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ESTADISTICA I CSH
M. en C. Gal Vargas Neri
1
ESTADISTICA I CSH, Tema III
TEMARIO
TEMA III…
Distribuciones discretas
y continuas
Variable Aleatoria Discreta
•
Variable Aleatoria: resultados de un
experimento expresado numéricamente
Por ejemplo,
Lanzar un dado 2 veces: Contar el número de
veces que cae 4 (0, 1, o 2 veces)
Variable Aleatoria Discreta
•Variable Aleatoria Discreta:
• Obtenida al Contar (0, 1, 2, 3, etc.)
• Usualmente toma un número finito de
diferentes valores
Por ejemplo,
Lanzar una moneda 5 veces. Contar el
número de caras. (0, 1, 2, 3, 4, o 5 veces)
Probabilidad Discreta
Ejemplo de Distribución
Evento: Lanzar 2 Monedas.
Contar # Caras.
 Distribución de Probabilidad
 Valores
T
T
T
T
probabilidad

0
1/4 = .25

1
2/4 = .50

2
1/4 = .25
Distribución de
Probabilidad Discreta
 Lista de todos los posibles [ xi, p(xi) ] pares
Xi = valores de una variable aleatoria
P(xi) = probabilidad asociada con un valor
 Mutuamente exclusivos (nada en común)
 Colectivamente exhaustivos (nada queda fuera)
0  p(xi)  1
 P(xi) = 1
Variable Aleatoria Discreta Medidas
Sumarias

Valor esperado (La media)
Promedio ponderado de la distribución de probabilidad
 = E(X) = xi p(xi)
P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular el valor esperado:
= 0  .25 + 1 .50 + 2  .25 = 1
Número de Caras
Probabilidad del evento
Variable Aleatoria Discreta
Resumen de medidas

Varianza
Promedios ponderados del cuadrado de la desviación
estándar alrededor de la media
 = E [ (xi -  )2]= (xi -  )2p(xi)
= E(X 2)-E 2(X)
P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular la
varianza:

= (0 - 1)2(.25) + (1 - 1)2(.50) + (2 - 1)2(.25) = .50
Probabilidades Discretas Importantes
Modelos de Distribución
Probabilidad Discreta
Distribuciones
Binomial
Poisson
Distribución Binomial
 ‘N’ ensayos idénticos
 15 lanzamientos de una moneda, 10 focos
tomados de un almacén
 2 resultados mutuamente exclusivos en
cada ensayo
 Águilas o Soles en cada lanzamiento de una
moneda, un foco con defecto o sin defecto
Distribuciones Binomiales
• Probabilidad Constante para cada ensayo:
• Probabilidad de obtener sol es la misma que cada
vez que arrojamos la moneda y cada foco tiene la
misma probabilidad de ser defectuoso
• 2 Métodos de muestreo:
• Población infinita sin reemplazo
• Población finita con reemplazo
• Los ensayos son independientes:
• Los resultados de un ensayo no afectan los
resultados de otros
Probabilidad Binomial
Distribución Función
 n  x n x
P( X  x)    p q
 x
donde q  1  p
P(X) = probabilidad que x tenga acierto dando un
conocimiento de n y p
X = número de éxitos
ejemplo, (X = 0, 1, 2, ..., n)
p = probabilidad de cada ‘éxito’
n = tamaño de ejemplo
caras en 2 lanzamientos
de monedas:
X
0
P(X)
1/4 = .25
1
2/4 = .50
2
1/4 = .25
Características de la
Distribución Binomial
P(X)
Media
  E ( X )  np
Por ejemplo,  = 5 (.1) = .5
.6
.4
.2
0
n = 5 p = 0.1
X
0
1
2
3
4
5
Desviación Estandar
 
np(1  p )
Por ejemplo,  =5(.5)(1 - .5)=
1.118
P(X)
.6
.4
.2
0
n = 5 p = 0.5
X
0
1
2
3
4
5
Distribución de Poisson
 Proceso de Poisson:

Eventos discretos en un ‘intervalo’:

La probabilidad de un éxito en un
intervalo es estable
 La probabilidad de más de un acierto
en este evento es 0

Probabilidad de éxito es
independiente de intervalo a intervalo
 # Clientes que llegan en 15 min
 # Defectos por caso de los focos
P( X  x | 
-
e 
x!
x
Función de Distribución de
Poisson
 X
P (X )  e 
X!
P(X ) = probabilidad de X éxitos dando 
 = valor esperado(media) número de éxitos
e = 2.71828 (base de registros naturales)
X = número de éxitos por unidad
Ejemplo, Encontrar la
probabilidad que 4 clientes lleguen
en 3 minutos cuando la media es
3.6
-3.6
P(X) = e
4
3.6 = .1912
4!
Características de la
Distribución de Poisson
Media
  E (X )  
N
  Xi P( Xi )
= 0.5
P(X)
.6
.4
.2
0
X
0
i 1
1
 

3
4
5
= 6
P(X)
Desviación Estandar
2
.6
.4
.2
0
X
0
2
4
6
8
10
Covarianza
 XY   X i  E( X )  Yi  E( Y )  P( X iYi )
N
i 1
X = variable aleatoria discreta X
Xi = valor de los resultados ith X
P(xiyi) = probabilidad de ocurrencia de un resultado iésimo de X y resultado i-ésimo de Y
Y = variable aleatoria discreta Y
Yi = valor de los resultados de Y
I = 1, 2, …, N
Calculando la media para Retorno
de Inversión
Retorno de $1,000 para dos tipos de inversiones
P(XiYi)
Inversión
Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y
.2
Recesión
-$100
-$200
.5
Economía Estable
+ 100
+ 50
.3
Economía en Expansión
+ 250
+ 350
E(X) = X = (-100)(.2) + (100)(.5) + (250)(.3) = $105
E(Y) = Y = (-200)(.2) + (50)(.5) + (350)(.3) = $90
Calculando la Varianza de Retorno
de Inversión
P(XiYi)
Condición Económica
Inversión
Dow Jones X Growth Stock Y
.2
Recesión
-$100
-$200
.5
Economía Estable
+ 100
+ 50
.3
Economía de Expansión
+ 250
+ 350
Var(X) =  2 = (.2)(-100 -105)2 + (.5)(100 - 105)2 + (.3)(250 - 105)2
X
= 14,725,
Var(Y) = 
2
Y=
X = 121.35
(.2)(-200 - 90)2 + (.5)(50 - 90)2 + (.3)(350 - 90)2
= 37,900,
Y = 194.68
Calculando la Covarianza para
Retorno de Inversión
P(XiYi)
Inversión
Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y
.2
Recesión
-$100
-$200
.5
Economía Estable
+ 100
+ 50
.3
Economía en Expansión
+ 250
+ 350
XY = (.2)(-100 - 105)(-200 - 90) + (.5)(100 - 105)(50 - 90)
+ (.3)(250 -105)(350 - 90) = 23,300
La covarianza de 23,000 indica que de dos inversiones están
posiblemente relacionadas y podrán variar juntas dentro de la
misma dirección.
La distribución Normal
• ‘Forma de Campana’
• Simétrica
f(X)
• Media, Mediana y Moda son
iguales
• ‘Diseminación Media’
Iguales 1.33 

• Variables aleatorias tienen
rangos infinitos.
Media
Moda
Mediana
X
El Modelo Matemático
f X  

1
2
2
e
1
2
2
X





f(X) =
frecuencia de variable aleatoria X

=
3.14159;

=
Desviación estándar de población
X
=
valor variable aleatoria (- < X < )

=
media de población
e = 2.71828
Distribución Normal
Éstas son
un número
infinito
Variación de los Parámetros  y , se obtiene
Distribuciones Diferentes de Normal.
Distribución Normal:
Encontrando Probabilidades
Probabilidad es el
área debajo de la
curva¡
P (c  X  d )
f(X)
c
d
X
?
¿Cuál Tabla?
¿Cada distribución
tiene su propia
tabla?
¡Infinidad de Distribuciones Normales significa
infinidad de tablas para buscar!
Estandarización de una variable
aleatoria normal
Z
X 

x1


Distribución
Normal
, donde Z  N (0,1)
x2
X
z1 0
z2
Z
Distribución Normal
Estandarizada
Asignación de Normalidad
Compare las características de los datos con
las Propiedades de la Distribución Normal
• Poner los datos en un arreglo ordenado
• Encontrar correspondencia con los
cuantiles de la Distribución normal
estandarizada
• Dibujar los pares de puntos
• Ajustar una línea recta
Checar la gráfica normal
90
X 60
Z
30
-2 -1 0 1 2
Gráficas de Probabilidad Normal
Sesgada a la izquierda
Sesgada a la derecha
90
90
X 60
X 60
Z
30
-2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2
Rectangular
U
90
90
X 60
X 60
Z
30
-2 -1 0 1 2
Z
30
Z
30
-2 -1 0 1 2