Download Numerador

1
Los números
1.
El sistema de numeración decimal y los números naturales
2.
Los números enteros. Operaciones con números enteros
3.
Las fracciones. Operaciones con fracciones
4.
Fracciones y decimales
5.
Operaciones con números decimales. Aproximación decimal
y errores
6.
Los números reales. Representación de números en la recta
real. Intervalos
7.
Potencias de números enteros
8.
Potencias de exponente fraccionario. Radicales
9.
Notación científica
10. Proporcionalidad directa e inversa. Reglas de tres
11. Porcentajes en la vida diaria y en la economía
12. Aplicaciones de los números en la resolución de problemas
de la vida cotidiana
Índice del libro
1
Los números
1. El sistema de numeración decimal y los números naturales
1.1. El sistema de numeración decimal
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
• Decimal: está formado por diez cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• Posicional: el valor de cada una de estas cifras depende del lugar que ocupa
dentro del número
1
Los números
1. El sistema de numeración decimal y los números naturales
1.1. El sistema de numeración decimal
Atención
• Cifra: cada uno de los símbolos o caracteres gráficos que se utilizan para
representar un número
• Número: es la cantidad que resulta del proceso de contar
FORMA POLINÓMICA DE UN NÚMERO
Expresión del número como suma de los valores de cada cifra según la posición
que ocupa cada una dentro del número
Ejemplo
Expresar en forma polinómica el número 86 482
86 482 = 8 ∙ 10 000 + 6 ∙ 1 000 + 4 ∙ 100 + 8 ∙ 10 + 2∙ 1
1
Los números
1. El sistema de numeración decimal y los números naturales
1.2. Lo números naturales
LOS NÚMEROS NATURALES
Números naturales ℕ : conjunto de números que se construye a partir del
número 0 añadiéndole una unidad a cada número que se va obteniendo
ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }
A partir de este conjunto, el hombre ha creado los números enteros, los
racionales, los irracionales y, finalmente, los números reales.
1
Los números
2. Los números enteros. Operaciones con números enteros
2.1. Los números enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
Números enteros ℤ : conjunto de números que está formado por los números
naturales y los que se obtienen al añadirles el signo negativo
ℤ = { … ,-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, … }
Se representan en una recta numérica, situando los números positivos a la
derecha del cero y los negativos a la izquierda
1
Los números
2. Los números enteros. Operaciones con números enteros
2.1. Los números enteros
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
Valor absoluto de un número: distancia de ese número al cero.
Se indica poniendo el número entre dos barras |a|
Ejemplo
El valor absoluto del +5 se expresa como |+5| = 5.
El valor absoluto del -3 se escribe |−3| = 3.
Podemos dibujar este ejemplo:
1
Los números
2. Los números enteros. Operaciones con números enteros
2.2. Operaciones con números enteros
SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
• Sumar números enteros con distinto signo: se suman por un lado los
positivos, por otro los negativos, y después se halla la diferencia entre los
valores absolutos de los resultados anteriores y se pone el signo del número
que tenga mayor valor absoluto
• Restar dos números enteros: sumar el primero con el opuesto del segundo
• Multiplicar y dividir dos números enteros: primero se averigua el signo del
resultado mediante las reglas de los signos y después se multiplican o
dividen los números como si fuesen naturales
Regla de los signos para la
MULTIPLICACIÓN
Regla de los signos para la
DIVISIÓN
(+) ⋅ (+) = (+)
(+) : (+) = (+)
(−) ⋅ (−) = (+)
(−) : (−) = (+)
(−) ⋅ (+) = (−)
(−) : (+) = (−)
(+) ⋅ (−) = (−)
(+) : (−) = (−)
1
Los números
2. Los números enteros. Operaciones con números enteros
2.3. Jerarquía de las operaciones: operaciones combinadas
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
• En una línea con varios tipos de operaciones matemáticas no siempre hay
que hacer las operaciones en el orden de izquierda a derecha
• El orden que debemos seguir lo establece la jerarquía de las operaciones
1º
paréntesis y corchetes
[( )]
2º
multiplicaciones y divisiones
∙,/
3º
sumas y restas
+,-
Ejemplo
(38 - 5) ⋅ 2 - 16 : 4 + 15
1º
paréntesis y corchetes
33 ⋅ 2 - 16 : 4 + 15
2º
multiplicaciones y divisiones
66 - 4 + 15
3º
sumas y restas
66 - 4 + 15 = 77
1
Los números
3. Las fracciones. Operaciones con fracciones
3.1. Las fracciones
INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO DE FRACCIÓN
DIVISIÓN
PARTE DE LA UNIDAD
4
4
de100   100 
5
5
4  100

 80
5
a Numerador
b  Denominador
b0
Fracción:
cociente de dos
números enteros
OPERADOR
Denominador:
número de partes en
que se divide la unidad
Numerador:
número de partes que
se toman
Hallar una fracción de
un número:
Se multiplica el
número por el
numerador y se divide
por el denominador
FRACCIONES EQUIVALENTES
Fracciones equivalentes: representan la misma cantidad
1
Los números
3. Las fracciones. Operaciones con fracciones
3.2. Operaciones con fracciones
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Producto de dos fracciones: es otra fracción que tiene
• por numerador, el producto de los numeradores
• por denominador, el producto de los denominadores
División de dos fracciones: es multiplicar la fracción numerador por la fracción
inversa del denominador.
La operación de dividir se puede hacer multiplicando en cruz.
Ejemplo
Multiplicar fracciones
8 3 8  3 24
 
 
3 7 3  7 21
Dividir fracciones
3 4 3 7 3  7 21
:   
 
5 7 5 4 5  4 20
1
Los números
3. Las fracciones. Operaciones con fracciones
3.2. Operaciones con fracciones
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
Sumar dos fracciones con igual denominador:
• se suman los numeradores y se deja el mismo denominador
Restar dos fracciones con igual denominador:
• se hace de forma análoga pero restando
Ejemplo
5 7 5  7 12
Suma  

5 5
5
5
7 20 7  20
13
Resta 


3 3
3
3
1
Los números
3. Las fracciones. Operaciones con fracciones
3.2. Operaciones con fracciones
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR
Es otra fracción
1. Denominador: m.c.m. de los denominadores
2. Dividir el m.c.m. por cada denominador
3. Multiplicar 2. por el numerador correspondiente
4. Numerador: suma y resta de todos los numeradores obtenidos en 3.
1
Los números
3. Las fracciones. Operaciones con fracciones
3.2. Operaciones con fracciones
Ejemplo
Sumar y restar fracciones con distinto denominador:
1.m.c.m.
10 2
30 2
45 3
5
15 3
15 3
5
5
1
5
1
5
1
5
3
7
2


10 30 45
10  2  5


30  2  3  5 m.c.m.  2  32  5  90
45  32  5 
2.dividirelm.c.m.

entrelosdenominadores
90
90
90
 9  3  2
10
30
45
3.y4.multiplicar2.porlosnumeradoresysumarorestar
3
7
2 3  9  7  3  2  2 27  21  4 44 22
 




10 30 45
90
90
90 45
1
Los números
4. Fracciones y decimales
4.1. De fracción a decimal
PASO DE FRACCIÓN A NÚMERO DECIMAL
Hacer la división que indica la fracción
Hay 4 tipos de números decimales
 Exactos6 ,72


 Periódico puro5 ,67

Decimales
 Decimales periódicos
Νo
exactos


 Periódico mixto3 ,721




 Decimales no periódicos7,4389012
1
Los números
4. Fracciones y decimales
4.2. De decimal a fracción: fracción generatriz
PASO DE DECIMAL PERIÓDICO PURO A FRACCIÓN
Los números decimales periódicos se pueden escribir en forma de fracción
Ejemplo: Paso de decimal periódico puro a fracción
Pasar a fracción el número N  5 ,67  5 ,676767
Como tiene dos cifras periódicas multiplicamos por 100
100  N  100  5 ,676767
 567 ,676767
100  N 567 ,676767
RestamosN 5 ,676767
100  N  567 ,676767
N5 ,676767
La resta es99  N  567 ,000000
Dividimos por99
99  N 562
562

N 
 5 ,67
99
99
99
1
Los números
4. Fracciones y decimales
4.2. De decimal a fracción: fracción generatriz
PASO DE DECIMAL PERIÓDICO MIXTO A FRACCIÓN
Los números decimales periódicos se pueden escribir en forma de fracción
Ejemplo: Paso de decimal periódico mixto a fracción
Pasar a fracción el número
N  3 ,721  3 ,7212121
Como tiene una cifra en el anteperiodo multiplicamos por 10
10  N  10  3 ,7212121
 37 ,212121
 37 ,21
Multiplicamos N por 1000 para obtener otro con el mismo periodo
1000  N 3721 ,212121
 3721 ,21
1000  N  3721 ,212121
10  N 37 ,212121
La resta es 990  N  3684 ,000000
Dividimos por990
990  N 3684
3684

N 
 3 ,721
990
990
990
1
Los números
5. Operaciones con números decimales. Aproximación decimal y errores
5.1. Operaciones con números decimales
SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Suma
Se colocan uno debajo del otro con las
comas alineadas, y se realiza la suma.
Se pueden añadir ceros si es necesario
para tener la misma cantidad de cifras
en ambos números.
Resta
Se coloca el número decimal que sea
mayor encima y el menor debajo, con
las comas alineadas. Si alguno tiene
menos cifras decimales, basta con
añadir los ceros que sean necesarios a
la derecha. A continuación se hace la
resta.
Multiplicación
Se sitúa un número debajo del otro y
se realiza la multiplicación como si no
hubiese comas. Al terminar se pone la
coma contando desde la derecha
tantos lugares como cifras decimales
haya entre los dos números que
acabamos de multiplicar.
División
Se quita la coma del dividendo y se
mueve la del divisor tantas cifras
como cifras decimales tenga el
dividendo añadiendo ceros si es
necesario, y se divide.
1
Los números
5. Operaciones con números decimales. Aproximación decimal y errores
5.2. Aproximación decimal y cálculo del error cometido
APROXIMACIÓN POR DEFECTO, POR EXCESO Y POR REDONDEO
Por defecto: Se eligen valores inferiores al número dado.
2  1,414213562
Aproximaciones por defecto: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142
Por exceso: Se eligen valores superiores al número.
5  2,236067977
Aproximaciones por exceso: 2,3; 2,24; 2,237; 2,2361
Por redondeo:
Se puede aproximar a las décimas, centésimas, milésimas, etc.
Si la primera cifra decimal que queremos suprimir es menor o igual que cinco,
aproximamos por defecto, y si es mayor que cinco aproximamos por exceso.
Número
14,78392…
Redondeo a las décimas
14,8
Redondeo a las centésimas
14,78
Redondeo a las milésimas
14,784
1
Los números
5. Operaciones con números decimales. Aproximación decimal y errores
5.2. Aproximación decimal y cálculo del error cometido
ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
Error absoluto: valor absoluto de la diferencia entre el número original y la
aproximación elegida
Error relativo: cociente entre el error absoluto y el número original
Ejemplo: error absoluto
Si la masa de un camión es de 7 854,3 kilogramos, podemos obviar los
300 gramos y aproximar por defecto la masa del camión a 7 854 kilogramos.
Error absoluto de |7 854,3 – 7 854| = 0,3 kilogramos.
Ejemplo: error relativo
Error de 2 kg en la masa de una persona de 80 kg
Error 2 kg en la masa de un barco de 75 000 kg
2
 0 , 025kg por kg
80
2
Error relativo barco 
 0,0000266 kg por kg
75000
Error relativo persona 
1
Los números
6. Los números reales. Representación de números en la recta real. Intervalos
6.1. Los números reales
LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS Y LOS NÚMEROS REALES
La unión de los números racionales y los irracionales forma el conjunto de los
números reales, que se designa por la letra
1
Los números
6. Los números reales. Representación de números en la recta real. Intervalos
6.2. Representación de números en la recta real
LA RECTA REAL
El conjunto de los números reales suele representarse sobre una línea recta
denominada recta real donde a cada punto de la recta se le asocia un número
real.
Recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la
recta.
Ejemplos: representación de números en la recta real
4 ,7
5
1
Los números
6. Los números reales. Representación de números en la recta real. Intervalos
6.3. Intervalos de la recta real
INTERVALOS
Intervalo: parte de la recta real que contiene todos los números comprendidos
entre dos números, llamados extremos del intervalo.
1
Los números
7. Potencias de números enteros
POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
Potencia de un número:
Multiplicación de un número por sí mismo una serie de veces
Base:
Factor que se repite
am  a  a  a   a  a
mveces
Exponente:
Número de veces que se multiplica la base
Por convenio:
am 
1
am
a0  1
1
Los números
7. Potencias de números enteros
OPERACIONES CON POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
Tipo de operación
… la misma base
… el mismo exponente
MULTIPLICACIÓN de
potencias con…
am  an  am n
am  bm  (a  b)m
COCIENTE de potencias
con…
POTENCIA de una
potencia …
m
a
am

m
(a : b)     m
b
b
am
m
n
a : a  n  a mn
a
 am 
n
 amn
1
Los números
8. Potencias de exponente fraccionario. Radicales
8.1. Raíz de un número. Radical
RAÍZ ENÉSIMA
Raíz enésima de un número:
Al elevar la raíz a la potencia n obtenemos el número
n
a  bbn  asiendo n un número natural
Índice
2
3
4
5
…
n
Nombre
cuadrada
cúbica
cuarta
quinta
…
enésima
Ejemplo
6
3
4
32
…
27
81
5
n
a
1
Los números
8. Potencias de exponente fraccionario. Radicales
8.2. Potencia de exponente fraccionario
POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO
Potencia de exponente fraccionario:
Radical que tiene por índice el denominador de la fracción y por radicando la
base elevada al numerador
m
n
a  n am
Con esta notación podemos considerar las operaciones con radicales como
operaciones con potencias de exponente fraccionario, y utilizar las propiedades
de las potencias.
Ejemplos: potencias de exponente fraccionario
3
5
2  2
5
3
3
5
2  5 23
1
Los números
8. Potencias de exponente fraccionario. Radicales
8.2. Potencia de exponente fraccionario
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
Cuando se tienen distintas operaciones combinadas, hay que seguir un orden
para efectuarlas:
1º Corchetes y paréntesis.
2º Potencias y raíces.
3º Multiplicaciones y divisiones.
4º Sumas y restas.
5º Si las operaciones están en el mismo nivel, se empieza por la izquierda.
1
Los números
9. Notación científica
9.1. Operaciones en notación científica
NOTACIÓN CIENTÍFICA Y OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Un número escrito en notación científica está formado por el producto de:
1. Un número decimal comprendido entre 1 y 10
2. Una potencia de 10 con exponente un número entero
Para realizar operaciones con expresiones escritas en notación científica
utilizamos las propiedades de las potencias de 10 con exponente entero.
Ejemplos: notación científica
0 ,000000023  2 ,3  108
3 ,23  108  2 , 45  1020  ( 3 ,23  2 , 45)  (108  1020 )  7,9135  10-8+20  7,9135  1012
1
Los números
10. Proporcionalidad directa e inversa. Reglas de tres
10.1. Proporcionalidad directa y regla de tres
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente de las
cantidades correspondientes es constante. A este cociente se le llama
constante de proporcionalidad directa.
Ejemplo: proporcionalidad directa
El consumo de un coche es de 4 L de gasolina a los 100 km
Distancia (km)
100
200
300
…
x
Consumo (L)
4
8
12
…
x
4
100
Distancia (km)
Consumo (L)
25
25
25
…
25
1
Los números
10. Proporcionalidad directa e inversa. Reglas de tres
10.2. Proporcionalidad inversa y regla de tres
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las
cantidades correspondientes es constante. A este cociente se le llama
constante de proporcionalidad inversa.
Ejemplo: proporcionalidad inversa
Para construir un edificio se necesitan 10 obreros trabajando 200 días
Días (d)
200
50
…
10
 200
x
Obreros (ob)
10
40
…
x
Días (d)  Obreros (ob)
2 000
2 000
…
2 000
1
Los números
11. Porcentajes en la vida diaria y en la economía
11.1. Aumentos porcentuales: el índice de precios de consumo
AUMENTO PORCENTUAL
Para calcular un aumento porcentual de un r % sobre una cantidad C basta
100  r 
multiplicar
C  

 100 
Ejemplo: índice de precios de consumo
Por una vivienda de alquiler se están pagando 430 € al mes, y la renta de
alquiler se revisa según la variación del IPC. En agosto el IPC fue del 2,6 %.
¿Cuál será la nueva renta a pagar después de la revisión?
pagosubida  pagoanterior  aumento
CC 
r
100  r 
 C  

100
 100 
100  2 ,6 
 430  
  441 ,18€
10
0


1
Los números
11. Porcentajes en la vida diaria y en la economía
11.2. Disminuciones porcentuales: el impuesto del IRPF
DISMINUCIÓN PORCENTUAL
Para calcular una disminución porcentual de un r % sobre una cantidad C basta
100  r 
multiplicar
C  

 100 
Ejemplo: impuesto del IRPF
Un trabajador cobra anualmente 23 000 € en 12 pagas, pero al hacer la
declaración de la renta Hacienda le retiene un 19 % de IRPF. ¿Cuánto cobra en
realidad cada mes?
pagorebajado  pagocompleto  descuento
C C 
r
100  r 
 C  

100
 100 
100  19 
 23000  
  18630€ al año
10
0


18630 / 12  1 552,5€ al mes
1
Los números
12. Aplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidiana
12.1. Porcentajes encadenados
PORCENTAJES ENCADENADOS
Consiste en aplicar aumentos y disminuciones porcentuales de forma
consecutiva.
Ejemplo: descuento y pago del IVA
El precio de una bicicleta es de 325 €. En rebajas tiene un descuento del 35 %,
pero después hay que pagar un IVA del 21 %. ¿Cuánto cuesta finalmente?
100  35   100  21 
325  
   100   325  0 ,65  1 ,21  255 ,61€
100

 

1
Los números
12. Aplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidiana
12.2. El interés simple
INTERÉS SIMPLE
Interés: precio que se paga o se cobra por usar o ceder un capital.
Interés simple I: beneficio que proporciona una cantidad de dinero,
denominada capital, C, depositada en un banco a lo largo de un tiempo, t,
expresado en años, a un tipo de interés del r % al año.
C  r t
I
100
Ejemplo: interés simple
Un banco ofrece un interés anual del 2,75 % para depósitos superiores a
12 000 €. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de un año?
C  r  t 12000  2 ,75  1

 330€
100
100
12000  330  12330€hayal final del año
I
1
Los números
12. Aplicaciones de los números en la resolución de problemas de la vida cotidiana
12.3. El interés compuesto
INTERÉS COMPUESTO
Interés compuesto: el interés acumulado durante el periodo de capitalización
se suma de forma sucesiva al dinero depositado.
Si llamamos C al capital depositado, i al rédito y n al número de años que
hacemos el depósito, el capital obtenido al final del año n vendrá dado por
n
100

i

Cn  C  

 100 
Ejemplo: comparación interés simple y compuesto
Comparar un rédito del 5 % a interés simple y a interés compuesto para
10 000 € a 4 años.
C r t
10000  5  4
 10000 
 12000€
100
100
n
4
100  i 
100  5 


CompuestoCn  C  
  10000   100   12155 , 06€  12155€
100




SimpleCn  C 