Download número 2 qué

Unidad 2.
Funciones
Competencia específica a
Desarrollar.
 Comprender el concepto de función real y
tipos de funciones, así como estudiar sus
propiedades y operaciones.
Unidad 2.
Funciones
Actividades de Aprendizaje
• Identificar, cuándo una relación es una función entre
dos conjuntos.
• Identificar el dominio, el codominio (rango,
contradominio o ámbito) y el recorrido de una función.
• Reconocer cuándo una función es inyectiva,
suprayectiva o biyectiva.
• Representar una función real de variable real en el
plano cartesiano. (gráfica de una función).
Unidad 2.
Funciones
• Construir funciones algebraicas de cada uno de sus
tipos.
• Construir funciones trascendentes, trigonométricas
circulares y funciones exponenciales haciendo énfasis
en las de base e.
• Reconocer las gráficas de las funciones
trigonométricas circulares y gráficas de funciones
exponenciales de base e.
• Graficar funciones con más de una regla de
correspondencia.
• Graficar funciones que involucren valores
absolutos.
Unidad 2.
Funciones
• Realizar las operaciones de suma, resta,
multiplicación, división y composición de funciones.
• Reconocer el cambio gráfico de una función cuando
ésta se suma con una constante.
• Mediante un ejercicio utilizar el concepto de función
biyectiva para determinar si una función tiene inversa,
obtenerla, y comprobar a través de la composición
que la función obtenida es la inversa.
• Identificar la relación entre la gráfica de una función
y la gráfica de su inversa.
Unidad 2.
Funciones
• Proponer funciones con dominio en los
números naturales y recorrido en los números
reales.
• Plantear diversos arreglos ordenados de
números reales y reconocer cuáles de ellos
corresponden a una sucesión.
A partir de ecuaciones reconocer funciones
que implícitamente estén contenidas en ellas.
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

UNA FUNCIÓN: una función puede
considerarse como una
correspondencia entre un conjunto
(X) de números reales (x) a un
conjunto (Y) de números reales (y),
donde cada valor de (y) corresponde
a un sólo valor de (x).
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN
Variable
independiente
Dominio
X
f
Variable
dependiente
Y = f(X)
Codominio,
(Contradominio
Rango, ámbito)
Ejemplo
Dominio
f(x)=y=x^2
y
x
-5.00000
-4.00000
-3.00000
-2.00000
-1.00000
0.00000
1.00000
2.00000
3.00000
4.00000
5.00000
Codominio
(contradominio
o rango o
ámbito)
25.00000
16.00000
9.00000
4.00000
1.00000
0.00000
1.00000
4.00000
9.00000
16.00000
25.00000
Pares ordenados de números (x , y)
3
2
-5
4
5
1
0
-4
-3
25
-1
-2
1
4
PRIMER NÚMERO
9
0
16
SEGUNDO NÚMERO
X
Y
f(x) = y =
X
x-1
f(x)
0.00000 undefined
0.20000 undefined
0.40000 undefined
0.60000 undefined
0.80000 undefined
1.00000 0.00000
1.20000 0.44721
1.40000 0.63246
1.60000 0.77460
1.80000 0.89443
2.00000 1.00000
2.20000 1.09545
2.40000 1.18322
2.60000 1.26491
2.80000 1.34164
3.00000 1.41421
3.20000 1.48324
3.40000 1.54919
3.60000 1.61245
3.80000 1.67332
4.00000 1.73205
4.20000 1.78885
4.40000 1.84391
4.60000 1.89737
4.80000 1.94936
5.00000 2.00000
DOMINIO
DOMINIO
CONTRADOMINIO
Sea el conjunto A ={1, 2, 3}
Le aplicamos la función: f(x) = x + 1
Se obtienen los primeros tres elementos del conjunto B = {2, 3, 4, 5}
Es decir:
Al conjunto A se llama dominio de la función.
Al conjunto B se llama codominio de la función.
A los elementos de B obtenidos a partir de f(x) se les llama imagen
o rango (en este ejemplo el codomino y la imagen NO tienen los mismos
elementos).
y = f (x): variable dependiente.
x: variable independiente.
Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del
rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.
Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir, gráficamente queda:
Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente
una línea.
ENTONCES ES INYECTIVA.
Ejemplo 2. Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: AB: f={(1,2), (2,1), (3,2)}
(solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente queda:
Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas
o líneas, por lo tanto
NO ES INYECTIVA.
Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son
iguales la función es suprayectiva.
Ejemplo 5: Sean los conjuntos:
A = {1,2,3} y B = {2,4} y la función f = {(1,2), (2,2), (3,4)}
Gráficamente queda: Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio.
El rango de la función también es I = {2,4} Como el codominio y el
rango son iguales la función es
SUPRAYECTIVA
Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función:
f = {(1,2), (2,2), (3,2)} gráficamente queda de la siguiente forma:
El codomino B = {2, 4}. El rango o imagen es: I = {2} Como el
codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES
SUPRAYECTIVA
En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la
imagen deben ser todos los reales.
Funciones Biyectivas.
Para que una función sea biyectiva se requiere
que sean al mismo tiempo inyectiva y
suprayectiva.
Ejemplo. La función f(x)=y = x-1 es al mismo
tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es
biyectiva.
Funciones inyectivas, suprayectivas y
biyectivas
Las funciones pueden clasificarse como
inyectivas, suprayectivas y biyectivas;
para entenderlo debemos recordar las
definiciones de domino, imagen,
codomino, variable dependiente y
variable independiente
CLASIFICACIÓN DE LAS
FUNCIONES POR SU
NATURALEZA
Funciones algebraicas: es aquella
que esta formada por un número
finito de operaciones algebraicas
(suma, resta, multiplicación,
división, elevación de potencias y la
extracción de raíces)
Función Trascendentes: es aquella
que no cumple con las condiciones
de una función algebraica
(trigonométricas, las
exponenciales y las logarítmicas)
LAS FUNCIONES ELEMENTALES SE
DISTRIBUYEN EN TRES CATEGORÍAS



1. FUNCIONES ALGEBRAICAS
(POLINÓMICAS, RADICALES,
RACIONALES)
2.FUNCIONES TRIGONOMETRÍCAS
(SENO, COSENO, TANGENTE, ETC)
3. FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS
FUNCIONES POLINÓMICAS
FUNCIÓN CONSTANTE
y=3
f(X) = a
(grado cero)
FUNCIÓN LINEAL
y = 2x + 1
f(X) = ax + b
(grado uno)
FUNCIÓN CUADRÁTICA
y = x2
f(X) = ax2 + bx + c
(grado dos)
FUNCIÓN CÚBICA
y = x3 + 4x
f(X) = ax3 + bx2 + cx + d
(grado tres)
f(X) = ax4+ bx3 + cx2 + dx + e
y = x4 + 4x2+2
(grado cuarto)
f(x) = ax5+ bx4+ cx3 + dx2 + ex + f (grado quinto)
y = x5 - 5x3 + 4
FUNCIONES RACIONALES
Función racional

Una función racional puede
expresarse como el cociente de dos
polinomios
y=
2
x
y= 2
x
y= 2
x
y= 3x–5
x-2
y=
1
+3
x-2
y = x2 + 1
x
y = x2 - 1
x
y= 5
x2-1
FUNCIONES IRRACIONALES
y= x
y=
x+3
y=
x2 + 4
y=
x2 - 4
FUNCIONES EXPONENCIALES
y=
2x
y = (1/2)x y = 2-x
y = ex
y = 10x
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
y = log2x
y = log1/2x
y = -log2x
y = Ln x
y = log x
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y = sen x
y = cos x
y = Tg x
y = cotg x
y = sec x
y = cosec x
Función definida parte por parte
Función definida parte por parte
Función inversa
Función inversa
f(x) = x − 5
2
f−1(x) = 2x + 10
Función implícita
Función implícita
x3 + xy − y3 = 0
Clasificación de las funciones
por sus propiedades
Clasificación de funciones por sus
propiedades




Función
Función
Función
Función
creciente y decreciente.
par o impar.
simétrica.
periódica
Función creciente y decreciente.
Función Creciente
Función creciente y decreciente.
Función decreciente
Función par o impar
La función y = f(x) es par si f(-x) = f(x)
Función par o impar
La función y = f(x) es impar si f(-x) = - f(x)
Función simétrica
Funciones Periódicas
Sen (x) periódo:2p
CoTg (x) periódo:
p
Cos (x) periódo:2p
Sec (x) periódo: 2p
Tg (x) periódo:
p
Cosec (x) periódo:2p