Download Presentación de los juegos de permutaciones y Fibonacci

DE LA GIMA A LAS
TAPERCIOMUNES
Máster en Educación Secundaria
17 de marzo de 2014
Antonio Aranda Plata
Departamento de Álgebra
LA MAGIA DE LAS
PERMUTACIONES
Máster en Educación Secundaria
17 de marzo de 2014
Antonio Aranda Plata
Departamento de Álgebra
El Juego de las nueve cartas
Empezamos con 9 cartas
ordenadas.
Y después de marearlas mil
veces … ¡vuelven a estar
ordenadas!
Dónde está la magia
 Este juego no tiene “truco”.
 Es álgebra y sólo álgebra lo
que hay detrás.
 Modelo: El grupo de las
permutaciones.
Permutaciones
 Consideramos una permutación
como ‘algo’ que ‘cambia el orden’ de
un conjunto finito de elementos.
 Si, por ejemplo, tenemos los
números 1 2 3 4, la permutación
3421 ‘actúa’ sobre ellos de la
siguiente manera:
Coloca en la posición 1 el 3, en la 2
el 4, en la 3 el 2 y en la 4 el 1.
Notaciones
 El ejemplo anterior puede
escribirse así:
1 2 3 4


3 4 2 1
O bien así:
1

3
2

4
3

2
4

1
Notaciones
 Representaremos las permutaciones como
funciones, por letras f, g, h.
 Por ejemplo, si
1 2 3 4
 1 2 3 4

f= 
;
g= 

3 4 2 1
4 2 3 1
f(2)=4 ; f(4)=1 ; g(1)=4 ; g(3)=3
¿Tienen solución las ‘ecuaciones’
f(x)=x y g(x)=x?
El conjunto de todas las permutaciones de n
elementos se designa por Sn
S3 tiene 6 elementos.
S4 tiene 24 elementos.
¿Qué ocurre con S5?
Si tomamos una de las permutaciones de
S4, por ejemplo _3_1_2_4_, y ponemos un
5 recorriendo los espacios marcados con _,
salen 5 permutaciones de S5:
53124,35124,31524,31254,31245
Por lo tanto, S5 tiene 5 x 24 = 120 elementos.
Número de elementos de Sn
Sn tiene 1x2x3x…xn=n! elementos.
La prueba de esta afirmación puede
ser conocida por los alumnos.
En cualquier caso, ésta es una buena
oportunidad para introducir el método
de inducción.
Ciclos
 Otra manera de escribir una permutación:
La permutación 3421 se podía poner así:
1  3
2  4
3  2
4  1
y también podemos escribirla así: (1 3 2 4) que
significa que a la posición 1 se le asigna el 3, a la
3 el 2, a la 2 el 4 y a la 4 el 1.
A este tipo de permutaciones se les llama ciclos.
Ejemplos
1 2 3 4 5 6

  (1 3 2)(4 5 6)
3 1 2 5 6 4
1 2 3 4 5 6 

  (2 4 6)
1 4 3 6 5 2 
1 2 3 4 5 6

  (1 6 2 3 5 4)
 6 3 5 1 4 2
1 2 3 4 5 6

  (1 5)(2 4)(3 6)
5 4 6 2 1 3
Ejemplos
 1 2 3 4 5 6

(1 4) (2 3)  
 4 3 2 1 5 6
1 2 3 4 5 6 
(1)  

1 2 3 4 5 6 
 1 2 3 4 5 6

(2 3 1) (5 6)  
 2 3 1 4 6 5
 1 2 3 4 5 6

(1 4) (2 5) (3 6)  
 4 5 6 1 2 3
 1 2 3 4 5 6

(1 4 5 2 6 3)  
 4 6 1 5 2 3
 1 2 3 4 5 6

(1 4 5) (2 6 3)  
 4 6 2 5 1 3
Composición de permutaciones
La composición se define como la aplicación
sucesiva:
fg (i) = g (f (i) ).
1 2 3 4

f = 
3 4 2 1
 1 2 3 4

g = 
4 2 3 1
1 2 3 4 
1 2 3 4




gf=


fg=  3 1 2 4 
1 4 2 3 


No da lo mismo fg que gf. Esto quiere decir que
la composición de permutaciones
no es conmutativa.
Composición de permutaciones
Toda permutación es el producto
de los ciclos que contiene, que
necesariamente son disjuntos.
Por ser disjuntos los ciclos de una
permutación su producto sí es
conmutativo.
Así, la descomposición de una
permutación en producto de ciclos
disjuntos es única salvo el orden.
EXPLICACIÓN DEL
JUEGO INICIAL
Permutaciones de 9 cartas
SEPARACION en dos montones:
Posición:
Carta
1
8
2
6
3
4
4
2
5
9
6
7
7
5
8
3
9
1
Notación en forma de ciclo:
S = (1 8 3 4 2
6
7
5
9)
Separar varias veces
S = (1
8
3 4
2
6
7
5
9)
S2 = ( 1
3
2
9
8
4
6
5)
7
S3 = ( 1 4 7 ) ( 2 5 8 ) ( 3 6 9 )
…..
S9 =
??
Permutaciones de 9 cartas
CORTAR UNA CARTA:
Posición:
Cartas:
1
9
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
Notación en forma de ciclo:
C = (1 9 8 7 6
5
4
3
2)
Cortar varias cartas
C = (1 9 8 7 6 5 4 3
Cortar 2 cartas = (cortar 1 carta)2
Cortar 3 cartas = (cortar 1 carta)3
2)
......
C2 = ( 1
C3 = ( 1
C4 = ( 1
8
7
6
6 4 2 9 7 5 3)
4)(2 8 5)(3 9 6)
2 7 3 8 4 9 5)
......
C6 = (C3 ) 2 = ( 1 4 7 ) ( 2 5 8 ) ( 3 6 9 )
C9 = ??
Permutaciones de 9 cartas
Primer “hechizo mágico”:
S3 = ( 1 4 7 ) ( 2 5 8 ) ( 3
6 9)
C6 = ( 1 4 7 ) ( 2 5 8 ) ( 3 6 9 )
3
S =
6
C
Permutaciones de 9 cartas
El orden de los factores SÍ altera el producto.
SC =
(1 8 3 4 2 6 7 5 9) (1 9 8 7 6 5 4 3 2)
= (1 7 4) (2 5 8)
CS =
(1 9 8 7 6 5 4 3 2) (1 8 3 4 2 6 7 5 9)
= (2 8 5 ) (3 6 9 )
Permutaciones de 9 cartas
Segundo “hechizo mágico”:
SC = (1 7 4) (2 5 8)
C4 = (1 6 2 7 3 8 4 9 5)
S = (1 8 3 4 2 6 7 5 9)
C4S = (1 7 4) (2 5 8)
SC = C4S
Permutaciones de 9 cartas
Consecuencias del segundo “hechizo mágico”:
SC = C4S
SC2=(SC)C=(C4S)C=C4(SC)=C4C4S=C8S
SC3=(SC2)C=(C8S)C=C8(SC)=C8C4S=C12S=C3S
SC4=(SC3)C=(C3S)C=C3(SC)=C3C4S=C7S
SC5=...=C2S
SC6=...=C6S
SC7=...=CS
SC8=...=C5S
S y C no conmutan … ¡pero casi!
Permutaciones de 9 cartas
Explicación del “truco”:
(SCp)(SCq)(SCr) = (Cp’ S)(Cq’ S)(Cr’ S) =
= Cp’(SCq’)( SCr’)S =
= Cp’(Cq’’S)(Cr’’S)S =
= Cp’ Cq’’( SCr’’)SS =
= Cp’Cq’’(Cr’’’S)SS = Cp’+q’’+r’’’S3 =
=Cp’+q’’+r’’’C6 = Cp’+q’’+r’’’+6
¡Al final lo que queda es un simple corte!
Permutaciones de 9 cartas
 Nos falta saber cuál es el corte que nos ha
quedado.
 Para ello miramos la carta de arriba y
pasamos abajo el número de cartas que
indique.
 Así deshacemos el corte y las cartas quedan
ordenadas.
Los que dicen la verdad y
los que no se sabe
Adivinar un número
La sucesión de Fibonacci
Leonardo Pisano
(Fibonacci)
1170-1250
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
a1  1; a2  1; an  an1  an2
Teorema de Zeckendorf
Edouard Zeckendorf
Médico y matemático belga
(1901-1983)
Conocía el resultado en
1939, pero no lo publicó
hasta después de la
II Guerra Mundial
Teorema de Zeckendorf
Todo número entero positivo se puede
descomponer de manera única como
suma de números diferentes de la
sucesión de Fibonacci, de modo que
dicha suma no incluya dos términos
consecutivos de la sucesión.
Teorema de Zeckendorf
Demostración
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeckendorf’s_theorem
Lema previo:
Sea S un conjunto de números de la sucesión
de Fibonacci (distintos) que no contiene dos
términos consecutivos de la sucesión y sea Fj
el mayor de todos ellos.
Entonces, la suma de todos los números de S
es estrictamente menor que Fj+1
Adivinar un número
Los números de Fibonacci necesarios
para el juego son:
1 ,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89
Cada tarjeta empieza por uno de estos
números y contiene números en cuya
representación única de Zeckendorf
aparece el número de Fibonacci que
encabeza la tarjeta.
Adivinar un número
Las tarjetas están ordenadas por el
primer número.
Se empieza preguntando a los que dicen
la verdad y cuando uno diga SÍ, ya
sabemos que en la siguiente tarjeta no
está el número pensado: podemos
preguntar ahora a uno que pueda mentir.
Adivinar un número
Continuamos preguntando a los que dicen
la verdad, hasta que otro diga SÍ.
Tras cada SÍ verdadero, se puede
preguntar a un posible mentiroso,
y así hasta la última tarjeta.
El número pensado es la suma de los
números iniciales de las tarjetas de los
SÍ verdaderos.
¿Cuántos km hay en 75 millas?
75 = 55 + 13 + 5 + 2
89 + 21 + 8 + 3 = 121
75 millas = 121 km.
¿Por qué?
1 milla = 1,609344 km
Este número se parece bastante al
número áureo = 1,61803…
El cociente entre cada término de la
sucesión de Fibonacci y el anterior se
acerca cada vez más al número de oro.
1, 2, 1’5, 1’666, 1’6, 1’625, 1’615, 1’619,
1’6176, 1’6181, 1’6179, 1’6180, …
“¿Dónde termina el juego y dónde
comienza la Matemática seria?
Una pregunta capciosa que admite
múltiples respuestas. Para muchos
de los que ven las matemáticas desde
fuera, ésta, mortalmente aburrida,
nada tiene que ver con el juego.
En cambio, para los más de entre los
matemáticos, la matemática nunca deja
totalmente de ser un juego, aunque
además de ello pueda ser otras muchas
cosas”.
Miguel de Guzmán
“Juegos matemáticos en la enseñanza”