Download Sistemas de ecuaciones lineales.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
U.D. 1 * 2º BCS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes 2º Bachillerato C.S.
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SISTEMAS LINEALES
U.D. 1.1 * 2º BCS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes 2º Bachillerato C.S.
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Ecuación lineal
Ecuación lineal es una igualdad de la forma:
a1.x1  a2 .x2  ...  an .xn  b1
a1 , a2 ,...an
x1 , x2 ,...xn
•
•
•
donde
son números reales conocidos llamados coeficientes, y
son números reales de valor desconocido llamados incógnitas.
Ejemplos:
3.x + 4.y = 5
- 2.x + 3.y – 7.z = 0
x – y + 2.z = 5
x + 4.y = - 6
- 2.x + 3.y – 7.z + 4.t = 0
x – 2.z = 0
3.z + 4.t = -15
x + 3.z – 7.w = 4
– y + 2.t = - 5
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Ecuaciones equivalentes
• Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución
o soluciones.
• REGLA DE LA SUMA: Si a los dos miembros de una ecuación se
les suma o resta el mismo número o expresión algebraica, el
resultado es una ecuación equivalente.
• Ejemplo_1
• 4.x – 2 = 3
 4.x – 2 + 2 = 3 + 2  4.x = 5
• Ejemplo_2
• 4.x – 2 = 3.x  4.x – 2 – 4.x = 3.x – 4.x  – 2 = – x  x = 2
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Ecuaciones equivalentes
• REGLA DEL PRODUCTO: Si a los dos miembros de una ecuación
se les multiplica o divide por el mismo número o expresión
algebraica, el resultado es una ecuación equivalente.
• Ejemplo_1
• (x / 4) – 2 = 3
 4.(x/4) – 4.2 = 4.3  x – 8 = 12
• Ejemplo_2
• (x/4) – (y/3) = 3
•
• Ejemplo_2
 3.x – 4.y = 36
• 3.x – 12.y = 27
 x – 4.y = 9
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Sistemas de ecuaciones lineales
•
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto
formado por m igualdades de la forma:
a11.x1  a12 .x2  ...  a1n .xn  b1
a21.x1  a22 .x2  ...  a2 n .xn  b2
...............................................
am1.x1  am 2 .x2  ...  amn .xn  bm
•
•
•
donde b1, b2, b3,…son los términos independientes del sistema.
Un sistema homogéneo es aquel cuyos términos independientes son todos
ceros.
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Son soluciones
todo conjunto de valores de x que al ser sustituidos en las ecuaciones
convierten a éstas en identidades.
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Sistemas equivalentes
• Una combinación lineal de varias ecuaciones es otra ecuación
que resulta de multiplicarlas por números distintos de cero y
sumarlas.
• Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas
incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
• Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una
o varias de las siguientes operaciones:
– Se multiplica una ecuación por un número.
– Se cambia el orden de las ecuaciones.
– Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal
de otras.
– Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número.
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• Ejemplos
• Indicar por qué son equivalentes los siguientes sistemas:
• El sistema:
Es equivalente a:
• 3x + y/4 = 5
12x + y = 20
• 2.x – y = 3
2x – y = 3
• A la primera ecuación la hemos multiplicado por 4.
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x + 2y = 5
2.x – y = 3
x + 2y = 5
2x – y = 3
3x + y = 8
La tercera ecuación del sistema es suma de las dos anteriores.
x + 2y = 5
x + 2y = 5
2.x – y = 3
5x + 5y = 18
A la segunda ecuación la hemos sumado tres veces la primera.
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
•
Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen
con todas y cada una de las ecuaciones.
•
Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo
contrario es INCOMPATIBLE.
•
Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es
DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO.
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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
1.- Método de Gauss.
Que veremos en esta Unidad Didáctica y ampliaremos con el Método de
Gauss-Jordan.
2.- Método de Gauss mediante la utilización de Matrices.
Que veremos en la siguiente Unidad Didáctica.
3.Método de Gauss mediante la utilización de Determinantes.
Que veremos en la tercera Unidad Didáctica.
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Reglas de resolución
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REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS
•
1.- Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les
suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro
sistema equivalente al dado.
Es la Regla de la suma utilizada en la resolución de ecuaciones.
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2.- Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación
de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto
de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.
Es la Regla del producto utilizada en la resolución de ecuaciones, que tiene
la ventaja de eliminar denominadores.
3.- Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra
multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es
EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución.
Esta regla, complementada con las dos anteriores, produce el llamado
Método de Reducción visto en cursos anteriores.
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