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TRIÁNGULOS
E
h+c
A
h+c
A
A
4
Polígonos
1
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Triángulos: clasificación
Triángulos: clasificación
Clasificación según sus lados
Clasificación según sus ángulos
Triángulo equilátero
Triángulo rectángulo
Triángulo isósceles
Triángulo acutángulo
Triángulo escaleno
Triángulo obtusángulo
4
Polígonos
1
Rectas y puntos notables de los triángulos (I)
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Elementos notables de los triángulos
(I)
Altura
Mediana
Es la perpendicular trazada a un lado
desde el vértice opuesto
Es la recta que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto
Ortocentro
Baricentro
Punto donde se cortan las tres alturas de
un triángulo
Punto donde se cortan las tres medianas de un
triángulo. Es el centro de gravedad del mismo y está a una
distancia de los vértices igual a los dos tercios de la longitud total
de la correspondiente mediana.
4
Polígonos
2
Rectas y puntos notables de los triángulos (II)
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Elementos notables de los triángulos
(II)
Bisectriz
Mediatriz
Es la perpendicular trazada a un lado por
su punto medio
Circuncentro
Punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo.
Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo
Es la recta que divide un ángulo en dos
partes iguales
Incentro
Punto donde se cortan las tres bisectrices de
un triángulo. Es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo
4
Polígonos
3
Otros triángulos y rectas notables: bisectrices exteriores
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Bisectrices exteriores
Bisectrices exteriores
Son las bisectrices de los ángulos
exteriores
El punto de intersección de las tres
bisectrices interiores de un triángulo es el
centro de la circunferencia inscrita
Los puntos de intersección de las tres
bisectrices exteriores de un triángulo son
los centros de las circunferencias
exinscritas
4
Polígonos
Otros triángulos y rectas notables: triángulos órtico, complementario y podar
4
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
• Triángulos órtico, complementario y
Triángulo órtico
podar
B
Compuesto por los pies de las tres
alturas de un triángulo
F
D
B
A
C
Triángulo complementario
E
Compuesto por los puntos medios de los
lados de un triángulo
F
D
A
C
E
B
Triángulo podar respecto de un punto P
D
F
P
A
C
E
Compuesto por los pies de las
perpendiculares a los lados trazadas
desde P
4
Polígonos
5
Construcción de triángulos
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de triángulos
Construir un triángulo conociendo sus tres
lados
1. Sobre una recta se toma uno de los
lados
2. Con centro en A y radio igual al
segundo lado, se traza un arco
3. Con centro en B y radio igual al tercer
lado se traza otro arco
Construir un triángulo conociendo la altura
1. Se divide la altura en tres partes iguales
2. Con centro en C y radio CB se traza
una circunferencia
3. Por el punto A se traza la perpendicular
a la altura AB
4
Polígonos
6
Construcción de triángulos isósceles (I)
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de triángulos isósceles (I)
Construir un triángulo isósceles
conociendo la base y la altura
Construir un triángulo isósceles
conociendo los lados iguales y la altura
1. Sobre una recta se toma la base
2. Se traza la mediatriz del segmento AB
1. Sobre una recta se toma un punto A y
se traza la perpendicular
3. A partir de C se lleva la altura
2. A partir de A se traslada la altura
3. Haciendo centro en B y radio igual al
lado se traza un arco
4
Polígonos
7
Construcción de triángulos isósceles (II)
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de triángulos isósceles (II)
Construir un triángulo isósceles conociendo
la base y un ángulo adyacente
Construir un triángulo isósceles conociendo
la base y el ángulo opuesto
1. Sobre una recta se toma la base
1. Sobre una recta se toma la base
2. En A se transporta el ángulo dado
2. Se traza la mediatriz de AB
3. En B se transporta el ángulo dado
3. Sobre un punto C cualquiera se
construye el ángulo dado
4. Por A y B se trazan paralelas al ángulo
4
Polígonos
8
Construcción de triángulos rectángulos
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de triángulos rectángulos
Construir un triángulo rectángulo
conociendo la hipotenusa y un cateto
Construir un triángulo rectángulo
conociendo un cateto y el ángulo opuesto
1. Sobre una recta r se coloca el cateto
1. Sobre una recta r se coloca el cateto
2. Por A se traza la perpendicular a AB
2. Por A se traza la perpendicular a AB
3. Con centro en B y radio la hipotenusa
se traza un arco
3. Por un punto arbitrario C se traslada el
ángulo dado
4. Por B se traza la paralela al lado del
ángulo
Construir un triángulo isósceles conociendo los lados
iguales y el ángulo comprendido entre los mismos.
b
A
B
c
A
a
b
C
Con centro en el vértice A del ángulo, describir un arco
de radio igual a los lados conocidos, el cual corta a los
lados del ángulo en B y C, vértices del triángulo.
Construir un triángulo isósceles dada la suma de la altura y uno de los lados
iguales, así como el ángulo opuesto a la base.
E
h+c
A
h+c
A
A
Se levanta sobre una recta base indefinida una perpendicular de longitud igual a la suma
conocida.
Por el extremo E se construye un ángulo igual
a la cuarta parte del dado, obteniendo con ello
sobre la recta base el vértice B.
El A se determina trazando la mediatriz al segmento E B,
Y el C por simetría del B respecto a D, o mediante un
arco de centro en A y radio A B.
Construir un triángulo isósceles conocido el semiperímetro (p) y la altura (h).
A
p
h
h
p
B
M
C
N
Trácense la altura A M Y el semiperímetro M N formando ángulo recto.
La mediatriz del segmento A N determina
sobre M N el vértice C
obteniéndose el B por simetría de C
respecto a M
Construir un triángulo rectángulo isósceles, dada la
hipotenusa.
A
a
B
C
Con diámetro igual a la hipotenusa, dada, trazar una semicircunferencia. La mediatriz al diámetro
determina sobre la semicircunferencia el vértice del ángulo recto.
Todo ángulo inscrito en media circunferencia tiene por valor 90°, puesto que el ángulo inscrito vale la mitad del central
correspondiente. De aquí que el arco capaz de un ángulo recto es una semicircunferencia,
Construir un triángulo rectángulo conociendo sus dos catetos.
b
B
C
C
A
b
C
Trazar por el extremo de uno de ellos una perpendicular de longitud igual al otro cateto.
Unidos entre sí los dos extremos libres, queda definida la hipotenusa de dicho triángulo.
Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos
b+c
B´
a
a
c
B
D
b+c
a
A
C
b
Se toma un segmento DC igual a la suma b + c de los dos catetos,
construyendo en uno de sus extremos D, un ángulo de 45°, y con centro en el otro extremo C se describe un arco de radio
igual a la hipotenusa dada
Este arco corta al lado oblicuo del ángulo en el vértice B. El vértice A se obtiene trazando una perpendicular a D C desde B. El
punto B' donde el arco también corta a D B, nos proporciona otra solución, que es simétrica a la obtenida.
Construir un triángulo rectángulo dadas la mediana ma y la altura ha
correspondientes a la hipotenusa
mª
A
A´
hª
hª
mª
mª
B
C
mª
Mª
Dado que la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide dos veces su mediana correspondiente, el problema se reduce a la
construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa.
Para ello, tómese por hipotenusa un segmento BC igual a dos veces ma describiendo con centro en su punto medio Ma una
semicircunferencia.
Trazando una paralela a BC a una distancia igual a ha queda determinado, en su intersección con la semicircunferencia, el
vértice A. La intersección A' produce otra solución simétrica.
Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la diferencia de los
cateto
a
b-c
B
a
45º
A
D
b-c
C
A un segmento DC,igual a la diferencia de catetos conocida,
construir en uno de sus extremos y sobre su prolongación un ángulo de 45°, trazando con centro en el otro extremo, y radio igual a la longitud dada
para la hipotenusa, un arco, que cortará al lado libre del ángulo en el vértice B. La perpendicular trazada por B a la prolongación de DC nos determina
el vértice A.
Construir un triángulo conociendo un lado y los ángulos
adyacentes al mismo
B
C
A
a
B
a
C
Situar el lado dado como base del triángulo, construyendo en sus extremos ángulos
respectivamente iguales a los dados.
Construir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Construir un ángulo igual al dado, transportando sobre uno de sus lados la magnitud de uno de los lados conocidos,
obteniendo el punto C.
a
C
b
A
b
a
A
B
B´
Con centro en dicho punto y radio igual al otro lado, describir un arco que determinará el tercer vértice del triángulo al cortar al
lado tomado como base del triángulo.
Este problema puede tener dos, una o ninguna solución, dependiendo ello de que el lado a sea mayor, igualo menor
respectivamente que la distancia del vértice C a la base.
CUADRILÁTEROS
4
Polígonos
9
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Cuadriláteros: clasificación
Cuadriláteros: clasificación
Paralelogramos
Trapecios
Cuadrado
Isósceles
Rectángulo
Rectángulo
Rombo
Escaleno
Romboide
Trapezoide
CUADRILÁTERO INSCRIBIBLE
Se llama así al cuadrilátero que se puede inscribir en una
circunferencia .
A
7
D
9°
78
8°
2°
10
C
Recíprocamente, un cuadrilátero que tenga sus ángulos
opuestos suplementarios es inscribible.
°
10
15
En un cuadrilátero inscribible sus ángulos opuestos son
suplementarios, es decir, suman 180°.
A + B = C + D = 180°
1°
Teniendo en cuenta que el valor de un ángulo inscrito es la mitad del
ángulo central que abarca el mismo arco:
A + B = Ω/2 +β/2=360º/2=180º
B
CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIBIBLE:
7
53 ,
Se denomina así al cuadrilátero en el que se puede
inscribir una circunferencia.
37,2
D
En un cuadrilátero circunscribible la suma de los
lados opuestos vale lo mismo.
Recíprocamente, un cuadrilátero cuya suma de
lados opuestos valga lo mismo es circunscribible.
A+C=B+D
,
47
5
B
5
,
30
A
Teniendo en cuenta que si trazamos desde un
punto exterior las tangentes a una circunferencia,
las distancias desde el punto exterior a los puntos
de tangencia valen lo mismo, es fácil demostrar la
igualdad anterior.
4
Dibujo Técnico
Polígonos
5
2.º BACHILLERATO
Cuadrilátero inscribible y circunscribible
• Cuadriláteros
Inscribible
A
Cuadrilátero que se puede inscribir en
una circunferencia
Es inscribible si y solo si los ángulos
opuestos son suplementarios:
b
O
a
C
D
A+B=C+D=180º
A+B=C+D=a/2+b/2=(a+b)/2=360º/2=180º
B
Circunscribible
D
C
G
Cuadrilátero que se puede circunscribir
en una circunferencia
H
O
F
Es circunscribible si y solo si la suma de
los lados opuestos vale lo mismo
A+B=C+D
A
E
B
4
Polígonos
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
10 Construcción de cuadrados
Construcción de cuadrados
Construir un cuadrado conociendo el
lado
Construir un cuadrado conociendo la
diagonal
1. Sobre una recta se dibuja el lado
1. Se dibuja la diagonal
2. Por A se dibuja la perpendicular
2. Se traza la mediatriz de AC
3. Con centro en A y radio AB se
dibuja un arco
4. El cuarto vértice se halla trazando
arcos de radio AB
3. Se dibuja la circunferencia de
diámetro AC
4
Polígonos
11 Construcción de rectángulos
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de rectángulos
Construir un rectángulo conociendo la
suma de los lados y la diagonal
Construir un rectángulo conociendo un
lado y la diagonal
1. Se dibuja el segmento AE igual a la
suma
1. Se dibuja la diagonal AC
2. Por un extremo se traza una recta a 45º
2. Se dibuja la circunferencia de diámetro
AC
3. Con centro en A y radio la diagonal, se
traza un arco
3. Con centros en A y C y radio el lado se
trazan dos arcos
4. Por C se traza la perpendicular a AE
5. El cuarto vértice se halla trazando arcos
4
Polígonos
12 Construcción de rombos
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de rombos
Construir un rombo conociendo el lado y
una diagonal
Construir un rombo conociendo un ángulo
y su diagonal
1. Se dibuja la diagonal AC
1. Se construye el ángulo dado
2. Con centro en A y radio el lado se dibuja
un arco
2. Se traza la bisectriz del ángulo
3. Con centro en C y radio el lado se dibuja
otro arco
4. Por C se trazan paralelas a los lados del
ángulo
3. Sobre la bisectriz se traslada la diagonal
4
Polígonos
13 Construcción de romboides
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de romboides
Construir un romboide conociendo sus
lados y un ángulo
Construir un romboide conociendo sus
lados y la altura
1. Se dibuja el ángulo dado
1. Se dibuja el lado AB
2. Sobre los lados del ángulo se
transportan las dimensiones de los lados
2. Se traza la perpendicular al lado AB
3. El cuarto vértice se halla trazando dos
arcos de radio igual a los lados
3. Sobre la perpendicular se traslada la
altura
4. Por E se traza la paralela a AB
5. Con centros en A y B y radio el otro
lado se trazan dos arcos
4
Polígonos
14 Construcción de trapecios
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Construcción de trapecios
Construir un trapecio escaleno conociendo
los cuatro lados
Construir un trapecio escaleno conociendo
sus bases y sus diagonales
1. Se dibuja el primero de los lados AB
2. Sobre AB se traslada el lado opuesto AE
3. Con centro en E y radio igual al tercer
lado se dibuja un arco
4. Con centro en B y radio igual al cuarto
lado se dibuja un arco
5. Con centro en A y C y radios EC y AE
respectivamente se dibujan dos arcos
1. Se dibuja una de las bases AB
2. Al lado AB se le suma el lado opuesto
3. Con centro en A y radio una diagonal, y
centro en E y radio la otra diagonal se
dibujan dos arcos
4. Por C se traza una paralela a la base AB
5. Con centro en B y radio EC se dibuja un
arco
Polígonos Regulares
4
Polígonos
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
15 Polígonos regulares / Definición y clasificación
Definición y clasificación
Clasificación
Triángulo equilátero:
Cuadrado:
3 lados
4 lados
Pentágono:
5 lados
Hexágono:
6 lados
Heptágono:
7 lados
Octógono:
8 lados
Eneágono:
9 lados
Decágono:
10 lados
Definición
Undecágono:
11 lados
Es el espacio limitado por una línea
quebrada, cerrada y plana
Dodecágono:
12 lados
Pentadecágono:
15 lados
Líneas notables
AB: Lado
h:
Altura
R:
Radio
d’:
Diagonal
a:
Apotema
p:
Perímetro
4
Polígonos
6
División de la circunferencia en 3, 6, 12,... partes iguales
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 3, 6 ó 12 lados, conociendo el radio
Hexágono
Con centro en A y G se trazan dos arcos
del mismo radio
Otros polígonos:
Triángulo equilátero
Dodecágono
4
Polígonos
7
División de la circunferencia en 4, 8, 16,... partes iguales
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 4, 8 ó 16 lados, conociendo el radio
Cuadrado
Se traza la mediatriz del diámetro AE
Otros polígonos
Octógono
4
Polígonos
8
División de la circunferencia en 5, 10,... partes iguales
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 5 ó 10 lados, conociendo el radio
Pentágono
1. Se traza la mediatriz del radio OL
2. Con centro en M y radio MA se traza un
arco. AN es el lado del pentágono
3. Con centro en A y radio AN se traza
otro arco
Otros polígonos
Decágono
4
Polígonos
9
División de la circunferencia en 7, 14,... partes iguales
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 7 ó 14 lados, conociendo el radio
Heptágono
Se traza la mediatriz del radio OA
El segmento PS es el lado del heptágono
Otros polígonos
Polígono de catorce lados
4
Polígonos
10 División de la circunferencia en 9, 18,... partes iguales
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 9 ó 18 lados, conociendo el radio
Eneágono
1. Con centro en K y radio KO se traza un arco
2. Con centro en J y radio JL se traza otro arco
3. Con centro en M y radio MK se traza otro arco
4. AN es el lado del eneágono
4
Polígonos
11 Construcción de un pentágono
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 5 lados, conociendo el lado
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Por B se traza la perpendicular a AB
3. Con centro en B y radio AB se traza
un arco
4. Con centro en F y radio FG se traza
otro arco
5. Con centro en A y radio AH se traza
un tercer arco
6. El vértice E se halla trazando dos
arcos de radio AB
4
Polígonos
12 Construcción de un heptágono
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 7 lados, conociendo el lado
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Por B se traza la perpendicular a AB
3. Con vértice en A se construye un
ángulo de 30º
4. Con centro en A y radio AH se traza
un arco
5. Con centro en O y radio OA se dibuja
una circunferencia
4
Polígonos
13 Construcción de un octógono
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 8 lados, conociendo el lado
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Con centro en I y diámetro AB se traza
una circunferencia
3. Con centro en J y radio JB se traza
otra circunferencia
4. Con centro en O y radio OA se traza
una tercera circunferencia
5. Los vértices se hallan trazando arcos
de radio AB
4
Polígonos
14 Construcción de un eneágono
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígono de 9 lados, conociendo el lado
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Con centro en A y radio AB se traza un
arco
3. Con centro en J y radio JB se traza
otro arco
4. Con centro en K y radio KJ se traza un
tercer arco
5. Se traza la mediatriz de AF
6. Con centro en O y radio OA se traza
una circunferencia
7. Los vértices se hallan trazando arcos
de radio AB
4
Polígonos
16 Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el radio
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Polígonos de n lados, conociendo el radio
1. Se divide el diámetro en n partes
2. Con centro en A y radio AL se traza un arco
3. Con centro en L y radio AL se traza un arco
4. Se une M con el punto número 2
5. AB es el lado del polígono
4
Polígonos
17 Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el lado
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Polígonos de n lados, conociendo el lado
1. Se construye un polígono de n lados de
radio arbitrario
2. Sobre la recta LQ se lleva el valor del
lado
3. Por R se traza la paralela a OL
4. Se traza la circunferencia de centro O y
radio OB
5. Los vértices se hallan trazando arcos
de radio AB
4
Polígonos
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
18 Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el lado
Polígonos de n lados, conociendo el lado (II)
Dado el segmento AB
1. Con radio AB y centros en A y en B se
trazan dos arcos para hallar el punto O de
la mediatriz
2. O es el centro del hexágono de lado AB
C
3. Localizar el punto C de intersección de
la circunferencia de centro O y radio OB
con la mediatriz de AB
11
10
9
8
7
4. Se divide el radio OC en seis partes
iguales obteniendo los puntos 7,8,... y 12
5. Estos puntos son los centros de las
circunferencias circunscritas a los
polígonos de 7,8,….11 y 12 lados
12
O
A
B
4
Polígonos
15 Construcción de un octógono regular estrellado
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO
Polígonos estrellados (I)
1. Se divide la circunferencia en un número
de partes iguales
2. Se unen los vértices de manera no
consecutiva
El número de polígonos estrellados que
hay de un determinado número de vértices
es el siguiente:
El trazado debe comenzar en un vértice
y, recorriendo todos, debe cerrar en el
que se comenzó
Siendo:
v: Número de vértices
p: Número de polígonos estrellados
n: Forma de unir los vértices
4
Polígonos
16 Construcción de un eneágono regular estrellado
Polígonos estrellados (II)
Eneágono regular estrellado
Existen dos polígonos regulares estrellados
de nueve vértices:
1. Uniendo los vértices de dos en dos
2. Uniendo los vértices de cuatro en cuatro
Dibujo Técnico
2.º BACHILLERATO