Download Sistemas de inecuaciones. Problemas

SISTEMAS DE ECUACIONES
E INECUACIONES
U.D. 5 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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SISTEMAS DE
INECUACIONES
U.D. 5.10 * 1º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 1º Bachillerato CT
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SISTEMAS DE INECUACIONES
LINEALES
• Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el que
está compuesto por dos o más inecuaciones lineales con una
incógnita.
• La solución de un sistema serán todos los valores de la incógnita (x)
que satisfagan todas las inecuaciones, es decir la intersección de
las soluciones de todas las inecuaciones.
• La solución, una vez aplicadas las relaciones de equivalencia,
pueden ser:
•
Todo R
•
El conjunto vacío
•
x=a
•
Una semirrecta
•
Un subconjunto abierto, cerrado o semiabierto.
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Resolución de sistemas
1.-
2.x - 3 ≤ x

x+3 >-x+1 
x ≤3
2x > - 2
Solución: (- 1, 3 ]
 -1<x ≤3
-1
2.-
3
2.x - 4 ≤ 2
x-5 >-x+1
Solución: Ø
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x ≤3
x>-1




2x ≤ 6
2x > 6
3
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x ≤3
x>3


R
4
3.-
x-3 ≤x

x+3 >-x+1 
0 ≤3
2x > - 2
Solución: (- 1, + oo )

-1


x=R
x>-1
x >-1
0
1
R
-1
4.-
x+4≤ 8
x-5 ≥1
x ≤ 4
x ≥ 6


Solución: Ø
4
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R
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PROBLEMAS de INECUACIONES
•
Se siguen los mismos pasos que para resolver problemas de
ecuaciones. Hay que tener especial cuidado al leer el enunciado;
siempre hay algún indicio que nos señala que debemos obtener del
mismo inecuaciones, no ecuaciones. Y la solución no es única, sino
un conjunto o intervalo de valores.
•
PROBLEMA_1
•
Hallar el número de personas que trabajan en una oficina, si al tomar
vacaciones la cuarta parte de los oficinistas quedan menos de 18
personas trabajando, y si hacen vacaciones la tercera parte, los que
quedan trabajando son más de 14.
•
•
•
•
•
RESOLUCIÓN
Sea x el número de personas que trabajan en la oficina
x – x/4 < 18
 3x/4 < 18  3x < 72  x < 24
x – x/3 > 14
 2x/3 > 14  2x > 42  x > 21
Solución: Trabajan 22 ó 23 personas
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•
Para resolver un sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas se debe
proceder de forma gráfica. Pero si el sistema es de una ecuación lineal y
una inecuación, se podrá resolver de forma analítica: Se despeja una
cualquiera de las incógnitas de la ecuación, la expresión que resulte se
sustituye en la inecuación, y finalmente se resuelve la nueva inecuación
resultante.
•
PROBLEMA_2
•
Deseamos mezclar café de 1,8 E/kg con café de 2,4 E/kg para obtener 50
kg de mezcla a un precio inferior a 2,16 E/kg. Hallar en que intervalo está el
número de kg que podemos mezclar de cada uno.
•
•
•
•
Sea x el nº de kg de café de 1,8 €/kg
Sea y el nº de kg de café de 2,4 €/kg
x + y = 50
 Ecuación 
1,8.x + 2,4.y ≤ 2,16.50
 Inecuación
•
•
1,8.x + 2,4.( 50 – x ) ≤ 108  1,8 x + 120 – 2,4 x ≤ 108 
- 0,6 x ≤ - 12
 0,6 x ≥ 12  x ≥ 20
•
Solución = { V x ε R / x ε [ 20, 50] } ,
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y = 50 – x
{ V y ε R / y ε [ 0, 30] }
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•
PROBLEMA_3
•
Un comerciante vende 70 ordenadores de los que tiene en almacén y
le quedan por vender más de la mitad. Recibe 6 unidades más y vende
36, con lo que le quedan menos de 42 por vender. ó Cuántos
ordenadores tenía en el almacén inicialmente?
•
RESOLUCIÓN
•
•
•
Sea x el número de ordenadores que tenía inicialmente
x – 70 > x / 2
 2.x – 140 > x  x > 140
x – 70 + 6 – 36 < 42
 x – 100 < 42  x < 142
•
Solución: Tenía 141 ordenadores.
•
PROBLEMA PROPUESTO
•
P-4 Una cooperativa decide comprar el doble de camiones que de
tractores, pero no desea gastar más de 144.000 euros. Si cada tractor
vale 15.000 euros y cada camión 9.000 euros, ¿cuál es el número
máximo de tractores que puede comprar?
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•
PROBLEMA_5
•
Pedro tiene el triple de edad que Juan y Luis la mitad que Juan. Entre
todos tienen menos de 12 años. Sumando la edad del que tiene más
con la edad del que tiene menos, salen más de 6 años. ¿Qué edad
tiene cada uno ?
•
•
RESOLUCIÓN
Sea x la edad de Juan, 3.x la edad de Pedro y x/2 la edad de Luis.
•
•
x + 3.x + x/2 < 12
3.x + x/2 > 6
•
Solución: Juan tiene 2 años, Pedro tiene 6 años y Luis tiene 1 año.
•
PROBLEMA PROPUESTO
•
P-6 Ayer fui a comprar 14 disquetes de ordenador y pagué algo más
de 4,5 euros. Hoy he vuelto a comprar otros 20 , cada uno costaba 1
céntimo de euro menos que ayer, di 6,5 euros y dejé la vuelta de
propina. ¿Cuánto costaba ayer cada uno ?.
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 9.x < 24
 7.x > 12


x < 24/9
x > 12/7
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x < 2,66
x > 1,71
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Más problemas propuestos
• P-7 La suma de dos números es menor que 5 . Hallar dichos
números.
• P-8 Si dos lados de un triángulo miden 3 m y 8 m, ¿entre qué
valores estará comprendido el otro lado?
• P-9 Un jefe de taller dispone de 1.380 € para dar una gratificación
a sus empleados. Si la gratificación es de 300 € le falta dinero, pero
si la gratificación es de 200 € le sobran más de 350 €. ¿Cuántos
empleados tiene?
• P-10 Multiplicando por 2 el dinero que tengo en el bolso derecho me
da 2 € menos que lo que tengo en el bolso izquierdo. Si en total
tengo menos de 5 €, ¿ qué cantidad de dinero tengo en cada
bolso?.
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