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1. Introducción a la Estadística
2. Descripción de los conjuntos de
datos
3. Uso de la Estadística para sintetizar
conjuntos de datos
4. Probabilidad
5. Variables aleatorias discretas
6. Variables aleatorias normales
5.1 Introducción
5.2 Variables aleatorias
5.3 Valor esperado
5.4 Varianza de las variables
aleatorias
5.5 Variables aleatorias
binomiales
Una variable aleatoria es
una función que asigna
un número real a cada
elemento del espacio
muestral de un
experimento.
Se dice que una variable
aleatoria es discreta si sus
posibles valores forman una
sucesión de puntos
separados de la recta real.
Se dice que una variable aleatoria es discreta
si sus posibles valores forman una sucesión de
puntos separados de la recta real.
Cualquier variable aleatoria
que tome un número finito de
valores distintos es discreta.
Se dice que una variable aleatoria es discreta
si sus posibles valores forman una sucesión de
puntos separados de la recta real.
Cualquier variable aleatoria
que tome un número infinito
numerable de valores
distintos es discreta.
Sea X una variable aleatoria discreta y
supongamos que puede tomar los n
valores:
x1 , x2 ,..., xn
Se utilizará la notación P{ X  xi } para
representar la probabilidad que X sea
igual a xi .
El conjunto de las n probabilidades
P{ X  xi }
se denomina
distribución de probabilidad
de la variable aleatoria discreta X .
El conjunto de las n probabilidades P{ X  xi } se denomina
distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X .
Puesto que X sólo puede tomar uno
de estos n valores, se sabe que
n
 P{X  x }  1
i 1
i
1. Se asigna una probabilidad a cada
uno de los valores de la variable
aleatoria.
2. La suma de todas las probabilidades
asignadas debe ser 1.
La función de distribución acumulativa
nos da la probabilidad que la variable
aleatoria X tome un valor que es igual
o menor que x.
La función de distribución acumulativa nos
da la probabilidad que la variable aleatoria X
tome un valor que es igual o menor que x.
Esta función, denotada por F  x  , se
define para todos los números reales
como
F  x   P  X  x
Si X es una variable aleatoria discreta
que puede tomar uno de los valores
x1 , x2 ,..., xn
el valor esperado de X ,
denotado por E[ X ], se define como
n
E  X    xi P{ X  xi }
i 1
Sea X una variable aleatoria con valor esperado E[ X ].
Si c es una constante, las magnitudes cX y X  c también son
variables aleatorias y se podrán calcular sus valores esperados.
Se pueden demostrar los
resultados siguientes:
E[cX ]  cE[ X ]
E[ X  c]  E[ X ]  c
Para cualquier entero positivo k
y para cualesquiera variables aleatorias
X 1 , X 2 ,..., X k
se tiene


E  X i    E  X i 
 i 1  i 1
k
k
Si X es una variable aleatoria
con un valor esperado E  X  ,
la varianza de X , denotada por
Var( X ), se define como
Var(X )
E  X  E  X   


2
Var(X )


E  X  E  X 


2
Var  X   E  X   E  X 
2
2
Para cualquier variable aleatoria X
y cualquier constante c, se puede
demostrar que:
Var(cX )  c Var( X )
2
Var( X  c)  Var( X )
En general, si
X 1 , X 2 ,..., X k
son variables aleatorias


Var   X 1    Var  X i 
i 1
 i 1 
k
k
Si
X 1 ,X 2 ,...,X k son
variables aleatorias independientes


Var   X 1    Var  X i 
 i 1  i 1
k
k
La desviación típica o estándar de
una variable aleatoria X se define
como
SD  X 
Var  X 
Supongamos que se llevan a cabo
n subexperimentos (o pruebas)
independientes, en cada uno de los
cuales se puede obtener un "éxito"
con una probabilidad p, o un
"fracaso" con una probabilidad
1  p.
1. Todas las pruebas o subexperimentos
son independientes.
2. Cada prueba o subexperimento tiene
sólo dos posibles resultados,
"exito" y "fracaso"
3. La probabilidad de "exito" en cada
prueba o subexperimento, denotada p,
permanece constante.
n ensayos: PExito  p , PFracaso  1  p
Si X representa el número de éxitos
que ocurren en las n pruebas,
X se dice que es una
variable aleatoria binomial
con parámetros n y p.
Una variable aleatoria binomial, con parámetros n y p,
representa el número de éxitos en n pruebas
independientes, cuando en cada prueba se obtiene
éxito con probabilidad p.
Si X denota dicha variable aleatoria,
n!
n i
i
P  X  i 
p 1  p 
i ! n  i !
para i  0,1,..., n
5.1 Introducción
5.2 Variables aleatorias
5.3 Valor esperado
5.4 Varianza de las variables
aleatorias
5.5 Variables aleatorias
binomiales
Una variable aleatoria X ,
binomial (n, p)
es igual al número de éxitos
obtenidos en n pruebas independientes,
en cada una de las cuales
la probabilidad de éxito es p.
Una variable aleatoria binomial X ,
se puede representar mediante la suma
n
X   Xi
i 1
donde X i es igual a 1 si en la prueba i
resulta un éxito y es igual a 0 si en la
prueba i resulta un fracaso.
Para cualquier entero positivo k
y para cualesquiera variables aleatorias
X 1 , X 2 ,..., X k ,
se tiene


E  X i    E  X i 
 i 1  i 1
k
k
Si X es una variable aleatoria discreta
que puede tomar uno de los valores
x1 , x2 ,..., xn
el valor esperado de X ,
denotado por E[ X ], se define como
n
E  X    xi P{ X  xi }
i 1
i
P  X  i
i  P  X  i
así que
E Xi   p
1
0
p 1 p
p
0
Puesto que
P  X i  1  p y P  X i  0  1  p
se desprende de los resultados de los
ejemplos anteriormente vistos que
E Xi   p
E Xi   p
Por consiguiente,
recordando que la esperanza de una
suma de variables aleatorias es igual
a la suma de sus esperanzas, se ve que
E[ X ]  np
Una variable aleatoria binomial X ,
se puede representar mediante la suma
n
X   Xi
i 1
donde X i es igual a 1 si en la prueba i
resulta un éxito y es igual a 0 si en la
prueba i resulta un fracaso.
Si X es una variable aleatoria
con un valor esperado E  X  ,
la varianza de X , denotada por
Var( X ), se define como
Var(X )
E  X  E  X   


2
E X   p
P X i  1  p y P X i  0  1  p
1  p 
2
p   0  p  1  p  
2
 1  2 p  p
2
 p  p 1  p  
2
 p  2p  p  p  p 
2
3
2
 p  p  p 1  p 
2
3
Puesto que
P  X i  1  p y P  X i  0  1  p
se desprende de los resultados de los
ejemplos anteriormente vistos que
Var  X i   p 1  p 
Var  X i   p 1  p 
Puesto que la varianza de una
suma de variables aleatorias
independientes es igual a la
suma de sus varianzas, se tiene
Var[ X ]  np 1  p 
n!
n i
i
P  X  i 
p 1  p 
i ! n  i !
E  X   np
Var[ X ]  np 1  p 
Se echa 10 veces una moneda
perfectamente balanceada.
Se echa 10 veces una moneda perfectamente balanceada.
E  X   np
Var[ X ]  np 1  p 
Tenemos una distribución binomial 10,0.5  ,
así que
E  X   10  0.5  5
Var  X   10  0.5  0.5  2.5
Se echa una moneda perfectamente balanceada 10 veces.
La probabilidad que una lámpara fluorescente funcione
durante al menos 500 horas es 0.90. Si se tienen 8 de
estas lámparas, calcule la probabilidad que:
(a) Todas ellas funcionen al menos 500 horas.
(b) Exactamente 7 de ellas funcionen al menos 500 horas.
(c) ¿Cuál es el valor esperado del número de lámparas
que funcionarán al menos 500 horas?
(d) ¿Cuál es la varianza del número de lámparas
que funcionarán al menos 500 horas?
La probabilidad que una lámpara fluorescente funcione
durante al menos 500 horas es 0.90. Si se tienen 8 de
estas lámparas, calcule la probabilidad que:
(a) Todas ellas funcionen al menos 500 horas.
8
8
8!
9 9
P  X  8 
      0.43
8! 8  8!  10   10 
La probabilidad que una lámpara fluorescente funcione
durante al menos 500 horas es 0.90. Si se tienen 8 de
estas lámparas, calcule la probabilidad que:
(b) Exactamente 7 de ellas funcionen al menos 500 horas.
8!
9
P  X  7 
 
7! 8  7 !  10 
7
9
 8 8  0.38
10
7
1
 
 10 
La probabilidad que una lámpara fluorescente funcione
durante al menos 500 horas es 0.90. Se tienen 8 de
estas lámparas.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p(i)
0.000
0.000
0.000
0.000
0.005
0.033
0.149
0.383
0.430
1.000
La probabilidad que una lámpara fluorescente funcione
durante al menos 500 horas es 0.90. Se tienen 8 de
estas lámparas.
La probabilidad que una lámpara fluorescente funcione
durante al menos 500 horas es 0.90. Si se tienen 8 de
estas lámparas, calcule la probabilidad que:
(c) ¿Cuál es el valor esperado del número de lámparas
que funcionarán al menos 500 horas?
 9  36
np  8   
 7.2
 10  5
La probabilidad que una lámpara fluorescente funcione
durante al menos 500 horas es 0.90. Si se tienen 8 de
estas lámparas, calcule la probabilidad que:
(d) ¿Cuál es la varianza del número de lámparas
que funcionarán al menos 500 horas?
 9  1  36 18
np 1  p   8    


 10  10  50 25
 0.72
Si X es una variable aleatoria binomial
con un valor esperado de 4
y una varianza de 2.4,
calcule:
(a) P{ X  0}
(b) P{ X  12}
Si X es una variable aleatoria binomial con un
valor esperado de 4 y una varianza de 2.4.
En este caso no conocemos el número
de subexperimentos, ni la probabilidad
de "exito" en cada uno de ellos, pero
conocemos la media y la desviación
típica, y sabemos que:
E  X   np y   np 1  p 
2
Por lo tanto, los podemos calcular.
Si X es una variable aleatoria binomial con un valor
esperado de 4 y una varianza de 2.4.
Entonces,
E  X   4 implica que np  4
y
Var  X  =2.4 implica que np 1  p   2.4
Si X es una variable aleatoria binomial con un valor
esperado de 4 y una varianza de 2.4.
Tenemos entonces un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas,
np  4
np 1  p   2.4
que debemos resolver.
np  4
np 1  p   2.4
4
np  4  n 
p
Sustituyendo en la segunda
4
p 1  p   2.4  4 1  p   2.4 
p
1  p  0.6  p  1  0.6  0.4  p  0.4
4
Sustituyendo de regreso en la primera n 
 10
0.4
n  10
p  0.4
Si X es una variable aleatoria binomial con un valor
esperado de 4 y una varianza de 2.4.
Se tienen n  10 subexperimentos y p  0.4
(a) Determinar P{ X  0}
10!
0
10
10
P  X  0 
 0.4   0.6    0.6 
0!10  0 !
 0.00605
Si X es una variable aleatoria binomial con un valor
esperado de 4 y una varianza de 2.4.
Se tienen n  10 subexperimentos y p  0.4
(b) P{ X  12}
P  X  12  0
ya que sólo se tienen 10 experimentos.
Es un evento imposible.
Si X es una variable aleatoria binomial con un valor
esperado de 4 y una varianza de 2.4.
Se tienen n  10 subexperimentos y p  0.4
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p(i)
0.006
0.040
0.121
0.215
0.251
0.201
0.111
0.042
0.011
0.002
0.000
1.000
Si X es una variable aleatoria binomial con un valor
esperado de 4 y una varianza de 2.4.
Se tienen n  10 subexperimentos y p  0.4
¿Cuál es la probabilidad de sacar
500 águilas al tirar una moneda
1,000 veces, suponiendo que
la moneda es perfecta?
¿Cuál es la probabilidad de sacar 500 águilas al tirar una
moneda 1,000 veces, suponiendo que la moneda es perfecta?
P  X  500 
1000!
1

 
500!1000  500 !  2 
500
1
 
2
500
1000
1000!
1

 
500!1000  500 !  2 
 0.025
Se tira una moneda perfecta 1,000 veces
El valor esperado es E  X   1000  0.5   500
La varianza es Var  X   1000  0.5  0.5   250
La desviación típica es   15.81
¿Cuál es la probabilidad de sacar
5,000 águilas al tirar una moneda
10,000 veces, suponiendo que
la moneda es perfecta?
¿Cuál es la probabilidad de sacar 5,000 águilas al tirar una
moneda 10,000 veces, suponiendo que la moneda es perfecta?
P  X  5000 
10000!
1

 
5000!10000  5000 !  2 
5000
1
 
2
5000

10000
10000!
1

 
5000!10000  5000 !  2 
 0.008
Se tira una moneda perfecta 10,000 veces
Valor esperado: E  X   10000  0.5   5000
Varianza: Var  X   10000  0.5  0.5   2500
Desviación típica:   50
¿Cuál es la probabilidad de sacar entre
4,900 y 5,100 águilas al tirar una moneda
10,000 veces, suponiendo que la moneda
es perfecta?
¿Cuál es la probabilidad de sacar entre 4,900
y 5,100 águilas al tirar una moneda 10,000
veces, suponiendo que la moneda es perfecta?
P 4900  X  5100 

5100

j  4900
 0.956
10000
10000!
1
 
j !10000  j !  2 