Download Representación gráfica en R.
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NÚMEROS REALES U.D. 1 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 1 ORDENACIÓN EN R DESIGUALDADES U.D. 1.2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 2 ORDENACIÓN EN R • Dados dos números reales a y b, se dice que a ≤ b si y sólo si b – a es positivo o cero. • La relación es una relación de orden en R, ya que cumple las siguientes propiedades: • Reflexiva: a ≤ a • Ejemplo: 5 ≤ 5 • Antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a a = b • Ejemplo: 5 ≤ a y a ≤ 5 a=5 • Transitiva: si a ≤ b y b ≤ c a ≤ c • Ejemplo: e ≤ 3 y 3 ≤ π e ≤ π @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 3 DESIGUALDADES • La relación de orden en R, <, permite utilizar las siguientes expresiones entre desigualdades: • Signo: Se lee: • • a < b 2 < 5 a es siempre MENOR que b 2 es siempre MENOR que 5 • • a ≤ 7 a ≤ b a es MENOR o IGUAL que 7 a es MENOR o IGUAL que b • • a > b 0 > –3 a es siempre MAYOR que b 0 es siempre MAYOR que – 3 • • a ≥ b 5 ≥ b a es MAYOR o IGUAL que b 5 es MAYOR o IGUAL que b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 4 PROPIEDADES • • • • • • • • • • • • • Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, no varía el sentido de la misma. Si Si –3 > 1 –3+4 > 1+4 1>5 3 > –2 3–4 > –2–4 –1 > –6 Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real positivo, no cambia el signo. Si Si – 2 < 5 3.(– 2) < 3.5 – 6 < 15 2 > – 1 5.2 > 5.(– 1) 10 > – 5 Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real negativo, la desigualdad cambia el signo. Si Si 2 > (– 1) –3<–1 @ Angel Prieto Benito (– 2).2 ? (– 2).(– 1) – 4 < 2 (– 5).(– 3) ? (– 5).(– 1) 15 > 5 Matemáticas 1º Bachillerato CT 5 Gráfica de Racionales REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ( Q ) NÚMEROS NATURALES ( N ) 0 1 2 3 4 R Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) -2 -1 0 1 2 R Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 6 NÚMEROS FRACCIONARIOS Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la unidad). 0 @ Angel Prieto Benito 2/3 Matemáticas 1º Bachillerato CT 1 R 7 Método de representación. • Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1. • Desde el origen, el O, se traza una recta cualquiera. • Se divide dicha recta en tres segmentos iguales de medida cualquiera, d. • Se une el estremo final de los tres segmentos con el 1 de la recta real. • Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. • La unidad de medida, del O al 1, de la recta real ha quedado dividido en tres segmentos iguales. • Como queremos representar el número racional 2/3, tomamos dos de los tres segmentos ocasionados. • Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número racional 2/3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 8 OTRO EJEMPLO Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto 7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4. 0 @ Angel Prieto Benito 1 Matemáticas 1º Bachillerato CT 7/4 2 9 Método de representación. • • • • • • • • • Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1 y la 2. A partir del 1 hay que llevar 3 / 4 sobre la recta real. Desde el 1 se traza una recta cualquiera. Se divide dicha recta en cuatro segmentos iguales de medida cualquiera, d. Se une el extremo final de los cuatro segmentos con el 2 de la recta real. Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. La unidad de medida, del 1 al 2, de la recta real ha quedado dividido en cuatro segmentos iguales. Como queremos representar el número racional 3/4, tomamos tres de los cuatro segmentos ocasionados. Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número irracional 7/4 = 1 + 3 / 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 10 Gráfica de Irracionales NÚMEROS IRRACIONALES DE LA FORMA √N Sea el número √2 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2 √2 1 1 0 @ Angel Prieto Benito 1 Matemáticas 1º Bachillerato CT √2 2 11 Sea el número √3 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3 √3 √ 2 √21 1 0 @ Angel Prieto Benito 1 Matemáticas 1º Bachillerato CT √3 2 12 Sea el número √13 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13 √13√ 2 31 21 0 @ Angel Prieto Benito 1 2 3 Matemáticas 1º Bachillerato CT √13 13 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES • INTERVALOS ENCAJADOS • Los números irracionales, salvo √N , no se pueden representar de forma exacta sobre el eje real. Para representarlos de forma aproximada utilizamos los INTERVALOS ENCAJADOS. • • • • • Sea el número irracional x = 2,123703… Como su valor está entre el 2 y el 3 2 < x < 3 Como su valor está entre 2,1 y 2,2 2,1 < x < 2,2 Como su valor está entre 2,12 y 2,13 2,12 < x < 2,13 • Y así podríamos seguir indefinidamente, cada vez con intervalos más pequeños, encajados, dentro de los intervalos anteriores. Con ello, por aproximación, nos iríamos acercando al valor real del número. • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 14 • En el ejemplo anterior: • Sea el número irracional x = 2,123703… 2,123 2,124 2,12 2,13 2,1 2,2 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 15