2 un número irracional,
quedaba fuera del dogma.
•
•
Aplicando el T. de Pitágoras:
h= √(12 + 12) = √(1 + 1) = √2
•
En general, si p no es una potencia nsima, n
√ p es un
número irracional.
•
•
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
√2
1
1
5
El número л
•El número л
•La relación entre la
longitud de una
circunferencia y uno
cualquiera de sus
diámetros.
A
O
•л = 3,141592…
B
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
6
El número e
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Una sucesión es una serie de números que siguen una determinada ley de
formación. Las más importantes sucesiones son las progresiones
aritméticas y geométricas. Sea la sucesión:
n
1
1 + ---, donde n es un número natural
n
Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2
Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0,5)2 = 2,25
…………………………………………………………………………
Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0,01)100 = 2,7048
Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0,001)1000 = 2,7169
Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco.
Si n toma un valor enorme, próximo al infinito, el valor del término valdrá el
número e:
e = 2,7182…
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
7
El número e
•
El número e tiene una enorme
importancia en la ciencia, tanto o
más que el número π.
•
Es la base de los logaritmos
neperianos:
y = loge x.
•
•
•
•
y=1/x
También esa la base de las más
importantes funciones:
y = ex.
Geométricamente, el área
comprendida entre la función de
proporcionalidad inversa (y = 1 / x)
y el eje de abscisas, entre los
valores x = 1 y x = e, es la unidad.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
8
El número Ø
•
•
•
1
x
La divina proporción ----- = --------x
x+1
•
•
Los primeros científicos lo bautizaron como «La Divina Proporción».
Medid la distancia entre el suelo y la parte más alta de la cabeza. Y
divididla luego entre la distancia que hay entre el ombligo y el suelo. Da el
número Phi.
Medíos la distancia entre el hombro y las puntas de los dedos y divididla
por la distancia entre el codo y la punta de los dedos. Otra vez Phi.
En las esculturas griegas y romanas se cuidaba mucho de que las medidas
guardaran esta proporción, aunque se falsease las medidas reales de la
persona esculpida.
La razón entre el largo y el ancho de las tarjetas de crédito: Phi.
•
•
•
•

x ( Ø ) = 1,618
El nombre de Phi se puso en honor de Phideas de Mileto, el primer
arquitecto que llevó dicha relación de medidas al diseñar y construir el
Partenón ateniense.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
9
El número Phi en la geometría
A
D
B
E
B
F
C
• Si al rectángulo ABCD se le
quita el cuadrado AEFD, el
rectángulo EBCF es
semejante al ABCD.
• AB / AD = Phi
C
A
F
E
@ Angel Prieto Benito
• En el pentágono de la figura,
los triángulos BDE y ABF son
semejantes.
• Pues bien, la relación entre la
diagonal del pentágono y su
lado es también el número Phi.
• BE / AB = Phi
D
Matemáticas 4º ESO E. AP.
10
El número Ø en la geometría
C
• Si en una
circunferencia de
diámetro la unidad
(1) tomamos una
recta tangente AB,
de valor la unidad
(1), entonces el
segmento BD tiene
como medida el
valor del número
áureo.
• BD = e
D
O
Diámetro = 1
A
@ Angel Prieto Benito
BD = e
AB = 1
Matemáticas 4º ESO E. AP.
B
11
Aproximaciones
• Como los números irracionales no se pueden expresar como razón
entre dos números enteros ni como decimal periódico, dependiendo
de la exactitud que deseemos, tomaremos un número finito de
cifras, aproximando a su valor real.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplo
Sea el número √3 = 1,73205…
1.- Aproximaciones por defecto:
1
1,7
1,73
1,732 1,7320
2.- Aproximaciones por exceso:
2
1,8
1,74
1,733 1,7321
3.- Aproximaciones por redondeo:
2
1,7
1,73
1,732 1,7321
Se elige la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es
menor que 5, y la aproximación por exceso si la primera cifra
suprimida es mayor o igual que 5
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
12
Aproximaciones
• Otro ejemplo
• Sea el número √11 = 3,3166247…
• 1.•
• 2.•
• 3.•
Aproximaciones por defecto:
3
3,3
3,31
3,316 3,3166
Aproximaciones por exceso:
4
3,4
3,32
3,317 3,3167
Aproximaciones por redondeo:
3
3,3
3,32
3,317 3,3166
• Por regla general, salvo indicación expresa, se emplea el método
de redondeo para aproximaciones, pues es el método que en lo
tocante a resultados de operaciones nos da el menor error.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
13